FOURIER April 2013, Vol. 2, No. 1, 42 – 53
42
PENYELESAIAN PERSAMAAN TELEGRAPH DAN SIMULASINYA
Agus Miftakus Surur1, Yudi Ari Adi2, Sugiyanto3
1, 3
Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga
2
Matematika, Fakultas MIPA, UAD Yogyakarta
Abstract
Equation Telegraph is one of type from wave equation. Solving of the wave equation obtainable by using Green's function with the method of boundary condition problem. This research aim to to show the process obtain;get the mathematical formula from wave equation and also know the form of solution of wave equation by using Green's function. Result of analysis indicate that the process get the mathematical formula from wave equation from applicable Green's function in equation which deal with the wave equation, that is applied in equation Telegraph.
Solution started with searching public form from Green's function, hereinafter look for the solving of wave equation in Green's function. Application from the wave equation used to look for the solving of equation Telegraph.
Result from equation Telegraph which have been obtained will be shown in the form of picture (knowable to simulasi) so that form of the the equation Telegraph.
Keyword: Green's function, wave equation, equation Telegraph. 1. PENDAHULUAN
Fungsi Green merupakan suatu fungsi yang mempunyai kriteria khusus. Fungsi Green juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial: persamaan Gelombang dan persamaan Panas. Cabang dari persamaan Gelombang ada beberapa persamaan diantaranya persamaan Schrodinger dan persamaan Telegraph.
Persamaan Telegraph adalah persamaan yang diambil sebagai aplikasi dari persamaan Gelombang yang diselesaikan dengan fungsi Green dengan metode masalah syarat batas dari persamaan diferensial.
2. PERSAMAAN TELEGRAPH
Suatu aliran listrik pada sebuah kabel dapat diuraikan dengan menggunakan persamaan diferensial parsial
Persamaan diferensial parsial di atas disebut dengan Persamaan Telegraph. Dimana adalah suatu daya, adalah suatu induksi, adalah suatu kapasitor, dan adalah suatu kebocoran, dari semua bagian tersebut diukur panjangnya (besarnya) dari suatu kabel. Suatu
Penyelesaian Persamaan Telegraph dan Simulasinya
43
fungsi yang tidak diketahui ; bisa menggambarkan besarnya tegangan volt atau arus pada suatu waktu , pada posisi dari suatu kabel tersebut dimana 0, ∞ ∞.
Untuk memperoleh bentuk yang lebih sesuai dalam menguraikan ini, maka dengan memberikan permisalan
2 , 1 , ,
Sehingga menghasilkan persamaan
2 . (1)
Dari persamaan menggambarkan
1 4
Dengan demikian hanya membutuhkan penyelesaian dari persamaan (1) dari nilai dan dengan ketentuan 0. (1) diselesaikan dari nilai yang berubah-ubah pada , . Untuk lebih detailnya, dipunyai dua kasus:
Kasus I : Kasus II :
Karena persamaan Telegraph merupakan orde dua, maka untuk dasar menetapkan dua kondisi awal:
; 0 , ; 0
Persamaan tersebut adalah linear dan homogen, maka pertama dapat menyelesaikannya dengan 0, kemudian menyelesaikan dengan 0, dan menjumlahkan hasil-hasilnya.
Sebagai pendahuluan penyederhanaan, didefinisikan ; ; transformasi dari persamaan Telegraph untuk bentuk khusus dengan 0, supaya persamaan menjadi
, yang sesuai untuk kasus 1. 1. Kasus I
Pada kasus 1 yaitu , yang merupakan masalah nilai awal dari Dengan
; 0 , ; 0
Untuk menghubungkan susunan tersebut pada persamaan gelombang, dimasukkan sebuah variabel baru yang bebas yaitu dan fungsi menjadi
Agus Miftakus Surur, Yudi Ari Adi, & Sugiyanto
44
Untuk fungsi ini, dipunyai , , / ,
sehingga persamaan menjadi
0
Dengan
, ; 0 , , ; 0
Persamaan gelombang ini diselesaikan dengan formula
, ;
Dimana , , , .
