Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga
1.1 Deret Tidak Terhingga.
Pembicaraan kita sekarang deret pada umumnya. Deret yang banyaknya suku tak terbatas disebut deret tak hingga, notasi :
∑
∞1
Un
Masalah pokok pada deret tak hingga adalah konvergensi/divergensinya deret tersebut.
definisi: Barisan (Un) dikatakan konvergen jika
∞
→ n it
lim Un ada dan terbatas.
definisi: Jumlah n suku yang pertama barisan tak hingga (Un) disebut jumlah bagian, sehingga: Sn =
∑
=1 i
Ui , sedangkan jumlah suku-suku sisanya diberi notasi Rn, yaitu: Rn = un+1+un+1+……. atau Rn =
∑
∞+
=n 1 i
Ui
berarti: u1+u2+……….+un+un-1+un-2+………= Sn + Rn
definisi: Barisan deret: S1, S2, S3,……….., Sn, Sn-1,…….
Dikatakan konvergen jika
∞
→ n it
lim Sn = S ada terbatas.
Karena ada pengertian jumlah bagian, dan kita selalu memperhatikan pengertian tersebut, maka deret tak hingga kita sebut saja “deret”, karena itu sejak sekarang kalau kita sebut “deret” maksudnya adalah deret tak hingga, yaitu:
∑
∞1
Un
Definisi : Jika deret konvergen makalimitRn 0
n =
∞
→
Contoh: 1. deret aritmatika
Sn =
( )
n[
2a(
n 1)
b]
2 U 1 a 2n
1 + n = + −
Jika → =±∞
≠
≠
∞
→ n
n itS 0 lim
b 0 a
(
divergen)
konvergen tidak
deret
∴
2. deret geometri
0 a dan 0 r r , 1
r .1 a
Sn n ≠ ≠
−
= −
untuk deret konvergen .
r 1 S a it lim , 1
r n
m →
= −
〈 →∞
r 1,limitSn deretkonvergen.
n =±∞→
〉 →∞
r 1,limitSn taktentu deretdivergen
n = →
= →∞
1.2 Sifat-sifat deret tak hingga.
1). Jika deret Sn = U konvergen maka limitUn 0
1 n
n =
∞
←
∑
∞(awas: sebaliknya tidak berlaku).
2). Jika deret Sn = U ,lim it U 0
n n 1
n ≠
∞
→
∑∞ maka deret divergen (akibat logis dari (1))
3). Jika deret Sn = U ,Un 0danmempunyaibatasatasmakaderetnyakonvergen.
1
n ≥
∑
∞Untuk menyelidiki kekonvergensian suatu deret dapat digunakan “uji banding”, yaitu menbandingkan deret tersebut yang telah diketahui kekonvergensiannya.
Ada tiga macam deret pembanding.
1). Deret geometri : ar r 1,konvergen
1 1
n → 〈
∑
∞ −r≥1,divergen 2). Deret hiperharmonis:
∑
∞ → 〉1 k k 1,konvergen n
1
k≤1,divergen dibuktikan dengan kondensasi : 2n.U(2n
) 3). Deret bertrand:
∑
∞( )
〉 →2 k ,k 1 konvergen n
ln n
1
k≤1→divergen
1.3 Prinsip/cara penggunaan deret banding.
1). Vn = deret pembanding, Un = deret yang diselidiki a). jika Vn konvergen
sedangkan 0〈Un〈Vn,makaUnkonvergen. b). jika Vn divergen
sedangkan 0〈Vn〈Un,makaUndivergen 2). Jika dipenuhi: (i). Un〉0danVn〉0
(ii). L 0 V
itU lim
n n
n = ≠
∞
→
maka Un dan Vn kedua-duanya konvergen atau kedua-duanya divergen.
Contoh.
1. Selidiki konvergensi deret:
2 n n U 1 umum suku 2, n n
1
n 2
1 2 = − +
+
∑
∞ −Jawab: digunakan deret pembanding deret hiperharmonis dengan suku umum Vn = 2
n
1 yang konvergen (k〉1)
0 2 1 n n it n V lim itU
lim 2 2
n n n
n = ≠
+
= −
∞
→
∞
→
jadi: (Un) konvergen.
