MESIN OTTO KUANTUM BERBASIS PARTIKEL
MASSLESS-BOSON
TUNGGAL SEBAGAI
WORKING SUBTANCE
DALAM KOTAK 1 DIMENSI
MUHAMMADSYAWALUDDINAKBAR1), ENYLATIFAH2,*), HARIWISODO2)
Jurusan Fisika FMIPA Universitas Negeri Malang. Jl. Semarang 5 Malang,
1)E-mail: syawaluddin95@gmail.com 2)E-mail: eny.latifah.fmipa@um.ac.id 3)E-mail: hari.wisodo.fmipa@um.ac.id
ABSTRAK:Mesin panas merupakan suatu alat yang dapat mengkonversi panas menjadi kerja. Beberapa contoh mesin panas adalah mesin Carnot, Otto, Brayton dan Diesel. Pada penelitian ini mempelajari sistem mekanika kuantum yang mirip dengan proses pada sistem mesin panas yang dikenal sebagai mesin panas kuantum. Sistem kuantum yang dimaksud adalah sistem partikel yang terjebak dalam kotak potensial 1 dimensi dengan salah satu batas dinding potensial dapat bergerak bebas. Telah dilakukan eksplorasi mesin Otto kuantum sistem Massless-Bosontunggal dalam kotak potensial 1 Dimensi sebagai zat kerja. Eksplorasi mesin panas dilakukan dengan menyelesaikan persamaan Klein-Gordon. Metode yang digunakan adalah permodelan analogi yang termodifikasi dari penggunaan hukum pertama termodinamika, sehingga dapat mendeskripsikan setiap proses pada siklus mesin Otto untuk sistem kuantum. Hasil akhir penelitian berupa formulasi dari efisiensi mesin Otto untuk sistem kuantum berbasis Bosson tunggal tak bermassa yang terjebak dalam kotak 1 dimensi sebagai zat kerjanya. Terdapat kesesuaian hasil antara efisiensi mesin Otto kuantum relativistik dengan sistem kuantum non-relativistik dan klasiknya. Diperoleh konstanta Laplace untuk sistem kuantum non-relativistik bernilai 2.
Kata Kunci: Mesin Otto Kuantum , partikelMassless-Boson tunggal , kotak satu dimensi
.
PENDAHULUAN
Mesin panas secara prinsip merupakan suatu perangkat yang dapat mengubah energi panas menjadi usaha mekanik (kerja)[1,6]. Pernyataan hukum ke-dua termodinamika yang telah diungkapkan oleh Kelvin-Plank yaitu tidak mungkin membuat suatu perangkat yang dapat beroprasi mengubah seluruh kalor yang masuk ke sistem menjadi kerja dalam satu siklus (efisiensi 100%)[2]. Mesin panas umumnya memiliki nilai efisiensi di atas 50%[10]. Kehadiran teori kuantum diharapkan mampu menjadi solusi untuk meningkatkan tingkat efisiensi suatu mesin panas. Kinerja dari mesin panas tersebut dapat ditinjau dengan menggunakan prinsip mekanika kuantum yang selanjutnya disebut mesin panas kuantum [1,3,6,7,8,9].
Mesin panas kuantum yang dimaksud adalah sistem partikel yang terjebak dalam kotak 1 dimensi pada mekanika kuantum dengan salah satu batas dinding potensial dapat bergerak bebas. Sehingga sistem tersebut mirip dengan sistem piston pada termodinamika klasik. Dengan menggantikan kuantitas energi internal pada termodinamika klasik sebagai nilai harap Hamiltonian pada sistem mekanika kuantum. Volume sistem pada termodinamika klasik diperankan oleh lebar sistem kotak 1 dimensi. Tekanan pada sistem termodinamika klasik diperankan oleh gaya yang mendorong dinding sistem.
