IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA PADA PERPINDAHAN PANAS
SKRIPSI
JONATHAN LIVIERA MARPAUNG 150803048
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2019
IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA PADA PERPINDAHAN PANAS
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar sarjana sains
JONATHAN LIVIERA MARPAUNG 150803048
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
PERNYATAAN ORISINALITAS
IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA PADA PERPINDAHAN PANAS
SKRIPSI
Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, April 2019
Jonathan Liviera Marpaung 150803048
PENGESAHAN SKRIPSI
Judul : Implementasi Metode Elemen Hingga pada Perpindahan Panas
Kategori : Skripsi
Nama : Jonathan Liviera Marpaung
Nomor Induk Mahasiswa : 150803048
Program Studi : Sarjana S-1 Matematika
Fakultas : MIPA-Universitas Sumatera Utara
Disusun di Medan, April 2019
Ketua Program Studi Pembimbing,
Dr. Suyanto, M.Kom Prof. Dr. Tulus. Vor.Dipl.Math., M.Si., Ph.D NIP. 19590813 198601 1 002 NIP. 19620901 198803 1 002
ii
IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA PADA PERPINDAHAN PANAS
ABSTRAK
Metode elemen hingga adalah salah satu metode yang digunakan dalam analisa struktur dan non struktur. Tulisan ini bertujuan untuk mengetahui implementasi metode elemen hingga pada permasalahan non struktur yaitu perpindahan panas secara konduksi dan konveksi. Media yang digunakan adalah knalpot sepeda motor yang dimodelkan dengan software COMSOL Multiphysics 5.4 dengan mengkombinasikan material stainless steel 405 annealed dengan 3 material berbeda yaitu stainless steel chrome 35% steel, Titanium Beta-21s dan C (diamond) tipe II sebagai tabung besar pada model knalpot. Hasil yang diperoleh yaitu besar nilai perpindahan panas paling rendah adalah pada material C (diamond) tipe II dengan besar perpindahan panas sebesar 325 K.
Kata Kunci: Konduksi, Konveksi, Metode elemen hingga, Perpindahan panas
IMPLEMENTATION OF FINITE ELEMEN METHOD IN HEAT TRANSFER
ABSTRACT
The finite element method is one method used in structural and non structural analysis.
This paper aims to determine the implementation of the finite element method on non structural problems namely conduction and convection heat transfer. The media used is a motorcycle exhaust modeled with COMSOL Multiphysics 5.4 software by combining annealed stainless steel 405 material with 3 different materials, 35%
chrome stainless steel, Beta-21s Titanium and Carbon II type as a large tube on the exhaust model. The results obtained are that the lowest heat transfer value is in Carbon II material type with a heat transfer rate of 325 K.
Keywords: Conduction, Convection, Finite element method, Heat transfer
iv
PENGHARGAAN
Puji dan syukur Penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, dengan limpah karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA PADA PERPINDAHAN PANAS.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing Penulis dalam penyusunan skripsi ini. Ucapan terima kasih Penulis sampaikan kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Runtung Sitepu, S.H., M.Hum selaku rektor Universitas Sumatera Utara dan seluruh jajaran rektorat Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku dekan FMIPA USU, Ibu Dr. Nursahara Pasaribu, M.Sc selaku wakil dekan I FMIPA USU, Bapak Drs. Gim Tarigan, M.Si selaku wakil dekan II FMIPA USU dan Bapak Saharman Gea, Ph.D selaku wakil dekan III FMIPA USU.
3. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku ketua program studi dan sekretaris program studi Matematika FMIPA USU, Dosen program studi Matematika FMIPA USU, Pegawai dan Rekan-rekan kuliah.
4. Bapak Prof. Dr. Tulus. Vor.Dipl.Math., M.Si., Ph.D selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu, memberikan arahan dan bimbingan selama penyelesaian skripsi ini.
5. Ibu Dr. Elvina Herawati, M.Si dan Bapak Ujian Sinulingga, M.Si selaku dosen penguji atas segala masukan dan saran yang diberikan selama proses penyelesaian skripsi ini.
6. Ayahanda H. Marpaung dan Ibunda Y. F. Br Pangaribuan, Abangda Fernando Benri Marpaung, Yohanes Aprianus Marpaung (+), Frengki Apec Marpaung, Adinda Maria Arta Lestari Marpaung dan Januari Ramdan Damelo Marpaung dan seluruh keluarga besar Opung Fernando atas kehangatan yang diberikan kepada penulis sebagai anugerah terindah yang Tuhan berikan dalam kehidupan keluarga Penulis.
7. Abangda Tulus Joseph Marpaung, M.Si, Yuegilion Purba, M.Si, Yan Batara, M.Si
dan seluruh tim futsal alumni matematika FMIPA USU serta kakanda Endang Tampubolon, S.Si dan Helena Isti Nababan, S.Si yang telah membantu Penulis dalam segi materi dan moral.
