Bagian II. ALIRAN INKOMPRESIBEL

BAB

5

Teori Potensial Untuk Aliran

Inkompresibel

5.1 Pendahuluan

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, untuk aliran disekitar benda di mana harga cukup tinggi, asumsi invisid dapat digunakan. Asumsi ini juga dapat digunakan untuk kasus–kasus di mana

e

R

u

∇ sangat kecil sehingga τ =τ

( )

∇u menjadi sangat kecil sehingga τ dapat diabaikan. Untuk kasus–kasus seperti ini maka persamaan (I.3) (lihat sub bagian asumsi inkompresibel) menjadi lebih sederhana,

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + −∇ = × + ∂ ∂ _ψ ρ ω 2 2 u p u t u (MI)

Apabila aliran adalah aliran steady maka =0 ∂ ∂ t sehingga, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + −∇ = × ψ ρ ω 2 2 u p u

Sekarang kita ambil “dot product“ persamaan di atas dengan, e , unit vector di arah _l

kecepatan (searah dengan streamline), maka

) 2 ( 0 2 ψ ρ + + ∂ ∂ = p u l

atau = + + ψ ρ 2 2 u p

konstan sepanjang streamline

Catatan: Persamaan terakhir juga dapat diturunkan dari persamaan Bernoulli untuk aliran kompresibel dengan e = konstan seperti telah dijelaskan di Bab 2.

Persamaan di atas memberikan hubungan antara p dan u. Jadi apabila solusi u telah ditemukan, maka p dapat dihitung dengan menggunakan persamaan Bernoulli. Solusi

u dapat ditemukan dengan menyelesaikan persamaan vortisitas yang untuk kasus ini

adalah,

(

)

d u dt ω _ω = ⋅∇

Apabila selain asumsi inviscid, aliran juga adiabatik maka entropy (S) tidak berubah sepanjang pergerakan sebuah fluid elemen (dS 0

dt = ) dan aliran menjadi aliran isentropic (lihat sub-bagian 2.6 tentang asumsi-asumsi yang biasa digunakan).

Sehingga apabila asumsi-asumsi ini kita gunakan untuk mempelajari aliran inkompresibel disekitar benda yang diletakkan pada aliran dengan freestram yang seragam, harga S menjadi konstan diseluruh daerah fluida dimana asumsi-asumsi tersebut dapat digunakan. Sebagaimana telah kita pelajari sebelumnya, ini berarti ω = 0 sehingga asumsi irotasional dapat digunakan dan aliran ini disebut aliran potensial.

5.2 Teori potensial untuk aliran inkompresibel

Seperti telah dijelaskan di bab sebelumnya, aliran disekitar benda di mana tinggi pada umumnya adalah aliran irotasional kecuali di daerah di dekat permukaan (lapisan batas). Oleh karena itu masalah aliran di luar lapisan batas dapat diselesaikan dengan menggunakan teori potensial. Karena

e R 0 = × ∇ = u

ω dan kita ketahui dari kalkulus vektor bahwa ∇×∇φ =0untuk setiap skalar φ , maka u dapat dinyatakan sebagai,

φ

∇ =

u

dan persamaan kontinuitas menjadi,

0 2 ₌ ∇ = ⋅ ∇ u φ 0 2 ₌ ∇ φ (IP.1). Persamaan di atas adalah persamaan Laplace. Persamaan ini dapat diselesaikan apabila kondisi batasnya diberikan. Untuk aliran inviscid, kondisi batasnya adalah,

ˆ _solid ˆ u n U⋅ = ⋅ atau n ∇ ⋅ =φ n Uˆ _solid⋅ nˆ sehingga ˆ solid U n n φ ∂ _{= ⋅} ∂ (IP.2)

Kondisi batas lainnya adalah kondisi batas di freestream (daerah yang jauh dari benda). Kondisi batas ini menyatakan bahwa u=∇φ didaerah ini adalah kecepatan freestream atau,

( )

( )

u x→ ∞ = ∇φ _∞=U_∞ (IP.2.b). Permasalahan aliran irotasional inkompresibel menjadi permasalahan untuk mendapatkan solusi

( )

φ dari persamaan (IP.1) dengan kondisi batas (IP.2) dan (IP.2.b). Apabila φ telah ditemukan maka u didapatkan dari definisi u=∇φ. Setelah

u didapatkan maka tekanan pdapat ditemukan.

Untuk menemukan p, kita kembali ke persaman momentum untuk aliran inkompresibel (MI) (lihat 5.1) dengan ω = 0 dan u = ∇φ.

0 2 2 2 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ψ + + + ∂ ∂ ∇ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ψ + + −∇ = ∇ ∂ ∂ u p t u p t ρ φ ρ φ atau ) ( 2 2 t f u p t + + +Ψ= ∂ ∂ ρ φ .

f(t) yang didapatkan dari integrasi, dapat diikutsertakan kedalam φ karena φ tidak didefinisikan secara unik. Sehingga apabila

) ( '=φ+ f t φ maka u u'=∇φ'=∇φ= Dengan demikian maka persamaan di atas menjadi

tan 2 2 kons u p t + + +Ψ= ∂ ∂ ρ φ (IP.3.a) atau kasus steady,

tan 2 2 kons u p_{+ +Ψ=} ρ (IP.3.b)

Persamaan (IP.3.b) dapat diturunkan dari persamaan tan 2 2 kons u h+ +Ψ = .

Dengan e = konstan untuk aliran inkompresibel, didapatkan persamaan Bernoulli (IP.3.b).

5.3 Sifat-sifat umum dari solusi persamaan Laplace

Kita telah lihat permasalahan aliran inviscid inkompresibel berubah menjadi permasalahan matematik, yaitu mendapatkan solusi persamaan Laplace, apabila asumsi irrotasional dapat digunakan. Dalam subbagian ini kita akan mempelajari sifat-sifat umum dari solusi persamaan Laplace. Karena sifat-sifat ini adalah sifat-sifat matematis dari sebuah persamaan, maka apa yang kita dapatkan dalam subbagian ini berlaku secara umum untuk segala macam fenomena fisis yang dijelaskan oleh persamaan Laplace, termasuk aliran potensial untuk kasus inkompressible.

Sebelum kita mulai mempelajari sifat dari solusi persamaan Laplace lebih dalam, diperlukan beberapa definisi dan teorema berikut ini. Definisi-definisi yang diperlukan untuk mempelajari sifat-sifat persamaan Laplace adalah:

1. Reducible circuit: adalah sebuah sirkuit yang dapat “dikontraksikan” menjadi sebuah titik tanpa melewati daerah yang dipelajari.

2. Reconciable circuit: adalah dua buah sirkuit yang dapat “dipertemukan” dengan cara yang kontinyu tanpa melewati daerah yang dipelajari.

3. Daerah simply connected: daerah di mana semua sirkuit adalah reducible dan

reconcilable.

4. Daerah Doubly connected: daerah di mana didalamnya terdapat satu sirkuit yang tidak reducible.

Contoh: daerah exterior dari benda 3 dimensi, daerah ini adalah daerah simply

connected karena semua sirkuit, C1 dan C2 misalnya, adalah sirkuit yang reducible

dan reconciable.

Daerah exterior dari benda yang digambarkan di atas (a dan b) adalah daerah doubly

connected karena sirkuit C1 misalnya, adalah sirkuit yang tidak reducible. (C1 hanya

dapat dikontraksikan menjadi sebuah titik dengan cara “memotong” sayap dalam kedua gambar di atas. Dengan kata lain, harus melewati daerah yang dipelajari (fluida). Namun, pada kedua gambar di atas sirkuit C0 adalah reducible.

Berikut ini adalah teorema-teorema yang dibutuhkan: Teorema Stokes:

Apabila l adalah sirkuit reducible maka,

(

)

∫

∫

∫

⋅ = = ∇×∇ ⋅ ∂ ∂ = Γ A l l dS n d dl l φ φ φ (Teorema Stokes) di mana l adalah batas dari permukaan A (seperti terlihat dalam sketsa dibawah).

Teorema Green:

(

2

)

_ˆ R S dV ndS ψ φ∇ + ∇ ⋅∇ψ φ = ψ φ∇ ⋅

∫

∫

(Teorema Green) apabila ψ,φ adalah fungsi yang single valued.

Bukti untuk Teorema Green: Kita mulai dari Teorema Gauss (*)

ˆ

V S

AdV A ndS

∇ ⋅ = ⋅

∫

∫

sekarang kita definisikan A≡ψ ∇φ sehingga,

(

)

2

A ψ φ ψ φ ψ

∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ + ∇ ⋅∇φ

sekarang kita subsitusikan kedalam teorema Gauss,

(

2

)

_ˆ

V

dV ndS

ψ φ∇ + ∇ ⋅∇ψ φ = ψ φ∇ ⋅

Perlu diingat bahwa (*) berlaku untuk A yang kontinyu (ψ & ∇φ haruslah kontinyu). Jadi teorema ini berlaku apabila ψ & φ adalah fungsi yang single valued.