Mesin panas termodinamika klasik dan sistem kuantum memiliki prinsip konseptual yang berbeda. Sistem mekanika kuantum memiliki keadaan energi diskrit yang nilainya tergantung dari probabilitas tingkat keadaan sistem. termodinamika klasik memiliki energi yang keadaannya bernilai kontinyu (tidak ada tingkatan keadaan).
efisiensi untuk lebih dari 2 keadaan. Ini menunjukkan bahwa semakin tinggi jumlah keadaan yang terlibat maka semakin rendah tingkat efisiensi mesin [6], serta nilai efisiensi dari mesin panas bergantung dari rasio ekspansi adiabatiknya. Hasil penelitian sebelumnya yang mengkaji tentang mesin Carnot [1,6], Otto [7,9], Brayton [7], dan Diesel kuantum [7] didapatkan hasil mirip dengan sistem klasiknya. Berbeda dengan penelitian sebelumnya, yaitu menggunakan partikel non-relativistik sebagai zat kerja sistem, Munoz dan Pena menggunakan partikel relativistik sebagai zat kerja yang diterapkan pada mesin Carnot kuantum dan didapatkan hasil yang korelasi dengan sistem klasiknya [8]. Kajian tentang mesin panas kuantum dengan pendekatan relativistik merupakan penelitian yang jarang dilakukan sehingga perlu adanya penelitian lebih lanjut. Oleh karena itu dilakukan penelitian dengan menggunakan partikel relativistik seperti boson tak bermassa yang terkurung dalam kotak 1 Dimensi sebagai zat kerja. Penelitian ini diharapkan dapat mengembangkan hasil dari teori sebelumnya serta dapat menjadi pertimbangan pengembangan penelitian lebih lanjut.
METODE PENELITIAN
Berbeda dengan penelitian penelitian lain yang menerapkan metode eksperimen dengan cara pengambilan data sampel. Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan teoritik yang menggunakan metode analitik dengan cara membangun model fisis yang merepresentasikan secara matematik. Model fisis yang diimplementasikan adalah model analogi termodifikasi dengan mengambil suatu kasus pada sistem mekanika kuantum yang memiliki analogi terdekat dengan sistem termodinamika dan mengimplementasikan hukum pertama termodinamika bagi sistem kuantum tersebut, yang dimaksud untuk mendiskripsikan perubahan kuantitas fisis sepanjang proses berlangsung [7].
[image:2.595.126.480.469.614.2]Sistem mekanika kuantum yang memiliki analogi terdekat dengan silinder berpiston pada termodinamika adalah sistem partikel yang terjebak dalam kotak satu dimensi. Diambil kasus kotak satu dimensi dimana potensial sistem bernilai tak hingga (V = ) di x 0 dan x 0, dan bernilai nol (V = 0) di 0 < x < 0. Ilustrasi dari analogi sistem mekanika kuantum sebagai sistem piston lihat (gambar 1).
Gambar 3.1. Sistem Piston antara termodinamika klasik dan mekanika kuantum (a) Sistem Piston (b) Model Analogi Kotak 1 Dimensi.
1. Sistemmassless-Bosondalam kotak 1 potensial Dimensi
Persamaan gerak partikel massless-Boson tunggal yang terjebak dalam kotak potensial 1 dimensi dideskripsikan oleh persamaan Klein-Gordon tak bergantung waktu, yaitu
.
)
(
)
(
ˆ
2 2 2 2 2
x
x
c
x
H
ψ
ψ
(1) Persamaan (1) merupakan persamaan diverensial orde 2 yang memiliki solusi umum yaitu
dL
P
A
(a)
F
x L 0
dL (b))
. cos sin
)
(x A kxB kx
ψ (2)
Penerapan syarat batas bahwa probabilitas keadaan sistem bernilai nol untuk x = 0 dan x = L dan syarat normalisasi, didapatkan solusi dari fungsi gelombang yang mendiskripsikan msing masing tingkat keadaan sistem, yaitu
.
sin
2
)
(
L
x
n
L
x
π
ψ
(3)Fungsi gelombang pada persamaan (3) berkaitan dengan nilai eigen energinya, yaitu
.
L
c
n
E
n
π
(4)2. Proses Termodinamika Kuantum
Pendeskripsian kuantitas fisis antara sistem termodinamika klasik dan mekanika kuantum berbeda. kuantitas termodinamika klasik meninjau besaran makroskopik dan pada sistem mekanika kuantum meninjau besaran fisis secara mikroskopik. Tetapi dari perbedaan tersebut terdapat hubungan yang bisa dikaitkan satu sama lain, misalnya temperatur.
