T1 662008012 Full text

(1)

PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI DAN STUDI SIMULASI

BERDASARKAN

ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT

Oleh,

SELFIE PATTIHAHUAN NIM : 662008012

TUGAS AKHIR

Diajukan kepada Program Studi : Matematika, Fakultas : Sains dan Matematika guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana

(2)

(3)

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS TUGAS AKHIR

Yang bertanda tangan dibawah ini, Nama : Selfie Pattihahuan

NIM : 662008012

Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tugas akhir, :

PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI DAN STUDI SIMULASI GRAFIK

PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL

BIVARIAT

Yang dibimbing oleh: 1. Dr. Adi Setiawan, M. Sc

2. Leopoldus Ricky Sasongko,S.Si

Adalah benar-benar hasil karya saya.

Di dalam laporan tugas akhir ini tidak terdapat keseluruhan atau sebagian tulisan atau gagasan orang lain yang saya ambil dengan cara menyalin atau meniru dalam bentuk rangkaian kalimat atau gambar serta simbol yang saya aku seolah-olah sebagai karya saya sendiri tanpa memberikan pengakuan kepada penulis atau sumber aslinya.

Salatiga, Agustus 2012 Yang memberikan pernyataan

(4)

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Sebagai civitas akademika Universitas Kristen Satya Wacana (UKSW), saya yang bertandatangan di bawah ini :

Nama : Selfie Pattihahuan

NIM : 662008012

Program Studi : Matematika

Fakultas : Sains dan Matematika Jenis Karya : Skripsi

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada UKSW hak bebas royalti non-eksklusif (non-exclusive royalty free right) atas karya ilmiah saya yang berjudul:

PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI DAN STUDI SIMULASI

BERDASARKAN

Beserta perangkat yang ada (jika perlu).

Dengan hak bebas royalti non-ekslusif ini, UKSW berhak menyimpan, mengalihmedia/mengalihformatkan, mengolah dalam bentuk pangkalan data, merawat, dan mempublikasikan tugas akhir saya, selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis atau pencipta.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di : Salatiga Pada tanggal : Agustus 2012 Yang menyatakan,

Selfie Pattihahuan

Mengetahui,

(5)

PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI DAN STUDI SIMULASI

BERDASARKAN

Oleh:

SELFIE PATTIHAHUAN NIM:662008012

TUGAS AKHIR

Diajukan kepada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika guna memenuhi sebagian dari Prasyarat untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains (Matematika)

Disetujui oleh,

Pembimbing Utama Pembimbing Pendamping

Dr. Adi Setiawan, M. Sc. Leopoldus Ricky Sasongko,S.Si.

Diketahui oleh, Kaprogdi

Dr. Adi Setiawan, M.Sc.

Disahkan oleh, Dekan

Dra. Lusiawati Dewi, M.Sc.

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI MATEMATIKA

(6)

MOTTO

“Tetapi carilah dahulu kerajaan Allh dan kebenarannya, maka

semuanya itu akan ditambahkan kepadamu.”

(Matius 6: 33)

“ Serahkanlah hidupmu kepada Tuhan dan percayalah

kepada-Nya, dan Ia akan bertindak”

(Mazmur 37 : 5)

Per

n n er u

-ribu mil, dimulai dengan satu

n

e

(Lao-tzu-filuf Cina)

PERSEMBAHAN

(7)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus karena atas segala berkat dan penyertaan-Nya yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi sebagai persyaratan menyelesaikan Studi Stara 1 atau S1 pada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.

Dalam skripsi ini terdiri dari 2 makalah utama yang telah dipublikasikan. Makalah yang

pertama beerjudul “PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI

DENSITAS KERNEL BIVARIAT” telah dipublikasikan dalam Seminar Nasional Pendidikan Matematika XX dengan tema “Membangun Dunia Pembelajaran Matematika yang Menyenangkan, Kreatif, dan Inovatif” yang diadakan oleh Himpunan Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika (HIMATIKA) FMIPA UNY pada tanggal 24 Maret 2012. Namun, makalah yang pertama dirasa kurang bagi penulis dikarenakan belum adanya penjelasan tentang menghitung KDE untuk dua titik dan untuk data yang lebih banyak. Oleh karena itu, penulis menyusun lagi makalah yang kedua

dengan judul “STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT”. Akhirnya judul makalah diatas juga dipublikasikan

dalam Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA dengan tema ”Pemantapan Profesionalisme Peneliti, Pendidik & Praktisi MIPA untuk Membangun Insan yang Kompetitif dan

Berkarakter Ilmiah” yang diselenggarakan oleh FMIPA UNY pada tanggal 2 Juni 2012.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak dapat terselesaikan dengan baik tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih atas segala doa, nasihat, bimbingan dan dorongan baik materi maupun spiritual kepada :

1.

Dra. Lusiawati Dewi, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Sains dan Matematika.

2.

Dr. Adi Setiawan, M.Sc selaku Ketua Program Studi Matematika dan selaku pembimbing I yang dengan sabar membimbing, mengarahkan dan memberikan motivasi kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini sehingga laporan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik.

3.

Leopoldus Ricky Sasongko, S.Si selaku pembimbing II yang juga membimbing, memberikan saran, dan mengarahkan penulis sehingga laporan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik.

4.

Dosen pengajar, Dr. Bambang Susanto, Dra. Lilik Linawati, M.Kom, Tundjung Mahatma, S.Pd, M.Kom, Didit Budi Nugroho, M.Si, yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama studi di FSM UKSW.

(8)

6.

Alm. Papa, Mama tercinta yang telah memberikan kasih sayang yang tulus, nasihat, pengorbanan, doa dan dorongan kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini dengan baik.

7.

K’uce dan K’boby yang telah mendoakan dan memberi motivasi kepada penulis.

8.

Terima kasih kepada Usi Mar2 dan Usi Yeyen atas persahabatannya selama ini baik dalam suka maupun duka selama mengikuti kuliah bersama. Love u all.

9.

Teman-teman Progdi Matematika Angkatan 2008, terima kasih atas bantuan dan kebersamaannya selama ini.

10.

Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang juga mendukung penulis selama penulisan skripsi ini.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa dalam penulisan skripsi ini masih terdapat banyak kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan segala saran dan nasihat dari pembaca. Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak.