Bentuk lain dari Teorema Green adalah sebagai berikut, definisikan

A≡ψ φ φ ψ∇ − ∇

2 2

A ψ φ ψ φ φ ψ φ ψ

∇ ⋅ = ∇ ⋅∇ + ∇ − ∇ ⋅∇ − ∇ Apabila kita subsitusikan kedalam teorema Gauss,

(

2 2

)

ˆ ˆ ˆ ˆ . , . ˆ ˆ V S dV dS n n n n n n φ ψ ψ φ φ ψ ψ φ φ ψ φ ψ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∇ − ∇ = _⎜ − _⎟ ∂ ∂ ⎝ ∂ ∂ ∇ = ∇ = ∂ ∂

∫

∫

_⎠

(Teorema Green Kedua)

5.3.1 Keunikan solusi persamaan Laplace dalam daerah Simply Connected

Untuk kasus ini teorema Stokes dapat digunakan sehingga,

0

ˆ 0

l Α

Γ =

∫

d

φ

=

∫

ω n ds⋅ = .

Jadi untuk kasus ini Γ = 0 untuk setiap sirkuit. Karena Γ = 0 maka,

0

2 1 lewat C C lewat

=

φ

−

φ

=

φ

∫

∫

∫

B A B A

d

d

d

sehingga,

Oleh karenanya dapat disimpulkan bahwa φ

( )

B & φ

( )

A hanya mempunyai satu nilai (“single valued”). Dengan kata lain hanya ada satu harga φ di setiap titik di daerah

simply connected yang merupakan daerah exterior dari benda B (daerah R).

Sekarang kita akan lihat apakah solusi dari persamaan (IP.1) dengan kondisi batas (IP.2) (Problem ini disebut juga “Neumann exterior problem”) di daerah simply connected adalah solusi yang unik. Misalkan ada dua φ , φ1 & φ2, yang memenuhi persamaan (IP.1) dan kondisi batas (IP.2) sehingga,

(

1 2

)

2

_{φ φ}

₀

∇

−

=

di R dan

(

φ φ

1 2

)

0

n

∂

−

=

∂

di S

di mana S adalah permukaan benda. Selain itu “turunan dari (φ1 – φ2)” di infinity adalah

nol karena ∇φ x1

(

→ ∞ =

)

U_∞ = ∇φ x₂

(

→ ∞ .

)

Sekarang kita gunakan Teorema Green dengan ψ = φ1 – φ2 & φ = φ1 – φ2 (teorema ini

dapat digunakan karena daerah di luar benda adalah simply connected sehingga φ adalah

single valued).

(

1 2

)

(

1 2

) (

1 2

)

(

1 2

) (

1 2

)

2

ˆ

R Σ S

dV

ndS

dS

n

φ φ

φ φ

φ φ

φ φ

∂

φ φ

⎡

∇

−

⎤

_⎦

=

−

∇

−

⋅

−

−

−

⎣

_∂

∫

∫

∫

Apabila kita ambil Σ yang berada di infinity maka

( )

dS 0 Σ →

∫

, karena

(

1 2

)

0 n φ φ ∂ _{− =} ∂ di S sehingga,

(

1 2

)

(

1 2

)

2

0

0

R

dV

φ φ

φ φ

⎡

∇

−

⎤

_⎦

= ⇒ ∇

−

=

⎣

∫

Jadi, φ φ1= +2 k di mana k adalah konstan atau fungsi waktu.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa solusi dari di R (daerah exterior dari S) dengan

0

2

₌

∇ φ

ˆ

_wall

φ n U

n

∇ ⋅ =

⋅ ˆ

di S adalah unik sampai dengan sebuah additive k apabila R adalah daerah simply connected.

5.3.2 Keunikan solusi persamaan Laplace dalam daerah Doubly Connected

Untuk kasus ini Teorema Stokes hanya dapat digunakan untuk daerah-daerah seperti yang dibatasi dengan sirkuit seperti yang dibatasi oleh C0. Untuk daerah-daerah yang

dibatasi dengan sirkuit seperti C2, C1, Teorema Stokes tidak berlaku. Oleh karena itu,

walaupun kita tahu bahwa ω = 0 di daerah di luar S, kita tidak tahu apakah atau tidak (karena Teorema Stokes tidak dapat digunakan). Sehingga dapat disimpulkan bahwa,

0

2 =

C

Γ

“Di daerah doubly connected, Γ dari sirkuit yang tidak reducible tidak harus sama dengan nol dan harga Γ tidak dapat ditentukan dengan menggunakan apa yang telah kita pelajari selama ini.”

Teorema Stokes dapat digunakan di daerah σ yang dibatasi oleh sirkuit C1 & C2.

∫

∫

∫

⋅

−

⋅

=

⋅

=

σ C C

dS

n

ω

l

d

u

l

d

u

ˆ

0

2 1

sehingga

Γ

C1

=

Γ

C2. Oleh karena itu dapat disimpulkan,

Sekarang kita akan lihat sifat dari φ di dalam daerah doubly connected. B B B A A A

u dl

dl

d

l

φ

_φ

∂

⋅

=

⋅

=

∂

∫

∫

∫

Karena Teorema Stokes dapat digunakan di daerah σ12 maka,

[

]

[

]

12 1 2 1 2

ˆ

0

lewat C lewat C B B A A σ lewat C lewat C

d

d

ω n dS

(B)

(A)

(B)

(A)

φ

φ

φ

φ

φ

φ

−

=

⋅

=

−

=

−

∫

∫

∫

Sehingga dapat disimpulkan bahwa “sepanjang reducible circuit φ adalah single

valued”.

Hal yang berbeda terjadi untuk sirkuit yang tidak reductible seperti C1 + C3. Untuk

sirkuit-sirkuit seperti ini Teorema Stokes tidak dapat digunakan sehingga,

3 1 lewat C lewat C B B A A

d

φ

−

d

φ

=

Γ

∫

∫

atau

[

φ

(B)

−

φ

(A)

]

_{lewat C2}

−

[

φ

(B)

−

φ

(A)

]

_{lewat C1}

=

Γ

Jadi dapat disimpulkan bahwa

Daerah doubly connected dapat diubah menjadi simply connected dengan memasukkan “barrier” (lihat gambar!).

Daerah di dalam barrier tidak diikutsertakan di dalam daerah yang dipelajari. Sekarang kita hitung sirkulasi untuk sirkuit dalam sketsa diatas,

( ) ( )

1 1 1 1 lim p lim p d p p p φ p p⎡φ φ p ⎤ Γ = = _⎣ − _⎦ →

∫

→

Maka dapat disimpulkan bahwa

“Apabila kita melompati pembatas (barrier) maka akan ada lompatan φ sebesar Γ ” Sekarang kita akan lihat apakah solusi dari (IP.1) dengan (IP.2) adalah unik sampai dengan sebuah “additive” k, sebagaimana kasus di daerah simply connected. Kemudian, seperti sebelumnya, kita anggap ada dua φ (φ1 dan φ2), yang memenuhi (IP.1) dan (IP.2)

sehingga,

(

)

2 1 2 0 φ φ ∇ − = di R dan

(

_{1 2}

)

0 n φ φ ∂ − = ∂ di S Definisikan Φ ≡ φ1 – φ2 sehingga, 2 ₀

∇ Φ = di R (daerah doubly connected) dan 0

n

∂Φ ₌

∂ di S

Sama seperti kasus simply connected, kita akan gunakan Teorema Green untuk melihat apakah φ adalah unik. Namun, untuk kasus ini R adalah daerah doubly connected sehingga φ1, φ2, dan Φ adalah multivalued. Oleh karena itu, Teorema Green tidak dapat

digunakan. Untuk itu kita perlu menambahkan “barrier” membuat domain yang baru Rb menjadi simply connected dan Teorema Green dapat digunakan.

