OSK 2018 Fisika (Kunci)

(1)

SOAL UJIAN

SELEKSI C

SELEKSI CALON PESER

ALON PESERTA OLIMPIADE

TA OLIMPIADE SAINS NASIONA

SAINS NASIONAL

L 2018

2018

TINGKAT KABUPATEN / KOTA

Waktu: 3 jam

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS

TAHUN 2018

FISIKA

Hak Cipta Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Dilindungi Undang-undang

(2)

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS

Tes Seleksi OSN 2018 Bidang FISIKA

TINGKAT KABUPATEN/KOTA

Waktu: 3 Jam

Petunjuk: Petunjuk: Untuk

Untuk polinom: polinom: 1313 x x 55

_–

45 45 x x 22 + 32 = 0, + 32 = 0,

Salah satu solusinya adalah:

Salah satu solusinya adalah: x x = 1,215 = 1,215

1.

1. (10 poin) Pada tahun 1899 Max Planck memperkenalkan suatu sistem satuan universal sehingga(10 poin) Pada tahun 1899 Max Planck memperkenalkan suatu sistem satuan universal sehingga besaran-besaran

besaran-besaran fisika fisika dapat dapat dinyatakan dinyatakan dalam dalam tiga tiga satuan satuan Planck Planck yaitu yaitu massa massa Planck Planck M M _p_p,, panjang

panjang PlanckPlanck L L _p_p, dan waktu Planck, dan waktu Planck T T _p_p. Ketiga satuan Planck tersebut dapat dinyatakan. Ketiga satuan Planck tersebut dapat dinyatakan dalam tiga konstanta alamiah dalam mekanika kuantum serta dalam teori relativitas khusus dan dalam tiga konstanta alamiah dalam mekanika kuantum serta dalam teori relativitas khusus dan relativitas umum yaitu konstanta Planck tereduksi

relativitas umum yaitu konstanta Planck tereduksi ħ ħ = = hh/2/2  = 1,05 x 10 = 1,05 x 10-34-34 Js, Js, kelajuan kelajuan cahayacahaya dalam ruang hampa

dalam ruang hampa cc = 3,0 x 10 = 3,0 x 1088 m/s, m/s, dan kondan konstanta gravitasi stanta gravitasi umumumum GG = 6,67 x 10 = 6,67 x 10-11-11 Nm Nm22 kg kg-2-2.. Ketiga satuan Planck ini

Ketiga satuan Planck ini M M _p_p,,L L _p_p,,dandanT T _p_pdapat dituliskan dalam bentuk: (i)dapat dituliskan dalam bentuk: (i) M M p p == M M p p ((ħħ,, cc,, GG););

(ii)

(ii) L L p p = = L L p p ( (ħħ,, cc,, GG); ); dan dan (iii)(iii) T T p p = = T T p p ( (ħħ,, cc,, GG).).

(a)

(a) Tentukan bentuk akhir dari tiga persamaan (i), (ii), dan (iii) di atas yang menampilkan secaraTentukan bentuk akhir dari tiga persamaan (i), (ii), dan (iii) di atas yang menampilkan secara eksplisit ketergantungan

eksplisit ketergantungan M M _p_p,, L L _p_p,, dandanT T _p_p kepada kepada _{,, cc, dan}_{, dan G}_G..

(b)

(b) Hitung nilai numerik dari ketiga satuan PlanckHitung nilai numerik dari ketiga satuan Planck M M _p_p,, L L _p_p,, dandanT T _p_p dalam sistem satuan SI. dalam sistem satuan SI.

Selanjutnya dengan menggunakan ketiga satuan Planck di atas dapat pula dibentuk 4(empat) Selanjutnya dengan menggunakan ketiga satuan Planck di atas dapat pula dibentuk 4(empat) satuan Planck lainnya yaitu energi Planck

satuan Planck lainnya yaitu energi Planck E E _p_p M M _p_pc c 22, kecepatan Planck, kecepatan Planck v v _p_p L L _p_p//T T _p_p ,,

percepatan Planck

percepatan Planck a a _p_p L L _p_p//T T _p_p22, dan rapat massa Planck, dan rapat massa Planck

3 3 p p p p p p M M //L L   .. (c)

(c) Hitung nilai numerik dariHitung nilai numerik dari E E _p_p,,v v _p_p,, a a _p_p dandan



_p_p dalam sistem satuan SI. dalam sistem satuan SI.

Jawab: Jawab:

Dari persamaan Planck

Dari persamaan Planck E E   dapat diperoleh satuan dari dapat diperoleh satuan dari  yaitu energy x waktu (Js), yaitu energy x waktu (Js), sehingga dimensi fisis dari

sehingga dimensi fisis dari _adalah_adalah

  

22 11



ML ML T T



 _{. Sementara itu dimensi}_{. Sementara itu dimensi} c c dan dan G G berturut-turut berturut-turut

adalah adalah

  

11  

LT

c

dan dan

  

G G M M 11L L 33T T 22.. (a)

(3)

z z y y x x _LT_LT _M_M _L_L_T_T T T ML ML T T ML ML 00 00 

((

22 11

))

((

11

))

((

11 33 22

))

  diperoleh persamaan-persamaan diperoleh persamaan-persamaan 0 0 2 2 ,, 0 0 3 3 2 2 ,, 1 1          

z z x x y y z z x x y y z z

x x

yang menghasilkan nilai-nilai

yang menghasilkan nilai-nilai x x  y y z z 11//22 sehingga akhirnya diperoleh sehingga akhirnya diperoleh

G

c

M

_p_p   // (ii) (

(ii) (2 poin2 poin) Dengan cara serupa di atas, selanjutnya dari bentuk) Dengan cara serupa di atas, selanjutnya dari bentuk L L _p_p m m c c n n G G k k diperoleh diperoleh

hasil:

hasil: m m k k ,, 22m m n n 33k k 11, dan, dan m m n n 22k k 00 sehingga sehingga m m n n k k //3311//22..