[image:3.595.174.426.502.738.2]Temperatur sistem berkaitan dengan energi internal pada sistem termodinamika klasik jika ditinjau secara mikroskopik merupakan manifestasi dari energi kinetik rata-rata partikel zat kerja. Sistem mekanika kuantum untuk nilai hamiltonian pada kasus partikel yang terjebak dalam kotak satu dimensi merupakan energi kinetik saja sehingga nilai harap Hamiltonian berperan sebagai energi internal sistem. tekanan pada sistem termodinamika klasik diperankan oleh gaya yang mendorong salah satu batas dinding potensial. Hubungan kuantitas fisis antara sistem termodinamika kalsik dengan mekanika kuantum dilihat (Tabel 1).
Tabel 3.1. Pendiskripsian Kuantitas dalam Sistem Kuantum yang Berkaitan dengan Kuantitas Sistem Termodinamika Klasik
No Kuantitas dalamTermodinamika Klasik
Kuantitas dalam Sistem Kuantum
1 Tekanan (P) Gaya (F )
2 Volume (V) Lebar Kotak (L)
3 Energi internal (U) Nilai Harap Hamiltonian
4 Kalor (Q) Perubahan ProbabilitasKeadaan
Hukum pertama termodinamika secara umum untuk sistem termodinamika klasik adalah
.
dU δQδW (5)
Penelitian sebelumnya belum membangun pendefinisian nilai gaya dengan baik karena belum ada implementasi hukum pertama termodinamika yang sudah termodifikasi untuk sistem mekanika kuantum [1,6]. Hukum pertama termodinamika untuk sistem mekanika kuantum adalah
N n n n N n nn
P
P
E
E
H
1 1d
d
d
(6)Kalor yang masuk ataupun keluar sistem mengakibatkan perubahan probabilitas tingkat keadaan sistem, sehingga besarnya aliran kalor pada sistem mekanika kuantum adalah
N n n nP
E
Q
1d
δ
(7)Besar kerja dari sistem yang mengekspansi dinding batas kotak 1 dimensi atau yang dikenakan pada sistem dari luar adalah
N n n nE
P
W
1d
δ
(8) Proses Adiabatik
Proses adiabatik pada sistem termodinamika klasik dicirikan dengan tidak adanya aliran kalor antara sistem dengan lingkungan, sehingga usaha yang dilakukan sistem untuk mengekspansi hanya berasal dari energi internal. Hukum pertama termodinamika untuk proses adiabatik adalah
.
d
d
U
W
F
L
δ
(9)Sistem mekanika kuantum untuk proses adiabatik dicirikan dengan tidak mengalami perubahan probabilitas tingkat keadaan sistem [7] sehingga hukum pertama termodinamika untuk proses adiabatik sistem mekanika kuantum adalah
.
d
d
1
N n n nE
P
H
(10)Gaya yang bekerja untuk menggerakkan dinding potensial tak hingga dengan
massless-Bosonsebagai zat kerja adalah
.
)
(
)
(
2 1L
c
n
L
P
L
F
N n n
π
(11)Kerja sepanjang proses adiabatik diperoleh dengan menintegralkan persamaan (11) terhadap partisi infinitesimal dari lebar awal (Li) hingga akhir (Lf), yaitu
1
( )d ( ) 1 .
Lf N
i
i f n i
n i f
Li
L c
W F L L P L n
L L π
(12) Proses Isokhorik/Isovolume
Proses isovolume pada termodinamika klasik tidak menghasilkan nilai kerja karena tidak mengalami perubahan volume. Proses isovolume pada sistem mekanika kuantum dicirikan dengan tidak adanya perubahan lebar sistem. Aliran kalor yang masuk maupun keluar sistem berpengaruh terhadap energi internal sistem. Jumlah probabilitas tingkat keadaan sistem meningkat seiring dengan masuknya kalor dari lingkungan, dan sebaliknya apabila kalor aliran keluar sistem maka jumlah probabilitas tingkat keadaan sistem akan menurun sehingga energi internal juga menurun. Besar aliran kalor antara sistem dengan lingkungan pada proses isokhorik untuk sistem mekanika kuantum adalah
.
i
f H
H
Q
F(L)
L A
B
C
D
LA=
LB
LC=
LD
QH
[image:5.595.224.378.67.195.2]QC
Gambar 3. Grafik F-L untuk siklus Otto kuantum
HASIL DAN PEMBAHASAN
Mesin panas yang dibahas pada penelitian ini adalah mesin Otto. mesin Otto merupakan siklus idealisasi dari mesin motor. Siklus Otto pertama kali ditemukan tahun 1876 oleh insinyur kebangsaan Jerman Nicolas Otto. Siklus Otto terbentuk dari dua proses Isokhorik dan dua proses adiabatik. Siklus Otto ditunjukkan pada Gambar 1. Deskripsi dari masing-masing proses dalam satu siklus Otto akan dibahas pada bagian Hasil dan Pembahasan ini.