(

)

0 2 1 1 0 AB C CD C dS dl dl dl dl n n n σ = n ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂ ∇Φ = Φ + Φ − − Φ ∂ ∂ ∂ ∂

∫

∫

∫

∫

∫

Φ

Apabila kita ambil C yang berada di infinity maka

( )

0 C dl→

∫

dan

( )

2 1 1 1 AB CD b b dS dl dl dl dl n n n σ + − ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∇Φ = Φ − Φ ≡ Φ − Φ ∂ ∂ ∂ ∂

∫

∫

∫

∫

∫

1 n Walaupun Φ multivalued, 1 n ∂Φ

∂ adalah single valued karena kecepatan di sebuah titik

haruslah single valued. Jadi,

1 b 1 b n ₊ n ₋ ⎛∂Φ⎞ ₌⎛∂Φ⎞ ⎜_∂ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dengan demikian,

( )

2

{

( ) ( )

( ) ( )

}

1 1 2 2 1 b b b b barrier dS dl n σ φ ₋ φ ₊ φ ₋ φ ₊ ⎛∂Φ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∇Φ = _⎣ − _{⎦ ⎣}− − _{⎦ ∂⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∫

∫

Karena lim

( ) ( )

D A maka

D→ A⎡⎣φ −φ ⎤⎦=Γ

(

)

2

(

)

1 2 barrier dS dl n σ ∂Φ ∇Φ = Γ − Γ ∂

∫

∫

atau

(

)

(

)

2

(

)

(

)

1 2 1 2 1 2 barrier dS dl n σ φ φ ∂ φ φ ∇ − = Γ − Γ − ∂

∫

∫

.

Jadi apabila Γ1 = Γ2 maka φ2 = φ1 + k tetapi apabila Γ1 ≠ Γ2 maka φ1 ≠ φ2. Dengan kata

lain, solusi unik untuk kecepatan hanya akan didapatkan apabila kedua solusi (1 dan 2) mempunyai sirkulasi Γ yang sama. Ini berarti untuk kasus ini selain kondisi batas, sirkulasi Γ juga harus dispesifikasikankan. Jadi dapat disimpulkan bahwa

Solusi dari _{∇ =}2_{φ 0} di R (daerah doubly connected) dengan _ˆ s

n U nˆ

φ

∇ ⋅ = ⋅ di S adalah unik (sampai dengan sebuah konstanta k) apabila Γ diberikan. Untuk kondisi batas di S dan ∞ yang sama, harga Γ yang berbeda akan memberikan solusi yang berbeda.

Jadi untuk mendapatkan solusi yang unik untuk masalah aliran potensial (inkompresibel) di daerah doubly connected Γ harus diberikan. Spesifikasi Γ didapatkan dari pengertian fisis dari aliran yang dipelajari. Dalam permasalahan aliran di sekitar airfoil, Γ dispesifikasikan oleh apa yang disebut dengan “Kutta condition”. Kondisi Kutta menyatakan bahwa: aliran di permukaan airfoil harus meninggalkan

airfoil tepat di trailing edge.

5.3.3 Sifat-sifat lain dari

φ

Sifat-sifat umum dari φ akan dibahas di sini. Sifat-sifat ini berlaku baik untuk R yang

simply connected walaupun R yang doubly connected.

Sifat-sifat ini adalah:

1. φ tidak mungkin mempunyai harga maksimum atau minimum di interior dari fluida. Harga maksimum atau minimum hanya dapat dicapai di batas-batas fluida.

Bukti: Misalkan sebuah titik P berada di interior fluida. δV adalah sebuah

volume element kecil yang mengelilingi P dengan permukaan δS.

(

)

( )

2 ˆ 0 S S dS ndS V n V δ δ φ _{φ φ δ} φ δ ∂ _{= ∇ ⋅ = ∇ ⋅∇} ∂ = ∇ =

∫

∫

Ini artinya di sekitar P,

n

φ

∂

∂ tidak mungkin seluruhnya negatif atau

positif. Jadi φ tidak mungkin mempunyai harga minimum atau maksimum di titik P

2. Turunan “spatial” dari φ memenuhi persamaan Laplace. Bukti: Turunan “spatial” dari φ adalah ∇φ

u= ∇ , φ _{∇ ⋅ = ∇ = , u} 2_{φ 0 ∇× = ∇×∇ = u φ 0} karena

(

)

2 0 u u = ⎛ ⎞ ∇× ∇×⎜_⎜ ⎟_⎟= ∇ ∇ ⋅ − ∇ ⎝ ⎠ u maka, 2_{u 0} ∇ = atau _{∇ ∇ =} 2

( )

_{φ 0}

atau turunan spatial φ menuruti persamaan Laplace. Oleh karenanya, maka ∇φ

mempunyai sifat 3 dan 4 di bawah

3. Turunan spatial dari φ tidak bisa mencapai minimum atau maksimum di interior dari fluida.

4. Komponen kecepatan tidak dapat mencapai minimum atau maximum di interior fluida.

5. Besar kecepatan tidak dapat mencapai harga maksimum di interior fluida Bukti: Kita gunakan Teorema Green dengan ψ =φ1

( )

2 2 0 ˆndS dV S V φ φ φ φ φ = ⎛ ⎞ ∇ ⋅ = ⎜_⎜ ∇ + ∇ ⎟_⎟ ⎝ ⎠

∫

∫

( )

2 2 0 1 ˆ 0 2 ndS dV s v φ φ > ⇒

∫

∇ ⋅ = ∇

∫

> Karena z y x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂φ φ φ ,

, mematuhi persamaan Laplace (sifat 2) maka :

2 1 _ˆ 0 2∇ ⋅u nds>

∫

di mana 2 2 2 2 u x y z φ ⎛ φ ⎞ φ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟} + _{⎜ ⎟} + _{⎜ ⎟} ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Jadi di sekitar titik P, _u2

n

∂ ∂

tidak mungkin negatif sehingga u2 tidak mungkin mencapai maksimum di dalam interior fluida.

( )

2 2 u p f t t φ ρ ⎛∂ ⎞ = − _⎜ + _⎟+ ∂ ⎝ ⎠ 2 2 2 0 0 ˆ ˆ 2 2 S S S S S p dS p ndS ndS u ndS n t u V dS t n δ δ δ δ ˆ ρ ρ φ ρ ρ φ δ = > ∂ ∂ = ∇ ⋅ = − ∇ ⋅ − ∇ ⋅ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜_⎜∇ ⎟_⎟ − ∂ _{⎝ ⎠} ∂

∫

∫

∫

∫

∫

0 S p dS n δ ∂ ⇒ < ∂

∫

Jadi disekitar titik P, p

n

∂

∂ tidak mungkin positif sehingga p tidak mungkin

mencapai minimum di dalam interior fluida.

5.3.4 Prinsip Superposisi

Persamaan Laplace (IP.1) adalah persamaan diferensial parsial yang linier. Oleh karena itu, Prinsip Superposisi berlaku apabila kondisi batasnya dijelaskankan oleh persamaan yang juga linier. Prinsip ini menyatakan bahwa :

Apabila ,φ₁ φ₂, φ₃,…,φ_n adalah solusi dari persamaan-persamaan : 2 1 0 φ ∇ = , 2 2 0 φ ∇ = , 2 ₀ n φ ∇ = dengan 1 1 a n φ ∂ ₌ ∂ , 2 2 a n φ ∂ ₌ ∂ , n n a n φ ∂ ₌ ∂ yang linier,

maka φ φ φ= + + + juga memenuhi persamaan Laplace _{1 2} ... φ_n 2_{φ 0}

∇ = dengan kondisi batas

1 2 ... n a a a n φ ∂ = + + + ∂

Prinsip ini dapat dibuktikan dengan mudah dengan menggunakan kenyataan bahwa (IP.1) dan (IP.2) adalah persamaan-persamaan yang linier.

Jadi apabila kita mengetahui beberapa solusi dari persamaan Laplace, maka solusi-solusi dapat digabungkan untuk mendapatkan solusi-solusi yang baru. Metode untuk mendapatkan solusi dari (IP.1) (dengan(IP.2)) dengan cara menggabungkan beberapa solusi adalah salah satu metode yang banyak digunakan. Metode lainnya adalah dengan menggunakan “Methods of separation of variable’’.

5.4 Permasalahan aliran potensial ditinjau dari rangka acuan

yang berbeda

Dalam praktik, sering sekali kita harus menyelesaikan permasalahan aliran potensial di sekitar benda yang bergerak dengan kecepatan U(t) relatif terhadap fluida yang diam. Untuk kasus ini permasalahan matematis yang harus diselesaikan adalah persamaan (IP.1), (IP.2), (IP.2.b) yang untuk kasus ini menjadi,

(

)

( )

2 ₀ ˆ ( ) ˆ dim ( ) ( ) 0 b b b S n U t n ana S S t u x φ φ φ _∞ ∇ = ∇ ⋅ = ⋅ = → ∞ = ∇ =

Sementara itu tekanan dapat dihitung dengan menggunakan persamaan Bernoulli untuk kasus unsteady yaitu,

2 tan 2 p u kons t φ ρ ∂ _{+ + =} ∂

Hubungan matematis diatas adalah hubungan yang dituliskan dengan menggunakan rangka acuan yang diam relatif terhadap ruang (K). Dari hubungan tersebut dapat dilihat bahwa kita harus menjelaskan permukaan benda yang bergerak tersebut (Sb)

Namun, apabila kita gunakan rangka acuan yang bergerak dengan benda (K1), fungsi

yang menjelaskan permukaan benda menjadi “time independent’. Ini disebabkan karena permukaan benda Sb tidak berubah terhadap waktu apabila kita jelaskan

permukaan tersebut dengan menggunakan K1. Jadi permasalahan akan menjadi lebih

sederhana apabila kita guanakan rangka acuan K1 yang bergerak bersama dengan benda.