Akhirnya diperoleh Akhirnya diperoleh 3 3 p p G G c c L L   // (iii) (

(iii) (2 poin2 poin) Dari bentuk) Dari bentuk T T   c c   G G  

p

p diperoleh diperoleh     ,, 22







33



00 , dan , dan

1 1 2 2     







sehingga diperoleh nilai-nilai sehingga diperoleh nilai-nilai











//5511//22. Dengan demikian. Dengan demikian

dihasilkan bentuk akhir dihasilkan bentuk akhir

5 5 p p G G c c T T   // (b)

(b) ((2 poin2 poin) Nilai numerik ketiga satuan Planck) Nilai numerik ketiga satuan Planck M M _p_p,, L L _p_p,, dandanT T _p_p dalam sistem SI: dalam sistem SI:

kg

10

18

2

88 p p  c c //G G  ,,   M M  _,_, _p_p 33 ₁₁₆₂₆₂ ₁₀₁₀3535_m_m       G G //c c ,, L L  _,, 55 ₅₅₃₉₃₉ ₁₀₁₀ 4444_ss p p  G G //c c  ,,   T T  (c)

(c) ((2 poin2 poin) Menghitung nilai numerik dari) Menghitung nilai numerik dariE E _p_p,,v v _p_p,, a a _p_p dandan



_p_p dalam sistem SI: dalam sistem SI:

JJ 10 10 96 96 1 1 99 2 2 p p p p M M c c  ,,  E E , , v v _p_p L L _p_p//T T _p_p c c ,, 5151 22 2 2 p p p p p p L L //T T 55,,58581010 m/sm/s a a , , 3 3 96 96 3 3 p p p p p p M M //L L 

5

,,

16



10

10 kg/m

kg/m

 

(4)

2.

2. (10 poin) Sebuah peluru ditembakkan ke atas dengan kecepatan awal dan sudut elevasi tertentu(10 poin) Sebuah peluru ditembakkan ke atas dengan kecepatan awal dan sudut elevasi tertentu dari permukaan tanah. Ketika peluru tersebut berada pada ketinggian

dari permukaan tanah. Ketika peluru tersebut berada pada ketinggian H H 11 untuk pertama dan untuk pertama dan

kedua kalinya, selang waktu antara keduanya adalah

kedua kalinya, selang waktu antara keduanya adalah T T 11. Sedangkan ketika peluru tersebut. Sedangkan ketika peluru tersebut

berada

berada pada pada ketinggianketinggian H H 22 untuk pertama dan kedua kalinya, selang waktu antara keduanya untuk pertama dan kedua kalinya, selang waktu antara keduanya

adalah

adalah T T 22. Asumsikan. Asumsikan H H ₂₂  H H ₁₁ dan dan T T ₁₁ T T ₂₂. Tentukan:. Tentukan:

a.

a. Selang waktu ketika peluru tersebut berada pada ketinggianSelang waktu ketika peluru tersebut berada pada ketinggian H H 33 untuk pertama dan kedua untuk pertama dan kedua

kalinya, dinyatakan dalam

kalinya, dinyatakan dalam H H 11,, H H 22,, H H 33,, T T 11 dan T danT 22..

b.

b. Syarat untukSyarat untuk H H 33 (dinyatakan dalam (dinyatakan dalam H H 11,, H H 22,, T T 11 dan dan T T 22) agar selang waktu pada soal (a) ada) agar selang waktu pada soal (a) ada

nilainya. nilainya.

Jawab: Jawab: a.

a. ((7 poin7 poin) Persamaan gerak peluru adalah) Persamaan gerak peluru adalah

2 2 2 2 1 1 0 0sinsin gt gt v v y y



 dengan

dengan vv00 = kecepatan awal peluru dan = kecepatan awal peluru dan   = sudut elevasi. Pada ketinggian = sudut elevasi. Pada ketinggian H H 11, persamaan, persamaan

gerak peluru adalah gerak peluru adalah

0 0 sin sin ₁₁ 0 0 2 2 2 2 1 1      vv H H gt gt  

dengan solusi untuk waktu

dengan solusi untuk waktu t t ₁₁_dan_dan

2 2 t t _adalah_adalah g g gH gH v v v v t t 11 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 ,, 1 1 2 2 sin sin sin sin         ..

Selisih waktu antara

Selisih waktu antara t t 11 dan dan t t ₂₂ adalah adalah T T 11, sehingga, sehingga

g g gH gH vv t t t t T T 11 2 2 2 2 0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 sin sin 2 2









 

yang jika dikuadratkan dapat dinyatakan dalam bentuk yang jika dikuadratkan dapat dinyatakan dalam bentuk

1 1 2 2 1 1 2 2 4 4 1 1 2 2 2 2 0 0 sinsin g g T T 22gH gH vv



 

Untuk kasus ketinggian

Untuk kasus ketinggian H H ₂₂ dengan selang waktu dengan selang waktu T T ₂₂, persamaannya sama seperti di atas., persamaannya sama seperti di atas.