2. Selidiki konvergensi deret dengan suku umum Un =
n n ln
Jawab: deret pembanding suku umum Vn =
n
1 → deret harmonis yang divergen
Untuk n ≥ 3 dipenuhi
n n ln n 0〈1 〈
Berarti 0〈Vn〈Un
Karena (Vm) divergen maka (Un) divergen 3. Selidiki konvergensi deret:
∑
∞ →1
2 Un
n 1
Jawab: dengan membanding deret geometri yang konvergen
2 r 1 , 2 V
1
1 1 n
∑
∞ n− → =( ) ( )
. dst
konvergen U
maka konvergen V
karena 4
1 9 3 1 n
V U 2 0
1 4 2 1 n
2 1 n 0 1 maka 1
1 1 n
V U
n n
n n
1 n 2 n
n
↓
〈
→
=
〈
〈
〈
→
=
〈
〈
=
→
=
↓
↓
−
Kriteria Konvergensi
Untuk menyelidiki konvergensi suatu deret kecuali dengan membandingkan dengan deret deret lain yang sudah jelas konvergensinya,, dapat juga dilakukan dengan pengujian (test) terhadap dirinya sendiri yang disebut “kriteria konvergensi” atau “test konvergensi”. Ada banyak test konvergensi, diantaranya : tes de Alembert, tes Cauchy, test Catalan, tes Schlömilch, tes Raoble, tes gauss, tes Integral. Di sini dibicarakan beberapa saja.
1.4 Tes Rasio (uji banding dari de Alembert)
Tes Rasio ini berlaku untuk deret dengan suku-suku positif., yaitu membandingkan suku ke (n+1) dengan suku ke-n,
Teorema : Deret (Un), dengan suku & tidak negatif
Jika
∑
∞
→
+ =
n n
1
n L
U
U , maka : a. L < 1 → deret konvergen b. L > 1 → deret divergen
c. L = 1 → didekati dari atas → deret divergen didekati dari bawah → tak ada keputusan Contoh :
1. Selidiki konvergensi deret : ∑∞
1 5
n n 5
Jawab :
= +
+
∞
→ +
∞
→ 5
n 5 1 n n n
1 n
n n
:5 ) 1 n ( it 5 U lim
it U lim
2. Selidiki konvergensi deret : ∑∞
1 n 2 3 n
Jawab :
+ ×
= →∞ +
+
∞
→ 2
n 1 n
2 n n
1 n
n n
3 3
) 1 n it ( U lim
it U lim
konvergen deret
jadi 3 1
2 U it U lim
3 1 n
1 n 3 it 1 U lim
it U lim
n 1 n n
2 n n
1 n n
→
<
=
=
+
= +
∞
→
∞
→ +
∞
→
3. Selidiki konvergensi deret :
∑
∞ + +1 n2 2n 3
1
Jawab : 1
8 n 2 n
5 n 1 2 it 8 lim n 2 n
3 n 2 it n U lim
it U
lim 2
2 n 2 n n
1 n
n =
+ +
− + + =
+ +
= +
∞
→
∞
→ +
∞
→
! keputusan ada
tak jadi , bawah dari didekati U 1
itU lim
n 1 n
n + =
∞
→
Selanjutnya diselidiki dengan membandingkan dengan deret ( )
0 3 1
n 2 n it n V lim
it U lim
) 1 2 k , konvergen n (
V 1 V
2 2 n n
n n
n 2 n
≠ + =
= +
>
=
=
→
∞
→
∞
→
Jadi karena (Vn) konvergen maka (Un) juga konvergen Catatan : dengan sendirinya dapat juga dengan cara lain.
1.5 Tes Akar (oleh Cauchy)
divergen deret
jadi 1 U 5
it U lim
1 5 n 5 n it U lim
it U lim
) 1 n (
n 5
it 5 U lim
it U lim
n 1 n n
5 n n
1 n n
5 5 n
1 n n n
1 n n
→
>
=
=
× +
=
× +
=
+
∞
→
∞
→ +
∞
→
+
∞
→ +
∞
→
Teorema : Deret (Un), dengan suku-suku tidak negatif Jika limitn Un L
n =
∞
→ , maka :
a. L < 1 → deret konvergen b. L > 1 → deret divergen
c. L = 1 → didekati dari atas → deret divergen didekati dari bawah → tak ada keputusan Contoh :
1. Selidiki konvergensi deret :
∑
∞ ( + π)1
n n
cos 2
Jawab : + π = + π =∠
∞
→
∞
→it (2 cosn ) limit(2 cosn )
lim n
n n
n
Hasil limitnya berubah-ubah antara 1 dan 3, tidak mungkin
<1
∠ , berarti deret divergen.