Untuk melihat ini, kita transformasikan hubungan diatas yang dituliskan dengan menggunakan dari K ke K1. Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa posisi sebuah titik P

dijelaskan oleh x1 apabila diamati dari K1dan x apabila diamati dari K. Hubungan

antara vektor x1 dan x adalah :

( )

( )

1 0 , t x x t = −x

∫

U τ τd

Dari persamaan ini maka terlihat bawa kecepatan potensial dan tekanan relatif terhadap

K1 (φ

(

x t p x t₁, ,

) (

₁,

)

) adalah,

(

x t1,

)

(

x x t t1

( )

, ,

)

( )

x,

φ =φ =φ t

(

1,

)

(

1

( )

, ,

)

( )

p x t = p x x t t = p x t,

Ini tentunya sesuai dengan prinsip bahwa harga sebuah skalar tidak tergantung dari rangka acuan yang digunakan. Selain itu hubungan-hubungan berikut juga berlaku:

1 1 x ∂ _{= ∇ = ∇} ∂ , 2 2 1 ∇ = ∇ (karena

( )

( )

0 t U τ τd ≠ f x

∫

)

(

1

)

1 1 1 , x t x U t t t x t φ φ φ φ _φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ⋅ = − ⋅∇ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (3)

Jadi dengan menggunakan sistem koordinat yang bergerak bersama rangka acuan K1,

permasalahan aliran potensial disekitar benda yang bergerak dengan kecepatan U(t) selesaikan dengan mencari solusi dari permasalahan,

(

)

(

)

2 1 1 1 0 ˆ ( ) ˆ dim ( ) ( ) 0 b b b S n U t n ana S S t u x φ φ φ _∞ ∇ = ∇ ⋅ = ⋅ ≠ → ∞ = ∇ = di mana sekarang φ φ=

(

x t₁,

)

Hubungan ini menunjukkan bahwa ketergantungan φ terhadap waktu didapatkan hanya melalui ( )U t dan apabila benda bergerak dengan kecepatan konstan maka permasalahan

ini dilihat dari K1 adalah permasalahan yang steady. Perlu ditekankan disini, bahwa Sb

dalam rangka acuan K1 bukan merupakan fungsi waktu karena Sb dijelaskan dengan

menggunakan x1 yang tidak berubah terhadap waktu apabila vektor ini berada didalam

benda. Dengan menggunakan rangka acuan K1, persamaan Bernoulli menjadi,

(

)

(

)

2 1 1 1 1 , t 2 p x t U kons t φ ρ⎡∂ φ φ ⎤ + _⎢ − ⋅∇ + ∇ _⎥= ∂ ⎣ ⎦ an

Terakhir, permasalahan aliran disekitar benda yang bergerak didalam fluida yang diam dapat pula dianggap sebagai permasalahan aliran disekitar benda yang diam. Ini dapat dilihat dengan mendefinisikan,

1φˆ 1φ U t( )

∇ ≡ ∇ − .

Dengan kata lain, sekarang persoalan ini diamati oleh pengamat yang diam relatif terhadap K1 dan ∇1φˆ adalah kecepatan relatif. Dengan menggunakan definisi ini maka hubungan persamaan Laplace dan kondisi batasnya menjadi,

(

)

(

)

( )

(

)

2 1 1 1 1 1 ˆ 0 ˆ ˆ ( ) ˆ 0 ˆ _{( ) ( )} b b S S n U t U t U t φ φ φ φ φ _∞ ∞ ∇ = ∇ ⋅ = ∇ − ⋅ = ∇ = ∇ − = − n

Ini menunjukkan bahwa permasalahan aliran benda yang bergerak dengan kecepatan U relatif terhadap fluida yang diam ekuivalen dengan permasalah aliran disekitar benda diam yang diletakkan didalam aliran dengan kecepatan freestream –U(t). Dengan kata lain, permasalahan aliran potensial yang dihasilkan oleh benda yang bergerak relatif terhadap fluida yang diam dapat diselesaikan dengan menyelesaikan permasalahan relatif terhadap benda (mencari ∇1φˆ) kemudian menambahkan kecepatan relatif ini dengan kecepatan benda atau,

1φ U t( ) 1φˆ

∇ = + ∇

Dalam literatur φ dikenal dengan sebutan pertubation potential atau potensial ˆ gangguan.

Namun, dalam menggunakan ekuivalensi diatas kita perlu berhati-hati. Sebelumnya kita perlu melihat apakah aliran ini tetap merupakan aliran potensial apabila kita amati dari rangka acuan K1.

Secara umum, benda rigid dapat bergerak secara translasi dan rotasi (U U= _tran + Ω× ) r

sehingga kecepatan disebuah titik didalam aliran dapat dinyatakan sebagai, tran rel

u U= + Ω× +r u

dimana u adalah kecepatan fluida dititik tersebut relatif terhadap K dan u kecepatan _rel

fluida dititik tersebut dilihat oleh pengamat yang bergerak bersama K1. Untuk melihat

apakah aliran tetap merupakan aliran potensial di K1, kita hitung vortisitas di titik

tersebut.

(

)

( ) ( )

3 2

tran rel rel

rel rel u U r u r r ω ω ω ω = ∇× = ∇× + Ω× + = Ω ∇ ⋅ − Ω⋅∇ + = Ω − Ω + = Ω +

dimana ω_rel ≡ ∇×u_rel adalah vortisitas relatif terhadap K1. Dari hasil ini terlihat bahwa

aliran yang irotasional relatif terhadap K, belum tentu juga aliran yang irotasional apabila dilihat dari K1. Aliran hanya akan irotasional relatif terhadap kedua rangka

acuan apabila benda tersebut tidak berputar atau Ω = . 0

5.5 Gaya-gaya yang beraksi di permukaan benda yang

bergerak dalam aliran potensial tak terbatas

Misalkan B bergerak dengan kecepatan U(t) dalam fluida. Apabila S adalah permukaan dari B maka gaya yang bekerja pada B (gaya-gaya fluida) adalah:

( )

, ˆ S

F = −

_∫

p x t ndS (1)

(

,

)

p x t dapat dituliskan dengan menggunakan potensial kecepatan φ dan hubungan antara p dan φ didapatkan dari persamaan Bernoulli

( )

2

( )

( )

, 2 p x t f t p t φ ρ ρ∂ + ∇φ + = = _∞ ∂

Seperti telah dibahas disub-bagian sebelum ini permasalahan yang harus diselesaikan akan menjadi lebih sederhana, secara matematis, apabila kita gunakan rangka acuan K1.

Persamaan Bernoulli yang dituliskan dengan menggunakan rangka acuan ini adalah,

(

)

(

)

2

( )

1 1 1 1 , , 2 p x t p U p x t t φ ρ φ φ ∝ ∂ ⎡ ⎤ = − _⎢ − ⋅∇ + ∇ _⎥= ∂ ⎣ ⎦

Apabila persamaan ini kita substitusikan ke persamaan (1) maka, 2 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 S S S S I q F ndS U q ndS t q ndS U q ndS t φ ρ ρ ρφ ρ = ⎡ ⎤ ∂ = ⋅ + _⎢ − ⋅ _⎥ ∂ _{⎣ ⎦} ⎡ ⎤ ∂ = + _⎢ − ⋅ _⎥ ∂ _{⎣ ⎦}

∫

∫

∫

∫

di mana q≡ ∇1φ. Karena U× ×

( ) ( )

n qˆ = U q n⋅ ˆ−

(

U n⋅ ˆ q maka

)

(

)

( )

2 ˆ ˆ ˆ 2 S S II I q n U n q dS U n q dS ρ = ⎡ ⎤ = _⎢ − ⋅ _⎥ − × × ⎣ ⎦

∫

∫

. Karena ∇ ⋅ = ⋅ = ⋅ ˆ₁ n q n U nˆ ˆ di S(x) maka

( )

2 ˆ ˆ 2 S q II = ⎡_⎢ n− ⋅q n q dS⎤_⎥ ⎣ ⎦

∫

Di daerah di antara S dan Σ (daerah R0)

0 0 2 ˆ ( ˆ) ( ) ( ) 2 S R q n q n q dS q q q q dV ⎡ ⎤ _{⎡ ⎤} − ⋅ ⋅ = ∇ ⋅ − ∇ ⋅ ⋅ = ⎢ ⎥ _{⎣ ⎦} ⎣ ⎦

∫

∫

0 .

