III PEMBAHASAN. peubah. Sistem persamaan (6) dapat diringkas menjadi Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL

(1)

III PEMBAHASAN

3.1. Bentuk Umum dari Magic Square,

Bilangan Magic, dan Matriks SPL

Misalkan elemen dari baris ke-i dan kolom ke-j adalah 𝑎𝑖,𝑗 maka magic square-nya secara umum adalah

𝑎1,1 𝑎1,2 ⋯ 𝑎1,𝑛 𝑎2,1 𝑎2,2 ⋯ 𝑎2,𝑛

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑛,1 𝑎𝑛,2 ⋯ 𝑎𝑛,𝑛 Gambar 1. Bentuk umum magic square dengan: 𝑎_𝑖,𝑗 ∈ {1, 2, 3, … , 𝑛2} untuk 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} ...(1) dan 𝑎𝑝,𝑞= 𝑎𝑟,𝑠⟹ 𝑝 = 𝑟 ⋀ 𝑞 = 𝑠 untuk semua 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} ...(2) Persamaan (2) ini dimaksudkan untuk menjamin tidak ada angka yang terpakai dua kali, sehingga semua bilangan dari 1 sampai dengan 𝑛2 terpakai.

Bilangan magic untuk magic square tersebut adalah 𝑚 = ∑𝑛 𝑎1,𝑗 𝑗=1 = ∑𝑛𝑗=1𝑎2,𝑗 = ⋯ = ∑𝑛𝑗=1𝑎𝑛,𝑗 = ∑ 𝑎𝑛𝑖=1 𝑖,1= ∑ 𝑎𝑛𝑖=1 𝑖,2= ⋯ = ∑ 𝑎𝑖,𝑛𝑛 𝑖=1 = ∑ 𝑎𝑖,𝑖𝑛𝑖=1 = ∑𝑛𝑗=1𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗 ...(3) Jika seluruh elemen dari magic square dijumlahkan, maka

∑ ∑𝑛𝑖=1 𝑛𝑗=1𝑎𝑖,𝑗= ∑𝑛𝑘=12 𝑘 ...(4) Dari kedua persamaan (3) dan (4), maka

𝑛 × 𝑚 =1₂ 𝑛2_(𝑛2_{+ 1)} ⟺ 𝑚 =1

2𝑛(𝑛2+ 1) ...(5) Dengan menjabarkan persamaan (3), maka bentuk ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ∑𝑛𝑗=1𝑎1,𝑗= 𝑚 ∑𝑛𝑗=1𝑎2,𝑗= 𝑚 ⋮ ∑𝑛 𝑎𝑛,𝑗 𝑗=1 = 𝑚 ∑ 𝑎𝑛𝑖=1 𝑖,1= 𝑚 ∑ 𝑎𝑖,2𝑛 𝑖=1 = 𝑚 ⋮ ∑ 𝑎𝑖,𝑛𝑛 𝑖=1 = 𝑚 ∑ 𝑎𝑛𝑖=1 𝑖,𝑖= 𝑚 ∑𝑛 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗 𝑗=1 = 𝑚

adalah sebuah Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan 2𝑛 + 2 persamaan dan 𝑛2

peubah. Sistem persamaan (6) dapat diringkas menjadi ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ∑𝑛𝑗=1𝑎𝑖,𝑗= 𝑚; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑎𝑛𝑖=1 𝑖,𝑗= 𝑚; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑎𝑖,𝑖𝑛 𝑖=1 = 𝑚 ∑𝑛𝑗=1𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗= 𝑚 Matriks dari SPL ini adalah

𝑲𝑨 = 𝒎 dengan

𝑲 = matriks koefisien berukuran (2𝑛 + 2) × 𝑛2

𝑨 = (𝑎1,1 𝑎1,2 ⋯ 𝑎1,𝑛 𝑎2,1 𝑎2,2 ⋯

𝑎2,𝑛 ⋯ 𝑎𝑛,1 𝑎𝑛,2 ⋯ 𝑎𝑛,𝑛)𝑇 𝒎 = vektor kolom berukuran 𝑛2_{× 1 dengan}

seluruh elemennya adalah nilai m.

3.2. Beberapa Operasi Matriks dari

Magic Square

Beberapa operasi matriks diantaranya adalah penjumlahan, perkalian skalar, perkalian vektor, dan invers. Pada bagian ini akan ditunjukkan apakah yang terjadi jika operasi-operasi tersebut dilakukan terhadap magic square.