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

LEMBAR PENGESAHAN ... ii

LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN ... iii

LEMBAR PERNYATAAN BEBAS ROYALTY DAN PUBLIKASI ... iv

MOTTO DAN PERSEMBAHAN ... v

KATA PENGANTAR ... vi

DAFTAR ISI ... vii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

PENDAHULUAN ... ix

MAKALAH I PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT MAKALAH II STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT KESIMPULAN ... x

(10)

DAFTAR LAMPIRAN

LAMPIRAN 1 : Data kandungan Sabun Sirih

Periode September 2010-Desember 2010 ... 28 LAMPIRAN 2 : Program R untuk Grafik Pengendali berdasarkan

Estimasi Densitas Kernel untuk data bivariat.. ... 30 LAMPIRAN 3 : Program Matlab untuk Grafik pengendali berdasarkan

Estimasi Densitas Bivariat 2 titk ... 34 LAMPIRAN 4 : Program R untuk Grafik pengendali berdasarkan

Estimasi Densitas Kernel untuk data bivariat

(11)

PENDAHULUAN

Di era globalisasi yang semakin kompetitif ini, para pelaku bisnis tentu menginginkan agar produknya diterima oleh konsumen dan mampu bersaing di pasaran. Salah satu faktor yang mempengaruhi keputusan konsumen dalam memilih suatu produk adalah kualitas produk tersebut. . Konsumen akan merasa puas apabila kualitas produk yang mereka pilih sesuai dengan harapan mereka. Tingkat kepuasan konsumen dapat tercermin pada keputusan untuk membeli produk dan melakukan pembelian ulang terhadap produk tersebut. Oleh sebab itu, masalah kualitas menjadi hal yang penting dan perlu mendapat perhatian perusahaan. Mengingat pentingnya peranan kualitas produk dalam setiap perusahaan maka pengendalian kualitas produk sangat dibutuhkan dalam suatu proses produksi untuk menjaga kestabilan kualitas.

Dalam pengendalian kualitas sering digunakan pengendalian proses statistik. Salah satu teknik pengendalian proses statistic adalah grafik pengendali ( control chart). Pembuatan grafik pengendali pada umumnya selalu didasarkan pada asumsi bahwa suatu proses produksi berdistribusi normal. Namun dalam kenyataannya, karakteristik kualitas proses produksi tidak selalu berdistribusi normal. Oleh karena itu, perlu dikembangkan alternatif grafik pengendali dengan metode non-parametrik karena metode non-parametrik tidak membutuhkan asumsi distribusi normal (Najib, 2007). Metode statistika non-parametrik dapat digunakan untuk pengujian hipotesis atau dugaan. Salah satu dugaan menggunakan metode statistika non-parametrik adalah estimasi fungsi densitas kernel (kernel density estimation). Dalam skripsi Taungke (2011) dikembangkan grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel, selanjutnya dalam skripsi ini dikembangkan grafik pengendali berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel untuk data bivariat. Skripsi ini terdiri dari dua makalah yaitu (Pattihahuan et al., 2012a) dan (Pattihahuan et al., 2012b).

Dalam makalah (Pattihahuan et al., 2012a) yang pertama digunakan data karakteristik pH dan berat jenis Sabun Sirih.Analisis yang dilakukan yaitu membangun grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel bivariat. Pada data bivariat dapat dicari batas spesifikasi yaitu pada level (nilai estimasi densitas kernel) berdasarkan pemilihan nilai bandwidth optimal yang bergantung pada data dengan menggunakan metode MISE (Mean Integrated Square Error) terkecil. Selanjutnya berdasarkan data bivariat kemudian dibangun grafik pengndali untuk mengetahui titik-titik sampel yang berada di luar batas pengendali (out of control). Berdasarkan hasil penelitian diperoleh atau titik sampel yang berada di luar batas pengendali (out of control).

(12)

(13)

TAMBAHAN PEMBAHASAN

Dalam makalah (Pattihahuan et al., 2012a) digunakan data karakteristik pH dan berat jenis Sabun Sirih. Analisis yang dilakukan yaitu membangun grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel bivariat. Pada data bivariat dapat dicari batas spesifikasi yaitu pada level (nilai estimasi densitas kernel) berdasarkan pemilihan nilai bandwidth optimal yang bergantung pada data dengan menggunakan metode MISE (Mean Integrated Square Error) terkecil. Selanjutnya berdasarkan data bivariat kemudian dibangun grafik pengndali untuk mengetahui titik-titik sampel yang berada di luar batas pengendali (out of control). Berdasarkan hasil penelitian diperoleh batas spesifikasi yaitu pada level (nilai estimasi densitas kernel) 59.8985 dengan tingkat signifikansi (level of significance) α=0.0027. Dimana, jika level titik sampel lebih kecil dari level batas spesifikasi kernel maka titik sampel tersebut dinyatakan out of control. Berdasarkan batas tersebut, terdeteksi satu titik sampel yang berada di luar kendali (out of control) yaitu titik sampel ke-126 yang berada pada koordinat (3.86, 0.9867) dengan level 59.8982, karena level titik sampel ke-126 lebih kecil dari level kernel maka titik sampel ke-126 dinyatakan out of control.

Makalah yang kedua (Pattihahuan et al., 2012b) membahas tentang studi simulasi grafik pengendali berdasarkan pendekatan fungsi densitas kernel bivariat. Data yang digunakan adalah dua

titik sampel bivariat yang dipilih secara sembarang yaitu x1 

 

1,2 , x2 

 

3,4 dengan

menggunakan matriks bandwidth identitas















1

0

1

H

dan data simulasi bivariat yang dibangkitkan

dari kombinasi dua distribusi normal bivariat dengan ukuran ampel ( sample size) tertentu. Berdasarkan data tersebut dapat ditentukan estimasi densitas kernelnya (kernel density estimation) selanjutnya digunakan untuk membuat grafik pengendali dalam menentukan titik sampel yang out of control. Dalam makalah ini menekankan pada proporsi titik sampel out of control cenderung mendekati nilai batas kesalahan (level of significance)



0,0027. Berdasarkan hasil penelitian diperoleh level (nilai estimasi densitas kernel) adalah 0.0017 dengan tingkat signifikansi α=0.0027. Dengan menggunakan batas spesifikasi tersebut diperoleh 2 titik sampel yang berada di luar kontur yaitu titik sampel ke-159 yang berada pada koordinat (12.2509, 23.6602) dengan level (nilai estimasi densita kernel) adalah 0.0014 dan titik sampel ke-224 yang berada pada koordinat (7.0671, 26.3783) dengan level adalah 0.0017.