8. Teman-teman terhebat dan terkasih Muhammad Shiddiq, Erick Martin Agustinus, Apnesia Feronika Nainggolan, Anna Stefany, Malindo Carry Name Tampubolon, Denny Setiawan, Filo Zeno, Roma Rio Simbolon, Dessy R N Siahaan, Erwin Jontua Sitohan, Rio Budianto Pasaribu, Muhammad Yogi, Risky Yohanes Zebua, Hans Ghabel, Rachma Srifani Siregar, Aprilia Malau, Irma Mega Panjaitan, Kiki Pernanda Kaban, Herman Basuki Lumbantobing dan seluruh mahasiswa matematika FMIPA USU Stambuk 2015, 2016, 2017 dan 2018 yang telah memberikan cerita selama kehidupan kampus berlangsung.
9. Kepada terkasih Shella Melati Saragih yang telah menjadi penyemangat dan motivasi Penulis.
10. Semua teman kelompok KKN Tematik PUPR Serbalawan, Simalungun, Rasyid, Nopal, Ica, Khai, Irak, Ira suster, Yuke, Nurin, Elita, Andriani, Ayu, Kiwe, Fitri, Artha dan Fitria Melisa yang menjadi sahabat seperjuangan di kegiatan KKN selama 35 hari, yang selalu memberikan semangat dan motivasi bahkan doa kepada Penulis, semoga Tuhan senantiasa menyertai rekan-rekan dalam perkuliahannya.
Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan dalam Penulisan skripsi ini. Maka Penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk penyempurnaan skripsi ini.
Medan, April 2019 Penulis
Jonathan Liviera Marpaung 150803048
vi DAFTAR ISI
Halaman
PENGESAHAN SKRIPSI i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
PENGHARGAAN iv
DAFTAR ISI vi
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR GAMBAR ix
DAFTAR LAMPIRAN xi
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Batasan Masalah 2
1.4 Tujuan Penelitian 3
1.5 Kontribusi Penelitian 3
1.6 Manfaat Penelitian 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Metode Elemen Hingga 4
2.2 Tipe Elemen pada Metode Elemen Hingga 5
2.2.1 Mesh 7
2.3 Matriks Kekakuan Lokal 8
2.4 Tahapan Metode Elemen Hingga 9
2.5 Metode Galerkin pada Metode Elemen Hingga 13
2.6 Aliran Laminar dan Turbulen 14
2.7 Perpindahan Panas (Heat Transfer) 14
2.8 Formulasi Persamaan Panas 2 Dimensi 22
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Studi Pendahuluan 26
3.2 Teknik Analisis Data 26
3.3 Komponen Model Knalpot pada COMSOL Multiphysics 5.4 27
3.4 Material Knalpot Sepeda Motor 27
3.5 COMSOL Multiphysics 5.4 28
3.6 Diagram Alir Penelitian 31
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil Komputasi dengan COMSOL Multiphysics 5.4 34
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 40
5.2 Saran 40
DAFTAR PUSTAKA 40
LAMPIRAN 40
viii
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1 Komponen model knalpot dengan COMSOL Multyphysics 5.4 27
Tabel 3.2 Komponen Mesh Model Knalpot 29
Tabel 3.3 Properties Material 4 jenis knalpot 29
Tabel 4. 1 Hasil simulasi COMSOL Multiphysics 5.4 37
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2. 1 Aproksimasi solusi total diperoleh dari gabungan solusi elemen 5
Gambar 2. 2 Tipe elemen 1 dimensi 5
Gambar 2. 3 Contoh elemen 2 dimensi sebuah segitiga 6
Gambar 2. 4 Contoh elemen 3 dimensi bentuk balok 6
Gambar 2. 5 Terbentuknya benda axisymetri karena segitiga diputar 7 Gambar 2. 6 Mesh teratur (1) dan mesh tidak teratur (2) 7 Gambar 2. 7 Meshing dari benda 2 dmensi dan kesalahannya (atas) 8 Gambar 2. 8 A dan B merupakan titik dan x merupakan garis 8 Gambar 2. 9 Elemen batang panjang dan sistem pegas linier 9
Gambar 2. 10 Aliran turbulen dan laminar 14
Gambar 2. 11 Ilustrasi perpindahan panas dalam volume control 15 Gambar 2. 12 Perpindahan panas konduksi dengan konveksi 18 Gambar 2. 13 Analisa elemen temperatur sebuah batang 20
Gambar 2. 14 Elemen segitiga dengan 3 titik 22
Gambar 3. 1 Model Knalpot Supra X 125 D 2009 26
Gambar 3. 2 Model Knalpot di COMSOL Multiphysics 5.4 28
Gambar 3. 3 Mesh Model Knalpot 29
Gambar 3. 4 Model Knalpot Stainless steel 405 Annealed di COMSOL 30
Gambar 3. 5 Model knalpot silinder besar 30
Gambar 3. 12 Diagram Alir Penelitian 31
Gambar 4. 1 Suhu permukaan knalpot menggunakan material C (diamond) tipe II 34 Gambar 4. 2 Grafik perpindahan panas pada material material C (diamond) tipe II 35 Gambar 4. 3 Suhu permukaan knalpot menggunakan material Titanium Beta-21S 35
x
Gambar 4. 4 Grafik perpindahan panas pada material Titanium Beta-21S 36 Gambar 4. 5 Suhu permukaan knalpot menggunakan material Stainless Steel 36 Gambar 4. 6 Grafik perpindahan panas pada material Stainless Steel 37 Gambar 4. 7 Grafik perpindahan panas 3 material silinder besar knalpot 38
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Tabel koefisien perpindahan panas 41
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sebatang besi yang dipanaskan pada salah satu ujungnya akan mengalirkan panas yang mengakibatkan seluruh permukaan besi menjadi panas. Fenomena ini dikenal dengan perpindahan panas (Heat Transfer). Perpindahan panas adalah ilmu untuk memprediksi perpindahan energi yang terjadi akibat perbedaan suhu pada benda atau material. Proses perpindahan panas dapat terjadi melalui tiga cara, yaitu perpindahan panas secara konduksi, konveksi dan radiasi.
