i
SUPLAI SUKU CADANG KENDARAAN BERMOTOR
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Antonius Andika Rian Perdana 123114012
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
AUTOMOTIVE SPARE PART SUPPLY FORECASTING
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirement to Obtain the Sarjana Sains Degree
In Mathematics
By:
Antonius Andika Rian Perdana Student Number: 123114012
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
vii
Sebab itu janganlah kamu kuatir akan hari besok, karena
hari besok mempunyai kesusahannya sendiri.
Kesusahan sehari cukuplah untuk sehari.
Mateus 6:34
“ Do not stop fighting because somewhere, someone is wishing
for your happiness “
-Anonymous-
Sebuah karya sederhana untuk Bapak, Mama, dan adik tercinta, juga untuk segenap keluarga serta teman-teman terkasih, yang tak pernah letih dalam memberi perhatian lebih.
viii ABSTRAK
Peningkatan jumlah kendaraan bermotor dalam beberapa tahun terakhir tentunya memberikan angin segar pada berbagai perusahaan yang bergerak di bidang otomotif. Terlebih lagi perusahaan yang bertindak sebagai produsen dan distributor suku cadang kendaraan bermotor. Tidak dapat dipungkiri bahwa meningkatnya jumlah kendaraan bermotor selalu diiringi juga dengan tingginya permintaan akan berbagai macam suku cadangnya. Oleh karena itu, tiap-tiap perusahaan harus memutar otak untuk menyusun berbagai perencanaan yang berkaitan dengan suplai dan persediaan barang.
Proses perencanaan tidak bisa lepas dari peramalan, sebab peramalan dapat dijadikan acuan dalam pengambilan keputusan. Salah satu metode peramalan yang sering digunakan adalah metode ARIMA (Autoregressive Integrated Moving
Average). Metode ARIMA sangat sesuai untuk peramalan jangka pendek. Metode
ini memang terlihat sederhana, namun mempunyai tingkat keakuratan yang cukup tinggi. Pada penelitian ini, metode ARIMA akan digunakan untuk peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor, agar persediaan barang menjadi optimal. Data yang digunakan dalam penelitian merupakan data suplai suku cadang kendaraan bermotor periode Januari 2015 – Januari 2017.
Berdasarkan hasil peramalan dengan metode ARIMA, diperoleh kesimpulan bahwa suplai suku cadang kendaraan bermotor tidak mengalami kenaikan ataupun penurunan yang signifikan. Banyaknya suplai masih berada pada batas wajar, yaitu berfluktuasi pada kisaran 10.000 sampai 11.000, dalam periode dua belas minggu ke depan.
ix
The increase in the number of motor vehicles in recent years certainly provide big chance on various companies engaged in automotive. Moreover, the company acting as a manufacturer and distributor of automobile parts. It can not be denied that the increasing number of motor vehicles is always accompanied by high demand for various spare parts. Therefore, each company must have to develop various plans that related to the supply and inventory.
Planning process can not be separated from forecasting, because forecasting can be used as a reference in decision making. One of the most frequently used forecasting methods is the ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) method. The ARIMA method is well suited for short-term forecasting. This method does look simple, but has a fairly high level of accuracy. In this research, ARIMA method will be used for forecasting the supply of automobile parts, so that the inventory becomes optimal. The data used in this research is motor vehicle spare parts supply data from January 2015 - January 2017.
Based on the result of forecasting with ARIMA method, it can be concluded that the supply of automobile parts does not increase or decrease significantly. The amount of supply is still within reasonable limits, ie fluctuating in the range of 10,000 to 11,000, within the next twelve-week period.
x
Segala puji dan syukur saya haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus, oleh karena berkat dan anugerah-Nya yang melimpah, juga atas kasih setia-Nya yang besar sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir yang berjudul: “Penerapan Metode ARIMA untuk Peramalan Suplai Suku Cadang Kendaraan Bermotor”, dalam rangka memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Sanata Dharma.
Dalam penyusunan tugas akhir ini, tentunya tidak lepas dari dukungan dan bantuan berbagai pihak, baik perorangan maupun instansi/lembaga. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing tugas akhir yang telah banyak meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta atas kesabarannya dalam memberikan berbagai ilmu sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan.
2. Bapak YG. Hartono, S.Si, M.Sc., Ph.D., selaku Kepala Program Studi Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik yang selalu memberikan motivasi dan dorongan moral selama kegiatan perkuliahan. 3. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan fakultas Sains
dan Teknologi.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusi Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen-dosen prodi matematika yang telah memberikan berbagai wawasan dan pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.
5. Kedua orangtuaku tercinta, Bapak Yohanes Andum B., Mama Chatarina Rosarianti, adikku Bernadetta Andina Rosa N., dan segenap keluarga terdekat yang selalu memberikan perhatian, dukungan, doa, dan semangat sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.
xii
HALAMAN JUDUL……….... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………. iii
HALAMAN PERNYATAAN……… iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA……….. v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS………... vi
HALAMAN PERSEMBAHAN……… vii
ABSTRAK……… viii
ABSTRACT……… ix
KATA PENGANTAR………. x
DAFTAR ISI………..xii
BAB I PENDAHULUAN……… 1
A. Latar Belakang Masalah………. 1
B. Rumusan Masalah………...3 C. Batasan Masalah………. 4 D. Tujuan Penulisan……… 4 E. Manfaat Penulisan……….. 4 F. Metode Penulisan………5 G. Sistematika Penulisan………. 5
BAB II LANDASAN TEORI……….. 6
A. Data Runtun Waktu……… 6
B. Pola Data Runtun Waktu……… 7
C. Proses Stokastik……… 10
D. Stasioneritas……….. 12
xiii
Autokorelasi Parsial (PACF)……… 16
G. Model Runtun Waktu………... 19
H. Estimasi……….26
BAB III METODE BOX-JENKINS……….. 40
A. Peramalan (Forecasting)……….. 40
B. Tahapan Peramalan dengan Metode Box-Jenkins……… 41
BAB IV APLIKASI METODE BOX-JENKINS UNTUK PERAMALAN SUKU CADANG KENDARAAN BERMOTOR………... 48
A. Metode Penelitian………. 48
B. Peramalan Suplai Suku Cadang Kendaraan Bermotor dengan Metode Box-Jenkins……….. 49 BAB V PENUTUP……….59 A. Kesimpulan………... 59 B. Saran………. 59 DAFTAR PUSTAKA……… 60 LAMPIRAN………... 63
1 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Peramalan (forecasting) adalah seni dan ilmu yang digunakan untuk memperkirakan sesuatu yang belum terjadi atau yang akan terjadi pada waktu mendatang. Peramalan merupakan bagian dari cabang ilmu statistika yaitu statistika inferensi. Namun, dalam perkembangannya ilmu ini lebih sering diasosiasikan dengan cabang ilmu ekonometrika. Peramalan merupakan salah satu unsur yang sangat penting dalam proses pengambilan keputusan. Data masa lalu dikumpulkan, dipelajari, dianalisis dan dihubungkan dengan perjalanan waktu. Berdasarkan data hasil analisis tersebut dapat diperoleh estimasi / pendekatan mengenai apa yang akan terjadi di masa yang akan datang. Pada situasi ini, ketidakpastian menjadi kendala utama sehingga akan ada faktor akurasi / ketelitian yang harus diperhitungkan.
Secara umum, peramalan dapat dilakukan melalui dua metode, yaitu metode kuantitatif dan metode kualitatif. Metode kuantitatif melibatkan pengambilan data pada masa lampau dan memproyeksikan data tersebut pada masa mendatang dengan suatu bentuk model matematis. Metode ini biasa digunakan pada kondisi yang stabil. Sementara, metode kualitatif merupakan prediksi intuisi yang bersifat subjektif. Metode kualitatif digunakan apabila data yang akan dievaluasi, terbatas dan cenderung berubah-ubah.