2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 1 2 2 2 2 0 0 sinsin g g T T 22gH gH vv    

Dengan demikian berlaku Dengan demikian berlaku

2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 4 4 1 1_g_g_T_T __₂₂_gH_gH __ _g_g_T_T __₂₂_gH_gH

Sehingga diperoleh percepatan gravitasi

Sehingga diperoleh percepatan gravitasi g g yang dapat dinyatakan sebagai yang dapat dinyatakan sebagai

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2

))

((

8

T T T T H H H H g g       ..

(5)

Untuk kasus ketinggian

Untuk kasus ketinggian H H 33 dengan selang waktu dengan selang waktu T T 33, maka selang waktu, maka selang waktu T T 33 dapat dapat

dinyatakan sebagai: dinyatakan sebagai: g g gH gH vv T T 33 2 2 2 2 0 0 3 3 2 2 sin sin 2 2      g g gH gH gH gH T T g g 22 ₁₁22 ₁₁ ₃₃ 4 4 1 1 ₂₂ ₂₂ 2 2     g g H H H H T T 22 88(( 11 33)) 1 1       )) (( )) (( 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 H H H H T T T T H H H H T T           3 3 T T )) (( )) (( 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 H H H H T T T T H H H H T T H H T T           .. b.

b. ((3 poin3 poin) Syarat agar nilai) Syarat agar nilai T T 33 ada adalah nilai ada adalah nilai yang berada di dalam akar harus tak negatif.yang berada di dalam akar harus tak negatif.

Jika diasumsikan

Jika diasumsikan H H ₂₂  H H ₁₁ maka maka

0

0 ))

((

₁₁22 ₂₂22 3 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 H H T T H H  H H T T T T  T T 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 T T T T H H T T H H T T H H       ..

(6)

3.

3. (14 poin) Sebuah bola berongga berdinding tebal dimana jari-jari dinding luar dan dinding(14 poin) Sebuah bola berongga berdinding tebal dimana jari-jari dinding luar dan dinding dalamnya masing-masing adalah

dalamnya masing-masing adalah R R00 dan dan R R11. . Densitas Densitas bola bola padapada R R11<< rr << R R00 dianggap homogen, dianggap homogen,



 . Bola menggelinding ke bawah tanpa slip dari keadaan diam pada suatu bidang miring, dan. Bola menggelinding ke bawah tanpa slip dari keadaan diam pada suatu bidang miring, dan kecepatannya saat mencapai dasar bidang miring adalah

kecepatannya saat mencapai dasar bidang miring adalah vv00. Bila bidang miringnya licin dan. Bila bidang miringnya licin dan

bola

bola menuruni menuruni bidang bidang miring miring dari dari keadaan keadaan dan dan posisi posisi yang yang sama sama dengan dengan yang yang pertama, pertama, makamaka kecepatannya saat mencapai dasar bidang miring menjadi 5

kecepatannya saat mencapai dasar bidang miring menjadi 5vv00/4. Tentukan:/4. Tentukan:

a.

a. Jari-jari girasi bola berongga tersebut terhadap suJari-jari girasi bola berongga tersebut terhadap sumbu yang melalui pusat bola;mbu yang melalui pusat bola; b.

b. Perbandingan nilaiPerbandingan nilai R R11// R R00; dan; dan

c.

c. Perbandingan volume rongga bola terhadap volume total Perbandingan volume rongga bola terhadap volume total bola.bola. Jawab

Jawab:: a.

a. ((6 poin6 poin) Dari kekekalan energy diperoleh:) Dari kekekalan energy diperoleh: EK

EK ff == EP EP ii  ½½ mvmv22 + ½ + ½ I I   22 = = mghmgh

Ketika bola menggelinding tanpa slip, maka:

Ketika bola menggelinding tanpa slip, maka: vv = =   R R dan untuk bola

dan untuk bola I I = = mRmRGG22, , maka maka (( R RGG = jari-jari girasi) : = jari-jari girasi) :

mgh

mgh = ½ = ½ mvmv0022 + ½ + ½ mRmRGG22 ( (vv00// R R00))22 = ½ mv = ½mv0022 {1 + ( {1 + ( R RGG// R R00))22} } (1)(1)

Ketika bola meluncur dengan slip, berlaku

Ketika bola meluncur dengan slip, berlaku   = = 0 0 sehingga:sehingga: mgh

mgh = ½ = ½ mm (5(5vv00/4)/4)22 = ½ = ½ mvmv0022(25/16) (25/16) (2)(2)

substitusi persamaan (2) ke (1) diperoleh: substitusi persamaan (2) ke (1) diperoleh:

9/16 = (

9/16 = ( R RGG// R R00))22. . Jadi Jadi jari-jari jari-jari girasi girasi bola bola berongga:berongga: R RGG = 3 = 3 R R00/4./4.

b.

b. ((5 poin5 poin) Katakan bagian bola yang pejal itu memiliki densitas sebesar) Katakan bagian bola yang pejal itu memiliki densitas sebesar   . Maka massa bola. Maka massa bola berongga tersebut adalah:

berongga tersebut adalah: m

m = (4 = (4  /3) (/3) (   R R0033 - -   R R1133))

dan momen inersianya dapat dinyatakan dalam bentuk: dan momen inersianya dapat dinyatakan dalam bentuk:

2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 0 0 3 3 0 0 3 3 4 4 5 5 2 2 3 3 4 4 5 5 2 2 R R R R R R R R I I





























  __   __

Sementara jari-jari girasi dipenuhi oleh persamaan: Sementara jari-jari girasi dipenuhi oleh persamaan:

 



 





_





























3 3 0 0 1 1 5 5 0 0 1 1 2 2 0 0 3 3 1 1 3 3 0 0 5 5 1 1 5 5 0 0 2 2 1 1 1 1 5 5 2 2 5 5 2 2 R R R R R R R R R R R R R R R R R R m m I I R R_G_G Masukan nilai

Masukan nilai R RGG dari soal a) diatas, sehingga diperoleh: dari soal a) diatas, sehingga diperoleh:

 



 



33 0 0 1 1 5 5 0 0 1 1 1 1 1 1 32 32 45 45 R R R R R R R R





__









































2 2 0 0 1 1 3 3 0 0 1 1 45 45 32 32 1 1 45 45 13 13 R R R R R R R R

Dengan menggunakan prinsip trial and error, diperoleh solusi: Dengan menggunakan prinsip trial and error, diperoleh solusi:

R

R11// R R00 = 0,823. = 0,823.

c.

c. ((3 poin3 poin) Perbandingan volume rongga terhadap volume totalnya adalah:) Perbandingan volume rongga terhadap volume totalnya adalah:

 

00,,823823



33 00,,557557.. 3 3 0 0 1 1 0 0 1 1

















R R R R V V V V

(7)

4.

4. (13 poin) Sebuah partikel bermassa(13 poin) Sebuah partikel bermassa mm diikat pada ujung tali tegar tak bermassa dengan panjangdiikat pada ujung tali tegar tak bermassa dengan panjang L

L. Ujung tali satunya dipasang tetap. Partikel tersebut diputar dengan kecepatan sudut konstan. Ujung tali satunya dipasang tetap. Partikel tersebut diputar dengan kecepatan sudut konstan

z z ˆˆ        

sehingga bergerak dalam bidang horisontal

sehingga bergerak dalam bidang horisontal xy xy. Sudut antara tali dengan sumbu vertikal. Sudut antara tali dengan sumbu vertikal z

z adalah adalah   . Percepatan gravitasi. Percepatan gravitasi g g ke arah sumbu ke arah sumbu z z negatif. negatif. a.

a. Jika sudut konstanJika sudut konstan     00 adalah sudut antara tali dengan garis vertikal sehingga adalah sudut antara tali dengan garis vertikal sehingga mm berada berada

pada bidang horisontal yang

pada bidang horisontal yang tetap, tentukantetap, tentukan   00 dinyatakan dalam dinyatakan dalam L L,, g g dan dan ..

b.

b. Ketika partikel tersebut sedang berotasi terhadap sumbu vertikal, sudutKetika partikel tersebut sedang berotasi terhadap sumbu vertikal, sudut   00 dapat divariasidapat divariasi

dengan sudut infinitesimal

dengan sudut infinitesimal   ((  __  ₀₀ __  _{) sehingga partikel tersebut juga melakukan gerak}_{) sehingga partikel tersebut juga melakukan gerak}

osilasi terhadap

osilasi terhadap   .. Tentukan kecepatan sudut osilasiTentukan kecepatan sudut osilasi   dinyatakan dalam dinyatakan dalam L L,, g g dan dan ..

Jawab: Jawab: a.

a. ((4 poin4 poin) Diagram gaya disajikan pada Gambar disamping ini.) Diagram gaya disajikan pada Gambar disamping ini.

Kesetimbangan gaya vertikal Kesetimbangan gaya vertikal



co coss T T mg mg  (1)(1)

Gaya horisontal sama dengan gaya sentripetal Gaya horisontal sama dengan gaya sentripetal

    sinsin sin sin 2 2 2 2 T T L L m m r r m m__ __ __ __ ₍₂₎₍₂₎

Gabungan (1) dan (2) menghasilkan Gabungan (1) dan (2) menghasilkan

2 2 cos cos     L L g g  

















2 2 0 0 arccos arccos L L g g     (3)(3) b.

b. ((9 poin9 poin) Untuk menentukan persamaan gaya ketika) Untuk menentukan persamaan gaya ketika _divariasi,_divariasi, T T cocoss__ dan dan mg mg diuraikan ke diuraikan ke

arah tegaklurus

arah tegaklurus T T , berturut-turut menjadi, berturut-turut menjadi _T_Tcocoss  sinsin  _dan_dan _mg_mgsinsin  _{. Lihat gambar di bawah}_{. Lihat gambar di bawah}

ini. ini.