Untuk perbandingan lebih jelas dari studi simulasi dengan sampel yang berbeda- beda ditunjukkan dalam Tabel 1. Grafik pengendali bivariat yang dibuat berdasarkan data acak berdistribusi normal dengan banyaknya sampel yang berbeda-beda yaitu n=500, n=1000, n=1500 dan n=2000 diperoleh proporsi banyaknya titik sampel out of control cenderung mendekati nilai

0027 , 0 



. Titik sampel yang berada di luar batas pengendali (out of control) memberikan arti

(14)

(15)

PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT

Selfie Pattihahuan, Adi Setiawan, Leopoldus Ricky Sasongko Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-62 Salatiga 50711, email: pattihahuanseli@yahoo.com

Abstrak

Pengendalian kualitas memiliki peranan penting dalam meningkatkan penjualan produk. Salah satu metode statistik yang digunakan dalam mengendalikan produk adalah penggunaan grafik pengendali. Kualitas suatu produk biasanya ditentukan oleh lebih dari satu karakteristik. Jika dipunyai dua karakteristik (bivariat) maka dapat dibuat grafik pengendali dengan menggunakan estimasi fungsi densitas kernel. Dimana dari data bivariat dapat dicari nilai estimasi densitas kernel bivariat (kernel density estimation) berdasarkan pemilihan nilai bandwidth optimal yang bergantung pada data dengan menggunakan metode MISE (Mean Integrated Square Error) terkecil. Penelitian ini akan menggunakan data bivariat karakteristik pH dan berat jenis Sabun Sirih dari perusahaan “B” selama bulan September sampai dengan Desember 2010. Pada grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel bivariat diperoleh batas spesifikasi yaitu pada level (nilai estimasi densitas kernel) 59.8985 dengan tingkat signifikansi (level of

significance) α=0.0027. Berdasarkan batas tersebut, terdeteksi satu titik sampel yang

berada di luar kendali (out of control) yaitu titik sampel ke-126 yang berada pada koordinat (3.86, 0.9867) dengan level 59.8982.

Kata kunci : estimasi densitas kernel (kernel density estimation), grafik pengendali.

1. Pendahuluan

Perkembangan industri di tanah air, menyebabkan terjadinya persaingan yang cukup ketat antar perusahaan dalam menarik perhatian konsumen untuk menggunakan produk yang dihasilkan oleh perusahaan tersebut. Salah satu faktor yang mempengaruhi keputusan konsumen dalam memilih suatu produk adalah kualitas produk tersebut. Mengingat pentingnya peranan kualitas produk dalam setiap perusahaan maka pengendalian kualitas produk sangat dibutuhkan dalam suatu proses produksi untuk menjaga kestabilan kualitas.

Pengendalian kualitas adalah aktivitas keteknikan dan manajemen, dimana aktivitas tersebut mengukur ciri-ciri kualitas produk, membandingkannya dengan spesifikasi atau persyaratan, dan mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila ada perbedaan antara penampilan yang sebenarnya dan yang standar (Montgomery, 1990).

Dalam pengendalian kualitas sering digunakan pengendalian proses statistik. Salah satu teknik pengendalian proses statistik adalah grafik pengendali (control chart_{). Pembuatan grafik pengendali}

(16)

Metode statistika non-parametrik dapat digunakan untuk pengujian hipotesis atau dugaan. Salah satu dugaan menggunakan metode statistika non-parametrik adalah estimasi fungsi densitas kernel (kernel density estimation) yang akan diterapkan pada kandungan Sabun Sirih “A” pada

perusahaan “B”. Data dalam penelitian ini terdiri dari dua jenis variabel yaitu kadar pH dan berat jenis Sabun Sirih, selanjutnya akan dicari estimasi fungsi densitas kernel dari kedua variabel tersebut kemudian dibuat dalam suatu grafik pengendali.

Dalam makalah ini akan dibahas tentang bagaimana menerapkan grafik pengendali non-parametrik berdasarkan pendekatan fungsi densitas kernel untuk data bivariat. Tujuan dari penelitian ini adalah menerapkan grafik pengendali non-parametrik berdasarkan pendekatan kernel untuk data bivariat dan mengidentifikasi titik sampel yang berada di luar grafik pengendali.

2. Dasar Teori

2.1 Grafik Pengendali

Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menaksir parameter suatu proses produksi menentukan kemampuan dan memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu (Montgomery, 1990).

Berdasarkan banyaknya karakteristik kualitas yang diukur, grafik pengendali dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali bivariat atau multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik kualitas yang diukur, sedangkan grafik pengendali bivariat atau multivariat digunakan jika diperlukan pengendalian dua atau lebih karakteristik kualitas yang berhubungan secara bersama-sama.

Dalam pembuatan grafik pengendali bivariat dapat menggunakan metode Hotteling T2 yaitu grafik pengendali bivariat berbentuk elips, untuk lebih lengkapnya dapat dilihat pada Darmawan (2010).

2.2 Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat

(17)

         2 2 12 12 2 1 h h h h

H adalah matriks bandwidth yang simetris positif definit (definite posititive) artinya

semua eigen valuenya positif dengan 2

 

₁

1 var Xi

h  , 2



₂



2 var Xi

h  dan h₁₂ cov



X_i₁,X_i₂



.

Dalam hal ini

   

_

        x x x K T 2 1 exp

2 1 adalah kernel normal standard bivariat.

Hal yang menjadi faktor penting dalam estimasi fungsi densitas kernel adalah memilih nilai

H optimal untuk matriks bandwidth. Pemilihan nilai Hoptimal untuk matriks bandwidth dapat dilakukan dengan menggunakan metode Mean Integrated Squared Error (MISE)yang dijelaskan pada Chacon (2009) dan Tarn Duong (2003).