Selanjutnya, pada metode kuantitatif dan metode kualitatif masih dibedakan lagi ke dalam beberapa model. Menurut Makridakis, metode kuantitatif dibedakan menjadi dua, yaitu Model Runtun Waktu (time series models) dan Model Kausal (causal models). Sementara metode kualitatif dibedakan menjadi empat, yaitu Metode Delphi (Delphi Method), Juri dari Opini Eksekutif (jury of executive
opinion), Komposit dari Tenaga Penjualan (sales force composite), dan Survei
Dalam meramalkan suatu nilai dari variabel tertentu di waktu yang akan datang, harus diperhatikan dan dipelajari terlebih dahulu sifat dan perkembangan dari variabel itu di waktu lampau. Nilai dari suatu variabel dapat diramalkan jika sifat dari variabel tersebut diketahui di waktu sekarang dan di waktu yang lalu. Untuk mempelajari bagaimana perkembangan historis suatu variabel, biasanya nilai-nilai variabel itu diamati menurut urutan waktu. Model Runtun Waktu merupakan salah satu model peramalan yang berkaitan erat dengan himpunan data observasi yang disusun berdasarkan rentang waktu tertentu, atau yang biasa disebut data runtun waktu. Rentang waktu disini dapat berupa tahun, bulan, minggu, dan sebagainya. Pada perkembangan selanjutnya, runtun waktu juga dapat didefinisikan sebagai himpunan variabel acak yang diindeks berdasarkan urutan waktu. Sebagai contoh, asumsikan runtun waktu sebagai barisan variabel acak , dengan merupakan nilai yang diambil pada periode waktu pertama, merupakan nilai yang diambil pada periode waktu kedua, merupakan nilai yang diambil pada periode waktu ketiga, dan seterusnya. Secara umum, himpunan variabel acak * + yang diindeks oleh , , disebut proses stokastik.
Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan salah satu metode yang menggunakan data runtun waktu. Metode ARIMA dikembangkan oleh George Box dan Gwilym Jenkins pada tahun 1970. Metode ini biasa digunakan pada data runtun waktu yang tidak memiliki pola tertentu. Kelompok model runtun waktu yang termasuk dalam metode ini antara lain :
Autoregressive (AR), Moving Average (MA), Autoregressive-Moving Average
(ARMA), dan Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA).
Dewasa ini, peranan dari peramalan sudah menjelajah ke berbagai bidang, salah satunya bidang industri. Khususnya, industri kendaraan bermotor. Industri ini merupakan salah satu dari sekian banyak industri yang berkembang pesat di Indonesia. Berdasarkan data statistik
(https://data.go.id/dataset/jumlah-kendaraan-bermotor-unit), setiap tahun jumlah kendaraan yang terjual di
merupakan salah satu barang kebutuhan yang dalam penggunaannya memerlukan barang pendukung lain, yaitu suku cadang. Dalam teori ekonomi, suku cadang disebut sebagai barang komplementer (pelengkap) untuk kendaraan bermotor, artinya barang tersebut selalu digunakan bersama-sama dengan barang yang dilengkapinya (Yessa, 2016). Kenaikan atau penurunan permintaan dari barang komplementer selalu sejalan dengan barang yang dilengkapinya. Jika angka penjualan kendaraan bermotor meningkat, kebutuhan tiap suku cadangnya juga akan cenderung meningkat (Asmoro, 2012).
Maka, perencanaan dan pengendalian suplai (pasokan) suku cadang dari perusahaan yang bertindak sebagai pemasok, harus benar-benar diperhitungkan. Perencanaan yang baik dapat dicapai dengan peramalan yang baik. Oleh karena itu, perlu dilakukan suatu penelitian terkait tentang peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor agar tercapai persediaan yang optimal dan sesuai dengan permintaan konsumen. Dalam makalah ini, akan dibahas peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor dengan metode ARIMA. Pada penelitian ini, objek data yang diambil berupa rencana suplai bulanan suku cadang kendaraan bermotor dari salah satu perusahaan yang bertindak sebagai pemasok.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, secara garis besar uraian rumusan masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana landasan matematis model ARIMA?
2. Bagaimana merumuskan masalah peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor dengan metode ARIMA?
3. Bagaimana memodelkan masalah peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor dengan metode ARIMA?
C. Batasan Masalah
Agar penulisan dan pembahasan isi menjadi lebih terarah dan tidak menyimpang dari masalah yang dibahas, penulisan tugas akhir ini dibatasi, yaitu: 1. Membahas metode peramalan kuantitatif khususnya metode ARIMA yang
tidak memuat musiman.
2. Landasan teori yang dibahas hanya yang berkaitan langsung dengan pokok perkara tugas akhir.
3. Pendugaan parameter dan estimasi model dilakukan dengan menggunakan program R.
4. Data yang digunakan adalah data suplai suku cadang kendaraan bermotor dari Januari 2015-Januari 2017.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan yang ingin dicapai penulis dalam penulisan tugas akhir ini selain untuk memenuhi syarat tugas akhir dalam program studi Matematika Universitas Sanata Dharma, adalah sebagai berikut :
1. Mengetahui landasan matematis dari model ARIMA.
2. Merumuskan masalah peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor. 3. Memodelkan masalah peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor. 4. Menentukan ramalan untuk suplai suku cadang kendaraan bermotor.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan dari tugas akhir ini adalah:
1. Dapat memodelkan dan mengaplikasikan peramalan dengan metode ARIMA dalam masalah suplai suku cadang kendaraan bermotor.
2. Dapat membantu berbagai pihak untuk meramalkan suplai suku cadang kendaraan bermotor.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir yaitu studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku atau jurnal yang berkaitan dengan peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor. Penulis juga menggunakan studi kasus untuk memperoleh data yang akan digunakan dalam penelitian.
G. Sistematika Penulisan BAB I : PENDAHULUAN
Bab ini secara garis besar menjelaskan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, dan juga tujuan penelitian.
BAB II : LANDASAN TEORI
Bab ini membahas definisi-definisi dan berbagai landasan teori yang terkait dengan analisis data runtun waktu.
BAB III : METODE BOX-JENKINS
Bab ini membahas tentang metode Box-Jenkins yang digunakan dalam peramalan dan beberapa tahapannya.
BAB IV : APLIKASI METODE BOX-JENKINS UNTUK PERAMALAN SUPLAI SUKU CADANG KENDARAAN BERMOTOR
Bab ini menjelaskan tentang aplikasi metode Box-Jenkins untuk peramalan dalam masalah suplai suku cadang kendaraan bermotor.
BAB V : PENUTUP
Bab ini berisi tentang kesimpulan yang diperoleh dari penelitian dan juga saran dari penulis.
6 BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas definisi-definisi dan berbagai landasan teori terkait dengan analisis data runtun waktu.
A. Data Runtun Waktu
Definisi 2.1 Runtun waktu (time series)
Runtun waktu (time series) adalah koleksi dari variabel acak , yang diindeks berdasarkan urutan waktu dengan .
Contoh :
Misalkan, runtun waktu merupakan barisan dari variabel acak , dengan merupakan nilai yang diambil pada periode waktu pertama, merupakan nilai yang diambil pada periode waktu kedua, merupakan nilai yang diambil pada periode waktu ketiga, dan seterusnya (Shumway dan Stoffer, 2011:11).
Dalam praktiknya, terdapat beberapa jenis data menurut waktu, yaitu: 1. Data cross-section, yakni jenis data yang terdiri atas variabel-variabel yang
dikumpulkan pada sejumlah individu atau kategori pada satu waktu tertentu. Misalnya data penjualan perusahaan pada bulan Januari 2014, terdiri dari data penjualan bersih dan data penjualan kotor pada bulan Januari 2014. Contoh lainnya: data kinerja keuangan perusahaan pada bulan Juli 2011, terdiri dari data DER (Debt to Equity Ratio), data ROA (Return On Assets), data laba bersih (earning after interest and tax), dan data keuangan lainnya pada bulan
Juli 2011.