(8)

Persamaan gaya pada arah tegaklurus

Persamaan gaya pada arah tegaklurus TT adalahadalah

        _mg_mg _ma_ma _mL_mL



T

T coscos sinsin  sinsin   (4)(4)

Mengingat Mengingat       __ ₀₀ __ ₍₅₎₍₅₎ dengan

dengan   << 1 ( << 1 (sinsin  __  _dan_dan coscos  __11_{), maka}_{), maka}

 



0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin cos cos 2 2 sin sin 2 2 cos cos 2 2 cos cos 2 2 sin sin )) 2 2 2 2 sin( sin( 2 2 sin sin sin sin cos cos                                         (6) (6) 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

))

sin

cos

sin

cos

sin(

sin

  __   __  __     __     __   __    ₍₇₎₍₇₎    



(8)(8)

Dengan menggunakan persamaan (1), (5)

Dengan menggunakan persamaan (1), (5) _{(8), persamaan (4) menjadi}_{(8), persamaan (4) menjadi}

                _mg_mg _mL_mL



T

(cos

₀₀

sin

₀₀

cos

2

₀₀

))



(sin

₀₀ 

cos

₀₀

))



                  mg mg mg mg mg mg mLmL



mg mg





₀₀



₀₀



0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0

0 sinsin coscos

cos cos )) sin sin (cos (cos sin sin        



    0 0 0 0 2 2 cos cos sin sin L L g g (9) (9)

Dari persamaan (9) di atas maka kecepatan sudut osilasi adalah Dari persamaan (9) di atas maka kecepatan sudut osilasi adalah







































22 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 ₁₁ )) // (( )) cos cos 1 1 (( cos cos sin sin L L g g L L g g L L g g L L g g         2 2 1 1         L L g g  

(9)

5.

5. (17 poin) Tinjau sistem disamping ini yang terdiri dari(17 poin) Tinjau sistem disamping ini yang terdiri dari tiga buah massa

tiga buah massa mm₁₁,,

2 2

m

m dan dan mm₃₃yang saling lepas.yang saling lepas.

Seluruh gerakan sistem berada pada bidang horisontal. Seluruh gerakan sistem berada pada bidang horisontal. Batang

Batang mm₂₂ dengan panjang 3 dengan panjang 3 L L dipasang pada poros dipasang pada poros

licin. Massa

licin. Massa mm33 yang hampir menyentuh batang yang hampir menyentuh batang mm₂₂

berada

berada pada pada posisi posisi berjarak berjarak 22 L L dari poros. Massa dari poros. Massa mm₁₁

bergerak

bergerak lurus lurus dengan dengan kecepatankecepatan vv00 dengan arah dengan arah

tegak lurus batang dan akan menumbuk batang pada tegak lurus batang dan akan menumbuk batang pada jarak

jarak L L dari poros. Semua tumbukan yang terjadidari poros. Semua tumbukan yang terjadi bersifat

bersifat lenting lenting sempurna. sempurna. Untuk Untuk selanjutnya selanjutnya dalamdalam perhitungan,

perhitungan, gunakangunakan mm₁₁ mm₂₂ mm₃₃ mm. Setelah. Setelah

tumbukan terjadi, tentukan: tumbukan terjadi, tentukan: a.

a. KecepatanKecepatan mm₁₁ dan kecepatan dan kecepatan mm₃₃ serta kecepatan sudut batang serta kecepatan sudut batang

2 2

m m ,,

b.

b. Perbedaan momentum sudut total dan perbedaan energi kinetik sistim.Perbedaan momentum sudut total dan perbedaan energi kinetik sistim.

Jawab: Jawab:

a.

a. ((12 poin12 poin) Asumsikan bahwa peristiwa tumbukan dapat dibagi menjadi dua bagian. Tinjau) Asumsikan bahwa peristiwa tumbukan dapat dibagi menjadi dua bagian. Tinjau tumbukan pertama, yaitu

tumbukan pertama, yaitu mm₁₁ menumbuk batang menumbuk batang

2 2

m

m secara lenting sempurna. Momentum secara lenting sempurna. Momentum

sudut sistem terhadap poros sebelum tumbukan pertama adalah sudut sistem terhadap poros sebelum tumbukan pertama adalah

L L mv mv L L v v m m L L_awal_awal ₁₁ ₀₀  ₀₀ . . (1)(1)

Momen inersia batang

Momen inersia batang mm₂₂_{terhadap poros adalah}_{terhadap poros adalah} ₂₂ 22 22

3 3 1

1_m_m ₍₍₃₃_L_L₎₎ ₃₃_mL_mL

I

I   . Misalkan. Misalkan

kecepatan sudut batang

kecepatan sudut batang mm₂₂ setelah tumbukan pertama adalah setelah tumbukan pertama adalah

1 1



 , serta kecepatan translasi, serta kecepatan translasi

1 1

m

m setelah tumbukan pertama adalah setelah tumbukan pertama adalah

1 1

v

v . Momentum sudut sistem terhadap poros setelah. Momentum sudut sistem terhadap poros setelah

tumbukan pertama adalah: tumbukan pertama adalah:

1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1vv L L I I



mvmv L L 33mLmL



m m L L_akhir_akhir__ __ __ __ _._. ₍₂₎₍₂₎

Kelestarian momentum sudut pada tumbukan pertama: Kelestarian momentum sudut pada tumbukan pertama:

1 1 2 2 1 1 0 0 L L mvmv L L 33mLmL  mv mv __ __ L L v v v v 3 3 1 1 0 0 1 1       . . (3)(3)

Energi kinetik sistem sebelum tumbukan pertama adalah Energi kinetik sistem sebelum tumbukan pertama adalah

2 2 0 0 2 2 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1_m_m_v_v _mv_mv EK

EK _awal_awal   (4)(4)