2 2 ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) 2 2 S q q II n q n q dS n q n q dS Σ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = _⎢ − ⋅ _⎥⋅ = _⎢ − ⋅ _⎥⋅ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫

∫

Jadi, apabila kita pilih Σ di infinity, maka II= 0 karena u x( → ∞ = ∇)

( )

₁φ _∞ = = 0 q

apabila aliran adalah aliran tak terbatas yang tak mempunyai efek di infinity. Dengan mensubtitusikan hasil-hasil ini ke persamaan untuk F didapatkan,

ˆ (ˆ ) S S F ndS U n q dS t ρφ ρ ∂ = ⋅ − ⋅ × × ∂

∫

∫

(4) Sekarang kita akan lihat arti dari

∫

×

S

dS q nˆ )

( dan untuk itu kita akan lihat permasalahan ini menggunakan sudut pandang alternatif yang diperkenalkan di akhir sub-bagian 5.3.5. Seperti telah dijelaskan disub-bagian 5.3.5, permasalahan ini ekuivalen dengan permasalahan aliran disekitar benda diam yang diletakkan didalam aliran dengan kecepatan freestream –U(t). Apabila u adalah kecepatan absolut dari fluida dalam sudut pandang ini, maka u= − + qU .

Karena ˆ ˆ 0 S S n U dS× ⋅ = − ×U n dS⋅ =

∫

∫

maka,

∫

∫

∫

× = × = S S S udS e dS u n dS q nˆ ) (ˆ ) ˆ (

di mana eˆ ⊥ dengan n &ˆ u. Apabila kita tuliskan dS dl= × S , di mana S adalah span dan dl adalah elemen sepanjang kontur benda maka,

ˆ ˆ ˆ ˆ

( )

S S l

n q dS e udS e× = = udl e= u dl⋅ = Γ e

∫

∫

_S

∫

_S

∫

_Sˆ.

Dengan demikian maka suku

∫

× S

dS q nˆ )

( menjelaskan sirkulasi Γ dari benda.

Akhirnya formula untuk gaya F dapat tuliskan seperti,

ˆ

(

S

F

ndS

U

e

t

ρφ

ρ

∂

=

+

×

∂

∫

Γ

ˆ)

S

(F) di mana S adalah span dan adalah unit vektor yang tegak lurus dengan eˆ U dan . nˆ

Apabila kita ingat bahwa ( , )φ x t =φ( ; ( ))x U t maka dU t U dt φ φ ∂ ₌ ∂ _⋅ ∂ ∂ . Jadi, apabila U konstan, =0 ∂ ∂ t φ , sehingga ˆ 0 S ndS t ρφ ∂ = ∂

∫

(untuk U = konstan). Dari hasil-hasil di atas, maka dapat disimpulkan bahwa ;

1) Apabila benda rigid 3-D bergerak dengan kecepatan yang konstan di dalam aliran potensial yang tak terbatas (infinite), maka gaya fluida yang beraksi pada benda tersebut adalah nol karena ini (3-D), Γ=0.

2) Apabila benda rigid 2–D bergerak dengan kecepatan konstan di dalam aliran potensial yang tak terbatas, maka pada benda tersebut tidak terdapat Drag (karena benda adalah benda 2-D dan Γ tidak harus sama dengan nol. Namun, gaya

ˆ

( Uρ _{×Γ S adalah tegak lurus dengan U sedangkan drag sejajar dengan U ).} e)

3) Aliran steady di sekitar benda 2-D yang mempunyai Γ menghasilkan gaya sebesar F =ρU×Γˆ

S e . Oleh karena gaya ini tegak lurus dengan U dan e , maka

gaya ini adalah lift per unit span (l) sehingga,

ˆ

l =ρUΓ (Kutta-Joukowski Theorem) Teorema ini sangatlah penting dalam Aerodinamika.

Kesimpulan 1) dan 2) dikenal sebagai D’Alembert’s Paradox. Sekali lagi diingatkan bahwa hasil-hasil di atas didapatkan untuk aliran yang tak terbatas. Jadi, untuk aliran yang terbatas (aliran di sekitar benda) dapat menghasilkan drag dan tidak terdapat

D’Alembert’s Paradox.

Untuk mengenal lebih jauh solusi dari persamaan Laplace, kita akan memperhatikan beberapa solusi yang disebut solusi elementer dari persamaan Laplace. Solusi-solusi elementer yang akan dibaas didalam dua sub-bagian berikut ini adalah solusi-solusi persamaan Laplace yang mempunyai singularitas di sebuah titik. Pertama-tama kita akan bahas kasus 3-D, lalu di subbagian berikutnya kita bahas kasaus 2-D.

5.6.1 Source 3-D

Source adalah sebuah singularitas yang menghasilkan aliran dengan streamline berupa garis-garis lurus yang berasal dari sebuah titik pusat. Selain itu, kecepatan yang dihasilkan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat (jarak dari titik pusat).

Misalkan terdapat sebuah potensial dengan bentuk,

c r

φ = −

di mana c adalah konstanta dan r adalah koordinat radial. Apabila kita gunakan

“spherical coordinate system” maka

2 ˆr c u e r r φ φ ∂ = ∇ = = ∂

Dari hasil di atas maka terlihat bahwa c

r

φ = − adalah potensial untuk source karena kecepatan berbanding terbalik dengan r2 dan streamline-nya adalah garis-garis lurus yang berasal dari titik pusat. Untuk mendapatkan harga konstanta c, kita evaluasi flux massa ( ) yang keluar dari permukaan bola dengan radius r, yang pada titik pusatnya terdapat sebuah source.

m ˆ S m=

∫

ρu nd⋅ S , ˆ S m M u ndS ρ ≡ =

∫

⋅ 2 2 2 1 4 4 S c M c dS r r r π πc =

∫

= = sehingga c=M_4π Dengan demikian maka,

4 M r φ π = − dan ₂ ˆ 4 r M u e r π =

dimana M biasanya disebut “source strength”.

5.6.2 Doublet 3-D

Solusi elementer kedua yang kita pelajari adalah “doublet”. Doublet adalah sepasang source dan sink (sink adalah source dengan M negatif) yang diletakkan dengan jarak sangat dekat.

Apabila terdapat sebuah source dan sink yang berjarak l antara satu sama lain maka potensial kecepatan di titik P adalah superposisi dari keduanya,

1 1 4 4 P r r l M M r l r r r l φ π π ⎛ ⎞ ⎛ − − ⎞ = − ⎜_⎜ − ⎟_⎟= − ⎜_⎜ − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎟⎟⎠ Namun 0 lim cos l→ r − − =r l l θ dan 2 2 0 lim l→ r r l− = r = . r

Doublet adalah kasus di atas dengan liml→0 _{dan M} → ∞ _{sehingga lM →}µ _{di mana µ} adalah finite. Dengan demikian maka,

2 2 cos cos lim 4 4 lM Ml r r µ θ µ θ φ π π → ⎡ ⎤ = _⎢− _⎥= − ⎣ ⎦

Potensial ini dapat dituliskan dalam bentuk lain. Misalkan adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dan

ˆ_l

e

ˆl θ adalah sudut antara dan ˆl r (lihat sketsa). Kita definisikan

ˆ_l

e

doublet 3 1 1 ˆ 4 l 4 r e r r l 4 r µ φ µ µ π π π − ⋅ _{⎛ ⎞ ∂ ⎛ ⎞} = = ⋅∇ −_{⎜ ⎟}= _⎜− _⎟ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ doublet source M l µ φ = ∂ φ ∂

5.7 Solusi Elementer dari Persamaan Laplace 2D

Dalam subbagian ini, akan diberikan solusi-solusi elementer dari persamaan

untuk kasus 2-D. Seperti telah dijelaskan sebelumnya, untuk aliran 2-D, persamaan kontinuitas 0 2 ₌ ∇ φ 0 u

∇⋅ = dipenuhi juga oleh

1 2 u x ψ ∂ = ∂ , 2 1 u x ψ ∂ = − ∂

di mana ψ adalah streamfunction yang juga mengikuti persamaan Laplace (untuk kasus aliran potensial). Dalam subbagian ini, akan diberikan solusi-solusi elementer untuk φ maupun untuk ψ.