1. Keadaan awal
Keadaan awal dari siklus Otto diawali dari kondisi D. Jumlah probabilitas tingkat keadaan sistem adalah 1 karena keadaan awal sistem 100% berada di keadaan dasar dengan n = 1. Fungsi gelombang yang mendeskripsikan keadaan awal sistem pada siklus Otto adalah
.
sin
2
)
(
D D
D
L
x
L
x
π
ψ
(16)Nilai Eigen energi yang berasosiasi dengan keadaan dasar n = 1 ketika proses berada pada keadaan awal (kondisi D) adalah
D
L c
E1 π (17)
Nilai harap Hamiltonian probabilitas tingkat keadaan sistem 100% di keadaan dasar yaitu
.
)
(
12
D D
N
n
D n
D
L
c
L
c
n
L
a
H
π
π
(18)
2. Kompresi Adiabatik
Proses adiabatik merupakan proses yang tidak terjadi aliran kalor antara sistem dengan lingkungan, sehingga perubahan energi internal sistem hanya saling berkaitan dengan usaha. Proses adiabatik kuantum tidak disertai perubahan jumlah probabilitas setiap tingkat keadaan sistem. kerja yang dikenakan pada sistem dari kondisi D ke A adalah
1 .
A D A
A D
L c W
L L
π
(19)
3. Proses Kompresi Isokhorik
yang dimiliki sistem. Aliran kalor menyebabkan perubahan jumlah probabilitas tingkat keadaan karena keadaan sistem mengalami perubahan. Fungsi gelombang yang mendiskripsikan keadaan sistem ketika proses siklusnya berada pada kondisi A adalah
.
sin
2
)
(
A A AL
x
L
x
π
ψ
(20)Oleh karena probabilitas tingkat keadaan eigen pada kondisi A adalah 100% berada di keadaan dasar, niali harap hamiltoniannya adalah
.
)
(
1 2 A A N n A n AL
c
L
c
n
L
a
H
π
π
(21)Aliran kalor yang masuk sistem menyebabkan perubahan keadaan sistem sedemikian rupa untuk probabilitas tingkat keadaan eigen sistem yang yang tingkatannya lebih dari tingkat keadaan dasar meningkat. Perubahan tingkat keadaan eigen mengalami batas maksimum ketika sistem mencapai kondisi B. probabilitas tingkat keadaan partikel berada di kondisi tertingginya, yaitu probabilitas tingkat keadaan sistem 100% berada di keadaan n = N . fungsi gelombang yang mendiskripsikan keadaan sistem ketika di kondisi B adalah
.
sin
2
)
(
B B BL
x
N
L
x
π
ψ
(22)Nilai Harap Hamiltonian sistem ketika proses siklus mencapai kondisi B adalah
. A B L c N
H π (23)
Besar aliran kalor yang diserap sistem untuk proses isokhorik diperoleh dengan menselisihkan antara energi internal (nilai harap Hamiltonian) pada kondisi B dan A, yaitu
1
.
A A B HL
c
N
H
H
Q
π
(24)4. Ekspansi Adiabatik
Proses B C merupakan proses ekspansi adiabatik. Proses adiabatik tidak mengalami perubahan jumlah tingkat keadaan sistem. Keadaan sistem pada proses B C memiliki probabilitas tingkat keadaan 100% berada di keadaan n = N. fungsi gelombang yang mendiskripsikan keadaan sistem ketika di kondisi C yaitu
2
sin
.
C C C
L
x
N
L
x
π
ψ
(25)Kerja pada proses B C merupakan perubahan nilai Harap Hamiltonian dari kondisi B ke kondisi C, yaitu
.
1
C B B C BL
L
L
c
N
W
π
(26)5. Isokhorik / Isovolume
.
CC
L
c
N
H
π
(27)Nilai harap Hamiltonian sistem pada kondisi D adalah
.
DD
L
c
H
π
(28)Kalor yang dilepas sistem ke lingkungan untuk proses isokhorik adalah selisih nilai harap Hamiltonian antara kondisi D dengan kondisi C, yaitu
1
N
.