Energi kinetik sistem setelah tumbukan pertama adalah Energi kinetik sistem setelah tumbukan pertama adalah

2 2 1 1 0 0 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 )) 3 3 ((























L L v v v v mL mL mv mv I I v v m m EK

EK _akhir_akhir   (5)(5)

Kekekalan energi kinetik sistem: Kekekalan energi kinetik sistem:

2 2 1 1 0 0 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 2 2 1 1 3 3 )) 3 3 ((



















L L v v v v mL mL mv mv mv mv 2 2 1 1 0 0 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 vv ((vv vv )) v v __ __ __ (6)(6)

(10)

Persamaan terakhir di atas dapat disusun menjadi: Persamaan terakhir di atas dapat disusun menjadi:

0 0 2 2vv₁₁22 vv₀₀vv₁₁vv₀₀22 

0

0 ))

2

2 )(

)(

((

vv₁₁vv₀₀ vv₁₁vv₀₀ 

Solusi yang trivial adalah

Solusi yang trivial adalah vv11vv00 dan dan



11 00. Solusi nontrivial yang dicari adalah. Solusi nontrivial yang dicari adalah

0 0 2 2 1 1 1 1 vv v v  dan dan vv00// L L 2 2 1 1 1 1   _._. ₍₇₎₍₇₎

Hasil di atas menyatakan bahwa sesaat setelah tumbukan pertama,

Hasil di atas menyatakan bahwa sesaat setelah tumbukan pertama, mm₁₁ berbalik arah dengan berbalik arah dengan

kecepatan

kecepatan 11₂₂vv00 menjauhi batang menjauhi batang mm₂₂, sedangkan batang, sedangkan batang mm₂₂ berotasi (dengan arah berotasi (dengan arah

berlawanan jarum jam jika dilihat dari atas) dengan kecepatan sudut

berlawanan jarum jam jika dilihat dari atas) dengan kecepatan sudut vv₀₀// L L

2 2 1 1 .. b.

b. Sekarang tinjau tumbukan kedua. Momentum sudut sistem (Sekarang tinjau tumbukan kedua. Momentum sudut sistem ( mm₂₂ dan dan mm₃₃ saja) sebelum saja) sebelum

tumbukan kedua adalah tumbukan kedua adalah

L L mv mv I I L L_awal_awal ₀₀ 2 2 3 3 1 1      (8)(8)

Misalkan kecepatan sudut batang

Misalkan kecepatan sudut batang mm₂₂ setelah tumbukan kedua adalah setelah tumbukan kedua adalah   ₂₂, serta kecepatan, serta kecepatan

translasi

translasi mm33 setelah tumbukan kedua adalah setelah tumbukan kedua adalah vv₂₂. Momentum sudut sistem (. Momentum sudut sistem (mm₂₂ dan dan mm33 saja) saja)

setelah tumbukan kedua adalah setelah tumbukan kedua adalah

L L mv mv mL mL L L v v m m I I L L_akhir_akhir__   ₂₂ __ ₃₃ ₂₂22 __33 22  ₂₂ __22 ₂₂ . . (9)(9)

Kekekalan momentum sudut pada tumbukan kedua: Kekekalan momentum sudut pada tumbukan kedua:

L L mv mv mL mL L L mv mv₀₀ 22 ₂₂ ₂₂ 2 2 3 3 ₃₃ ₂₂       L L v v v v 6 6 4 4 3 3 ₀₀ ₂₂ 2 2    



(10)(10)

Energi kinetik sistem (

Energi kinetik sistem (mm₂₂ dan dan mm₃₃ saja) sebelum tumbukan kedua adalah saja) sebelum tumbukan kedua adalah

2 2 0 0 8 8 3 3 2 2 0 0 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1_I_I ₍₍₃₃_mL_mL ₎₍₎₍_v_v _//₂₂_L_L₎₎ _mv_mv EK

EK _awal_awal      (11)(11)

Energi kinetik sistem (

Energi kinetik sistem (mm₂₂ dan dan mm₃₃ saja) setelah tumbukan kedua adalah saja) setelah tumbukan kedua adalah

2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0 0 24 24 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1_I_I _m_m _v_v _mL_mL _mv_mv _m_m₍₍₃₃_v_v ₄₄_v_v ₎₎ _mv_mv EK

EK _akhir_akhir__ __ __ __ __ __ __ __ __ ₍₁₂₎₍₁₂₎

Kekekalan energi kinetik sistem: Kekekalan energi kinetik sistem:

2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0 0 24 24 1 1 2 2 0 0 8 8 3 3_mv_mv __ _m_m₍₍₃₃_v_v __₄₄_v_v ₎₎ __ _mv_mv ₍₁₃₎₍₁₃₎

yang akhirnya akan memberikan solusi nontrivial

yang akhirnya akan memberikan solusi nontrivial berupaberupa

0 0 7 7 6 6 2 2 vv v v __ _dan_dan   ₂₂ vv₀₀//1414 L L. . (14)(14)

Setelah tumbukan kedua,

Setelah tumbukan kedua, mm₁₁ bergerak dengan kecepatan bergerak dengan kecepatan vv₀₀//22 berlawanan arah gerak mula- berlawanan arah gerak

mula-mula, batang

mula, batang mm₂₂ berputar berputar dengan dengan kecepatan kecepatan sudutsudut vv₀₀//1414 L L searah jarum jam (jika dilihat searah jarum jam (jika dilihat

dari atas) dan

dari atas) dan mm₃₃_{bergerak lurus meninggalkan batang dengan kecepatan}_{bergerak lurus meninggalkan batang dengan kecepatan} ₀₀

7 7 6 6_v_v .. c.

c. ((5 poin5 poin) Dapat ditunjukkan konsistensi nilai momentum sudut awal dan akhir maupun energi) Dapat ditunjukkan konsistensi nilai momentum sudut awal dan akhir maupun energi kinetiknya.

kinetiknya.