3. Metode Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder pada proses produksi Sabun Sirih pada bulan September 2010 sampai dengan Desember 2010 sebanyak 200 titik sampel. Adapun

karakteristik kualitas produk Sabun Sirih “A” yang digunakan dalam penelitian ini antara lain kadar

pH dengan batas spesifikasi perusahaan adalah 3.5 – 3.9 dan berat jenis dengan batas spesifikasi perusahaan adalah 0.9834 – 1.0227.

Langkah langkah dalam analisis data dijabarkan sebagai berikut :

 Mencari nilai H bandwidth optimal dari data karakteristik produk sabun sirih “A” dengan menggunakan packagesks pada software R-2.12.2.

 Menghitung estimasi fungsi densitas kernel dari data karakteristik produk sabun sirih “A”

berdasarkan nilai Hbandwidth optimal.

 Membuat grafik pengendali untuk data bivariat berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel.  Menentukan banyaknya titik sampel yang berada di luar kendali (out of contol).

4. Analisis dan Pembahasan

4.1 Grafik Pengendali Bivariat Berdasarkan Spesifikasi Perusahaan

(18)

3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 0. 98 0. 99 1. 00 1. 01 1. 02 1. 03 pH Be ra t Je ni s

Gambar 1. Grafik pengendali bivariat produk Sabun Sirih dengan batas spesifikasi

perusahaan

4.2 Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat Untuk Data Sabun Sirih

Untuk menentukan nilai estimasi fungsi densitas kernel bivariat yang optimal maka kita perlu menentukan terlebih dahulu nilaiHoptimal untuk matriks bandwidth yang positif definit pada data Sabun Sirih dengan menggunakan metode Mean Integrated Squared Error (MISE). Dengan bantuan packages ks pada software R-2.12.2 diperoleh matriks bandwidth optimal pada data Sabun Sirih yaitu

.

dengan eigen value



₁ 7.1429104,



₂ 2.4710107 sehingga bandwidth H positif definit. Informasi lebih lanjut tentang penentuan H bandwidth dapat dilihat pada WEB 2. Selanjutnya,

(19)

Ph

Berat Jenis

De_nsi ty fun ctio_n

Gambar 2. Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 125 EL

25bandwidth optimal

Gambar 2 menyatakan grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih yang dilihat dari sudut rotasi horizontal (AZ) 125 derajat dan sudut elevasi vertikal (EL) 25 derajat.

Gambar 3. Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 250 EL

(20)

Gambar 3 menyatakan grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih yang dilihat dari sudut rotasi horisontal (azimuth) 250 derajat dan sudut elevasi vertikal (EL) 25 derajat.

Dari data Sabun Sirih di atas dapat dibuat grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data bivariat yang ditunjukkan pada Gambar 4. Gambar 4 memperlihatkan perbandingan antara grafik pengendali berdasarkan batas spesifikasi perusahaan dan batas spesifikasi yang diperoleh berdasarkan estimasi densitas kernel.

Pada Gambar 4 kontur merah menunjukan batas spesifikasi yaitu pada level (nilai estimasi densitas kernel)

59.8985

dengan tingkat signifikansi α=0.0027 sehingga setiap titik sampel yang berada di dalam kontur merah dianggap terkendali. Sebagai contoh, akan dihitung level untuk titik sampel ke-1.

Data karakteristik produk untuk titik sampel ke-1 dinyatakan dalam x 



3.87 1.0009



. Dengan

menggunakan persamaan di bawah ini, dihitung nilai







         



n i X x H X x i T i

e

H

n

H

x

f

1 2 1 1

2

1

;







    325 . 367 10 5299 . 2 10 0105 .. 2 10 0501 . 2 10 1429 . 7 2 1 200 1 ; 0009 . 1 10 5299 . 2 10 0501 . 2 10 0501 . 2 10 1429 . 7 87 . 3 2 1 200 1 7 6 6 4 1 1 7 6 6 4                                    



i T i X X i e H x f 

(21)

3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0

0.9

8

0.9

9

1.0

0

1.0

1

1.0

2

1.0

3

pH

Be

rat

Je

nis

Gambar 4. Grafik pengendali bivariat Sabun Sirih berdasarkan batas perusahaan dan estimasi

densitas kernel

5. Kesimpulan

Melalui pembahasan di atas dapat disimpulakan bahwa dari data bivariat dapat dibuat grafik pengendali dengan menggunakan estimasi fungsi densitas kernel. Selanjutnya berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel dapat ditentukan batas spesifikasi dan diidentifikasi titik-titik yang out of control.

6. Daftar Pustaka

Chacón, J.E. and Duong, T. 2009. Multivariate plug-in bandwidth selection

with unconstrained pilot bandwidth matrices. Diunduh pada Minggu, 2 Januari 2012.

www.mvstat.net/tduong/research/.../chacon-duong-2010-test.pdf

Darmawan. 2010. Pengendalian Kualitas Frestea Green Menggunakan Grafik Pengendali Hotelling T2 Univariat Dan Multivariat. Salatiga: Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.

Montgomery, Douglas C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.

Najib, Mohammad. 2007. Diagram Kontrol Statistik Non Parametrik Sum Of Ranks Untuk Target Pada Data Non-Normal. Diunduh pada Minggu, 1 Januari 2012.

(22)

Tarn Duong and Martin L. Hazelton. 2003.Plug-In Bandwith Matrices For Bivariate Kernel Density Estomation, hal. 17 - 20. Diunduh pada Minggu, 3 Januari 2012.

http://www.mvstat.net/tduong/research/

[WEB 1] Kernel Density Estimation. Diunduh pada Sabtu, 20 Agustus 2011.

http://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_density_estimation

[WEB 2] Multivariate Kernel Density Estimation. Diunduh pada sabtu, 20 Agustus 2011.

(23)

2.1 Grafik Pengendali

Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menaksir parameter suatu proses produksi menentukan kemampuan dan memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu (Montgomery, 1990).

Berdasarkan banyaknya karakteristik kualitas yang diukur, grafik pengendali dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali bivariat atau multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik kualitas yang diukur, sedangkan grafik pengendali bivariat atau multivariat digunakan jika diperlukan pengendalian dua atau lebih karakteristik kualitas yang berhubungan secara bersama-sama.