Jika 𝑨 dan 𝑩 adalah magic square, Jn adalah matriks 𝑛 × 𝑛 yang semua elemennya adalah 1, dan 𝑘 adalah suatu bilangan asli, maka akan dicari beberapa bentuk berikut

i. 𝑘𝑨 ii. 𝑨 + 𝑘Jn iii. 𝑨 + 𝑩 iv. 𝑨𝑩

3.2.1. 𝑘𝑨

Misalkan 𝑨 adalah magic square berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan bilangan magic 𝑚_𝐴. Misalkan 𝑪 = 𝑘𝑨, maka 𝑐_𝑖,𝑗= 𝑘𝑎_𝑖,𝑗 dan akibatnya ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑖,𝑗 = ∑𝑛𝑗=1𝑘𝑎𝑖,𝑗 = 𝑘 ∑𝑛𝑗=1𝑎𝑖,𝑗=𝑘𝑚𝐴; untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑐𝑛𝑖=1 𝑖,𝑗= ∑ 𝑘𝑎𝑛𝑖=1 𝑖,𝑗= 𝑘 ∑ 𝑎𝑛𝑖=1 𝑖,𝑗 =𝑘𝑚𝐴; untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑐𝑛𝑖=1 𝑖,𝑖= ∑ 𝑘𝑎𝑖,𝑖𝑛𝑖=1 = 𝑘 ∑ 𝑎𝑖,𝑖𝑛𝑖=1 = 𝑘𝑚𝐴 ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑛−𝑗+1,𝑗= ∑𝑛𝑗=1𝑘𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗= 𝑘 ∑𝑛𝑗=1𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗= 𝑘𝑚𝐴 Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa 𝑘𝑨 juga merupakan magic square dengan bilangan magic 𝑚𝐶= 𝑘𝑚𝐴

(2)

3.2.2. 𝑨 + 𝑘Jn

Misalkan 𝑨 adalah magic square berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan bilangan magic 𝑚_𝐴. Misalkan 𝑪 = 𝑨 + 𝑘Jn, maka 𝑐𝑖,𝑗 = 𝑎𝑖,𝑗+ 𝑘 dan akibatnya ∑𝑛 𝑐𝑖,𝑗 𝑗=1 = ∑ (𝑎𝑖,𝑗𝑛𝑗=1 + 𝑘) = ∑𝑛 𝑎𝑖,𝑗+ 𝑛𝑘 = 𝑗=1 𝑚𝐴+ 𝑛𝑘; untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑐𝑖,𝑗𝑛 𝑖=1 = ∑ (𝑎𝑖,𝑗𝑛𝑖=1 + 𝑘) = ∑ 𝑎𝑛𝑖=1 𝑖,𝑗+ 𝑛𝑘 =𝑚𝐴+ 𝑛𝑘; untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑐𝑛𝑖=1 𝑖,𝑖= ∑ (𝑎𝑛𝑖=1 𝑖,𝑖+ 𝑘)= ∑ 𝑎𝑛𝑖=1 𝑖,𝑖+ 𝑛𝑘= 𝑚𝐴+ 𝑛𝑘 ∑𝑛 𝑐𝑛−𝑗+1,𝑗 𝑗=1 = ∑ (𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗𝑛𝑗=1 + 𝑘)= ∑𝑛 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗 𝑗=1 + 𝑛𝑘 = 𝑚𝐴+ 𝑛𝑘 Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa 𝑨 + 𝑘Jn juga merupakan magic square dengan bilangan magic 𝑚_𝐴+ 𝑛𝑘

3.2.3. 𝑨 + 𝑩

Misalkan 𝑨 dan 𝑩 adalah magic square berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan bilangan magic masing-masing 𝑚𝐴 dan 𝑚𝐵. Misalkan 𝑪 = 𝑨 + 𝑩, maka 𝑐𝑖,𝑗= 𝑎𝑖,𝑗+ 𝑏𝑖,𝑗 dan akibatnya ∑𝑛 𝑐𝑖,𝑗 𝑗=1 = ∑𝑛𝑗=1(𝑎𝑖,𝑗+ 𝑏𝑖,𝑗) = ∑𝑛𝑗=1𝑎𝑖,𝑗+∑𝑛𝑗=1𝑏𝑖,𝑗= 𝑚𝐴+ 𝑚𝐵; untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑐𝑛𝑖=1 𝑖,𝑗= ∑ (𝑎𝑛𝑖=1 𝑖,𝑗+ 𝑏𝑖,𝑗)= ∑ 𝑎𝑛𝑖=1 𝑖,𝑗+ ∑ 𝑏𝑛𝑖=1 𝑖,𝑗= 𝑚𝐴+ 𝑚𝐵; untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑐𝑛𝑖=1 𝑖,𝑖= ∑ (𝑎𝑛𝑖=1 𝑖,𝑖+ 𝑏𝑖,𝑖)= ∑ 𝑎𝑛𝑖=1 𝑖,𝑖+ ∑ 𝑏𝑖,𝑖𝑛 𝑖=1 = 𝑚𝐴+ 𝑚𝐵 ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑛−𝑗+1,𝑗= ∑ (𝑎𝑛𝑗=1 𝑛−𝑗+1,𝑗+ 𝑏𝑛−𝑗+1,𝑗) = ∑𝑛𝑗=1𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗+ ∑𝑛𝑗=1𝑏𝑛−𝑗+1,𝑗= 𝑚𝐴+ 𝑚𝐵 Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa 𝑨 + 𝑩 juga merupakan magic square dengan bilangan magic 𝑚𝐴+ 𝑚𝐵