Sebelum tumbukan pertama, momentum sudut total sistem adalah

Sebelum tumbukan pertama, momentum sudut total sistem adalah mvmv₀₀ L L_..

Setelah tumbukan kedua, momentum sudut total sistem adalah Setelah tumbukan kedua, momentum sudut total sistem adalah

(11)

L L mv mv L L v v m m L L v v mL mL L L v v m m L L__ ₍₍__ ₀₀_//₂₂₎₎ __₍₍₃₃ 22₎₍₎₍__ ₀₀_//₁₄₁₄ ₎₎__ ₍₍₆₆ ₀₀_//₇₇₎₍₎₍₂₂ ₎₎ __ ₀₀ _..

Sebelum tumbukan pertama, energi kinetik total sistem adalah

Sebelum tumbukan pertama, energi kinetik total sistem adalah ₂₂11mvmv0022..

Setelah tumbukan kedua, energi kinetik total sistem adalah Setelah tumbukan kedua, energi kinetik total sistem adalah

2 2 0 0 2 2 1 1 2 2 0 0 2 2 1 1 2 2 0 0 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 2 2 1 1_m_m₍₍ _v_v _//₂₂₎₎ ₍₍₃₃_mL_mL₎₎ ₍₍ _v_v _//₁₄₁₄_L_L₎₎ _m_m₍₍₆₆_v_v _//₇₇₎₎ _mv_mv EK EK __ __ __ __ __ __ _..

(12)

6.

6. (18 poin) Suatu bola pejal A bermassa(18 poin) Suatu bola pejal A bermassa mm11 dan berjari dan berjari

_–

jari jari



bergerak dengan kecepatan bergerak dengan kecepatan





ke ke

arah sebuah benda B bermassa

arah sebuah benda B bermassa mm22 >> >> mm11 dengan sisi melengkung seperti terlihat dengan sisi melengkung seperti terlihat pada gambar dipada gambar di

bawah ini. bawah ini.

Bola A kemudian melintasi permukaan benda B hingga terpental secara vertikal ke atas relatif Bola A kemudian melintasi permukaan benda B hingga terpental secara vertikal ke atas relatif terhadap benda B, lalu bola terjatuh melewati lintasan yang sama. Asumsikan lantainya licin terhadap benda B, lalu bola terjatuh melewati lintasan yang sama. Asumsikan lantainya licin dan bola terhempas sangat tinggi sehingga dimensi balok dapat diabaikan,

dan bola terhempas sangat tinggi sehingga dimensi balok dapat diabaikan,

a) Apabila gaya gesek bola-balok diabaikan, tentukan waktu tempuh bola kembali ke titik a) Apabila gaya gesek bola-balok diabaikan, tentukan waktu tempuh bola kembali ke titik

semula! semula!

b) Apabila gaya gesek bola-balok tidak diabaikan

b) Apabila gaya gesek bola-balok tidak diabaikan, tentukan ketinggian maksimum bola!, tentukan ketinggian maksimum bola! Jawab

Jawab:: a)

a) ((8 poin8 poin) Pada saat bola terhempas ke atas, bola dan balok bergerak bersama-sama secara) Pada saat bola terhempas ke atas, bola dan balok bergerak bersama-sama secara horizontal.

horizontal.

Kekekalan momentum horizontal: Kekekalan momentum horizontal:





==



→→



== 

 11



Karena tidak ada gesekan, berlaku hukum kekekalan energi: Karena tidak ada gesekan, berlaku hukum kekekalan energi:

1122



==1122((







))1122



22

maka maka

((



−−



))==



== 











=1−

++











==



√ √

++

33

Waktu selama bola di udara: Waktu selama bola di udara:

==22

_{ ==22}



_{   }



_{ 44}

dan jarak horizontal yang telah ditempuh: dan jarak horizontal yang telah ditempuh:

==



==22

 ==22







   









_

55

Setelah itu, bola akan bergerak ke arah sebaliknya. Setelah itu, bola akan bergerak ke arah sebaliknya. Kekekalan momentum berlaku:

Kekekalan momentum berlaku:

m m₁₁ m m₂₂

A

B

(13)





==







66

dan dari kekekalan energi: dan dari kekekalan energi:

1122



==1122



1122



77

lalu lalu





==



−−



==





_





−−











−−



==







−−22













−− 22









−−





==00





==



 

±±  





_

−−−−

==



 

±± 



Karena





≠≠



, maka kecepatan balik:, maka kecepatan balik:





==−−



−−

 8

 8

Dan waktu tempuh balik: Dan waktu tempuh balik:



′′

== −−

_

==22

_{   }



_{}





_



_{−−==22}

_{   }



_{}

_{−−}





_

99

Waktu tempuh total Waktu tempuh total





=

′′

==22

   



  



−−





_



didapat: didapat:





==22

   



 

−− 10

 10

b) (

b) (10 poin10 poin) Sama seperti sebelumnya, kita tinjau kekekalan momentum pada arah horizontal:) Sama seperti sebelumnya, kita tinjau kekekalan momentum pada arah horizontal:



′′

==



== 

 11



11

Awalnya kita asumsikan bola berputar tanpa slip di tepi atas balok setelah terjadi transfer Awalnya kita asumsikan bola berputar tanpa slip di tepi atas balok setelah terjadi transfer energi.

energi.