2.2 Estimasi Fungsi Densitas Bivariat

Estimasi fungsi densitas merupakan salah satu bagian dalam analisis data statistik, dimana estimasi fungsi densitas adalah suatu gambaran tentang sebuah sebaran data. Dalam statistik, estimasi fungsi densitas kernel merupakan salah satu metode non-parametrik untuk menduga fungsi kepadatan probabilitas dari suatu variabel acak (WEB1). Misalkan suatu sampel bivariat

X

₁

,

X

₂

,...,

X

_n yang

diambil dari suatu populasi dengan fungsi densitas f, makaestimasi fungsi densitas kernelnya adalah











  _  n i i H x X

K n H x f 1 1 ; ˆ

dengan X1, X2, . . . ,Xn adalah sampel dari n data H adalah matrix bandwidth ,





T

x x

x 1, 2 dan





T

i i

i

X



₁

,

₂ untuk i = 1, 2,. . . ., n. Dalam hal ini K_H

 

x  H 12K



H12x



dan

         2 2 12 12 2 1 h h h h

H adalah matriks bandwidth yang simetris positif definit (definite positive) dengan

 

1 2

1 var Xi

h  , h₂2 var

 

X_i₂ dan h₁₂ cov



X_i₁,X_i₂



. Dalam hal ini

   

        x x x K T 2 1 exp

2



1 adalah kernel normal standard bivariat.

Hal yang menjadi faktor penting dalam estimasi fungsi densitas kernel adalah memilih nilai Hoptimal untuk matriks bandwidth. Pemilihan nilai H optimal untuk matriks bandwidth dapat dilakukan dengan menggunakan metode Mean Integrated Squared Error (MISE) yang dijelaskan pada Tarn Duong dan Martin L. Hazelton (2003).

1. Metode Penelitian

(24)

 Membuat grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk dua titik sampel  Membangkitkan data simulasi bivariat dari distribusi normal bivariat N dengan rumus





























































,

20

8

1

,

25

4

N

p

N

p

dengan bobot 0<p<1 dan matrik kovarians

















1

5

.

0

5

.

0

1

. Jika digunakan ukuran sampel

(sample size) n=500 dengan p=0.5. Mencari nilai H bandwidth optimal dari data simulasi dengan menggunakan packages ks pada software R-2.15.2. Menghitung estimasi fungsi densitas kernel dari data simulasi berdasarkan nilai H bandwidth optimal. Membuat grafik pengendali untuk data simulasi bivariat berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel. Menentukan banyaknya titik sampel yang out of control.

 Menentukan banyaknya titik yang out of control untuk n=500, n=1000, n=1500 dan p=0.5.  Melakukan pengulangan dengan p yang berbeda-beda yaitu p=0.1, p=0.8.

2. Analisis dan Pembahasan

4.1 Estimasi Kernel Densitas Bivariat dari Dua Titik

Jika dipunyai dua titik sembarang x₁ 

 

1,2 dan x₂ 

 

3,4 dan dengan menggunakan

matriks bandwidth identitas















1

0

1

H

maka estimasi densitas kernel dapat digambarkan dengan

(25)

Gambar 2. Grafik Estimasi Densitas Bivariat 2 titik AZ 60 EL 125

Berdasarkan estimasi densitas kernel dapat dibuat grafik pengendali bivariat untuk 2 titik yang ditunjukan pada Gambar 3. Kurva garis putus-putus menunjukkan batas grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel.

Gambar 3. Grafik Pengendali Berdasarkan Estimasi Densitas Bivariat 2 Titik

4.2 Estimasi Fungsi Densitas Bivariat Untuk Data Simulasi

Untuk memberikan gambaran, pada simulasi ini, dibangkitkan data acak bivariat dari

distribusi normal





























































,

20

8

1

,

25

4

N

p

N

p

dengan bobot 0<p<1 dan matrik kovarians

















1

5

.

0

5

.

0

1

. Pemilihan rata-rata distribusi bivariat

normal yaitu (4,25)T dan (8,20)T dan matriks kovariansi ∑ hanya untuk memberikan gambaran

simulasi. Jika digunakan ukuran sampel (sample size) n=500 dengan p=0.5 dan dengan bantuan

packages ks pada software R-2.15.2 diperoleh matriks bandwidth optimal adalah

(26)

dengan eigen value



₁



0

.

3233

,



₂



0

.

2433

.

Selanjutnya, berdasarkan data hasil simulasi tersebut dapat ditentukan estimasi densitas kernel dengan menggunakan persamaan (1). Nilai estimasi fungsi densitas kernel untuk data simulasi yang dibangkitkan dapat ditunjukan pada Gambar 4. Terlihat kurang lebih separuh titik membentuk bukit pertama sedangkan separuh titik yang lain membentuk bukit kedua. Hal ini sesuai dengan yang diharapkan karena menggunakan bobot p=0.5.

Gambar 4. Grafik estimasi densitas kernel bivariat untuk data simulasi

Dengan p=0.5 untuk n= 500

Berdasarkan estimasi densitas kernel bivariat pada Gambar 4, dapat dibuat grafik pengendali yang ditunjukkan pada Gambar 5. Kontur merah menunjukan batas spesifikasi dengan tingkat

(27)

untuk data simulasi dengan p=0.5 untuk n= 500

Untuk perbandingan lebih jelas dari studi simulasi dengan sampel yang berbeda- beda ditunjukkan dalam Tabel 1. Grafik pengendali bivariat yang dibuat berdasarkan data acak berdistribusi normal dengan banyaknya sampel yang berbeda-beda yaitu n=500, n=1000, n=1500 dan n=2000 diperoleh proporsi banyaknya titik sampel out of control cenderung mendekati nilai

0027 , 0 



. Untuk grafik pengendali bivariat dengan banyak sampel (sample size) n=1000 dan

n=1500 ditunjukkan pada Lampiran 1. Titik sampel yang berada di luar batas pengendali (out of control) memberikan arti bahwa terjadi suatu kesalahan (cacat) yang mungkin diakibatkan kesalahan dalam proses produksi. Hasil yang analog bisa diperoleh untuk penganbilan bobot p yang lain sebagai contoh p=0.1, p=0.8.