5.7.1 Source 2D

Untuk kasus dua dimensi, source flow adalah aliran yang didefinisikan oleh : r re u u = ˆ 0 ( _r) r r u ru r B ru B u r 0 ∂ ∇ ⋅ = ⇒ = ∂ = ⇒ =

Kecepatan ini berlaku di mana pun kecuali di titik r = 0. Di titik ini menjadi infinite. Sekarang kita akan mencari harga untuk B. Pertama-tama kita definisikan

r

ˆ_{r r}

m≡

∫

u e dl⋅ =

∫

u dl

di mana dl adalah segmen kecil sepanjang lingkaran. m disebut juga source strength. Dari definisinya, dapat dilihat bahwa q adalah volume fluida yang keluar dari sebuah kurva yang menutupi source tersebut. Apabila kita substitusikan , (u_r dl =rdθ)

B dl r B m=

∫

1 =2π Jadi, u m reˆ_r u_reˆ_r 2 = = π

Untuk mendapatkan ψ dan φ , kita tuliskan sebagai berikut. u_r

1 r u r r ψ φ θ ∂ ∂ = = ∂ ∂ , 1 0 u r r θ = −∂ψ = ∂φ_θ = ∂ ∂ m konstan 2 ψ θ π = + , m log konstan 2 r φ π = + di mana r= x₁2+x₂2 dan 1 2 1 tan x x θ ₌ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠. 5.7.2 Doublet 2D

Kita telah lihat bahwa, untuk kasus 3-D hubungan antara doublet dengan “kekuatan” µ dan source dengan “kekuatan” M adalah

doublet source

M l

µ

φ = ∂ φ

∂

di mana l adalah vektor yang menghubungkan posisi “sink” dan “source”. Untuk kasus doublet 2-D dengan “kekuatan” κ maka,

doublet log ˆ log ˆ

2 2 l 2 l m r e r e m l r r κ κ φ π π π ∂ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}= ⋅∇ = ∂ ⎝ ⎠ eˆr κ _⋅ sehingga, doublet cos 2 r κ φ θ π = 1 2 2 x r κ π =

di mana θ adalah sudut antara dan . Karena eˆ_l eˆ_r

1 r u r r φ ψ θ ∂ ∂ = = ∂ ∂ dan 1 u r r θ φ ψ θ ∂ ∂ = = − ∂ ∂

maka, doublet sin 2 r κ ψ θ π = − ₂ 2 2 x r κ π = −

Streamline dari sebuah doublet didapatkan

dengan menyatakan ψ = konstan. Bentuk dari

streamline untuk doublet dapat dilihat dalam

sketsa di atas.

5.8 Solusi Umum Persamaan Laplace 3-D dan 2-D

Di dalam subbagian ini, kita akan memempelajari solusi umum dari persamaan Laplace 3-D. Secara umum persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut,

∇2_{φ = m}

di mana m = 0. Apabila m ≠ 0 maka persamaan diferensial itu disebut persamaan Poisson. Solusi umum ini didapatkan dengan menggunakan apa yang disebut dengan “teorema Green”. Teorema ini didapatkan sebagai berikut. Kita mulai dari teorema Gauss yaitu, ˆ V S A dV A n dS ∇ ⋅ = ⋅

∫

∫

Apabila kita pilih A= ∇ maka, ψ φ

(

)

2 A ψ φ ψ φ ψ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅∇ + ∇φ

∫

Sehingga,

(

2

)

_ˆ V S dV ndS ψ φ ψ φ ψ φ ∇ ⋅∇ + ∇ = ∇ ⋅

∫

( L3D.1) Apabila kita tukar variabel ψ dan φ (ψ φ) dalam (L3D.1),

(

2

)

_ˆ V S dV ndS φ ψ φ ψ φ ψ ∇ ⋅∇ + ∇ = ∇ ⋅

∫

∫

( L3D.2) Berikutnya kita kurangi (L3D.1) dengan ( L3D.2) didapatkan,

(

2 2

)

(

)

_ˆ

V S

dV ndS

ψ φ φ ψ∇ − ∇ = ψ φ φ ψ∇ − ∇ ⋅

∫

∫

(Teorema Green)

Untuk mendapatkan solusi persamaan Poisson, kita pilih ψ =

r 1

dimana r x= − (lihat ₁ x

sketsa diatas). Dari definisi r terlihat bahwa, ∇2ψ = 0 di V kecuali di titik p di mana r = 0. Apabila kita tidak sertakan titik p, dengan membuat bola Sp dengan jari-jari R1 (lihat

sketsa dibawah sebelah kanan) maka ∇2_{ψ = 0 di volume yang baru ini (permukaan yang}

baru adalah Σ, Sb, Sp). Dengan demikian maka teorema di atas menjadi,

2 1 1 ˆ V Sb Sp dV ndS r φ _{∑ + +} r φ φ ⎛ _∇ ⎞ ₌ ⎛ _{∇ − ∇} ⎞_⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

∫

1_r .

Apabila kita definisikan permukaan St yang merupakan gabungan permukaan Σ dan Sb

(dan permukaan lain yang merupakan batas-batas fluida) maka, 2 1 1 1 1 1 ˆ ˆ t p V S S dV ndS ndS r φ r φ φ r r φ φ r ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∇ = _⎜ ∇ − ∇ _⎟⋅ + _⎜ ∇ − ∇ _⎟⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

∫

∫

Sekarang kita ambil limit R1 → 0 sehingga, 1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 ˆ lim lim 4 lim 4 4 p R R Sp p p R ndS R r r R R R R R R φ φ φ φ φ φ π πφ → → → ⎛ ∂ ∂ ⎛ ⎞⎞ ⎛ _{∇ − ∇} ⎞_{⋅ = −} ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ _{⎜ ∂ ∂ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ ⎞ = _⎜ + _⎟ = ∂ ⎝ ⎠

∫

π ⎠ _{(p berada di dalam V)}

Perlu diingat bahwa hasil terakhir didapatkan untuk titik p yang berada didalam domain (fluida). Apabila titik p berada di permukaan St, tentunya kita tidak bisa membuat

sebuah bola. Yang bisa kita lakukan untuk kasus dimana titik p berada di permukaan St

adalah membuat setengah bola (lihat sketsa dibawah sebelah kiri) dan untuk kasus ini,

1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 _ˆ 1 1 1 lim lim 4 2 lim 2 2 p R R Sp p p R ndS R r r R R R R R R φ φ φ φ φ φ π πφ → → → ⎛ ∂ ∂ ⎛ ⎞⎞ ⎛ _{∇ − ∇ ⋅}⎞ _{= −} ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ _{⎜ ∂ ∂ ⎟} ⎝ ⎠ _{⎝ ⎝ ⎠} ⎛ ∂ ⎞ = _⎜ + _⎟ = ∂ ⎝ ⎠

∫

π ⎠ _{(p berada di permukaan S} t)

Dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa,

{

1 1 2 1 2 3 ( ) ( ) 4 2 1 1 1 1 ˆ ( ) ( , , ) ( ) t t p V x S x p didalam V p dipermukaan S x x x x dV ndS n r r r n φ φ φ φ φ π ⎡ ⎤ = = ⎢ ∇ ⋅ + ∇ − ∇ ⋅ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ =

∫

∫

_(L3D.a)

Hasil di atas adalah solusi dari persamaan Poisson 3-D. Kita lihat bahwa apabila φ & ˆn

n

φ _φ

∂

= ∇ ⋅

∂ diketahui di St maka φ di setiap titik dalam aliran dapat dihitung. Untuk persamaan Laplace, ∇2_{φ =}0sehingga,

Sp Sp R1 R1 P P St

{

1 1 ( ) ( ) 4 2 1 1 1 _ˆ 1 1 1 ( ) ( ) t t t S x S x p didalam V p dipermukaan S x ndS dS n r r n n r r n n φ φ φ φ φ π π ⎡ ⎤ ⎡ _{∂ ∂} = ⎢ ⋅∇ − ∇ ⋅ ⎥= ⎢ − ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ =

∫

∫

⎤⎥ ⎥⎦ (L3D.b)

Jadi untuk aliran irrotasional 3-D, solusi didapatkan dengan menggunakan (L3D.b) di mana Sb dan Σ adalah batas-batas fluida (total kedua permukaan adalah St) dalam

permasalahan tersebut. Perlu diingat, bahwa integrasi dilakukan relatif terhadap variabel x₁ dan r= −x₁ x.