2. Data runtun waktu (time series), yakni jenis data yang terdiri atas variabel-variabel yang dikumpulkan menurut urutan waktu dalam suatu rentang waktu tertentu untuk suatu kategori atau individu tertentu. Jika waktu dipandang bersifat diskrit, frekuensi pengumpulan selalu sama. Pada kasus diskrit, frekuensi dapat berupa detik, menit, jam, hari, minggu, bulan atau tahun, dan
lain-lain. Contohnya, data harian saham, data bulanan BI rate dari tahun 2008-2014, dan lain-lain.
3. Data panel atau pooled, dapat dipandang sebagai gabungan dari data
cross-section dan data runtun waktu, yakni tipe data yang terdiri atas
variabel-variabel yang dikumpulkan menurut urutan waktu dalam suatu rentang waktu tertentu pada sejumlah individu / kategori. Contohnya: faktor eksternal dan faktor internal perusahaan dari tahun 2009-2013; Jumlah ekspor dan impor rempah-rempah Indonesia pada periode 2008-2010 per tiga bulanan (triwulanan).
B. Pola Data Runtun Waktu
Langkah penting dalam memilih suatu model runtun waktu yang tepat adalah dengan mempertimbangkan jenis pola data, sehingga metode yang paling tepat dengan pola tersebut dapat diuji. Pola data runtun waktu dapat dibedakan menjadi empat jenis, yaitu:
1. Pola Horizontal (H)
Pola ini terjadi apabila nilai data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang konstan, yang membentuk garis horizontal. Data ini disebut juga dengan data stasioner. Contoh plot data horizontal pada gambar 2.1 yaitu berupa plot data jumlah curah hujan tahunan (Cryer dan Chan, 2008:2). Dapat dilihat bahwa jumlah curah hujan bervariasi dalam kurun waktu 100 tahun. Adakalanya jumlah curah hujan tinggi, terkadang juga rendah, ataupun berfluktuasi pada suatu nilai tertentu. Pola horizontal tampak jelas dalam plot tersebut.
Jumlah Curah Hujan Tahunan di LA, California
Tahun In c h e s 1880 1900 1920 1940 1960 1980 10 20 30 40
Gambar 2.1
Contoh pola data horizontal 2. Pola Musiman (S)
Pola ini terjadi apabila suatu deret dipengaruhi oleh faktor musiman (misalnya kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari-hari pada minggu tertentu). Pola data musiman dapat mempunyai pola musim yang berulang dari periode ke periode berikutnya. Misalnya, pola yang berulang setiap bulan tertentu, tahun tertentu atau pada minggu tertentu. Contoh dari data musiman ada pada gambar 2.2 yaitu plot kadar karbondioksida bulanan (Cryer dan Chan, 2008:227) . Dari plot tersebut terlihat bahwa terjadi pola yang berulang setiap periode dua belas bulan, sehingga bisa disimpulkan bahwa data tersebut merupakan pola data musiman.
Gambar 2.2
Contoh pola data musiman
3. Pola Siklus (C)
Pola siklus terjadi bila data observasi berfluktuasi secara jangka panjang membentuk pola sinusoid atau gelombang atau siklus. Pola siklus mirip dengan pola musiman. Pola musiman tidak harus berbentuk gelombang, bentuknya dapat bervariasi, namun waktunya akan berulang setiap tahun (umumnya). Sementara pola siklus bentuknya selalu mirip gelombang sinusoid. Untuk menentukan data berpola siklus tidaklah mudah. Pada pola musiman, rentang waktu satu tahun dapat dijadikan pedoman, sedangkan rentang waktu
Kadar Karbondioksida Bulanan di Alert, NWT, Canada
Time C O 2 1994 1996 1998 2000 2002 2004 350 360 370 380
perulangan pada pola siklus tidak tertentu. Pola siklus bisa terulang setelah jangka waktu tertentu.
Pola ini biasanya akan kembali normal setiap 10 atau 20 tahun sekali, bisa juga tidak terulang dalam jangka waktu yang sama. Ini yang membedakan antara pola siklis dengan pola musiman. Gerakan siklus tiap barang / komoditas mempunyai jarak waktu muncul dan sebab yang berbeda-beda, yang sampai saat ini belum dapat dimengerti. Contoh yang menunjukkan pola siklis seperti, industri konstruksi bangunan mempunyai gerakan siklus antara 15-20 tahun sedangkan industri mobil dan pakaian gerakan siklusnya lebih pendek lagi. Contoh lain dari data yang menunjukkan pola siklus ada pada gambar 2.3 yaitu plot rata-rata temperatur bulanan (Cryer dan Chan, 2008:6). Dari plot tersebut terlihat bahwa terjadi pola yang berulang yang membentuk pola sinusoid, sehingga bisa disimpulkan bahwa data tersebut merupakan data yang memuat pola siklus.
Gambar 2.3 Contoh pola data siklus
4. Pola Trend (T)
Pola trend terjadi apabila data observasi menunjukkan pola kecenderungan gerakan penurunan atau kenaikan jangka panjang. Data yang kelihatannya berfluktuasi, apabila dilihat pada rentang waktu yang panjang akan dapat ditarik suatu garis maya yang disebut trend. Suatu data observasi yang mempunyai trend disebut data nonstasioner. Plot data trend dicontohkan pada gambar 2.4, yaitu berupa data pendapatan Johnson & Johnson tiap kuartal
Rata-rata Temperatur Bulanan, Dubuque, Iowa
Time T e m p e ra tu r 1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976 10 30 50 70
tahun (Shumway dan Stoffer, 2011:4). Dari plot tersebut dapat dilihat bahwa terjadi pola tren naik pada tiap periode kuartal tahun.
Gambar 2.4
Contoh pola data trend naik
C. Proses Stokastik
Definisi 2.2 Proses Stokastik
Proses stokastik adalah keluarga variabel acak * + yang didefinisikan pada ruang probabilitas ( ). Disini menunjukkan suatu himpunan yang beranggotakan titik waktu.
Jika (himpunan bilangan real) atau (himpunan bilangan real positif) model disebut runtun waktu kontinu.
Jika (himpunan bilangan bulat) atau (himpunan bilangan asli) model disebut runtun waktu diskrit.
Lebih jauh, untuk yang tetap, ada fungsi ( ), yang disebut realisasi dari proses stokastik. Suatu runtun waktu (time series) adalah proses stokastik dengan T adalah himpunan waktu.
Definisi 2.3 Fungsi Distribusi Kumulatif (FDK) dari suatu proses stokastik Misalkan T menyatakan himpunan dari semua vektor * ( )
+ Maka FDK (dimensi berhingga) dari * +
Pendapatan Johnson & Johnson Tiap Kuartal Tahun
Time P e n d a p a ta n 1960 1965 1970 1975 1980 0 5 10 15
adalah fungsi * ( ) + didefinisikan pada ( ) ( ) sebagai
( ) ( ) ( ) (
)( )
Definisi 2.4 Fungsi Mean / Nilai Harapan
Fungsi mean / nilai harapan dari suatu proses stokastik didefinisikan sebagai ( ) ( ) ∫ ( )
Fungsi ini menyatakan nilai rata-rata dari proses pada keseluruhan data runtun waktu.
Definisi 2.5 Fungsi Kovariansi
Fungsi Kovariansi didefinisikan sebagai
( ) ( ) .( ( ))( ( ))/ dengan ( ) = fungsi kovariansi antara data pengamatan dan = data runtun waktu ke-t
= data runtun waktu ke-s
( ) = rata-rata dari data runtun waktu ( ) = rata-rata dari data runtun waktu
Fungsi kovariansi menyatakan ukuran hubungan antar beberapa data runtun waktu.
Definisi 2.6 Fungsi Korelasi
( ) ( ) √ ( ) ( )
dengan ( ) = fungsi korelasi antara data pengamatan dan ( ) = fungsi kovariansi antara data pengamatan dan
( ) = fungsi variansi data pengamatan
( ) = fungsi variansi data pengamatan
Fungsi korelasi menyatakan derajat asosiasi (hubungan) antara dua data pengamatan pada data runtun waktu.