Maka terjadi perubahan momentum sudut: Maka terjadi perubahan momentum sudut:

Δ=Δ=Δ 12

(14)

Karena pengurangan kecepatan setara dengan

ΔΔ



==

ΔΔ

, maka, maka

Δ=(



−−

′′

))==−−00==



′′

lalu didapat lalu didapat



′′

== 

_{11 }



_

==



 11

_{11 }

_

  

 13

13

Ketinggian maksimum yang dicapai bola apabila tidak slip di akhir: Ketinggian maksimum yang dicapai bola apabila tidak slip di akhir:

ℎℎ==

_{22 ==}

′′

_{22 11}



11 







 

_{ 12}

 12

Karena ada kemungkinan masih tetap slip di akhir sehingga



′′

≤<



, maka didapat, maka didapat ketinggian maksimum yang dicapai bola:

ketinggian maksimum yang dicapai bola:



_{22 ≤≤ℎℎ<<}

′′

_22







22 11

_{11 }

_





 

≤ℎ<

≤ℎ<

22 



 13

 13

Untuk kasus bola pejal,

==







::

(15)

7.

7. (18 poin) Sebuah silinder pejal massa(18 poin) Sebuah silinder pejal massa M M menggelinding tanpa slip menuruni bidang miring menggelinding tanpa slip menuruni bidang miring diam bersudut elevasi

diam bersudut elevasi



, dengan kecepatan, dengan kecepatan





. Seseorang ingin menghentikan silinder tersebut. Seseorang ingin menghentikan silinder tersebut dengan memberikan beban. Pada pusat silinder tersebut dikaitkan tali sehingga tali membentuk dengan memberikan beban. Pada pusat silinder tersebut dikaitkan tali sehingga tali membentuk sudut

sudut



terhadap permukaan bidang miring. Di ujung lain tali tersebut, diikatkan ke sebuah terhadap permukaan bidang miring. Di ujung lain tali tersebut, diikatkan ke sebuah beban

beban balokbalok mm yang memiliki massa sama dengan silinder. Diketahui koefisien gesek antara yang memiliki massa sama dengan silinder. Diketahui koefisien gesek antara balok dan bidang miring adalah

balok dan bidang miring adalah



serta percepatan gravitasi adalah serta percepatan gravitasi adalah g g . Asumsikan gesekan beban. Asumsikan gesekan beban mampu menghentikan gerak silinder. Tentukanlah:

mampu menghentikan gerak silinder. Tentukanlah: a.

a. Jarak yang ditempuh silinder hingga berhenti!Jarak yang ditempuh silinder hingga berhenti! b.

b. Syarat sudutSyarat sudut



yang dapat memenuhi asumsi di atas (nyatakan dalam yang dapat memenuhi asumsi di atas (nyatakan dalam   dan dan   )!)!

Jawab: Jawab: a.

a. ((12 poin12 poin) Agar silinder dapat berhenti, torsi akibat gaya geseknya harus dapat memperkecil) Agar silinder dapat berhenti, torsi akibat gaya geseknya harus dapat memperkecil kecepatan sudutnya, maka gaya gesek harus berarah turun mengikuti permukaan bidang kecepatan sudutnya, maka gaya gesek harus berarah turun mengikuti permukaan bidang miring.

miring.

Diagram gaya pada silinder: Diagram gaya pada silinder:

Persamaan gaya pada silinder searah permukaan bidang miring

Σ=

::

sin



−cos=

Persamaan torsi pada silinder (

Σ=

::

−−



==1122





−−



==1122

Dengan mensubstitusi

 



, didapatkan:, didapatkan:

sin−cos=

sin−cos=3322 …1

 …1

 





_ 

_













==

(16)

Diagram gaya pada beban: Diagram gaya pada beban:

Persamaan gaya pada beban searah permukaan bidang miring: Persamaan gaya pada beban searah permukaan bidang miring:

cossin−



==

Persamaan gaya pada beban arah tegak lurus permukaan bidang miring: Persamaan gaya pada beban arah tegak lurus permukaan bidang miring:





sin−cos=0

Dengan

 



==



, substitusikan, substitusikan





::

cossin

cossinsin−cos

sin−cos= …2

= …2

Substitusikan



dari persamaan dari persamaan

11

dan dan

22

, sehingga didapatkan, sehingga didapatkan



::

==−−cos−sin

cos−sin−sin

_{331tan}

_{1tan22}

−sin1tan

1tan

22

Dengan memasukan nilai

==

, didapatkan:, didapatkan:

==−−cos−sin

cos−sin2tan

_{53tan 22}

_{53tan}

2tan

Persamaan gerak hingga silinder berhenti: Persamaan gerak hingga silinder berhenti:

00==



2

==−−

_22



==

_{[−}

_{[−}







_{]]}

b.

b. ((6 poin6 poin) Agar silinder dapat berhenti, maka) Agar silinder dapat berhenti, maka