3.2.4. 𝑨𝑩

Misalkan 𝑨 dan 𝑩 adalah magic square berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan bilangan magic masing-masing 𝑚_𝐴 dan 𝑚_𝐵. Misalkan 𝑪 = 𝑨𝑩 maka 𝑐𝑖,𝑗 = ∑𝑛 𝑎𝑖,𝑘𝑏𝑘,𝑗 𝑘=1 dan akibatnya ∑𝑛 𝑐𝑖,𝑗 𝑗=1 = ∑𝑛𝑗=1∑𝑛𝑘=1𝑎𝑖,𝑘𝑏𝑘,𝑗= ∑ �𝑎𝑖,𝑘∑𝑛 𝑏𝑘,𝑗 𝑗=1 � 𝑛 𝑘=1 = ∑𝑛𝑘=1𝑎𝑖,𝑘𝑚𝐵= 𝑚𝐵∑𝑛𝑘=1𝑎𝑖,𝑘 = 𝑚𝐵𝑚𝐴; untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑐𝑖,𝑗𝑛 𝑖=1 = ∑ ∑𝑛𝑖=1 𝑛𝑘=1𝑎𝑖,𝑘𝑏𝑘,𝑗= ∑ �𝑏𝑘,𝑗∑ 𝑎𝑖,𝑘𝑛 𝑖=1 � 𝑛 𝑘=1 = ∑𝑛𝑘=1𝑏𝑘,𝑗𝑚𝐴= 𝑚𝐴∑𝑛𝑘=1𝑏𝑘,𝑗= 𝑚𝐴𝑚𝐵; untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

Contoh sanggahan berikut menunjukkan bahwa jumlah diagonal pada 𝑨𝑩 tidak sama dengan 𝑚𝐴𝑚𝐵 (contoh lengkap untuk ukuran 3×3, 4×4, 5×5 terdapat pada Lampiran 1).

Misalkan 𝑨 = �4 9 23 5 7 8 1 6� dan 𝑩 = � 2 7 6 9 5 1 4 3 8� 𝑨 dan 𝑩 adalah magic square dengan bilangan magic 𝑚_𝐴= 15 dan 𝑚_𝐵= 15, maka

∑ 𝑐3𝑖=1 𝑖,𝑖= ∑ ∑3𝑖=1 3𝑘=1𝑎𝑖,𝑘𝑏𝑘,𝑖 = 261

∑3𝑗=1𝑐3−𝑗+1,𝑗= ∑3𝑗=1∑3𝑘=1𝑎3−𝑗+1,𝑘𝑏𝑘,𝑗 = 165

⟹ tidak sama dengan 𝑚𝐴𝑚𝐵= 225 Hal ini mengakibatkan 𝑨𝑩 bukan merupakan magic square tetapi semi magic square yaitu magic square yang jumlah diagonalnya tidak sama dengan bilangan magic. Bilangan magic untuk semi magic square 𝑨𝑩 adalah 𝑚_𝐴𝑚_𝐵

3.3. Penyelesaian Magic Square Untuk

𝒏 =1, 2, 3, 4, 5

Mencari penyelesaian magic square adalah mencari solusi dari SPL interpretasi magic square tersebut. Penyelesaian magic square untuk ukuran mulai dari 1 sampai dengan 5 akan dibahas sebagai permasalahan SPL masing-masing.

3.3.1. Penyelesaian untuk 𝒏 = 1

Untuk 𝑛 = 1 dengan jelas dapat langsung diketahui magic square-nya adalah

1

Gambar 2. Magic square 1 × 1

dan 𝑚 = 1.

Secara otomatis, magic square di atas adalah satu-satunya solusi untuk 𝑛 = 1.

Untuk 𝑛 = 2 , magic square-nya adalah 𝑎1,1 𝑎1,2

𝑎2,1 𝑎2,2

(3)

dan nilai 𝑚 =1 2 2 (2

2

+ 1) = 5 SPL dari magic square ini adalah

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧𝑎1,1_𝑎2,1+ 𝑎1,2_{+ 𝑎2,2}= 5_{= 5} 𝑎1,1+ 𝑎2,1= 5 𝑎1,2+ 𝑎2,2= 5 𝑎1,1+ 𝑎2,2= 5 𝑎2,1+ 𝑎1,2= 5 Dalam bentuk matriks:

⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0⎠ ⎟ ⎟ ⎞ � 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎2,1 𝑎2,2 � = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 5 5 5 5 5 5⎠ ⎟ ⎟ ⎞

Bentuk ringkasnya adalah

⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 � � 5 5 5 5 5 5⎠ ⎟ ⎟ ⎞

Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 � � 5 2⁄ 5 2⁄ 5 2⁄ 5 2⁄ 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞

Hasil ini jika diterjemahkan kembali ke dalam bentuk SPL adalah

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑎1,1= 5 2⁄ 𝑎1,2= 5 2⁄ 𝑎2,1= 5 2⁄ 𝑎2,2= 5 2⁄

SPL ini kontradiksi dengan persamaan (2) bahwa tidak boleh ada elemen yang sama, sehingga untuk 𝑛 = 2, magic square tidak memiliki solusi.