Nilai operator rata-rata-nya adalah dinyatakan dari:
, 1 2 , | | 1, 2 1 2 | | (2) Untuk memperkirakan integral , didefinisikan variabel baru dari pengintegralan
dengan formula cos θ , 0 , untuk mendapatkan
| | Pembuktian: cos θ sin θ θ cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ sin sin
Penyelesaian Persamaan Telegraph dan Simulasinya 45 | | | | | | sin sin θ θ | | θ (3)
Hasil dari integral (3) telah diketahui pada fungsi Bessel, . Menurut Fungsi Bessel :
1 2 cos cos 1 2 1 2 cos cos 1 cos cos cos cos
Agus Miftakus Surur, Yudi Ari Adi, & Sugiyanto 46 , 1 2 | | 1 2 | | 1 2 1 2 (4)
Dengan mengeluarkan faktor , didapatkan penyelesaian persamaan Telegraph dengan 0. Untuk menemukan penyelesaian yang lebih umum, dibutuhkan mendiferensialkan integral tersebut terhadap :
1 2
1 2
Akan tetapi turunan dari fungsi Bessel adalah fungsi Bessel : . Dengan demikian disimpulkan bahwa
1 2
2
(5)
Gambaran secara jelas dari penyelesaian persamaan Telegraph dengan ; 0 , ; 0 seperti yang ditunjukkan oleh
; 1 2 1 2 2 (6)
Penyelesaian Persamaan Telegraph dan Simulasinya
47 2. Kasus II
Pada kasus 2 yaitu , yang merupakan masalah nilai awal dari
0 (7)
Dengan
; 0 , ; 0
Untuk menyelesaikan (7) digunakan Transformasi Fourier
1
2 1, 2 (8)
Dengan membalikkan formula, sehingga diperoleh
1, 2 (9)
Gambaran Fourier yang diinginkan dari penyelesaian adalah
; , (10)
Dimana , adalah fungsi yang akan ditentukan. Untuk melakukan ini, (10) disubsitusikan ke dalam persamaan gelombang (7)
0 ; ;
Ini diperlukan oleh untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa
; =0
Sehingga
; cos sin (11)
Untuk memperoleh dan , diberikan 0 pada (10) dan (11)
; 0 , ; 0
Membandingkan dengan (9) dan kondisi awal dari (7), dipunyai
, =
Disubsitusikan ke dalam (11) dan mengembalikan dari (10). Diperoleh gambaran Fourier
; cos sin (12)
Dengan menggunakan (12) didapatkan gambaran yang berhubungannya dengan fungsi-fungsi , yang telah diberikan. Ingat kembali bahwa
Agus Miftakus Surur, Yudi Ari Adi, & Sugiyanto 48 cos 1 2 sin 1 2 maka cos 1 2 1 2 1 2 .
Dengan cara yang sama
sin 1 2 1 2 1 2 1 2 .
Dari hasil di atas jika keduanya dijumlahkan maka akan diperoleh:
; 1
2
1
2 (13)
Inilah bentuk persamaan Telegraph pada saat kasus II.
3. SIMULASI PERSAMAAN TELEGRAPH
Simulasi, pada penelitian ini adalah bentuk (gambar) dari persamaan telegraph setelah di-plot ke dalam salah satu software ternama yaitu Mathematica versi 6, sehingga diketahui bentuk dari persamaan Telegraph berdasar dari persamaan yang telah didapatkan di atas.
Sebagai langkah awal untuk mencari simulasi persamaan Telegraph ini, dimasukkan suatu nilai (angka) pada variabel.
