226
ANALISA FUNGSI ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG DARI
POTENSIAL ECKART PLUS HULTHEN DIMENSI-D DENGAN
METODE NIKIFOROV
UVAROV
Luqman Hakim1, Cari2, Suparmi2 1
Mahasiswa Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret, Surakarta
23
Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret, Surakarta
Email: luqman_812_h@yahoo.com
ABSTRAK
Telah dilakukan analisis pendekatan persamaan Schrodinger dimensi-D pada potensial Eckart plus Hulthen dengan metode NikiforovUvarav (NU). Metode NU didasari oleh pereduksian persamaan diferensial orde dua menjadi persamaan umum diferensial orde dua tipe hipergeometrik.Pendekatan analisis dengan metode NU digunakan untuk memperoleh fungsi energi dan fungsi gelombang dari potensial uji. Pendekatan fungsi gelombang diekspresikan dalam bentuk polinomial Jacobi.
Kata kunci:Dimensi-D;Eckart plus Hulthen; Metode Nikiforov-Uvarov;Polinomial Jacobi PENDAHULUAN
Pada akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20, semakin jelas bahwa fisika (konsep-konsep fisika) klasik memerlukan revisi atau penyempurnaan. Hal ini disebabkan semakin banyaknya hasil-hasil eksperimen dan gejala-gejala fisika yang tidak bisa dijelaskan dengan konsep-konsep fisika yang telah dikuasai pada saat itu (fisika klasik), sekalipun dengan pendekatan. Masalah-masalah yang telah berkembang terutama pada obyek-obyek fisis yang berukuran mikroskopik, seperti partikel-partikel elementer dan atom serta interaksinya dengan radiasi atau medan elektromagnetik.Mekanika kuantummerupakan dasar untuk pemahaman tentang fenomena fisik pada skala mikroskopik. Sifat-sifat material dapat ditinjau dari gerakan partikel dan tingkat energi eigen terkait [1]. Persamaan gerak partikel dapat diselesaikan mengunakan persamaan Schrodinger, persamaan KleinGordon dan persamaan Dirac [2]. Persamaan Schrödinger merupakan hal mendasar dalam mekanika kuantum, yang mendeskripsikan bagaimana keadaan kuantum (quantum state) suatu sistem fisika yang berubah terhadap waktu [3].
Penyelesaian persamaan Schrödinger secara eksak hanya mungkin ketika bilangan orbital
l
0
, sedangkan ketikal
0
, persamaan Schrödinger hanya bisa diselesaikan dengan pendekatan subtitusi yang sesuai [4]. Beberapa metode yang digunakan antara lain: metode polinomial Romanovsky [5], metode confluent hypergeometric [6,7], dan metode NU [8]. Salahsatu metode yang sering digunakan saat ini adalah metode NU. Metode NU merupakan persamaan diferensial hipergeometrik yang memiliki bentuk penyelesaian yang paling umum karena persamaan diferensial fungsi lain dapat direduksimenjadi persamaan diferensial hipergeometrik. Beberapa penelitian yang menggunakan persamaan Schrodinger dimensi-D antara lain: pendekatan persamaan Schrodinger dimensi-D untuk potensial
scarf hyperbolic dengan metode NU [9],solusi
persamaan Schrodinger dimensi-D untuk energi yang bergantung potensial dengan metode NU [10], solusi pendekatan analisis scattering dari potensial Hulthen dimensi-D [11], dan solusi eksak dari potensial Kratzer termodifikasi plus potensial ring-shaped dalam persamaan Schrodinegr dimensi-D dengan metode NU [12]. Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan fungsi gelombang dari potensial Eckart plus
227 Hulthendimensi-D. Potensial Eckart sering digunakan untuk memperkirakan koreksi tunneling mekanika kuantum untuk konstanta laju kimia teoritis yang ditentukan [13]. Potensial Hulthen merupakan potensial berjangkauan pendek yang berperilaku seperti potensial Coulomb untuk nilai
rkecil dan menurun secara eksponesial untuk r
besar. Potensial Hulthen sering digunakan dalam fisika nuklir dan partikel, fisika atom, fisika zat padat, dan lain sebagainya [14]. Kombinasi kedua potensial diatas menjadi potensial Eckart plus Hulthen, secara matematis dituliskan sebagai [3]:
(1)
dengan ,
,
dan bernilaikonstan positif.