Untuk 𝑛 = 3, magic square-nya adalah 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3

𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 Gambar 4. Magic square 3 × 3 dan nilai 𝑚 =1

2 3 (3 2

+ 1) = 15

SPL dari magic square ini adalah

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧_𝑎𝑎1,1+ 𝑎1,2+ 𝑎1,3= 15 2,1+ 𝑎2,2+ 𝑎2,3= 15 𝑎3,1+ 𝑎3,2+ 𝑎3,3= 15 𝑎1,1+ 𝑎2,1+ 𝑎3,1= 15 𝑎1,2+ 𝑎2,2+ 𝑎3,2= 15 𝑎1,3+ 𝑎2,3+ 𝑎3,3= 15 𝑎1,1+ 𝑎2,2+ 𝑎3,3= 15 𝑎1,3+ 𝑎2,2+ 𝑎3,1= 15 Dalam bentuk matriks:

⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 15 15 15 15 15 15 15 15⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 � � � 15 15 15 15 15 15 15 15⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 −1 0 0 0 1 0 0 0 −1 −2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � � � 10 10 −5 −10 5 20 15 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

1,1 3,3 1,2 3,2 1,3 3,2 3,3 2,1 3,2 3,3 2,2 2,3 3,2 3,3 3,1 3,2 3,3 10 10 5 2 10 5 2 20 15 a a a a a a a a a a a a a a a a a  + =  + =  ₋ ₋ _{= −}  ₋ ₋ _{= −}   =  ₊ ₊ ₌  ₊ ₊ ₌ 

Dari SPL yang sudah disederhanakan di atas, langsung didapatkan nilai untuk 𝑎_2,2 yaitu 5. Hal ini berarti kotak tengah dari solusi untuk magic square berukuran 3 × 3, haruslah diisi dengan angka 5.

(4)

Dari SPL tersebut pula didapatkan 6 persamaan berikut 1,1 3,3 1,2 3,2 1,3 3,2 3,3 2,1 3,2 3,3 2,3 3,2 3,3 3,1 3,2 3,3 10 10 5 10 2 20 2 15 a a a a a a a a a a a a a a a a = −   = −  _{= − +} ₊   _{= − +} ₊  ₌ ₋ ₋  = − −  _…(7)

Keenam persamaan ini menunjukkan enam peubah yang bergantung pada peubah lain yaitu 𝑎1,1, 𝑎1,2, 𝑎1,3, 𝑎2,1, 𝑎2,3, 𝑎3,1 dan dua parameter yaitu 𝑎_3,2 dan 𝑎_3,3.

Perhatikan bahwa dari kedelapan peubah ini, haruslah ada 4 bilangan ganjil, dan 4 bilangan genap, dan hal ini hanya diberikan oleh pasangan 𝑎3,2 ganjil dan 𝑎3,3 genap.

Perhatikan juga bahwa 1 ≤ 𝑎3,1 ≤ 9 dan 𝑎3,1+ 𝑎3,2+ 𝑎3,3= 15 mengakibatkan 6 ≤ 𝑎3,2+ 𝑎3,3≤ 14. Dengan demikian pasangan-pasangan �𝑎3,2, 𝑎3,3� yang memungkinkan memberikan solusi untuk magic square berukuran 3 × 3 adalah (1,6), (1,8), (3,4), (3,6), (3,8), (7,2), (7,4), (7,6), (9,2), dan (9,4). Dari kesepuluh pasangan ini, yang memenuhi sistem persamaan (7) hanyalah pasangan-pasangan

(1,6), (1,8), (3,4), (3,8), (7,2), (7,6), (9,2), dan (9,4).

Kedelapan solusi tersebut dalam bentuk tabel adalah: �𝑎3,2, 𝑎3,3� 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎2,1 𝑎2,3 𝑎3,1 (1,6) 4 9 2 3 7 8 (1,8) 2 9 4 7 3 6 (3,4) 6 7 2 1 9 8 (3,8) 2 7 6 9 1 4 (7,2) 8 3 4 1 9 6 (7,6) 4 3 8 9 1 2 (9,2) 8 1 6 3 7 4 (9,4) 6 1 8 7 3 2 Kedelapan magic square tersebut adalah

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

Gambar 5(a-h). Solusi magic square 3 × 3 Perhatikan bahwa kedelapan solusi magic square ini adalah tidak unik. Semuanya adalah permutasi dari refleksi atau rotasi dari 1 buah solusi. Sehingga pada dasarnya magic square berukuran 3 × 3 memiliki 1 solusi unik.