D. Stasioneritas
Stasioneritas berarti bahwa tidak terjadinya pertumbuhan dan penurunan data. Suatu data dapat dikatakan stasioner apabila pola data tersebut berada pada kesetimbangan di sekitar nilai rata yang konstan dan variansi di sekitar rata-rata tersebut konstan selama waktu tertentu (Makridakis, 1999: 61). Data runtun waktu dikatakan stasioner apabila tidak ada unsur trend dalam data dan tidak ada unsur musiman atau rata-rata dan variansinya tetap.
Selanjutnya stasioneritas dibagi menjadi 2, yaitu: 1. Wide-Sense Stationary (Stasioner Lemah)
Proses stokastik * + dengan * + disebut proses Stasioner W-S jika
(i) (| | )
(ii) ( ) konstanta, tidak bergantung pada t, (iii) ( ) ( )
Jika * + stasioner, maka ( ) ( ), dengan fungsi kovariansi hanya bergantung pada jarak waktu ( ) (tetapi tidak bergantung pada dan/atau secara sendiri-sendiri).
Fungsi kovariansi untuk proses stasioner dapat didefinisikan ulang sebagai ( ) ( ) ( )
dibaca sebagai kovariansi pada lag- . Secara ekuivalen, fungsi korelasi dari proses * + stasioner pada lag- didefinisikan sebagai
( ) ( )
( ) ( )
2. Strictly Stationary (Stasioner Kuat)
Proses stokastik * + disebut bersifat stasioner kuat jika fungsi distribusi kumulatif (FDK) dari ( ) dan ( ) sama untuk semua nilai dan untuk semua . Dengan kata lain, seluruh sifat statistik dari proses stokastik yang bersifat stasioner kuat tidak berubah karena pergeseran waktu.
Selain itu, stasioneritas dapat ditentukan berdasarkan pola data runtun waktu yang dapat dilihat dari plot grafiknya. Secara visual, stasioneritas dari data runtun waktu dapat dibagi menjadi 2, yaitu :
1. Stasioner dalam mean (rata-rata)
Stasioner dalam mean adalah fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi tersebut. Dari bentuk plot data seringkali dapat diketahui bahwa data tersebut stasioner atau tidak stasioner.
2. Stasioner dalam Variansi
Suatu data runtun waktu dikatakan stasioner dalam variansi apabila struktur data dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan dan tidak berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat dibantu dengan menggunakan plot runtun waktu, yaitu dengan melihat fluktuasi data dari waktu ke waktu.
Di dalam analisis runtun waktu, asumsi stasioneritas data merupakan sifat yang penting. Pada model stasioner, sifat-sifat statistik di masa yang akan datang dapat diramalkan berdasarkan data historis yang telah terjadi di masa lalu. Oleh karena
itu, untuk mengetahui kestasioneran data runtun waktu perlu dilakukan pengujian terhadap data tersebut. Pengujian stasioneritas dari suatu data runtun waktu dapat dilakukan dengan beberapa cara berikut.
1. Pengujian kestasioneran data dalam mean dapat menggunakan plot dari data dalam urutan waktu, plot fungsi autokorelasi (ACF), dan plot fungsi autokorelasi parsial (PACF). Jika data mengandung komponen tren, data nonstasioner dalam mean dan plot ACF/PACF akan meluruh secara perlahan. ACF dan PACF akan didefinisikan kemudian.
2. Pengujian kestasioneran dalam variansi dapat menggunakan plot ACF dan PACF dari residual kuadrat.
3. Stasioneritas dari data juga dapat diperiksa dengan mengamati apakah data runtun waktu mengandung akar unit (unit root), yakni apakah terdapat komponen tren dalam data. Konsep tentang akar unit akan dibahas pada halaman 22. Beberapa metode yang sering digunakan dalam uji akar unit, di antaranya adalah Dickey-Fuller dan Augmented Dickey - Fuller.
Setelah dilakukan pengujian kestasioneran data, kita dapat mengetahui apakah data tersebut stasioner atau tidak. Apabila data tidak stasioner, maka data tersebut harus dibuat mendekati stasioner dengan menggunakan transformasi data.
E. Transformasi Data Runtun Waktu
Pada data runtun waktu yang tidak stasioner dalam mean maupun tidak stasioner dalam variansi, perlu dilakukan suatu transformasi data agar nantinya dapat diperoleh data yang stasioner. Beberapa jenis transformasi yang sering digunakan sebagai berikut.
1. Differencing (Pembedaan)
Salah satu jenis transformasi yang sering digunakan dalam analisis runtun waktu adalah transformasi diferens. Differencing dilakukan untuk menstasionerkan data nonstasioner. Operator langkah mundur (backward
shift) sangat tepat untuk menggambarkan proses differencing (Makridakis,
1999:383). Penggunaan backward shift adalah sebagai berikut :
(2.1)
dengan = nilai variabel X pada waktu = nilai variabel X pada waktu
B = backward shift
Notasi B yang dipasang pada X mempunyai pengaruh untuk menggeser data satu satuan waktu ke belakang. Sebagai contoh, jika suatu data time series nonstasioner maka data tersebut dapat dibuat mendekati stasioner dengan melakukan differencing orde pertama dari data. Rumus untuk differencing orde pertama, yaitu :
(2.2)
dengan = nilai variabel X pada waktu t setelah differencing.
Dengan menggunakan notasi backward shift persamaan (2.2) dapat ditulis menjadi :
atau
( )
2. Transformasi Logaritma
Untuk menstabilkan variansi dari data runtun waktu, dapat digunakan transformasi Box-Cox. Salah satu jenis transformasi Box-Cox yang sering digunakan adalah transformasi logaritma, yang biasanya digabungkan dengan melakukan pembedaan terhadap data hasil transformasi logaritma. Transformasi logaritma dilakukan dengan cara memberikan operasi logaritma pada data runtun waktu.
( )
F. Fungsi Autokovariansi, fungsi Autokorelasi (ACF) dan fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)
Pada subbab ini, akan dibahas beberapa fungsi yang berkaitan langsung dengan analisis data runtun waktu model ARIMA. Fungsi-fungsi tersebut adalah fungsi autokovariansi, fungsi autokorelasi, dan fungsi autokorelasi parsial.
Definisi 2.7 Fungsi Autokovariansi
Fungsi Autokovariansi didefinisikan sebagai
( ), untuk (2.3) dengan
( ) ,( )( - ( )
dengan = autokovariansi pada lag-k = nilai variabel X pada waktu t+k = rata-rata
Definisi 2.8 Fungsi Autokorelasi (ACF)
Autokorelasi merupakan korelasi atau hubungan keeratan antar pengamatan dalam suatu data runtun waktu. Koefisien autokorelasi untuk lag---k dari data runtun waktu dinyatakan sebagai berikut:
( )
√ ( ) ( )
,( )(
-√ ( ) √ ( ) (2.4)
Definisi 2.9 Fungsi Autokorelasi Parsial
Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) pada lag-k adalah korelasi di antara dan
setelah dependensi linear antara dan , variabel antara diabaikan.
Lebih lanjut, fungsi PACF akan dijabarkan dalam proses berikut. Misalkan * + adalah suatu proses stasioner dengan mean nol. Misalkan dapat ditulis
sebagai model linear :
dengan adalah parameter ke-i dari persamaan regresi, dan adalah komponen error yang tidak berkorelasi dengan untuk
Kalikan dengan pada kedua sisi dan ambil nilai harapannya, maka diperoleh : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Untuk j=1,2,…,k diperoleh sistem persamaan berikut (subsitusikan ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) ( ) atau dapat ditulis dalam bentuk matriks :
[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ ] [ ( ) ( ) ( ) ( )]
atau dengan [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ ] , dan [ ( ) ( ) ( ) ( )]
Menggunakan metode Cramer diperoleh nilai-nilai fungsi autokorelasi parsial
untuk lag | | | | | | | |
| | | |
Selanjutnya, akan dibahas Algoritma Durbin-Levinson yang akan digunakan dalam estimasi PACF.
Teorema 2.1 Algoritma Durbin-Levinson untuk PACF (Rosadi, 2011:69)
Jika * + adalah proses yang stasioner dengan mean 0 dan memiliki kovariansi ( ) dan ACF ( ) sedemikian hingga ( ) dan ( ) jika maka PACF dapat dihitung secara rekursif sebagai
( ) ∑ ( ) ∑ ( )
dengan nilai awal ( ).