Tabel 1. Tabel hasil simulasi untuk berbagai macam n

n Level

Banyaknya titik sampel yang out of

control

Proporsi out of control

500 0.0017 2 500 0.004

2 

1000 0.0010 3 1000 0.003

3 _

1500 0.0007 5 1500 0.0033

5 _

4. Kesimpulan

Dalam makalah ini dijelaskan proses pembentukan grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel untuk dua titik sampel dan untuk banyaknya sampel dengan n yang berbeda-beda sehingga dapat digunakan untuk mengidentifikasi titik-titik sampel yang out of control.

5. Daftar Pustaka

(28)

25

30

Pattihahuan, Selfie., Setiawan, A., & Sasongko, L, Ricky. Sasongko. 2012. Penerapan Grafik Pengendali Berdasarkan Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat. Seminar Nasional Pendidikan Matematika (LSM) XX UNY tanggal 24 Maret 2012.

http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_kernel_density_estimation

Lampiran 1 : Grafik Pengendali Bivariat Untuk

n

=1000,

n

=1500 dengan

p

=0.5

Gambar 6. Grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data

(29)

KESIMPULAN

Berdasarkan kedua makalah (Pattihahuan et al., 2012a) dan (Pattihahuan et al., 2012b) dapat disimpulkan :

1. Dari data bivariat dapat dibuat grafik pengendali bivariat dengan menggunakan estimasi fungsi densitas kernel bivariat. Selanjutnya berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel bivariat dapat ditentukan batas spesifikasi dan diidentifikasi titik-titik yang out of control. 2. Berdasarkan hasil penelitian diperoleh 2 titik sampel yang berada di luar kontrol yaitu titik

sampel ke-159 yang berada pada koordinat (12.2509, 23.6602) dengan level (nilai estimasi densita kernel) adalah 0.0014 dan titik sampel ke-224 yang berada pada koordinat (7.0671, 26.3783) dengan level adalah 0.0017.

(30)

DAFTAR PUSTAKA

Darmawan. 2010. Pengendalian Kualitas Frestea Green Menggunakan Grafik Pengendali Hotelling T2 Univariat Dan Multivariat. Salatiga: Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.

http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-8035-1303100018-Bab1.pdf

Pattihahuan, Selfie., Setiawan, A., & Sasongko, L, Ricky. Sasongko. 2012a. Penerapan Grafik Pengendali Berdasarkan Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat. Seminar Nasional Pendidikan Matematika (LSM) XX UNY tanggal 24 Maret 2012.

Pattihahuan, Selfie. Setiawan, A. & Sasongko, L Ricky.. 2012b. Studi Simulai Grafik Pengendali Berdasarkan Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat. Seminar Nasional Pendidikan Matematika (LSM) XXI UNY tanggal 2 Juni 2012.

(31)

Lampiran 1: Data Sabun Sirih Periode September 2010-Desember 2010

Sampel

ke pH

Berat Jenis

Sampel

ke pH

Berat Jenis

Sampel

ke pH

Berat Jenis

1 3.87 1.0009 39 3.71 1.0049 77 3.83 1.0025

2 3.81 1.0029 40 3.73 1.0025 78 3.82 1.0027

3 3.77 1.0024 41 3.7 1.0035 79 3.81 1.003

4 3.79 1.0021 42 3.72 1.0037 80 3.65 1.0039

5 3.78 1.0024 43 3.82 1.0019 81 3.8 1.0033

6 3.73 1.0029 44 3.84 1.001 82 3.81 1.0025

7 3.77 1.0025 45 3.85 0.9985 83 3.75 1.0042

8 3.81 1.0027 46 3.86 1.0005 84 3.84 1.0037

9 3.9 1.0027 47 3.88 1.0067 85 3.71 1.0018

10 3.85 1.001 48 3.84 1.0038 86 3.69 1.0039

11 3.85 1.0011 49 3.9 1.0016 87 3.68 1.0033

12 3.67 1.002 50 3.85 1.0027 88 3.71 0.9985

13 3.82 1.0029 51 3.8 1.0029 89 3.79 1.0016

14 3.73 1.0016 52 3.81 1.0032 90 3.81 1.0024

15 3.69 1.0021 53 3.79 1.0032 91 3.74 1.0025

16 3.77 1.0017 54 3.8 1.0031 92 3.75 1.0025

17 3.84 1.0005 55 3.81 1.0031 93 3.7 1.003

18 3.82 1.0005 56 3.85 1.003 94 3.72 1.0028

19 3.81 1.0023 57 3.8 1.0035 95 3.78 1.0035

20 3.84 0.9993 58 3.79 1.0037 96 3.77 1.0026

21 3.86 1.0017 59 3.73 1.0013 97 3.69 1.0014

22 3.8 1.0034 60 3.8 1.0027 98 3.67 1.0027

23 3.85 1.0016 61 3.82 1.0021 99 3.73 1.0021

24 3.82 1.0024 62 3.83 1.0032 100 3.81 1.0027

25 3.78 1.0022 63 3.84 1.003 101 3.66 1.0076

26 3.87 1.0036 64 3.83 1.0024 102 3.65 1.008

27 3.85 1.0038 65 3.83 1.0028 103 3.7 1.0036

28 3.89 1.0021 66 3.84 1.0026 104 3.76 1.0042

29 3.87 1.0017 67 3.82 1.0034 105 3.67 1.0029

30 3.76 1.0036 68 3.83 1.0025 106 3.67 1.0029

31 3.7 1.0041 69 3.84 1.0022 107 3.67 1.004

32 3.7 1.0038 70 3.89 1.0023 108 3.69 1.0031

33 3.68 1.0032 71 3.9 1.0095 109 3.62 1.0028

34 3.7 1.0028 72 3.83 1.0013 110 3.68 1.0025

35 3.76 1.0024 73 3.9 1.0026 111 3.67 1.003

36 3.75 1.0031 74 3.76 1.0021 112 3.81 1.0026

37 3.66 1.0042 75 3.74 1.0032 113 3.72 1.0024

(32)

Lampiran 1 (Lanjutan)