Untuk 𝑛 = 4, magic square-nya adalah 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎1,4 𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎2,4 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 𝑎3,4 𝑎4,1 𝑎4,2 𝑎4,3 𝑎4,4 Gambar 6. Magic square 4 × 4 dan nilai 𝑚 =1

2 4 (4 2

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧_𝑎2,1𝑎1,1+ 𝑎_{+ 𝑎2,2}1,2+ 𝑎_{+ 𝑎2,3}1,3+ 𝑎_{+ 𝑎2,4}1,4= 34_{= 34} 𝑎3,1+ 𝑎3,2+ 𝑎3,3+ 𝑎3,4= 34 𝑎4,1+ 𝑎4,2+ 𝑎4,3+ 𝑎4,4= 34 𝑎1,1+ 𝑎2,1+ 𝑎3,1+ 𝑎4,1= 34 𝑎1,2+ 𝑎2,2+ 𝑎3,2+ 𝑎4,2= 34 𝑎1,3+ 𝑎2,3+ 𝑎3,3+ 𝑎4,3= 34 𝑎1,4+ 𝑎2,4+ 𝑎3,4+ 𝑎4,4= 34 𝑎1,1+ 𝑎2,2+ 𝑎3,3+ 𝑎4,4= 34 𝑎4,1+ 𝑎3,2+ 𝑎2,3+ 𝑎1,4= 34 6 1 8 7 5 3 2 9 4 8 1 6 3 5 7 4 9 2 4 3 8 9 5 1 2 7 6 8 3 4 1 5 9 6 7 2 2 7 6 9 5 1 4 3 8 6 7 2 1 5 9 8 3 4 2 9 4 7 5 3 6 1 8 4 9 2 3 5 7 8 1 6

(5)

Dalam bentuk matriks ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎1,4 𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎2,4 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 𝑎3,4 𝑎4,1 𝑎4,2 𝑎4,3 𝑎4,4⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 � � � 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 −1 0 −1 −1 −1 0 1 0 0 0 0 0 −1 0 1 −1 −1 0 0 −1 −2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 −1 1 1 0 1 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 1 0 −1 0 −1 −1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � � � −34 −34 68 34 0 68 −34 34 34 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

1,1 2,4 3,4 4,2 4,3 4,4 1,2 2,4 3,2 3,3 3,4 4,3 4,4 1,3 2,4 3,2 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4 1,4 2,4 3,4 4,4 2,1 2,4 3,2 3,3 2,2 2,4 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4 2, 34 2 34 2 2 68 34 0 2 68 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − − − = − − + − − − − = − + − + + + + + = + + + = + − − = + + + + + + = 3 2,4 3,2 3,4 4,2 4,3 4,4 3,1 3,2 3,3 3,4 4,1 4,2 4,3 4,4 2 34 34 34 a a a a a a a a a a a a a a         − + − − − − = −  ₊ ₊ ₊ ₌  ₊ ₊ ₊ ₌ 

(6)

SPL ini ekivalen dengan 1,1 2,4 3,4 4,2 4,3 4,4 1,2 2,4 3,2 3,3 3,4 4,3 4,4 1,3 2,4 3,2 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4 1,4 2,4 3,4 4,4 2,1 2,4 3,2 3,3 2,2 2,4 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4 2, 34 2 34 2 2 68 34 2 68 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + + + − = − + + + + − = − + − − − − − + = − − − + = − + + = − − − − − − + 3 2,4 3,2 3,4 4,2 4,3 4,4 3,1 3,2 3,3 3,4 4,1 4,2 4,3 4,4 2 34 34 34 a a a a a a a a a a a a a a         ₌ ₋ ₊ ₊ ₊ ₊ ₋  _{= −} ₋ ₋ ₊  _{= −} ₋ ₋ ₊ 

Dari SPL tersebut terlihat bahwa terdapat 9 peubah yang bergantung pada peubah lain (𝑎_1,1, 𝑎_1,2, 𝑎_1,3, 𝑎_1,4, 𝑎_2,1, 𝑎_2,2, 𝑎_2,3, 𝑎_3,1, dan 𝑎4,1) dan terdapat 7 parameter (𝑎2,4, 𝑎3,2, 𝑎3,3, 𝑎3,4, 𝑎4,2, 𝑎4,3, dan 𝑎4,4).

Semua permutasi untuk nilai-nilai parameter ini diuji dengan menggunakan software Mathematica 7.0 dengan pengujinya adalah persamaan (2) yaitu tidak ada elemen yang bernilai sama. Sintaks dari program tersebut terdapat pada Lampiran 3 dengan banyaknya solusi 7040.