G. Model Runtun Waktu
Salah satu langkah yang paling penting dalam proses peramalan adalah menentukan model yang tepat dan sesuai. Model merupakan representasi simbolik dari realita (Makridakis, 1999:524). Dengan adanya model, proses peramalan menjadi lebih teratur dan terarah. Peramalan dengan metode kuantitatif dilakukan dengan melibatkan pengambilan data masa lalu dan menempatkannya ke masa yang akan datang dengan suatu bentuk model yang matematis. Dalam metode tersebut, model spesifik digunakan untuk merepresentasikan pola dasar yang dimuat dalam data runtun waktu.
1. Proses White Noise
Definisi 2.11
Proses White Noise * + adalah barisan variabel random yang tidak berkorelasi dengan mean (sering diasumsikan bernilai 0) dan variansi , yakni
( ) { Dari definisi 2.11 diperoleh bahwa
( ) {
( ) {
Dengan demikian proses White Noise bersifat stasioner. Proses ini menjadi dasar bagi proses stasioner lainnya dan sering ditulis dengan ( ). Contoh 2.1:
Diberikan contoh koleksi dari 500 variabel acak dengan , dapat diperoleh plot grafik pada gambar 2.5, grafik dibuat dengan menggunakan program R yang prosesnya dapat dilihat pada lampiran 1 (Shunway dan Stoffer, 2011:12).
Gambar 2.5 Plot Grafik White Noise
White Noise Time w 0 100 200 300 400 500 -2 -1 0 1 2
2. Model Autoregressive (AR)
Model Autoregressive didasarkan pada ide bahwa nilai saat ini pada deret , dapat dinyatakan sebagai fungsi dari nilai di masa lampau,
dengan adalah banyaknya langkah menuju ke masa lampau
yang diperlukan untuk meramalkan nilai saat ini.
Definisi 2.12
Suatu model autoregressive dengan orde , yang dinotasikan ( ), mempunyai bentuk sebagai berikut
, (2.5) dengan stasioner, dan adalah konstanta. Diasumsikan white
noise dengan rata-rata 0 dan variansi . Lebih lanjut, jika rata-rata adalah , subsitusi dengan akan diperoleh
( ) ( ) ( ) , atau dapat ditulis
,
dengan ( ). Lebih jauh, dapat juga ditulis dalam bentuk
( ) Contoh 2.2:
Berdasarkan contoh pada proses white noise, dapat dihitung output menggunakan persamaan orde kedua
untuk .
Dari persamaan tersebut diperoleh plot grafik pada gambar 2.6, grafik dibuat dengan menggunakan program R yang dapat dilihat pada lampiran 1 (Shunway dan Stoffer, 2011:14).
Gambar 2.6
Plot Grafik Autoregressive
3. Akar Unit (Unit Root)
Masalah akar unit pada runtun waktu berkaitan dengan akar-akar polinomial autoregresifnya (Rusdi, 2011: 68). Untuk memahami konsep akar unit, pandang model runtun waktu ( ) :
( )
Model runtun waktu ( ) dikatakan mempunyai akar unit jika
Lebih jauh, model runtun waktu ( ) :
( ) dikatakan mempunyai akar unit jika
∑
Model runtun waktu yang mempunyai akar unit merupakan model runtun waktu yang tidak stasioner, namun tidak berlaku sebaliknya (Jing, 2014). Untuk
Autoregressive Time x 0 100 200 300 400 500 -5 0 5
memeriksa akar unit pada suatu model runtun waktu, dapat dilakukan dengan menggunakan uji Dickey – Fuller atau Augmented Dickey – Fuller. Pada model ( ) uji akar unit dikatakan tidak relevan sehingga dapat diabaikan (Magee, 2013).
Contoh 2.3:
Diketahi model runtun waktu ( ) :
( )
Dapat ditulis dengan operator backshift sebagai berikut : ( )
dengan
( ) merupakan polinomial dalam operator dan dinamakan polinomial autoregresif , ( ) polinomial berderajat 1 dalam . Akar polinomial autoregresif adalah penyelesaian dari ( )
Jadi, polinomial ( ) mempunyai akar , sebab ( ) apabila . Jika diperoleh sehinga dinamakan akar unit dan mempunyai akar unit.
4. Model Moving Average (MA)
Sebagai suatu alternatif dari representasi autoregressive, dengan pada ruas kiri dari persamaan (2.5) diasumsikan sebagai kombinasi linear, model
moving average dengan orde , ditulis dengan ( ), mengasumsikan white noise pada ruas kanan dari persamaan yang didefinisikan merupakan suatu kombinasi linear untuk membentuk data yang diobservasi.
Definisi 2.13
Model Moving Average dengan orde , atau model ( ), didefinisikan sebagai (2.6)
dengan terdapat lag dalam moving average dan …, ( ) adalah konstanta. Diasumsikan white noise dengan mean 0 dan variansi .
Model moving average juga dapat ditulis dengan menggunakan operator
Backshift, yaitu
( ) Contoh 2.4:
Diketahui model Moving Average(MA),
( )
Dari persamaan tersebut dapat dibentuk plot sebagai berikut (gambar 2.7), grafik dibuat dengan menggunakan program R yang dapat dilihat dalam lampiran 1 (Shunway dan Stoffer, 2011:13).
Gambar 2.7
Plot Grafik Moving Average
5. Model Autoregressive Moving Average (ARMA)
Model ini merupakan gabungan antara model Autoregressive (AR) dan model Moving Average (MA). Suatu runtun waktu * + merupakan ARMA( ) jika * + stasioner dan
Moving Average Time v 0 100 200 300 400 500 -1 .5 -1 .0 -0 .5 0 .0 0 .5 1 .0 1 .5
dengan dan Secara berturut-turut, parameter dan disebut orde dari autoregressive dan moving average.
Jika mempunyai rata-rata tak nol dan didefinisikan
( ) maka model ARMA ( ) dapat ditulis sebagai berikut
(2.7)
dengan asumsi white noise dengan mean 0 dan variansi .
Model ARMA ( ) juga dapat ditulis dengan menggunakan operator backshift ( ) ( )
Beberapa kejadian khusus pada model ARMA, yaitu :
a. Saat model ini disebut model autoregressive dengan orde p, ( ) b. Saat model ini disebut model moving average dengan orde q, ( )
6. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan gabungan dari model AR(p), proses differencing, dan model MA(q). Dengan kata lain, apabila unsur nonstasioner ditambahkan pada model campuran ARMA maka model umum ( ) terpenuhi. Bentuk umum ( ) dapat ditulis menggunakan bentuk operator backshift yaitu :
( )( ) ( )
(2.8)
dengan
( ) ( ) adalah operator backshift untuk AR (Autoregressive)
( ) ( ) adalah operator backshift untuk MA (Moving Average)
H. Estimasi
Salah satu langkah yang paling penting dalam peramalan yaitu estimasi atau pendugaan. Estimasi adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui. Dalam kasus ini, populasi yang digunakan berupa data runtun waktu. Pada subbab ini, akan dibahas beberapa estimasi fungsi dan model yang digunakan dalam proses peramalan.
1. Estimasi Mean
Misalkan ( ) adalah fungsi mean dari suatu proses (W-S) stasioner. Diberikan data maka penduga untuk fungsi mean diberikan oleh
̅ ∑
(2.9)
Diperoleh ( ̅ ) yang merupakan penduga tak bias untuk . Tak bias artinya nilai harapan dari penduga sama dengan parameter yang diduga.
