122 BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari permasalahan yang telah dibahas
adalah sebagai berikut:
1. Pengkonstruksian integral Lebesgue dari suatu fungsi terukur dimulai
dengan cara pemartisian range dari fungsi terukur yang bernilai tak negatif
ke dalam berhingga buah subinterval, kemudian ditetapkan sebuah nilai
dari setiap subinterval tersebut untuk mewakili nilai-nilai dari barisan
fungsi sederhana yang mendekati fungsi terukur tersebut. Selanjutnya
integral Lebesgue dari fungsi terukur tak negatif dapat didekati oleh
integral Lebesgue dari fungsi sederhana tersebut. Kemudian, Integral
Lebesgue dari sebarang fungsi terukur didefinisikan dengan menggunakan
bagian positif dan bagian negatif dari fungsi tersebut. Sifat-sifat dasar
yang berlaku pada integral Lebesgue diantaranya adalah kelinearan dan
kemonotonan.
2. Kelas-kelas dari terdiri dari
= : | | < ∞ , 0 < < ∞
dan
123
Selanjutnya, dengan menggunakan ketaksamaan Holder dan ketaksamaan
Minkowski diperoleh bahwa untuk 1 ≤ ≤ ∞, Ruang merupakan ruang Norm dengan norm yang didefinisikan oleh
‖ ‖ = | |
terpenuhi, sehingga ‖ ‖ tidak mendefinisikan norm pada .Kemudian
diperoleh pula bahwa untuk 1 ≤ ≤ ∞ di atas, merupakan ruang Lengkap setelah menunjukkan kekonvergenan setiap barisan Cauchy di
.
Selanjutnya, sifat-sifat lain yang berlaku pada diantaranya adalah
a) Jika ∈ + maka ‖ ‖∞= lim →∞‖ ‖ .
b) Untuk 0 < 6 < ≤ ∞ , maka ⊂ dan terdapat konstanta 8 > 0 sedemikian sehingga berlaku ‖ ‖6≤ 8‖ ‖ , ∀ ∈ .
124
5. Jika >? =@ A ? A adalah sebuah fungsional linear dengan 1 ≤ , 6 ≤ ∞ dan ? ∈ ;, maka >? adalah fungsional Linear terbatas
pada dan berlaku />?/=‖?‖6. Selanjutnya, Jika F adalah sebuah
fungsional linear terbatas pada dengan 1 ≤ < ∞, maka terdapat sebuah fungsi ? ∈ ; sedemikian sehingga > = @ A ? AB dan ‖>‖= ‖?‖6.
5.2. Saran
Bagi yang berminat melanjutkan pembahasan ini, penulis menyarankan
membahas tentang sifat-sifat yang masih belum disajikan dalam karya tulis ini,
diantaranya sifat kepadatan dan keterpisahan. Selain itu penulis juga menyarankan