Untuk 𝑛 = 5, magic square-nya adalah 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎1,4 𝑎1,5 𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎2,4 𝑎2,5 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 𝑎3,4 𝑎3,5 𝑎4,1 𝑎4,2 𝑎4,3 𝑎4,4 𝑎4,5 𝑎5,1 𝑎5,2 𝑎5,3 𝑎5,4 𝑎5,5 Gambar 7. Magic square 5 × 5

dan nilai 𝑚 =1 2 5 (5

2

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧_𝑎2,1𝑎1,1+ 𝑎_{+ 𝑎2,2}1,2_{+ 𝑎2,3}+ 𝑎1,3+ 𝑎_{+ 𝑎2,4}1,4_{+ 𝑎2,5}+ 𝑎1,5= 65_{= 65} 𝑎3,1+ 𝑎3,2+ 𝑎3,3+ 𝑎3,4+ 𝑎3,5= 65 𝑎4,1+ 𝑎4,2+ 𝑎4,3+ 𝑎4,4+ 𝑎4,5= 65 𝑎5,1+ 𝑎5,2+ 𝑎5,3+ 𝑎5,4+ 𝑎5,5= 65 𝑎1,1+ 𝑎2,1+ 𝑎3,1+ 𝑎4,1+ 𝑎5,1= 65 𝑎1,2+ 𝑎2,2+ 𝑎3,2+ 𝑎4,2+ 𝑎5,2= 65 𝑎1,3+ 𝑎2,3+ 𝑎3,3+ 𝑎4,3+ 𝑎5,3= 65 𝑎1,4+ 𝑎2,4+ 𝑎3,4+ 𝑎4,4+ 𝑎5,4= 65 𝑎1,5+ 𝑎2,5+ 𝑎3,5+ 𝑎4,5+ 𝑎5,5= 65 𝑎1,1+ 𝑎2,2+ 𝑎3,3+ 𝑎4,4+ 𝑎5,5= 65 𝑎1,5+ 𝑎2,4+ 𝑎3,3+ 𝑎4,2+ 𝑎5,1= 65

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0_{0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 � � � � 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫

(7)

Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧1 0 0 0 0 0 0 −1₂ 0 −1 0 −1₂ 1₂ −1₂ −1 0 0 −1₂ 0 −1 0 −1 −1 −1 −1 0 1 0 0 0 0 0 −1₂ 0 −1 0 1₂ −1₂ −1₂ −1 0 1 −1₂ −1 −1 0 0 −1 −1 −2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 1 1 0 −1 0 1 1 0 1 1 2 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1₂ 0 1 0 −1₂ −3₂ −1₂ 0 0 −1 −1₂ −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1₂ 0 1 0 1₂ 1₂ 1₂ 1 0 0 1₂ 1 1 0 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 1 0 −1 0 1 0 0 −1 0 −1 −1 −1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � � � � �− 195 2 −195₂ 65 130 65 −65 2 325 2 −65 65 65 65 0 ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫

195 1 1 1 1 1 1,1 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 3,5 2 4,3 4,5 5,2 5,3 5,4 5,5 2 195 1 1 1 1 1 1,2 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 3,5 4,2 2 4,3 4,4 4,5 5,3 5,4 5,5 2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 1,4 2 2 65 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − + − − − − − − − − = − − − + − − − + − − − − − − = − + + + + = + _,5 _3,3 _3,4 _3,5 _4,2 _4,4 _4,5 _5,2 _5,3 _5,4 _5,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 3 65 1 1 1 1 2,1 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 4,2 2 4,3 4,4 2 1 1 1 1 1 2,2 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 3,5 2 4,3 4,4 2 2 130 65 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + + − + + + + + + = + + + + = + + − − − − − − = − + + + + + + + + + 325 5,2 5,3 5,4 5,5 2 2,4 2,5 3,3 3,5 4,2 4,5 5,2 5,3 5,4 5,5 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 2 2 65 65 65 65 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a          ₊ ₊ ₊ ₌  ₋ ₊ ₋ ₊ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ _{= −}   + + + + =  ₊ ₊ ₊ ₊ ₌  + + + + = 

SPL di atas ekivalen dengan

195 1 1 1 1 1 1,1 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 3,5 2 4,3 4,5 5,2 5,3 5,4 5,5 2 195 1 1 1 1 1 1,2 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 3,5 4,2 2 4,3 4,4 4,5 5,3 5,4 5,5 2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 1,4 2 2 65 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − + + + + + + + + − = + − + + + − + + + + + + − = − − − − + = − _,5 _3,3 _3,4 _3,5 _4,2 _4,4 _4,5 _5,2 _5,3 _5,4 _5,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 3 65 1 1 1 1 2,1 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 4,2 2 4,3 4,4 2 1 1 1 1 1 2,2 2 2,3 2,5 2 3,2 2 3,3 2 3,4 3,5 2 4,3 4,4 2 2 130 65 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a + − − + − − − − − − + = − − − − + = − − + + + + + + − = − − − − − − − − 325 5,2 5,3 5,4 5,5 2 2,4 2,5 3,3 3,5 4,2 4,5 5,2 5,3 5,4 5,5 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 2 2 65 65 65 65 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a          ₋ ₋ ₋ ₋ ₊  ₌ ₋ ₊ ₋ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₋   = − − − − +  _{= −} ₋ ₋ ₋ ₊  = − − − − + 