2. Sampel Autokovariansi
Estimator untuk koefisien autokovariansi dapat didefinisikan sebagai ̂ ∑( ̅ )( ̅ ) atau ̂ ∑( ̅ )( ̅ ) (2.10) dengan ̂ = koefisien autovarian lag-k
= ukuran sampel
̅ = rata-rata pengamatan = pengamatan pada waktu ke-t
3. Sampel Autokorelasi (ACF)
Koefisien fungsi autokorelasi pada persamaan (2.4) dapat diduga dengan koefisien autokorelasi sampel, yaitu
̂ ∑ ( ̅)( ̅)
∑ ( ̅)
(2.11)
dengan ̂ koefisien autokorelasi lag-k
Contoh 2.5 :
Diberikan contoh cara menghitung secara numerik fungsi autokorelasi, dengan diketahui data runtun waktu pada tabel 2.1
Tabel 2.1 Data runtun waktu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 8 15 7 6 5 10 12 11 14
Autokorelasi sampel untuk data runtun waktu pada tabel 2.1 dapat dihitung dengan persamaan (2.11)
̂ ∑ ( ̅)( ̅)
∑ ( ̅) dengan dan ̅ . Misalkan , sehingga
diperoleh ̂ ∑ ( ̅)( ̅) ∑ ( ̅) ̂ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
̂ adalah koefisien autokorelasi pada lag 0, ̂ adalah koefisien autokorelasi pada lag 1. Dengan cara yang sama, dapat dihitung koefisien autokorelasi ̂ ̂ , dan seterusnya.
Setelah dihitung semua nilai koefisiennya, diperoleh plot grafik ACF sebagai berikut:
Gambar 2.8 Plot Grafik Sampel ACF
4. Sampel PACF
Koefisien fungsi autokorelasi parsial pada persamaan (2.5), dapat diduga dengan koefisien autokorelasi parsial sampel secara rekursif. Metode rekursif dimulai dengan ̂ ̂ . Untuk perhitungan ̂ diberikan sebagai berikut
0 2 4 6 8 -0 .5 0 .0 0 .5 1 .0 Lag A C F Series data_contoh
̂ ∑ ̂ ̂ ∑ ̂ ̂ (2.12) dan ̂ ̂ ̂ ̂ (2.13) dengan
̂ koefisien autokorelasi parsial
Contoh 2.6
Berdasarkan pada contoh 2.5, selanjutnya dapat dihitung koefisien auokorelasi parsial dengan menggunakan persamaan (2.12) dan (2.13). Pada proses perhitungan koefisien sampel ACF diperoleh ̂ ̂ dan ̂ , selanjutnya dapat dicari koefisien autokorelasi parsial yaitu
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ) ̂ ̂ ̂ ̂ ( )( ) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
Untuk ̂ lainnya dapat dihitung dengan cara yang sama seperti contoh di atas.
Gambar 2.9
Plot Grafik Sampel PACF
5. Estimasi Model Autoregressive (AR)
Asumsikan bahwa data runtun waktu adalah realisasi dari proses ( ) yang dapat digambarkan dengan persamaan
dengan adalah proses ( ). Akan diestimasi parameter dan berdasarkan observasi .
Salah satu metode estimasi paramater adalah metode maksimum likelihood yang prinsipnya menentukan penduga parameter , yang dapat memberikan nilai likelihood (kemungkinan) paling besar.
Definisi 2.14
Fungsi likelihood adalah suatu fungsi dari parameter dari model statistik ( | ) ( | ) 2 4 6 8 -0 .6 -0 .4 -0 .2 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 Lag P a rt ia l A C F Series data_contoh
dengan adalah data sampel, ( | ) adalah fungsi densitas peluang dengan data pengamatan dari parameter .
Definisi 2.15
Misalkan adalah fungsi densitas peluang bersama dari ( ) yang bergantung pada parameter , yaitu ( ) ( | ). Nilai dari yang menghasilkan nilai maksimum untuk ( ) disebut Maximum Likelihood
Estimator (MLE) dan dinyatakan dalam simbol ̂. Jadi,
( | ) ( | )
Diketahui, nilai harapan dari untuk dengan adalah , | - ( ) ( )
dan variansi bersyarat yaitu
( | ) ( )
dimana semua distribusi bersyarat untuk normal dengan rata-rata sama dengan prediksi pada langkah pertama dan variansi .
Fungsi likelihood bersyarat diperoleh dari fungsi densitas gabungan dari data observasi ( ) bersyarat pada orde p yang pertama :
( | ) ∑ ( ∑ ( ) ) (2.14) Memperhatikan persamaan (2.14), diperoleh bahwa maksimisasi fungsi L terhadap parameter dan adalah ekuivalen dengan minimisasi dari jumlahan kuadrat dari prediksi galat pada langkah pertama dan dapat ditulis sebagai berikut
∑ ∑ ( ∑ ( ) ) (2.15)
dengan ( ∑ ( ))
Selanjutnya, diperoleh penduga untuk yaitu
̂ ( ) ∑
Untuk penduga bagi dapat diperoleh sebagai derivatif parsial dari L relatif terhadap , yaitu ̂ ∑ ( ̂ ∑ ̂ )
Diperoleh penyelesaian untuk ̂ sebagai berikut
̂
∑ ( ∑ ̂
)
Kemudian, untuk mendapatkan penduga , subsitusikan dengan ̅ pada persamaan (2.15) dan misalkan ( ̅ ̅) dapat diperoleh:
̂ ( ∑ ) ( ∑ ( ̅) ) (2.16) Contoh 2.6 :
Diketahui persamaan untuk model ARIMA(1,0,0) atau AR(1) :
Akan diduga parameter dengan diketahui data seperti pada contoh 2.5 pada tabel 2.1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Karena dan ̅ , maka berdasarkan persamaan (2.16) diperoleh : ̂ ∑ ( ̅)( ̅) ∑ ( ̅) (( )( )) (( )( )) (( )( ))( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jadi, diperoleh nilai koefisien ̂ untuk persamaan model AR(1) adalah ̂ .
6. Estimasi Model Moving Average (MA)
Diketahui proses dibangkitkan oleh proses MA(q)
dengan adalah proses White Noise dengan mean 0 dan variansi , dan adalah suatu konstanta yang tidak berhubungan dengan . Pada bagian ini akan ditentukan penduga untuk parameter-parameter dan berdasarkan observasi .
Untuk mendapatkan penduga maksimum likelihood, perlu dibentuk fungsi densitas gabungan Diasumsikan bahwa proses White Noise
berdistribusi normal, sehingga juga akan berdistribusi normal. Berdasarkan fungsi densitas peluang dari ,
Pendekatan sederhana pada asumsi bahwa nilai q yang pertama dari adalah nol:
Misalkan, menyatakan ( ) vektor ( ). Maka ( | ) ( )
atau dapat ditulis
| ( | ) √ [ ( ) ] √ 0 1
Selanjutnya, berdasarkan distribusi dari pengamatan kedua bersyarat dengan , diperoleh
Lebih jauh, pengamatan yang diberikan pada , nilai dari maka dapat diketahui secara jelas:
dan dengan ( | ) (( ) ), yang artinya | ( | ) √ [ ( ) ] √ 0 1
Karena sudah diketahui, maka dapat dicari
Berdasarkan langkah-langkah perhitungan di atas, dapat diketahui bahwa , untuk memperoleh deret yang lengkap * + dapat dihitung dari * + melalui iterasi pada
untuk , dimulai dari . Fungsi likelihood (bersyarat pada ) dari keseluruhan sampel dapat dihitung sebagai hasil dari masing-masing densitas:
| ( | )
Logaritma dari fungsi likelihood bersyarat adalah
( ) | ( | )
( ) ( ) ∑ ( )
Fungsi tersebut merupakan persamaan non-linear dari dan sehingga sulit untuk diselesaikan secara analitik. Oleh karena itu, perhitungan dilakukan dengan bantuan program R.