; 1
2
1 2 2
Peny deng interv pada Pada Pada yelesaian P
gan nilai tiap
1; val a kasus I: Gamb a interval Gamba a interval ersamaan T p-tiap variab 1; 1; |3 4 ar 1. outpu |1 ar 2. Outpu |0 Telegraph belnya: ; |1 ut pada inte 5 ; ut pada inte 10 ; dan Simul 49 1 2 ; erval |1 erval |0 asinya dan | 20 , simu | 20 , sim , , ; ulasinya: ; mulasinya: berikut ad | | alah outputt
sema sema sama hasil deng interv Gambar Dari simu akin besar akin banyak Selanjutny a seperti lan l yang diper Diawali de ;
gan nilai tiap
1; val | |2 , r 3. Output ulasi Gamba nilai yan k, sehingga b ya akan dica ngkah pada roleh juga b engan meng 1 2 p variabelny 1 2 20 , t pada inte ar 1, Gamb ng diberika bentuk dari ari simulasi kasus I, ha erbeda deng gambil pers ya: ; Agus M 50 rval bar 2 dan G an pada pe gelombang i pada Kasu anya saja pe gan kasus I. samaan yang 1 2 Miftakus Su | Gambar 3 d ersamaan m g itu sendiri us II. Langka ersamaan y . g sudah dip urur, Yudi A ; dapat diamb maka gelom akan semak ah untuk me ang digunak eroleh dari
Ari Adi, &
| bil kesimpu mbang yang kain tampak encari simu akan berbed penjabaran & Sugiyanto ulan bahwa g terbentuk k jelas. ulasi hampir da, sehingga : o a k r a
Peny Pada Pada yelesaian P a interval Gam a interval Gam ersamaan T Gamba |1 mbar 5. Out |0 mbar 6. Pad Telegraph ar 4. Outpu 5 ; tput interv 10 ; da interval dan Simul 51 ut pada inte |1 val | |0 | asinya erval 20 , 20 , | ; | ; |
nilai 4. KE 1. Pe da 2. Ka da in 3. Ka da un Dari simu dan yan ESIMPULA ersamaan Te 2 an mempun Kasus I : Kasus II : asus I memp ; an simulasin 1; nterval asus II mem ; an simulasin 1, inte ntuk kasus I lasi (Gamba ng diberikan AN elegraph me nyai dua: peroleh per 1 2 2 nya dengan 1; 1; |1 2 mperoleh per 1 2 nya dengan erval II: ar.4), (Gam n pada persa empunyai b samaan Tel nilai tiap-ti 2 ; |2 rsamaan Te nilai tiap-ti |1 Agus M 52 mbar.5) dan ( amaan tidak bentuk umum legraph iap variabel 2 20 elegraph 1 2 iap variabel 2 ; Miftakus Su (Gambar.6) k terlalu me m 1 2 lnya: 0 , dan lnya: |2 20 urur, Yudi A ) dapat diam empengaruh , 0 , dan
Ari Adi, &
mbil kesimp hi bentuk sim adalah , & Sugiyanto ulan bahwa mulasi. o a
Peny 5. DA [1] Pi ed [2] Pu [3] An [4] So [5] Br [6] Su [7] Ta [8] D UG [9] A M [10] L [11] T [12] A M [13] G [14] H [15] H [16] R A yelesaian P AFTAR PU insky, Mark A dition”, McGr urcell, Edwin nton, Howard oedijono, Bam racewell, Ron uriasumantri ,J an, Soo T., 20 Darmawijaya, GM. Astuti, Fani Dw Matematika FM Larson, Ron, B Thomas, 2005 Ayres, Frank, McGraw-Hill Green's functio
Hand Out Pers
Hand Out Pers
Razali, Muham Andi. ersamaan T USTAKA A, 1998, “Par raw-Hill Intern J. Varberg, D d, 1995, “Aljab mbang, 2004, “ nald N., 2000, Jujun S., 1987 10, “Calculus Prof. Dr. Soe wi, “Fungsi G MIPA Universi Bruce H. Edw , Calculus 11t Jr., PhD, Elli Companies. on and bound samaan Difer samaan Difer mmad, 2008, Telegraph tial Differenti national Editio ale and Rigdo
bar Linear Ele
“Kalkulus III” “The Fourier 7, “Filsafat Ilm s “, Belmon U eparna. 2006, Green dan Pe itas Negeri M wards, 2010 ,C th Including Se iott Mendelso dary elements rensial Elemen rensial Parsial “Cara muda dan Simul 53 ial Equations ons.
on, Steve E., 2
ementer”, Jak ”, Jakarta: Uni r Transform an mu Sebuah Pe USA: Brooks/C “Pengantar enerapannya p Malang, lulus ta Calculus 9th ed econd-Order D on, PhD. Scha of multifield m nter, 2008. l, 2010. ah menyelesai asinya and Boundar 2001, “Kalkulu arta: Erlangga iversitas Terbu nd Its Applica engantar Popu Cole. Analisis Real pada Persama ahun 2007. dition, USA: B Differential E aum’s Outline materials. ikan Matemat ry-Value Prob us”, Jakarta: E a. uka. ations”, McGra uler “, Jakarta l”. Jurusan M aan Diferensi Brooks/Cole. Equations, Ad Series Calcu ika dengan M blems with Ap Erlangga. raw-Hill High a: Pustaka Sina Matematika Fa ial Biasa”. Sk ddison-Weslay ulus 5th edition Mathematica” pplications 3rd er Education. ar Harapan. akultas MIPA kripsi Jurusan y. ns, USA: The , Yogyakarta: d A n e :