SPL ini memperlihatkan bahwa terdapat 11 peubah yang bergantung pada peubah lain (𝑎_1,1, 𝑎_1,2, 𝑎_1,3, 𝑎_1,4, 𝑎_1,5, 𝑎_2,1, 𝑎2,2, 𝑎2,4, 𝑎3,1, 𝑎4,1, dan 𝑎5,1) dan terdapat 14 parameter (𝑎2,3, 𝑎2,5, 𝑎3,2, 𝑎3,3, 𝑎3,4, 𝑎3,5, 𝑎4,2, 𝑎4,3, 𝑎4,4, 𝑎4,5, 𝑎5,2, 𝑎5,3, 𝑎5,4, dan 𝑎5,5). Parameter sebanyak 14 ini tidak memungkinkan dilakukan pengujian untuk semua permutasi dari nilai-nilainya.

H.B. Meyer (2010) melakukan proses yang sama dan berusaha mendapatkan banyaknya solusi untuk magic square berukuran 5 × 5. Hasil dari pereduksian SPL yang dilakukannya ditampilkan dalam Teorema 1 berikut

(8)

Teorema 1: 1,5 1,1 1,2 1,3 1,4 2,5 2,1 2,2 2,3 2,4 3,5 3,1 3,2 3,3 3,4 4,2 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3 4,1 4,3 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 65 65 65 2 65 325 4 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − − − − = − − − − = − − − − = + + + + − + − + − = − − − − − − − − − − − _3,4 _4,1 _4,4 4,5 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 4,4 5,1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,2 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 4,1 5,3 1,1 1,2 2 2 2 2 195 65 130 2 2 4 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − = + + + + + + + + + + + + − = − − − − = − − − − − − + − − − − = + + _1,3 _1,4 _2,1 _2,2 _3,1 _3,2 _3,4 _4,1 _4,4 5,4 1,4 2,4 3,4 4,4 5,5 1,1 2,2 3,3 4,4 2 2 2 2 2 2 260 65 65 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a            + + + + + + + + −   ₌ ₋ ₋ ₋ ₋  = − − − − 

Dalam proses pencarian solusi ini, Meyer (2010) juga mendapatkan beberapa batasan tambahan yang digunakan untuk mengurangi panjangnya proses komputasi, yaitu:

Teorema 2:

55 ≤ 3�𝑎1,1+ 𝑎2,2� + 2�𝑎1,2+ 𝑎2,1� ≤ 205 karena 𝑎_1,2, 𝑎_2,1≥ 1 dan 𝑎_1,2, 𝑎_2,1∈ {1,2, ⋯ ,25} dan 𝑎1,2≠ 𝑎2,1 maka 3 ≤ 𝑎1,2+ 𝑎2,1

dan dari Teorema 2

58 ≤ 55 + 𝑎1,2+ 𝑎2,1 ≤ 3�𝑎1,1+ 𝑎1,2+ 𝑎2,1+ 𝑎2,2� 58 3 ≤ 𝑎1,1+ 𝑎1,2+ 𝑎2,1+ 𝑎2,2 Karena 𝑎1,1, 𝑎1,2, 𝑎2,1, 𝑎2,2∈ ℤ+ maka 20 ≤ 𝑎1,1+ 𝑎1,2+ 𝑎2,1+ 𝑎2,2 Dan dengan mengganti masing-masing 𝑎_𝑖,𝑗 dengan 26 − 𝑎_𝑖,𝑗 maka 20 ≤ �26 − 𝑎1,1� + �26 − 𝑎1,2� + �26 − 𝑎2,1� + �26 − 𝑎2,2� −84 ≤ −𝑎1,1− 𝑎1,2− 𝑎2,1− 𝑎2,2 Akibat 1: 20 ≤ 𝑎1,1+ 𝑎1,2+ 𝑎2,1+ 𝑎2,2≤ 84 Teorema 3: 218 ≤ 3�𝑎1,1+ 𝑎2,2+ 𝑎3,3� + 2�𝑎1,2+ 𝑎1,3+ 𝑎1,5 + 𝑎2,3+ 𝑎3,1+ 𝑎3,2) ≤ 328

Teorema 4: (Jumlah pojok)

26 ≤ 𝑎1,1+ 𝑎1,5+ 𝑎5,1+ 𝑎5,5≤ 78 Akibat 2: (jumlah “X”) 52 ≤ 𝑎1,1+ 𝑎1,5+ 2𝑎3,3+ 𝑎5,1+ 𝑎5,5≤ 104 Karena 𝑎𝑖,𝑗 ∈ {1, 2, 3, … , 𝑛2_{} ∀𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑛}} dan 𝑎𝑘,𝑙= 𝑎𝑚,𝑛⟹ 𝑘 = 𝑚 ⋀ 𝑙 = 𝑛 untuk semua 𝑘, 𝑙, 𝑚, 𝑛 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} maka 𝑎1,12+ 𝑎1,22+ ⋯ + 𝑎5,52 = 12_{+ 2}2_{+ ⋯ + 25}2 Dengan menyubtitusikan 𝑎1,5, 𝑎2,5, 𝑎3,5, 𝑎4,2, 𝑎4,3, 𝑎4,5 𝑎5,1 𝑎5,2 𝑎5,3 𝑎5,4 dan 𝑎5,5 pada Teorema 1 ke persamaan di atas, didapatkan