Sampel

ke pH

Berat Jenis

Sampel

ke pH

Berat Jenis

Sampel

ke pH

Berat Jenis

115 3.74 1.0031 153 3.87 1.0028 191 3.81 1.0034

116 3.79 1.0031 154 3.81 1.0007 192 3.8 1.0036

117 3.79 1.0035 155 3.83 1.0024 193 3.87 1.0029

118 3.78 1.0024 156 3.9 1.0016 194 3.8 1.0028

119 3.86 1.0031 157 3.71 1.002 195 3.82 1.005

120 3.8 1.0025 158 3.66 1.0032 196 3.63 1.0018

121 3.9 1.0051 159 3.79 1.0037 197 3.78 1.002

122 3.73 1.0029 160 3.73 1.0051 198 3.75 1.0025

123 3.77 1.0027 161 3.9 1.0032 199 3.64 1.0125

124 3.78 1.0029 162 3.65 1.0028 200 3.81 1.0024

125 3.78 1.002 163 3.77 1.0038

126 3.86 0.9867 164 3.78 1.0026

127 3.79 1.0031 165 3.63 1.0025

128 3.72 1.0026 166 3.86 1.0023

129 3.67 0.9976 167 3.69 1.0026

130 3.77 1.004 168 3.63 1.0032

131 3.74 1.0045 169 3.7 1.0026

132 3.76 1.003 170 3.73 1.0006

133 3.9 1.0047 171 3.7 1.0002

134 3.66 1.0033 172 3.67 1.0035

135 3.79 1.003 173 3.73 1.0028

136 3.82 1.0028 174 3.63 1.0021

137 3.72 1.0032 175 3.69 1.0025

138 3.75 1.0024 176 3.61 1.0023

139 3.77 1.0121 177 3.78 1.0032

140 3.85 1.0002 178 3.8 1.0018

141 3.62 1.0031 179 3.8 1.0012

142 3.77 1.0038 180 3.83 1.0029

143 3.76 1.0036 181 3.78 1.0021

144 3.79 1.0032 182 3.65 1.0013

145 3.81 1.0035 183 3.74 1.0024

146 3.84 1.0082 184 3.6 1.0021

147 3.84 1.0026 185 3.8 1.0022

148 3.77 1.0032 186 3.78 1.0032

149 3.86 1.0022 187 3.75 1.0036

150 3.82 1.0034 188 3.85 1.0029

(33)

Lampiran 2 : Program R untuk grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data bivariat

#Packages ks (dapat diunduh di cran.r.project.org) yang diinstal terlebih dahulu di R.2.15.0 #Input data  Data berat jenis (Xt) dan pH(Yt)

>Xt<-c(

3.8700,3.8100,3.7700,3.7900,3.7800,3.7300,3.7700,3.8100,3.9000,3.8500,3.8500,3.6700,3.8200,3.73 00,3.6900,

3.7700,3.8400,3.8200,3.8100,3.8400,

3.8600,3.8000,3.8500,3.8200,3.7800,3.8700,3.8500,3.8900,3.8700,

3.7600,3.7000,3.7000,3.6800,3.7000,3.7600,3.7500,3.6600,3.6400,3.7100,3.7300,3.7000,3.7200,3.82 00,3.8400,

3.8500,3.8600,3.8800,3.8400,3.9000,

3.8500,3.8000,3.8100,3.7900,3.8000,3.8100,3.8500,3.8000,3.7900,3.7300,3.8000,

3.8200,3.8300,3.8400,3.8300,3.8300,3.8400,3.8200,3.8300,3.8400,3.8900,3.9000,3.8300,3.9000,3.76 00,3.7400,

3.8700,3.8300,3.8200,3.8100,

3.6500,3.8000,3.8100,3.7500,3.8400,3.7100,3.6900,3.6800,3.7100,3.7900,3.8100,3.7400,3.7500,3.70 00,3.7200,

3.7800,3.7700,3.6900,3.6700,3.7300,3.8100,

3.6600,3.6500,3.7000,3.7600,3.6700,3.6700,3.6700,3.6900,3.6200,3.6800,3.6700,3.8100,3.7200,3.71 00,3.7400,

3.7900,3.7900,3.7800,3.8600,3.8000,

3.9000,3.7300,3.7700,3.7800,3.7800,3.8600,3.7900,3.7200,3.6700,3.7700,3.7400,3.7600,3.9000,3.66 00,3.7900,

3.8200,3.7200,3.7500,3.7700,3.8500,

3.6200,3.7700,3.7600,3.7900,3.8100,3.8400,3.8400,3.7700,3.8600,3.8200,3.8700,3.8400,3.8700,3.81 00,3.8300,

3.9000,3.7100,

3.6600,3.7900,3.7300,3.9000,3.6500,3.7700,3.7800,3.6300,3.8600,3.6900,3.6300,3.7000,3.7300,3.70 00,3.6700,

3.7300,3.6300,3.6900,3.6100, 3.7800,3.8000,3.8000,3.8300,

3.7800,3.6500,3.7400,3.600,3.8000,3.7800,3.7500,3.8500,3.7700,3.7900,3.8100,3.8000,3.8700,3.800 0,3.8200,

(34)

1.0009,1.0029,1.0024,1.0021,1.0024,1.0029,1.0025,1.0027,1.0027,1.0010,1.0011,1.0020,1.0029,1.00 16,1.0021,

1.0017,1.0005,1.0005,1.0023,0.9993,

1.0017,1.0034,1.0016,1.0024,1.0022,1.0036,1.0038,1.0021,1.0017,

1.0036,1.0041,1.0038,1.0032,1.0028,1.0024,1.0031,1.0042,1.0037,1.0049,1.0025,1.0035,1.0037,1.00 19,1.0010,

0.9985,1.0005,1.0067,1.0038,1.0016,

1.0027,1.0029,1.0032,1.0032,1.0031,1.0031,1.0030,1.0035,1.0037,1.0013,1.0027,

1.0021,1.0032,1.0030,1.0024,1.0028,1.0026,1.0034,1.0025,1.0022,1.0023,1.0095,1.0013,1.0026,1.00 21,1.0032,

1.0030,1.0025,1.0027,1.0030,

1.0039,1.0033,1.0025,1.0042,1.0037,1.0018,1.0039,1.0033,0.9985,1.0016,1.0024,1.0025,1.0025,1.00 30,1.0028,

1.0035,1.0026,1.0014,1.0027,1.0021,1.0027,

1.0076,1.0080,1.0036,1.0042,1.0029,1.0029,1.0040,1.0031,1.0028,1.0025,1.0030,1.0026,1.0024,1.00 32,1.0031,