Contoh 2.7 :
Diketahui persamaan untuk model ARIMA(0,0,1) atau MA(1) :
Akan diduga parameter dengan diketahui data seperti pada contoh 2.4 pada tabel 2.1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 8 15 7 6 5 10 12 11 14
Proses perhitungan penduga untuk parameter dari model MA(1) tidak dapat dilakukan secara analitik, oleh karena itu penulis menggunakan program R. Dengan bantuan program R, diperoleh nilai pendugaan yaitu ̂ . Dengan perintah dalam program R sebagai berikut:
> data=read.csv(file.choose()) > xt=data[,2] > arima(xt,c(0,0,1)) Call: arima(x = xt, order = c(0, 0, 1)) Coefficients: ma1 intercept 0.0777 10.0469 s.e. 0.2897 1.1015
sigma^2 estimated as 10.32: log likelihood = -25.86, aic = 57.73
7. Estimasi Model Autoregressive Moving Average (ARMA) Diketahui persamaan untuk model MA(1) :
dengan nilai harapan 0.
Nilai harapan dari bergantung pada nilai sebelumnya, seperti pada AR dan untuk memperolehnya kita harus menyatakan sebagai fungsi dari nilai sebelumnya. Dimulai dengan , karena , dan , dapat diperoleh :
dan ambil nilai harapan dari persamaan di atas, dengan mengasumsikan ( | ) , sehingga diperoleh nilai harapan dari distribusi bersyarat :
( | ) dan variansi
( | ) ( )
Kemudian, dengan cara yang sama untuk diperoleh :
dengan
( | )
dan
( | ) ( )
Persamaan-persamaan di atas merupakan persamaan non-linear dalam parameter dan sulit untuk memperoleh solusinya dalam proses MA(q). Oleh karena itu, digunakan alternatif lain untuk memperoleh nilai dari parameter . Akan diamati setiap nilai dari parameter dengan persamaan :
(2.17) Dan selanjutnya dengan menggunakan persamaan (2.17) dilakukan perhitungan secara rekursif untuk , yang bergantung pada suatu nilai awal .
Ambil , dapat dihitung semua kemungkinan nilai yang dimulai dari . Sehingga diperoleh : ( | ) dan ( | ) ,( ) - , - dengan fungsi likelihood bersyarat :
( | ) ( )
∑
Maksimisasi dari fungsi tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan penyelesaian dari algoritma non-linear. Penduga dari fungsi likelihood pada model ARMA(p,q) dapat diperoleh dengan menggunakan prinsip yang sama.
Misalkan, ( ) dan ( ) merupakan vektor parameter, fungsi likelihood bersyarat yaitu :
( | ) ( )
∑
(2.18) Sehingga dapat diperoleh ( | ), yang dapat dihitung dari vektor
dan dari nilai awal. Penduga tersebut dihitung secara rekursif dengan rata-rata dari :
̂ ̂ ̂
(2.19) dengan dan ( ) dengan asumsi nilai r (residual) awal 0.
Maksimisasi dari persamaan (2.18) memerlukan nilai awal dari parameter yang dapat diperoleh dengan menggunakan algoritma Hannan-Rissanen.
Dalam algoritma Hannan-Rissanen, akan dicari penduga awal dari proses ARMA(p,q) melalui dua langkah, yaitu :
1.) Penduga dari residual model dapat diperoleh dengan menggunakan AR dari orde . Misalkan, adalah koefisien yang diduga dari persamaan (2.16). Residualnya dapat dihitung dengan rata-rata dari :
̂ ̂ ∑ ̂
2.) Dengan menggunakan residual yang diduga pada langkah (1), dapat diduga regresi :
̂ ̂
(2.20) Penduga dari regresi tersebut memberikan penduga awal.
Algoritma Hannan-Rissanen dapat digunakan untuk memperoleh penduga dari model ARMA dengan melakukan iterasi seperti langkah di atas yang memerlukan persamaan regresi. Selain itu, dengan menggunakan parameter yang diduga pada langkah (2) dapat dihitung nilai residual-residual baru dengan mengulang penduga dari persamaan (2.20) sampai konvergensi dipenuhi.
Contoh 2.8 :
Diketahui persamaan untuk model ARIMA(1,0,1) atau ARMA(1,1) :
Akan diduga parameter dan dengan diketahui data seperti pada contoh 2.4 pada tabel 2.1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 8 15 7 6 5 10 12 11 14
Kesulitan yang sama dalam pendugaan parameter model MA juga terjadi pada pendugaan parameter model ARMA. Proses perhitungan penduga untuk parameter dan juga tidak dapat dilakukan secara analitik, oleh karena itu penulis menggunakan program R. Dengan bantuan program R, diperoleh nilai pendugaan yaitu ̂ dan . Dengan perintah dalam program R sebagai berikut:
> data=read.csv(file.choose()) > xt=data[,2] > arima(xt,c(1,0,1)) Call: arima(x = xt, order = c(1, 0, 1)) Coefficients:
ar1 ma1 intercept 0.1957 -0.0935 10.0738 s.e. 1.0651 1.0271 1.1605
40
METODE BOX-JENKINS
A. Peramalan (Forecasting)
1. Definisi dan Tujuan Peramalan
Peramalan merupakan prediksi nilai-nilai sebuah variabel berdasarkan pada nilai yang diketahui dari variabel tersebut atau variabel yang berhubungan (Makridakis, 1999:519). Peramalan menjadi dasar untuk berbagai perencanaan dan proses pengambilan keputusan sehingga tak jarang peramalan disebut sebagai bagian integral dari kegiatan pengambilan keputusan (Makridakis, 1999:4). Pada berbagai peristiwa yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari, seringkali terdapat senjang waktu antara kesadaran akan kebutuhan mendatang dengan peristiwa itu sendiri. Oleh karena itu, peramalan diperlukan untuk menetapkan kapan suatu peristiwa akan terjadi atau timbul sehingga tindakan yang tepat dapat dilakukan (Makridakis, 1999:3).
Selanjutnya, peramalan memegang peranan penting dalam berbagai aspek bidang, terutama bidang yang sangat berkaitan erat dengan proses perencanaan, yaitu ekonomi dan manajemen. Dalam perkembangannya, setiap perusahaan ataupun organisasi yang bergerak di bidang tersebut akan semakin meningkatkan usahanya untuk mengurangi ketergantungan pada hal-hal yang belum pasti. Hal itu berakibat pada meningkatnya kebutuhan akan peramalan.
2. Klasifikasi Peramalan
Peramalan dapat diklasifikasikan berdasarkan periode waktunya, yaitu : a. Peramalan Jangka Pendek
Meliputi jangka waktu kurang dari tiga bulan sampai dengan satu tahun. Biasanya, ditujukan untuk merencanakan pembelian bahan baku, jadwal kerja, tenaga kerja, dan tingkat produksi.
b. Peramalan Jangka Menengah
Meliputi jangka waktu bulanan sampai dengan tiga tahun. Ditujukan untuk merencanakan penjualan, anggaran produksi, dan kas.
Meliputi jangka waktu tiga tahun atau lebih. Ditujukan untuk merencanakan produk baru, pembelanjaan modal, pengembangan lokasi dan fasilitas, serta penelitian dan pengembangan.
Metode ARIMA sering juga disebut metode runtun waktu Box-Jenkins. Metode Box-Jenkins merupakan salah satu metode yang sering digunakan dalam peramalan. Metode ini sangat baik ketepatannya untuk peramalan jangka pendek, sedangkan untuk peramalan jangka panjang ketepatan peramalannya kurang baik. Dalam proses peramalan, metode ini menggunakan nilai di masa lalu dan sekarang dari variabel dependen untuk menghasilkan peramalan jangka pendek yang akurat.