Teorema 5:

𝑎4,4 =₁₂1 �1495 − 19𝑎1,1− 9𝑎1,2− 7𝑎1,3− 10𝑎1,4− 9𝑎2,1− 11𝑎2,2− 3𝑎2,3− 2𝑎2,4− 9𝑎3,1 − 5𝑎3,2− 5𝑎3,3− 6𝑎3,4− 8𝑎4,1± √𝐷�

(9)

𝐷 = −215𝑎1,12− 111𝑎1,22− 71𝑎1,32− 68𝑎1,42− 87𝑎2,12− 71𝑎2,22− 39𝑎2,32− 68𝑎2,42 − 87𝑎3,12− 47𝑎3,22− 95𝑎3,32− 36𝑎3,42− 80𝑎4,12 + 𝑎1,1�−258𝑎1,2− 190𝑎1,3− 172𝑎1,4− 210𝑎2,1− 134𝑎2,2− 30𝑎2,3 + 124𝑎2,4− 210𝑎3,1− 98𝑎3,2+ 70𝑎3,3− 12𝑎3,4− 200𝑎4,1) + 𝑎1,2�−138𝑎1,3− 132𝑎1,4− 126𝑎2,1− 90𝑎2,2− 18𝑎2,3+ 84𝑎2,4− 126𝑎3,1 − 78𝑎3,2+ 66𝑎3,3− 12𝑎3,4− 120𝑎4,1) + 𝑎1,3�−100𝑎1,4− 90𝑎2,1− 62𝑎2,2− 30𝑎2,3+ 52𝑎2,4− 50𝑎3,2+ 22𝑎3,3 − 12𝑎3,4− 90𝑎3,1− 80𝑎4,1) + 𝑎1,4�−84𝑎2,1− 44𝑎2,2− 12𝑎2,3+ 40𝑎2,4− 84𝑎3,1− 44𝑎3,2+ 52𝑎3,3 − 24𝑎3,4− 80𝑎4,1) + 𝑎2,1�−90𝑎2,2− 42𝑎2,3+ 36𝑎2.4− 126𝑎3,1− 54𝑎3,2+ 42𝑎3,3− 12𝑎3,4 − 120𝑎4,1) + 𝑎2,2�−54𝑎2,3− 4𝑎2,4− 66𝑎3,1− 58𝑎3,2− 34𝑎3,3− 12𝑎3,4− 40𝑎4,1� + 𝑎2,3�−36𝑎2,4− 18𝑎3,1− 18𝑎3,2− 42𝑎3,3− 12𝑎3,4� + 𝑎2,4�60𝑎3,1+ 20𝑎3,2− 76𝑎3,3− 24𝑎3,4+ 80𝑎4,1� + 𝑎3,1�−78𝑎3,2+ 18𝑎3,3− 36𝑎3,4− 120𝑎4,1� + 𝑎3,2�−22𝑎3,3− 36𝑎3,4− 40𝑎4,1� + 𝑎3,3�−36𝑎3,4+ 80𝑎4,1� + 22750𝑎1,1 + 15210𝑎1,2+ 11830𝑎1,3+ 10660𝑎1,4+ 13650𝑎2,1+ 10790𝑎2,2+ 5070𝑎2,3 − 2860𝑎2,4+ 13650𝑎3,1+ 8450𝑎3,2+ 650𝑎3,3+ 3900𝑎3,4+ 10400𝑎4,1 − 791375

Dua magic square berikut ini menunjukkan bahwa 𝑎_1,1, 𝑎_1,2, 𝑎_1,3, 𝑎_1,4, 𝑎_2,1, 𝑎_2,2, 𝑎_2,3, 𝑎_2,4, 𝑎3,1, 𝑎3,2, 𝑎3,3, 𝑎3,4, dan 𝑎4,1 tidak secara lengkap menentukan magic square, namun oleh Teorema 5 terdapat maksimal 2 magic square yang memiliki kesamaan ini karena hanya ada 2 nilai 𝑎4,4 yang mungkin.

20 1 13 23 8 4 21 14 2 24 6 22 12 16 9 10 18 15 5 17 25 3 11 19 7 (a) 20 1 13 23 8 4 21 14 2 24 6 22 12 16 9 10 18 11 7 19 25 3 15 17 5 (b)

Gambar 8(a,b). Contoh magic square berukuran 5 × 5

Dengan batasan-batasan yang diberikan oleh Teorema 1 sampai dengan 5 ini maka terdapat 2,202,441,792 banyaknya solusi untuk magic square berukuran 5 × 5 (Meyer, 2010).