L
c
H
H
Q
D C D
C
π
(29)
6. Efisiensi Mesin Otto
Efisiensi mesin Otto merupakan rasio antara kerja mesin Otto dalam satu siklus dengan kalor yang diserap siste pada proses isokhorik A B. kerja total dalam satu siklus Otto adalah
1
1
.
D A
A total
L
L
N
L
c
W
π
(30)Kalor yang diserap sistem dari lingkungan untuk siklus Otto ditunjukkan pada persamaan (24). Dengan membagi persamaan (30) dengan persamaan (24) diperoleh efisiensinya yaitu
1
atau
1-total A B
Otto
H D C
W
L
L
Q
L
L
η
(31)KESIMPULAN
Efisiensi merupakan rasio antara kerja yang dilakukan sistem dengan kalor yang mengalir dari lingkungan ke sistem dalam satu siklus.
Efisiensi mesin Otto berdasarkan perhitungan didapatkan
. -1 atau 1
C B
D A Otto
L L L
L
η (26)
Efisiensi mesin panas antara termodinamika klasik, mekanika kuantum non-relativistik, dan mekanika kuantum relativistik ditunjukkan oleh tabel 2.
Tabel 2. Efisiensi
mesin Otto
No Tinjauan kajian Efisiensi Mesin Panas Sistem Termodinamika Klasik
1 Termodinamika Klasik
1
1
γ
D A
V V
2 Mekanika Kuantum Non-relativistik
2
1
D A
L L
3 Mekanika Kuantum
Relativistik
D A
[image:7.595.149.446.542.760.2]Berdasarkan Tabel 2 menunjukkan adanya korespondensi efisiensi mesin Otto antara sistem termodinamika klasik, sistem kuantum non-relativistik dengan sistem kuantum relativistik. Pembeda antara ketiga sistem tersebut adalah faktor konstanta
Laplace ( ). Nilai Konstanta Laplace untuk mesin Otto pada sistem termodinamika klasik bergantung pada zat kerjanya (diatomic atau monoatomic). Konstanta Laplace untuk sistem kuantum non-relativistik bernilai 3. Sistem kuantum relativistik dengan
massless-Bosonsebagai zat kerjanya didapatkan konstantaLaplacebernilai 2.
UCAPAN TERIMA KASIH
Pertama-tama penulis mengucapkan terima-kasih kepada Dr. Eny Latifah, M.Si, dan Dr. Hari Wisodo, S.Pd., M.Si. selaku Dosen pembimbing yang senantiasa membantu penulis dalam menyelesaikan artikel ilmiah ini. Penulis juga berterimakasih kepada Deny Prasetyo, S,Si. Karena selalu menjadi rekan diskusi untuk menunjang penyelesaian artikel ini. Ucapan terima-kasih juga diberikan kepada rekan rekan Teori dan Komputasi jurusan Fisika Universitas Negeri malang.
DAFTAR RUJUKAN
Bender, C. M., Brody, D. C., Meister B. K. 2000. Quantum Mechanical Carnot Engine. Journal of Physics A. 33, 4427-4436.
ápek, Vladislav, Sheehan, Daniel P. 2005. Challlenges to Second Law of Thermodynamics.Dordrecht : Springer.
Dwi Y. S., Purwanto A. 2009. Mesin Panas Kuantum Berbasis Sumur Potensial Satu Dimensi. Surabaya : Seminar Fisika dan Aplikasinya.
Ginting, Raja Ulungan.1989. Dasar-Dasar Termodinamika Teknik. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan.
Greiner, Walter. 2000. Relativistik Quantum Mechanics Wave Equations 3thed. Berlin: Springer
Latifah, E., Purwanto, A. 2011. Multiple-State Quantum Carnot Engine. Journal of Modern Physics. 2, 1366-1372.
Latifah, E., Purwanto, A. 2013. Quantum Heat Engines; Multiple-State 1D Box System.
Journal of Modern Physics. 4, 1108-1115.
Munoz, E., Pena, F. J. 2012.Quantum Heat Engine in the Relativistik Limit: The Case of a Dirac Particle. Physical Review E. 86, 061108.
Wu, F., Yang, Z., Yang, L., Liu, X., Wu, S. 2010. Work Output and Efficiency of a Reversible Quantum Otto Cycle. Thermal Science. 14, 879-886.