1.0031,1.0035,1.0024,1.0031,1.0025,

1.0051,1.0029,1.0027,1.0029,1.0020,0.9867,1.0031,1.0026,0.9976,1.0040,1.0045,1.0030,1.0047,1.00 33,1.0030,

1.0028,1.0032,1.0024,1.0121,1.0002,

1.0031,1.0038,1.0036,1.0032,1.0035,1.0082,1.0026,1.0032,1.0022,1.0034,1.0037,1.0032,1.0028,1.00 07,1.0024,

1.0016,1.0020,

1.0032,1.0037,1.0051,1.0032,1.0028,1.0038,1.0026,1.0025,1.0023,1.0026,1.0032,1.0026,1.0006,1.00 02,1.0035,

1.0028,1.0021,1.0025,1.0023, 1.0032,1.0018,1.0012,1.0029,

(35)

#Grafik pengendali berdaarkan spesifikasi Perusahaan dan spesifikasi kernel #Panggil (load) packages ks

>library(ks)

>H<-Hpi(seli) #matriks H bandwidth optimal dari data bivariat >H

>eigen(H) # nilai eigen dari data bivariat >fhat <- kde(seli, H=H)

>lev <- contourLevels(fhat,prob=c(1-0.9973)) #level (nilai etimasi densitas kernel) >lev

>plot(fhat,display="filled.contour2",abs.cont=lev,xlab="pH",ylab="BeratJenis",ylim=c(0.98,1.03),xli m=c(3.4,4))

>points(seli,cex=0.5,pch=16)

>lines(u,rep(0.9834,length(u)),lty=2) >lines(u,rep(1.0227,length(u)),lty=2) >lines(rep(3.5,length(v)),v,lty=2) >lines(rep(3.9,length(v)),v,lty=2) >win.graph()

# Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 125 EL 25 bandwidth optimal

>plot(fhat,display="persp",border=NA,shade=0.3,main="",theta=125,phi = 25,xlab="Ph",ylab="Berat Jenis")

>win.graph()

# Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 250 EL 25 bandwidth optimal

>plot(fhat,display="persp",border=NA,shade=0.3,main="",theta=250,phi = 25,xlab="Ph",ylab="Berat Jenis")

> fhat.hitung <- function(x,H,data) {

bantu <- 0 n <- dim(data)[1] for (i in 1:n) {

bantu <- bantu + (1/n)*dmvnorm(x,mean=data[i,],sigma=H) }

(36)

hasil <- numeric(200)

>for (i in 1:200) hasil[i] <- fhat.hitung(seli[i,],H,seli) >sum(hasil<lev) #berapa banyak data diluar contol >which(hasil<lev) #data mana yang berada diluar control >lev # level (nilai estimasi densitas kernel)

>seli[126,] #koordinat data yang di luar control >hasil[126] #level data yang di luar control

(37)

Lampiran 3: Program Matlab untuk grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas bivariat 2 Titik

function KDE = KDE12(X,H,p,q)

[x,y] = meshgrid(min(X(1,:))-8:.05:max(X(1,:))+8, min(X(2,:))-8:.05:max(X(2,:))+8); n=length(X(:,1));

a=H(1,1); b=H(2,1); c=H(2,2);

rho=b/(sqrt(c)*sqrt(a)); %korelasi help = zeros(1);

for i = 1:n

Q1=(1/(1-rho^2))*((x-X(i,1)).^2/a); Q2=(1/(1-rho^2))*((y-X(i,2)).^2/c);

Q3=(2*rho)*(1/(1-rho^2))*((x-X(i,1)).*(y-X(i,2))/sqrt(a*c)); Q=Q1-Q3+Q2;

help = help + ((det (H))^-0.5)*(1/2/pi)*exp(-Q/2); end

Kernel=help/n; mesh(x,y,Kernel) %view(q, p) %figure(2)

%hold on

contour(x,y,Kernel,[0.02928474 0.02928474],'-.') xlabel('hasil 1')

ylabel('hasil 2') hold on

plot(X(:,1),X(:,2),'b*') hold off

% q sudut rotasi horisontal, p sudut elevasi vertikal)

% MESH(X,Y,Z,C) gambar parametrik berwarna mesh didefinisikan oleh 4 Matiks. % Sudut pandang secara spesifik dapat dilihat dengan view(az,el)

(38)

Lampiran 4 : Program R untuk grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data bivariat dengan sampel size n=500, n=1000, dan n=1500, p=0.5

#Panggil (load) package mvtnorm 1. Untuk data n = 500

sim <- function(n,p) {

hasil <- matrix(0,n,2)

x <- rmvnorm(n,c(4,25), sigma=matrix(c(1,0.5,0.5,1),2,2)) y <- rmvnorm(n,c(8,20), sigma=2*matrix(c(1,0.5,0.5,1),2,2)) for (i in 1:n)

{

r <- runif(1) if (r < p)

hasil[i,] <- x[i,] else

hasil[i,] <- y[i,] }

return(hasil) }

hasil <- sim(500,0.5) >win.graph()

>plot(hasil)

#Panggil (load) package ks >library(ks)

>H<-Hpi(hasil) >H

>eigen(H)

>fhat <- kde(hasil, H=H)

>lev <- contourLevels(fhat,prob=c(1-0.9973)) >win.graph()

>plot(fhat, display="filled.contour2",abs.cont=lev,xlab="Data 1",ylab="Data 2") >points(hasil,cex=0.5,pch=16)

>win.graph()

>plot(fhat, display="persp", border=NA, shade=0.3,xlab="Data 1",ylab="Data 2")

fhat.hitung <- function(x,H,data) {

(39)

2. Untuk n =1 000 sim <- function(n,p) {

{

return(hasil) }

hasil <- sim(1000,0.5) win.graph()

plot(hasil)

>H<-Hpi(hasil) >H

>eigen(H)

>win.graph()

return(bantu) }

>has<- numeric(1000)

>for (i in 1:1000) has[i] <- fhat.hitung(hasil[i,],H,hasil)

# Mengetahui data di luar control >sum(has<lev)

(40)

3. Untuk n = 1500 sim <- function(n,p) {

{

return(hasil) }

>hasil <- sim(1500,0.5) >win.graph()

>plot(hasil)

>H<-Hpi(hasil) >H

>eigen(H)

>win.graph()