Persamaan Schrodinger dimensi-D didasari dengan penggunaan koordinat polar D-dimensi dengan hypersperical coordinates dan dalam dimensi-D. Persamaan Schrodinger dalam dimensi-D dituliskan sebagai [16]:
(2) dengan merupakan operator Laplace dalam dimensi-D, yaitu
(3)
Nilai merupakan operator
momentum anguler dimensi-D, yaitu:
(4) Penyelesaian persamaan Schrodinger dimensi-D dengan melakukan separasi variabel dengan memisalkan
, (5)
dengan adalah bagian radial dari persamaan dan adalah bagian sudutnya. Persamaan
Schrodinger dimensi-D bagian sudut harus memenuhi persamaan nilai eigen:
(6) Dengan mensubsitusikan persamaan nilai eigen (6) dalam persamaan operator Laplace (3) dan persamaan Schrodinger dimensi-D (2), maka diperoleh
(7) Persamaan (7) merupakan persamaan Schrodinger dimensi-D untuk bagian radial. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperoleh fungsi energi dan fungsi gelombang radial dari potensial Eckart plus Hulthen.
BAHAN DAN METODE Bahan
Penelitian ini merupakan penelitian analisis dengan bahan berupa potensial uji, yaitu potensial Eckart plus Hulthen di persamaan (1).
Metode
Metode dalam penelitian ini adalah metode NU. Metode NU ini didasari oleh pereduksian persamaan diferensial orde dua menjadi persamaan umum diferensial orde dua tipe hipergeometrik. Persamaan deferensial hipergeometrik, yang dapat diselesaikan dengan metode NU memiliki bentuk [8]
(8) dimana dan merupakan polinomial berderajat dua dan merupakan polinomial berderajat satu. Persamaan (8) dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel, yaitu
(9) Persamaan (9) dapat direduksi dengan mensubsitusikan persamaan (8), sehingga diperoleh
(10) Persamaan (10) merupakan
persamaan
(8). Parameter-parameter dalam metode NU, dan228 (11) (12) Harga pada persamaan (11) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat di bawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polinomial derajat satu, sehingga diskriminan di bawah akar harus nol. Persamaan tingkat energi dapat diperoleh dari persamaan (12) dengan hubungan
dan ditentukan dengan persamaan (13)
(14) Untuk mendapatkan tingkat energi dan fungsi gelombang yang terkait, diperlukan kondisi . Solusi bagian pertama dari fungsi gelombang dengan persamaan
(15) Solusi bagian kedua fungsi gelombang yang bersesuaian dengan relasi Rodrigues ditunjukan oleh persamaan berikut:
(16) dimana Cn merupakan konstanta normalisasi yang diperoleh berdasarkan orthogonal fungsi gelombang dan fungsi bobot harus tergantung pada kondisi
(17) HASIL DAN DISKUSI
Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh fungsi energi dan fungsi gelombang dari potensial Eckart plus Hulthen. Setelah dilakukan substitusi potensial Eckart plus Hulthen dalam persamaan Schrodinger dimensi-D dan dilakukan pemisahan variable diperoleh persamaan
(18) Untuk memperoleh penyelesaikan persamaan (18), dilakukan pemisalan
sehingga diperoleh
(19) Dengan fungsi hiperbolik bahwa nilai dan , maka persamaan (19) dapat ditulis sebagai
(20)
(21) Untuk , maka
dimana . Persamaan diferensial orde dua diperoleh dengan memisalkan pada persamaan (21), sehingga diperoleh
(22) Persamaan (22) merupakan persamaan diferensial orde dua hipergeometrik yang ditunjukkan oleh persamaan (8), sehingga diperoleh hubungan
229
, (23)
, maka , (24)
, (25)
Untuk memperoleh nilai , maka dilakukan subsitusi persamaan (23), persamaan (24) dan persamaan (25) ke persamaan (11), sehingga diperoleh
(26)
Harga pada persamaan (26) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat di bawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polinomial derajat satu sehingga determinan dari persamaan dibawah akar sama dengan nol, sehingga
. (27)
Dengan memisalkan
, maka agar diperoleh makna fisis, nilai adalah
(28) dan nilai adalah
.