B. Tahapan Peramalan dengan Metode Box-Jenkins
Tahapan dalam proses peramalan dapat dijelaskan sebagai berikut: 1. Preprocessing Data dan Identifikasi Model Stasioner
Pada tahap awal, dilakukan identifikasi model runtun waktu yang mungkin digunakan untuk memodelkan sifat-sifat atau karakteristik data. Identifikasi secara sederhana dapat dilakukan secara visual dengan melihat plot dari data, untuk melihat adanya tren, komponen musiman, nonstasioneritas dalam variansi, dan lain-lain. Tahapan ini juga dapat digunakan untuk melihat teknik preprocessing data manakah yang perlu digunakan untuk membentuk data yang stasioner. Beberapa teknik preprocessing data yang umum dilakukan adalah seperti membuang outlier dari dalam data, filtering data menggunakan model atau teknik statistika tertentu, transformasi data, melakukan operasi difference, detrend (membuang komponen tren), deseasonal-isasi (membuang komponen musiman), dan lain-lain. Stasioneritas dari data dapat dilihat dari bentuk fungsi sampel ACF dan fungsi sampel PACF, ataupun dengan menggunakan uji unit root terhadap data.
menghasilkan data yang stasioner, dapat ditentukan bentuk model ARMA (Autoregressive Moving Average) yang tepat dalam menggambarkan sifat atau karakteristik data. Hal tersebut dapat dilakukan dengan cara membandingkan plot sampel ACF dan PACF dengan sifat-sifat fungsi sampel ACF dan PACF teoretis dari model ARMA. Rangkuman plot sampel dan gambar ilustrasi ACF/PACF dari model ARMA diberikan pada tabel 3.1 dan tabel 3.2 :
Tabel 3.1
Rangkuman Plot Sampel ACF dan Sampel PACF
Proses Sampel ACF Sampel PACF
White Noise
Tidak ada yang melewati batas interval pada lag > 0
Tidak ada yang melewati batas interval pada lag > 0
AR(p) Meluruh menuju nol secara eksponensial
Di atas batas interval maksimum sampai lag ke p dan di bawah batas pada lag > p
MA(q) Di atas batas interval maksimum sampai lag ke q dan di bawah batas pada lag > q
Meluruh menuju nol secara eksponensial
ARMA(p,q) Meluruh menuju nol secara eksponensial
Meluruh menuju nol secara eksponensial
Gambar Ilustrasi Sampel ACF dan Sampel PACF
Proses Sampel ACF Sampel PACF
White Noise AR(p) MA(q) ARMA(p,q) 2 4 6 8 10 12 -0 .0 5 0 .0 0 0 .0 5 White Noise Lag ke-A C F 2 4 6 8 10 12 -0 .0 5 0 .0 0 0 .0 5 Lag ke-P a rt ia l A C F White Noise 2 4 6 8 10 -0 .2 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 AR(p) untuk p=1 Lag ke-A C F 2 4 6 8 10 -0 .2 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 Lag ke-P a rt ia l A C F AR(p) untuk p=1 2 4 6 8 10 12 -0 .1 0 0 .0 0 0 .1 0 0 .2 0 MA(q) untuk q=1 Lag ke-A C F 2 4 6 8 10 12 -0 .1 5 -0 .0 5 0 .0 5 0 .1 5 Lag ke-P a rt ia l A C F MA(q) untuk q=1 2 4 6 8 10 12 14 -0 .2 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6
ARMA(p,q) untuk p=1 dan q=1
Lag ke-A C F 2 4 6 8 10 12 14 -0 .2 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 Lag ke-P a rt ia l A C F
Setelah digunakan bentuk model yang kira-kira sesuai untuk data, selanjutnya dilakukan estimasi terhadap parameter dalam model, seperti koefisien dari model ARMA dan nilai variansi dari residual. Estimasi dari model ARMA dapat dilakukan dengan beberapa metode, seperti Maximum Likelihood Estimator (MLE), Least Square (Kuadrat Terkecil), Hannan Rissanen, metode Whittle, dan lain-lain. Dalam tugas akhir ini, metode estimasi yang digunakan adalah
Maximum Likelihood Estimator (MLE).
3. Diagnostic Check dan Pemilihan Model Terbaik
Langkah selanjutnya adalah melakukan diagnostic check dari model yang telah diestimasi pada tahap sebelumnya, yakni dengan cara melakukan verifikasi kesesuaian model dengan sifat-sifat data. Jika model tersebut merupakan model yang tepat, maka data yang dihitung dengan model (fitted value) akan memiliki sifat-sifat yang mirip dengan data asli. Dengan demikian, residual yang dihitung berdasarkan model yang telah diestimasi harus memenuhi asumsi-asumsi dari model teoretis, seperti sifat White Noise, tidak adanya korelasi serial pada residual, normalitas dari residual, dan homogenitas dari residual. Oleh karena itu, perlu dilakukan pengujian terhadap masing-masing asumsi. Beberapa uji yang digunakan adalah sebagai berikut.
a. Uji White Noise
Pengujian white noise pada residual dapat dilakukan dengan menggunakan uji statistik Q Box-Pierce dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1. : Residual memenuhi proses white noise :
2. : Residual tidak memenuhi proses white noise :
3.
( ) ∑
banyaknya observasi dalam runtun waktu banyaknya lag yang diuji
nilai koefisien autokorelasi pada lag k 5. Wilayah Kritis
ditolak jika ( ) ( ) atau p-value . 6. Kesimpulan
b. Uji Normalitas Residual
1. Residual berdistribusi normal ( ) ( )
2. Residual tidak berdistribusi normal ( ) ( )
3. 4. Statistik Uji
maksimum | ( ) ( )|
Dengan ( ) fungsi distribusi kumulatif berdasarkan data sampel
( ) fungsi distribusi kumulatif di bawah ( )
dengan ̅ adalah rata-rata dari sampel dan adalah standar deviasi dari sampel.
5. Wilayah Kritis
ditolak (residual tidak berdistribusi normal) jika ( )
atau , dengan adalah ukuran sampel. 6. Kesimpulan
Apabila model yang diidentifikasikan tidak memenuhi asumsi-asumsi di atas, maka model tersebut tidak dapat digunakan, dan selanjutnya dapat diidentifikasikan kembali model lain yang mungkin sesuai untuk data.
Selanjutnya, dalam praktik akan banyak model yang memenuhi pengujian diagnostik di atas. Untuk memilih model terbaik, dapat dipilih model yang meminimumkan ukuran kriteria informasi seperti Akaike Information Criteria (AIC). AIC adalah suatu kriteria pemilihan model terbaik yang diperkenalkan oleh Akaike pada tahun 1973. Kriteria ini mempertimbangkan banyaknya parameter dalam model. Kriteria AIC dapat dituliskan sebagai berikut:
̂ dengan ̂ penduga maximum likelihood
banyaknya data runtun waktu banyaknya parameter dalam model
Akan tetapi, diketahui model Autoregressive, kriteria AIC tidak memberikan orde p yang konsisten, sehingga untuk pembanding, dapat digunakan kriteria informasi lain, seperti Schwarzt Information Criteria (SIC). Kriteria ini mempunyai prinsip yang sama dengan AIC. Kriteria SIC dapat dituliskan sebagai berikut:
banyaknya data runtun waktu banyaknya parameter dalam model
Dalam pengujian diagnostik, dipilih model yang mempunyai nilai AIC dan SIC paling kecil, karena semakin kecil nilai kedua kriteria tersebut maka model semakin baik dan layak digunakan dalam peramalan. Menurut beberapa penelitian, kriteria AIC lebih cocok digunakan pada sampel berukuran kecil, sementara SIC lebih sesuai untuk sampel berukuran besar (Shunway dan Stoffer, 2011: 53).
4. Aplikasi Model untuk Peramalan
Setelah model terbaik diperoleh dari langkah-langkah pemodelan di atas, model tersebut dapat digunakan untuk meramalkan sifat-sifat data di masa yang akan datang. Dalam analisis runtun waktu, seringkali data dibagi menjadi dua bagian yang disebut data in sample, yakni data-data yang digunakan untuk memilih model terbaik dengan langkah-langkah pemodelan di atas, dan data out sample, yakni bagian data yang digunakan untuk memvalidasi keakuratan peramalan dari model terbaik yang diperoleh berdasarkan data in sample. Model yang baik tentunya diharapkan merupakan model terbaik untuk data in sample dan sekaligus merupakan model yang baik untuk peramalan, yang dapat diukur dengan data out sample. Beberapa ukuran kebaikan peramalan dapat dikenalkan, seperti ukuran Mean Square Error (MSE), Root of MSE (RMSE), Median atau
![Pemberdayaan Sumberdaya Manusia Kesehatan : Keputusan Menteri Kesehatan RI. Nomor 372/MENKES/SK/III/2007 tentang Standar teknik gigi - [BUKU]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)