Untuk kasus 2-D, solusi umum untuk persamaan Laplace didapatkan dengan memilih ln r

ψ = untuk ψ di dalam teorema Green. Untuk kasus 2D, domain dari persamaan Laplace bukanlah volume melainkan area. Dengan demikian maka kita perlu mengganti integral volume dan area dalam kasus 3D menjadi integral area dan integral sepanjang kurva. Sama seperti kasus 3-D, _∇2_{ψ = di dalam domain (area) kecuali di titik P di 0} mana r = 0. Dengan membuat lingkaran Sp dengan jari-jari R1 maka di dalam

area yang dibatasi oleh kurva-kurva Σ, S

2_{ψ 0}

∇ =

b, Sp. Di dalam domain ini, teorema Green

menjadi,

(

)

2 _ˆ ln ln ln b p S S S r φdS r φ φ r nd Σ+ + ∇ = ∇ − ∇ ⋅

∫

∫

l

Seperti sebelumnya kita definisikan kurva St yang merupakan gabungan antara kurve Σ

dan Sb (dan kurva lain yang merupakan batas-batas fluida) sehingga,

(

)

(

)

2 _{ˆ ˆ} ln ln ln ln ln t p S S S r∇φdS = r∇ − ∇φ φ r ndl⋅ + r∇ − ∇φ φ r nd⋅

∫

∫

∫

l

Apabila kita ambil limit R1→0

(

)

1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 ˆ lim ln ln lim ln ln 2 lim 2 ln 2 p p R R S p p R r r ndl R R R R R R R φ 1 R φ φ φ φ π π φ π → → → ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∇ − ∇ ⋅ = _⎜ − _⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ ⎞ = _⎜ − _⎟ ∂ ⎝ ⎠

∫

φ = − ( p berada di dalam S)

(

)

1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 ˆ lim ln ln lim ln ln 2 2 lim ln p p R R S p p R r r ndl R R R R R R R φ 1 R φ φ φ φ π φ π → → → ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∇ − ∇ ⋅ = _⎜ − _⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ ⎞ = _⎜ − _⎟= ∂ ⎝ ⎠

∫

π φ − (p berada di permukaan St).

Dengan demikian maka,

( )

(

( )

)

{

2 2 1 1 1 ˆ ln ln ln t t p S S p didalam S p dikurva S x r dS r r nd n n n φ φ φ φ π π = − ∇ + ∇ − ∇ ⋅ =

∫

∫

l Apabila _{∇ =}2_{φ 0} maka

( )

{

2 ( )1 1 1 l ln t t p S x p didalam S p dikurva S r n x r d n n n φ φ φ π ∂ ∂ ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟ ∂ ∂ ⎝ =

∫

l n ⎠ _(L2D)

Sekali lagi diingatkan bahwa integrasi dilakukan terhadap variabel x₁ dan r= −x₁ x.

5.8.1 Solusi umum sebagai superposisi dari source dan doublet

Dalam sub-bagian ini, akan diperlihatkan bahwa solusi umum dari persamaan Laplace, baik 3D maupun 2D, adalah superposisi dari source dan doublet yang terdapat di permukaan banda atau batas-batas fluida. Bentuk solusi umum yang akan kita dapatkan ini adalah bentuk yang dapat digunakan untuk mendapatkan solusi secara numerik.

Solusi umum untuk persamaan Laplace, baik 3-D maupun 2D, dapat dituliskan seperti (untuk kasus 2D integral area tentunya diubah menjadi integral sepanjang kurva),

( )

1 ( ) t s s S x x dS n n φ φ φ = ⎡_⎢φ ⎛_⎜∂ ⎞_⎟−φ ∂ ⎤_⎥ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

∫

(MP.1) di mana φs adalah,

{

1 _{( 3} ln _{( 2 )} kasus D n r s r _{kasus D} n π π φ − − − − = )

dan harga n tergantung dari letak titik x didalam domain atau dibatas domain (lihat persamaan (L3D.b) dan (L2D)). Jadi harga φ di setiap titik di dalam aliran dapat

dihitung apabila kita mengetahui harga φ dan n φ ∂ ∂ di permukaan St. n φ ∂ ∂ tentunya diketahui dari kondisi batas tetapi bagaimana dengan harga φ di St?

Untuk itu, pertama-tama kita perluas “domain perhitungan” dengan mengikutsertakan daerah di luar aliran seperti daerah di dalam St dan kita nyatakan harga φ yang

dihasilkan oleh aliran didaerah ini dengan simbol φ .

Untuk melihat kontribusi dari “aliran imajiner” ini, di sebuah titik P di dalam aliran, kita kembali ke teorema Green dan gunakan teorema ini di “daerah baru” (volume daerah ini adalah Vt)

(

2 2

)

t t V S dV dS n n φ ψ ψ φ φ ψ∇ − ∇ = ⎛_⎜ψ ∂ −φ ∂ ⎞_⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠

∫

∫

Karena aliran di daerah baru ini adalah aliran (imajiner) potensial maka . Selain itu, karena kita pilih titik P yang berada di luar V

2_{φ 0} ∇ =

t maka apabila 1 r

ψ = kita tidak akan menemui kesulitan dengan kasus r = 0 (r tidak akan sama dengan nol karena P di

luar Vb, lihat sketsa) sehingga ∇2ψ =0 di Vb dan

0 t s s S dS n n φ φ φ φ ⎡ ∂ ∂ ⎤ = _⎢ − _⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦

∫

(MP.2) Karena n= −nˆ maka apabila kita jumlahkan (MP.1) dan (MP.2) didapatkan

( )

(

)

t s s S A B x dS n n n φ φ φ φ φ φ φ ⎡ ⎤ ⎢ _{∂ ⎛∂ ∂ ⎞}⎥ = ⎢− − _∂ + ⎜_∂ −_∂ ⎟⎥ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫

Karena untuk kasus 3D, misalnya, _source 4 M r φ π − = dan _doublet 1 4 l r φ µ π ∂ ⎛ = _⎜− ∂ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟

)

maka jelaslah bahwa suku A pada integral di atas menjelaskan sebuah doublet dengan kekuatan µ = − −

(

φ φ . Sedangkan suku B menjelaskan sebuah source dengan kekuatan M

n n

φ φ

∂ ∂

= −

∂ ∂ . Oleh karena itu, maka solusi umum persamaan Laplace 3-D dapat dituliskan seperti

{

1 ( ) 1 ( 3 ), 4 ( ) 2 ( ln _{( 2 ), 2 ( ) 1 ( )}

( )

t t t s s S x

kasus D n untuk x yang berada di V atau n untuk x yang berada di S ) n r

s r _{kasus D n untuk x yang berada di S atau n untuk x yang berada di S} n

x

M

dS

n

π π

φ

φ

µ

φ

φ

− − = = − − = =

∂

⎛

⎞

=

_⎜

+

_⎟

∂

⎝

⎠

=

∫

(MP.3)

Dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa solusi umum dari persamaan Laplace 3-D adalah superposisi dari source dan doublet pada permukaan benda. Berbeda dengan (MP. 1) dimana solusi ditentukan oleh harga potensial φ di St, dapat dilihat

bahwa dengan menggunakan persamaan (MP.3) kita mendapatkan kebebasan untuk memilih bentuk dari potensial φ . Ini disebabkan karena baik φ maupun turunannya diarah normal belum dispesifikasikan. Dengan kata lain, distribusi dari source dan doublet di permukaan St bukan merupakan distribusi yang unik sehingga kita dapat

memilih suatu distribusi source dan doublet yang mempermudah perhitungan. Selain itu (MP.3) menunjukkan bahwa solusi persamaan Laplace didapatkan apabila harga µ dan M di permukaan diketahui. Sekarang yang menjadi pertanyaan bagaimana mendapatkan harga µ dan M di permukaan?

Solusi umum persamaan Laplace dalam bentuk (M.P.3) memberikan kita kebebasan untuk memilih bentuk dari potensial φ maupun turunannya diarah normal. Misalnya, kita dapat memilih φ φ= di permukaan St sehingga harga µ di St adalah nol dan (M.P.3)

menjadi,

(

)

1 ( ) ( ) t s S x x M dS φ =

_∫

φ .

Dengan pilihan ini, persamaan solusi Laplace didapatkan dengan menggunakan distribusi source.

Apabila kita dapat memilih

n n

φ φ

∂ ₌∂

∂ ∂ di permukaan St, harga Μ di St menjadi nol dan (M.P.3) menjadi, 1 ( ) ( ) t s S x x d n φ = ⎛_⎜µ ∂ φ ⎞_⎟ ∂ ⎝ ⎠

∫

S

Dengan pilihan ini, persamaan solusi Laplace didapatkan dengan menggunakan distribusi doublet.

Secara umum, harga µ dan M di permukaan didapatkan dengan mengevaluasi φ( )x di permukaan St dan biasanya ini dilakukan secara numerik dengan menggunakan metoda

yang dikenal dengan sebutan Metoda Panel. Metoda ini akan kita pelajari lebih lanjut di BAB 7.