(29)Nilai diperoleh sebesar
. (30)
Energi nilai eigen dan fungsi eigen dapat diperoleh kondisi bahwa , sehingga nilai diambil negatif.
(31) (32) Kemudian dilakukan penghitungan untuk menentukan nilai dan pada kondisi umum dengan mengambil nilai negatif (keadaan bound
state).
. (33)
Tingkat energi diperoleh dengan menyamakan nilai eigen dengan nilai eigen baru , dengan menyamakan persamaan (30) dan persamaan (32), yaitu
(34)
. (35)
Berdasarkan persamaan (35), dengan mengambil tanda akar yang sama, maka diperoleh
. (36)
Untuk memperoleh energi nilai eigen, maka dilakukan dengan menyamakan persamaan (28) dan persamaan (36), sehingga diperoleh
230 Dengan mengembalikan bahwa nilai
, diperoleh nilai energi dari potensial Eckart plus Hulthen dimensi-D, yaitu
. (38)
Pada kondisi khusus , maka
diperoleh
(39)
Berdasarkan persamaan (39), dengan mengambil tanda akar yang berbeda, maka diperoleh
. (40)
Langkah selanjutnya untuk menentukan nilai energi adalah dengan menyamakan persamaan (28) dengan persamaan (40), sehingga diperoleh
. (41)
Dengan mengembalikan bahwa nilai , diperoleh nilai energi dari potensial Eckart plus Hulthen dimensi-D, yaitu
. (42)
Pada kondisi khusus , maka
diperoleh
. (43)
Berdasar persamaan (39) dan persamaan (42) nilai spektrum energi untuk potensial Eckart plus Hulten sesuai dengan penelitian terdahulu adalah persamaan (39), sehingga nilai spektrum energi untuk potensial Eckart plus Hulten dimensi-D adalah persamaan (38), yaitu[3]
. (44)
Untuk menentukan fungsi gelombang pada potensial Eckart plus Hulthen dimensi-D, langkah pertama adalah menentukan fungsi gelombang bagian pertama yang diperoleh dari persamaan (24) dan persamaan (29) yang diselesaikan dengan persamaan (15), sehingga diperoleh
231 (45) . (46) Persamaan (46) digunakan untuk menggambarkan sebaran atau distribusi elektron (probabilitas ditemukannya elektron) jika dikombinasikan dengan persamaan fungsi gelombang radial bagian kedua.Fungsi gelombang sudut bagian kedua dari potensial Eckart plus Hulthen ditentukan dengan mengetahui fungsi bobot terlebih dahulu. Fungsi bobot diperoleh dengan mensubsitusikan persamaan (24) dan persamaan (33) ke persamaan (17), sehingga diperoleh
(47) dan diperoleh fungsi bobot sebesar
(48) Solusi bagian kedua fungsi gelombang yang bersesuaian dengan relasi Rodrigues ditunjukan oleh persamaan (16) dengan fungsi bobot pada persamaan (48), sehingga diperoleh
. (49)
Persamaan (49) merupakan polinomial Jacobi dalam bentuk
(50) Nilai dapat ditulis sebagai
, (51) dengan
(52) dan
. (53)
Fungsi gelombang lengkap pada potensial Eckart plus Hulthen dimensi-D adalah dengan mengalikan bagian pertama dan bagian kedua.
. (54)
Karena dan ,
maka
, (55)
dengan merupakan konstanta normalisasi. KESIMPULAN
1. Fungsi energi dari potensial Eckart plus Hulthen dimensi-D dapat diselesaikan dengan metode NU.
2. Fungsi gelombang dari potensial Eckart plus Hulthen dimensi-D dapat diselesaikan dengan metode NU.
3. Analisis fungsi energi dan fungsi gelombang dari potensial Eckart plus Hulthen dapat dilakukan dengan metode yang lainnya.
UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Rektor Universitas Palangkaraya dan Direktorat Jendral DIKTI atas pemberian beasiswa BPPDN
dan
Dikti nomer kontrak 351/UN 27.11/PN 2014
.DAFTAR PUSTAKA
[1] M.O.Tjia dan Sutjahja,Orbital Kuantum
Pengantar Teori dan Contoh Aplikasinya.
Bandung: Karya Putra Darwati, 2012. [2] A. A. Rajabi dan M. Hamzavi, “A new
Coulomb Ring-shaped Potential via Generalized Parametric Nikiforov–Uvarov
232
Method”. Journal of Theoretical and Applied Physics, 2013.
[3] Cari dan Suparmi,“Approximate Solution of Schrodinger Equation for Hulthen Potential plus Eckart Potential with Centrifugal Term in terms of Finite Romanovski Polynomials”. International Journal of
Applied Physics and Mathematics, vol. 2,
no. 3, 2012.
[4] A. D. Antia, A. N. Ikot, danL. E. Akpabio, “Exact Solutions of The Schrödinger Equation with Manning-Rosen Potential Plus A Ring-Shaped Like Potential by Nikiforov–Uvarov Method”. European Journal of Scientific Research, vol. 46, pp.
107–118, 2010.
[5] V. G. Romanovski dan D. S. Shafer, The
Center and Cyclicity Problems: A Computational Algebra Approach.
Birkhauser, Bassel, 2008.
[6] G. N. Georgiev dan M. N. Grosse,“The Kummer Confluent Hypergeometric Function and Some of Its Applications in The Theory of Azimuthally Magnetized Circular Ferrite Waveguides”. Journal of
Telecommunications and Information Technology, vol. 3, 2005.
[7] H. Nagoya, “Hypergeometric Solutions to Schrodinger Equations for The Quantum Painlev´e Equations”.Journal of Math Physics, vol.52, 2011.
[8] A. V. Nikiforov dan V. B. Uvarov, Special
Functions of Mathematical Physics.
Birkhauser, Bassel, 1998.
[9] U. A. Deta, Suparmi, dan Cari. “Approximate Solution of Schrödinger Equation in D-Dimensions for Scarf Hyperbolic Potential Using Nikiforov– Uvarov Method”. Adv. Studies Theor. Phys., vol. 7, no. 13, pp. 647–656, 2013.
[10] H. Hassanabadi, L. L. Lu, S. Zarrinkamar, G. H. Liu, dan H. Rahimov, “Approximate Solutions of Schrodinger Equation under Manning–Rosen Potential in Arbitrary Dimension via SUSYQM”. ACTA PHYS
POLONICAA,vol.122, no.4, 2012.
[11] C. C. Yuan, S. D. Sheng, L. C. Lin, dan L. F. Lin. “Approximate Analytical Solutions for Scattering States of D-dimensional Hulthen Potential”. Communications
inTheory. Physics,vol. 55, pp. 399–404,
2011.
[12] S. M. Ikhdair danR. Sever,“Exact Solutions of The Modified Kratzer Potential Plus Ring-shaped Potential in The D-dimensional Schrodinger Equation by The Nikiforov– Uvarov Method”. Journal of Quantum
Physics, vol.1, 2007.
[13] V. Vahidi dan H. Gourdarzi, “Supersymmetric Approach for Eckart Potential Using the NU Method”.Adv.
Studies Theor. Phys., vol. 5, no. 10, pp. 469–
476, 2011.
[14] A. K. Roy,“The Generalized Pseudospectral Approach to The Bound States of The Hulthen and The Yukawa Potentials”.
Pramana-Journal of Physics,vol. 65, no.1,
pp. 1–15, 2005.
[15] S. M. Ikhdair dan R. Sever, “Approximate l-state Solutions of The D-dimensional Schrodinger Equation for Manning–Rosen Potential”. Journal of Quantum Physics,vol.1, 2008.