2. Selidiki konvergensi deret :
∑
∞1 2
n
n 9
Jawab : 9 1 jadidivergen
1 9 n 9 it 9 n lim it 9 lim
n 2 n n
n 2 n
n = = = > →
∞
→
∞
→
3. Selidiki konvergensi deret :
∑
n2⋅3nn−−122Jawab: : en
konververg jadi
3 1 1 3 .1 2 1 n 3
1 . n n it 2 lim
n 3
1 . n n it
lim n 2
n n
n 2
n = = < →
+
= −
+
−
∞
→
∞
→
1. Tes Catalan.
Teorema : Deret (Un), dengan suku-suku tidak negatif
Jika L
n ln
U ln 1 it
lim n
n =
∞
→ , maka :
a. L > 1 → deret konvergen
b. L < 1 → deret divergen
c. L = 1 → didekati dari atas → deret divergen didekati dari bawah → tak ada keputusan Contoh :
1. Selidiki lonvergensi daerah :
∑
++
2 n
n
n ) 1 n (
Jawab :
n ln ln 1 it n lim ln
U ln 1 it
lim n
n
n = ⋅
∞
→
∞
→
konvergen deret
n ln ln U it lim jadi
e ln n
it lim ln
it n lim ln n
ln ln U it lim
ln ln n it n lim
ln ln U it lim
n n
n
n
n n
n
n
n n
n
→
>
=
∞ = +
=
− + +
=
+ +
=
∞
→
∞
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
1 2 1
2 1 2
1 1 2
1
1 1 2
1
2. Selidiki konvergensi deret : 2 n
2 n 3
1 n n 3
∑
⋅ +− Jawab :
n ln
1 n 3
2 n . 3 n ln it n lim ln
U ln 1 it lim
n 2
n n n
− +
=
−
∞
→
∞
→
− + +
=
⋅ +
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
n ln ln n n ln
n it ln n lim ln lnU it lim
n ln
n . n n ln ln it n lim ln lnU it lim
n
n n n
n
n n n
1 1 1 1
1 1
2 2
n ln
1 n 3 1 3 ln it lim n 2
ln U ln 1 it lim
n ln
1 n 3 1 3 ln n ln . 2 it n lim ln
U ln 1 it lim
n
n n
n
n
n n n
+ − +
−
=
+ − +
−
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
. divergen deret
1 n 2
ln U ln 1 it lim jadi
n 2 ln it lim
1 n 3 1 3 it lim ln n 2
ln U ln 1 it lim
n n
n n n
n
→
<
−
=
−
=
+ + +
−
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
1.6 Tes Schlömilch
Teorema : Deret (Un), dengan suku-suku tidak negatif
Jika L
U it U lim
1 n
n
n =
∞ +
→ , maka :
a. L > 1 → deret konvergen b. L < 1 → deret divergen
Catatan : Tes Schlömilch ini digunakan hanya jika tes de Alembert gagal, yaitu bila 1
U it U lim
1 n
n
n =
∞ +
→ dan pendekatan dari bawah.
Contoh :
1. Selidiki konvergensi deret :
∑
n2 −12n +3Jawab : dengan de Alembert gagal, karena 1
U it U lim
1 n
n
n =
∞ +
→ didekati dari bawah dengan Schlömilch :
konvergen deret
1 U 2
ln U . n it lim jadi
3 2 n 2 n
1 n 1 2
it lim U ln
ln U . n it lim
3 n 2 n
2 ln n
it U lim
ln U . n it lim
3 n 2 n
2 ln n
. n it U lim
ln U . n it lim
1 n
n n
n n 2
1 n
n n
n 2
2 1 n
n n n
2 2 1 n
n n n
→
>
=
=
+
− + −
=
+
−
= +
+
−
= +
∞ +
→
∞ + →
∞
→
∞ + →
∞
→
∞ + →
∞
→
2. Selidiki konvergensi deret dengan suku umum :
) 1 n 2 ( ...
7 5 3
) 2 n 2 ( ...
6 4 Un 2
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
= ⋅
Jawab :
) 1 n 2 ( ...
7 5 3
) n 2 ( ...
6 4 Un 2
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
= ⋅
Dengan de Alembert : 1
1 n 2
n it 2 U lim
it U
lim n n
1 n
n =
= +
∞
→ +
∞
→
Didekati dari bawah → gagal.
dengan Schlömilch :
1 n
n
n U
ln U . n it lim
∞ +
→
2 e 1 ln
n 2 1 1 ln . it lim ln
n 2 1 1 ln . it lim
n 2
1 n ln 2 . n it lim
2 1
n n
n n
n
=
=
+
=
+
=
= +
∞
→
∞
→
∞
→
jadi 1
2 1 U ln U . n it lim
1 n
n
n = <
∞ +
→ → deret divergen.