5.9 Solusi dengan Menggunakan Vortex

x

r x1

Dalam subbagian ini kita akan mempelajari medan kecepatan yang dihasilkan oleh vortex. Kemudian kita akan melihat bagaimana vortex digunakan untuk mendapatkan solusi dari persamaan Laplace 3-D.

Apabila terdapat vortisitas pada sebuah titik dalam aliran inkompresibel maka pada titik tersebut,

u ω

∇× = dan ∇ ⋅ =u 0

u= ∇×A (V.1) di mana A adalah vektor potensial, maka persamaan ∇ ⋅ =u 0 akan terpenuhi. Apabila (V.1) kita substitusikan ke hubungan ∇× =u ω maka didapatkan,

(

_A

)

(

_A

)

2_A

ω= ∇× ∇× = ∇ ∇ ⋅ − ∇

Berikutnya kita anggap, ∇ ⋅ =A 0 (nanti kita akan lihat konsekuensi dari pilihan ini) sehingga,

2_A

ω

− = ∇ (V.2) Persamaan (V.2) adalah persamaan Poisson yang mana solusinya telah kita lihat sebelumnya (L3D. a) yang untuk kasus ini adalah (aliran tak batas),

( )

1 1 2 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 4 _{V x} 4 _{V x} x A x AdV dV r r ω π π =

_∫

∇ =

_∫

(V.3) Dari (V.3), kita dapat gunakan (V.1) untuk menghitung kecepatan yang disebabkan adanya vortisitas di titik tersebut. Kecepatan itu adalah,

1 1 ( ) 1 ( 4 _{V x} x u A d r ) V ω π = ∇× = ∇×

∫

(V.4) di mana, sekali lagi, r= −x x₁ dangan x1 adalah titik yang mempunyai vortisitas

sehingga ω = ω(x1)dan x adalah titik yang harga kecepatannya kita hitung dan volume

dalam integrasi (V.4) adalah volume yang “membungkus” titik-titik yang mempunyai vortisitas, sehingga kita melakukan integrasi pada variabel x1 dan x dianggap konstan

dalam proses integrasi tersebut. Selain itu perlu diingat bahwa

x

∂ ∇ ≡

∂ .

5.9.1 Vortex Filament: Biot-Savart Law

Sekarang kita akan gunakan (V.4) untuk menghitung kecepatan pada sebuah titik P yang dihasilkan oleh sebuah “vortex filament” dengan kekuatan Γ. Apabila

adalah area cross section dari “vortex filament” dan d

ˆndS

l adalah panjang filamen (lihat sketsa) maka,

(

ˆ

)

Karena Γ = ⋅ω ˆndS dan dl ωdl ω = ,

(

ˆ

)

dl dV ndS ω dl dl ω ω ω ω ω = ⋅ = Γ = Γ .

Dengan demikian maka (V.4) menjadi,

3 4 4 dl dl r u r π π r Γ Γ × = ∇×

∫

=

∫

(Biot-Savart)

Γ dapat dikeluarkan dari integral karena harganya konstan sepanjang dl dan bahkan

menurut Helmholtz Vortex Theorem juga konstan sepanjang vortex filament (lihat sub-bagian 3.2). Hukum Biot-Savart juga dijumpai pada elektromagnetik.

5.9.2 Vortex Sheet

“Vortex sheet” adalah daerah tipis/ lembaran yang mempunyai vortisitas. Biasanya vortex sheet dimodelkan dengan menggunakan vortex filament yang sangat kecil yang membentuk sebuah lembaran (lihat sketsa). Misalkan titik P berada di tengah-tengah lembaran, maka

PdV P dS

ω =ω ∈

Vortex sheet didapatkan dengan mengambil lim ∈ → 0dan ωp → ∞ sehingga Ω∈ adalah

konstan atau 0 lim _P dS dS ω ω γ ω γ ∈ ∈→ →∞ → ∈ =

di mana γ disebut “vortex sheet strength”, adalah finite.

Sekarang kita akn hubungkan harga γ dengan harga u dengan menggunakan definisi dari .

1 2 1 2 0 ˆ ˆ ˆ ˆ lim S S S dV udV n udS dS n udS n u dS n u dS δ δ δ ω γ ∈→ = ∇× = × = × = × + ×

∫

∫

∫

∫

di mana 0 ˆ lim n udS 0 ∈→ ∈ × =

∫

telah digunakan. Dengan demikian maka,

(

1 2

)

ˆ

dS n u u dS

γ = × −

karena nˆ₂ = − = − ˆnnˆ₁ .

Hubungan di atas dapat pula dituliskan seperti,

1 2 ˆ u −u = × (V.5) γ n sehingga

(

)

(

)

(

)

1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ 0 ˆ u u n n n u u t γ γ − ⋅ = × ⋅ = − ⋅ = (V.S).

Dari hasil di atas dapat disimpulkan bahwa “vortex sheet” menghasilkan kecepatan di arah normal yang kontinyu dan terdapat diskontinuitas kecepatan di arah tangensial. Karena sifat-sifat ini vortex sheet biasanya digunakan sebagai model untuk wake dan airfoil dalam aerodinamika, karena keduanya menghasilkan diskontinuitas kecepatan di arah tangensial. Karena vortex sheet merupakan superposisi dari banyak vortex filament maka kecepatan induksi (kecepatan yang dihasilkan oleh) vortex sheet didapatkan dengan mengintegrasikan kecepatan induksi dari vortex-vortex filament tersebut. Kecepatan induksi dari vortex sheet didapatkan dengan mensubtitusikan

dV dS

ω =γ kedalam (V.4) yang hasilnya adalah,

( )

( )

( )

1 1 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 4 _{V x} 4 _{S x} 4 _{S x} x x r u A dV dS dS r r ω γ π π π × = ∇× = ∇×

_∫

= ∇×

_∫

= −

_∫

x1 r γ

5.9.3 Solusi Persamaan Laplace dengan Menggunakan Vortex

Sekarang kita lihat kembali hukum Biot-Savart yang menjelaskan kecepatan yang dihasilkan oleh sebuah “vortex filament”

1 1 1 ( ) ( ) 1 ˆ 4 4 x l x S x dl u ndS r r π π Γ Γ ⎛ ⎞ = ∇× = − ∇× _⎜∇ _⎟× ⎝ ⎠

∫

∫

, 1 1 x x ∂ ∇ ≡ ∂

di mana telah digunakan analog dari teorema Stokes’ untuk kuantitas skalar yang diintegrasikan sepanjang kurva tertutup. Sekarang kita perhatikan kuantitas berikut,

(

)

1 1 1 _{ˆ ˆ} 1 x n n x r r ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∇× ∇_{⎜ ⎟}× = ⋅∇ ∇_{⎜ ⎟}− ∇ ⋅ ∇_{⎜ ⎜ ⎟⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 1 ⎠⎠ 1 _ˆ x n r

dimana kita telah gunakan sifat dari triple product 3 buah vector. Tetapi karena

1 1 1 x r r ⎛_∇ ⎞_{= −∇} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dan 21 ₀ r ∇ = maka, 1 2 1 1 1 ˆ ˆ 0 x n n r r r ⎛_{∇ ⋅ ∇}⎛ ⎞⎞ _{= − ∇ ⋅∇}⎛ ⎞ _{= − ∇}⎛ ⎞ ₌ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ˆn .

Dengan demikian maka u dapat dituliskan menjadi,

(

)

1 1 1 ˆ 4 x 4 u n dS dS r n π π Γ ⎛ ⎞ Γ ⎛ ⎞ = − ⋅∇ ∇_{⎜ ⎟} = − _⎜∇ _⎟ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

∫

∂ _r 4 u dS n πr ∂ ⎛ Γ ⎞ = −∇ _{⎜ ⎟} ∂ ⎝ ⎠

∫

, nˆ _x1 n ∂ _{≡ ⋅∇} ∂

Daerah di luar vortex filament adalah daerah di mana ω = 0 sehingga u = ∇φ. Dengan demikian maka, vortex 1 4 dS n r φ π ∂ ⎛ ⎞ = Γ _⎜− _⎟ ∂ ⎝ ⎠

∫

(V.6) Apabila hasil ini kita bandingkan dengan suku pada (L-3D.b) yang menjelaskan distribusi doublet yaitu,

( )

doublet 1 4 dS n r φ φ π ∂ ⎛ ⎞ = − _⎜− _⎟ ∂ ⎝ ⎠

∫

maka jelaslah bahwa φ vortex adalah φ doublet dengan “kekuatan” Г.

Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa vortex filament dapat digunakan untuk menggantikan doublet pada metode penyelesaian persamaan Laplace. (Inilah mengapa kita membahas vortex filament yang tentunya ω ≠ 0 di dalam bab ini yang membahas aliran irrotasional)