1.7 Tes Raobe
Teorema : Deret (Un), dengan suku-suku tidak negatif
Jika L
Un 1 U . n it
lim n 1
n =
− +
∞
→ , maka :
a. L > 1 → deret konvergen b. L < 1 → deret divergen
c. L = 0 → didekati dari bawah → deret divergen Contoh :
1. Selidiki konvergensi deret : ∑ n2 1− n3
Jawab :
2 n n
1 )
1 n ( 3 ) 1 n (
Un 1 2 1 2
−
= − +
−
= +
+
konvergen deret
1 U 2
1 U n it lim jadi
2 2 n n
2 n it 2 U lim
1 U n it lim
2 n n
n 3 n 2 n n n
it U lim
1 U n it lim
2 n n
n 3 1 n
n it U lim
1 U n it lim
2 n n
n 3 n U
U
n 1 n n
2 2 n n
1 n n
2 2 2
n n 1 n n
2 2 n n
1 n n
2 2 n
1 n
→
>
=
−
− =
−
= −
−
−
−
+
−
−
= −
−
−
−
− −
=
−
−
−
= −
+
∞
→
∞
→ +
∞
→
∞
→ +
∞
→
∞
→ +
∞
→ +
2. Selidiki konvergensi deret : ∑ 2n2n+ 1 Jawab:
n 3 n 2
1 n 3 n 2 n 2
1 n 2 3 n 2
2 n 2 U , U 3 n 2
2 n
U 2 2 2
n 1 1 n
n +
+
= +
⋅ + +
= + +
= + +
+
n 3 n 2 . 1 n it Un lim
1 U . n it lim
n 3 n 2
1 n 3 n 1 2 . n it Un lim
1 U . n it lim
n 2 1 n n
2 2 n
1 n n
+
= −
−
+ +
− +
=
−
∞
→ +
∞
→
∞
→ +
∞
→
divergen deret
, bawah dari didekati Un 0
1 U n it lim
3 0 n 2 it 1 Un lim
1 U n it lim
1 n n
n 1 n n
→
=
−
+ =
−
=
−
+
∞
→
∞
→ +
∞
→
1.8 Tes Integral
Pengertian singkat. Prinsip teori, membandingkan deret varian dengan deret fungsi. Integral tertentu merupakan limit dari penderetan fungsi.
i i 1
1 i Q
i
P x x x
x x
x
x +
+ < <
=
=
Luas 1 pias : LPQMN < LPQMT < LPQRT
f(xi).∆x < f(x).∆x < f(xiH). ∆x µI < f(x).∆x < vI
luas semua pias (a<x<b) : ∑ µ <∑ ∆ <∑n
1 i n
1 n
1
i f(x). x v
a b
R T
N M
P Q
f(x)
∆x
∫ ∑
∑
∑
∑ ∫
∞
∞
∞
∞
→
∞
∞
→
<
<
µ
<
<
µ
→
∆
∞
→
1 n b
1 a n
1 n i 1
b
a n i
v dx ) x ( f
v it lim dx ) x ( f it
lim 0 : x n
dari kutub terakhir di atas, terdapat
Teorema : jika deret U ,U 0dan Un f(x)untuk x N,
1
n
n ≥ < >
∑
∞ f(x) kontinumonoton turun, maka deret ∑∞
1
Un konvergen apabila
∞
∫
N dx ) x (
f konvergen.
Teorema : jika deret ∑∞
1
vn , vn ≥ 0 dan vn > f(x) untuk x > N, f(x) kontinu monoton turun , maka deret ∑∞
1
vn divergen apabila
∞
∫
N dx ) x (
f divergen.
Contoh :
1. Selidiki konvergensi deret :
∑
∞ ⋅1 n n
1
Jawab : diambil
x ln . x
Un = 1 , untuk x >1 dan Un ≥ 0
konvergen x dx
x berarti 1
1 2 x 2 dx x x dx
x 1
1
2 1
1 3 1
∫
∫
∫
∞
∞ −
∞ −
∞ =
−
=
=
jadi deret
∑
∞ ⋅1 n n
1 → konvergen.
2. Selidiki konvergensi deret :
∑
∞5 n.lnn 1
Jawab : diambil fungsi
x ln . x
1 , sehingga Un =
x ln . x
1 untuk x > 5 dan Un ≥ 0
. divergen x dx
ln . x berarti 1
divergen x 5
ln . ln ) x (ln xd ln dx 1 x ln . x
1
5 5 5
→
→
∞
∞ =
=
=
∫
∫
∫
∞
∞
∞