Berdasarkan hukum kekekalan energi bahwa “energi tidak dapat diciptakan atau dimusnahkan, tetapi energi dapat dipindahkan” maka energi panas dapat mengalami perpindahan. Sehingga perpindahan panas pada suatu benda, misalnya knalpot pada sepeda motor, merupakan salah satu fenomena yang menarik untuk dilakukan penelitian. Biasanya dalam penyelesaian fenomena perpindahan panas dilakukan secara analisis maupun numerik supaya mendapatkan hasil yang lebih akurat.
Perpindahan panas merupakan aplikasi dari persamaan diferensial parsial sehingga dibutuhkan simulasi agar sifat dan karakteristik dari laju perpindahan panas dapat diketahui. Dalam penelitian ini, fenomena tentang perpindahan panas akan diselesaikan secara numerik. Ada tiga metode dalam menentukan solusi numerik yang dapat digunakan yaitu metode elemen hingga, metode beda hingga dan metode volume hingga. Penulis dalam hal ini menggunakan metode yaitu metode elemen hingga.
Selanjutnya solusi yang didapat akan disimulasikan secara komputasi dengan menggunakan software COMSOL Multiphysics 5.4 yang berbasis metode elemen hingga untuk mengetahui laju perpindahan panas.
Metode elemen hingga (MEH) merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial pada permasalahan ilmu rekayasa dan matematika fisik seperti perpindahan panas, analisis struktur, aliran fluida, transportasi massa dan potensial elektromagnetik. Metode elemen hingga sendiri akan membagi masalah yang kompleks menjadi elemen-elemen yang lebih sederhana supaya lebih mudah mendapatkan solusi. Solusi dari setiap elemen kemudian digabungkan sehingga menjadi solusi masalah secara keseluruhan.
2
Penelitian mengenai perpindahan panas pernah dilakukan oleh Tulus et al.
(2018) yang berjudul “Heat transfer problem analysis in three dimension tromol brake system problem”. Penelitian tersebut menjelaskan analisis elemen hingga pada perhitungan numerik perpindahan panas sebuah rem tromol kendaraan. Selanjutnya implementasi lainnya mengenai metode elemen hingga juga pernah dilakukan oleh Marpaung T.J. (2015) dalam penelitiannya tentang aliran fluida menggunakan solusi numerik metode elemen hingga dan mensimulasikan pergerakan fluida dalam tabung dengan program COMSOL Multiphysic 4.2
Berdasarkan uraian di atas Penulis tertarik untuk menerapkan metode elemen hingga dalam menyelesaikan masalah perpindahan panas pada knalpot sepeda motor sehingga Penulis memilih judul skripsi “Implementasi Metode Elemen Hingga pada Perpindahan Panas”.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang, maka permasalahan yang akan Penulis teliti adalah bagaimana implementasi metode elemen hingga pada perpindahan panas terhadap beberapa bahan penyusun benda yang akan disimulasikan dalam program COMSOL Multiphysics 5.4.
1.3 Batasan Masalah
Dalam penulisan skripsi ini, Penulis memberikan batasan masalah yaitu:
1. Memfokuskan pada perubahan suhu panas dari inlet ke outlet knalpot.
2. Material knalpot silinder dalam yaitu Stainless steel 405 Annealed untuk setiap model knalpot.
3. Material knalpot silinder luar besar masing-masing yaitu Stainless Steel Chrome 35% Steel, Titanium Beta-21S dan C (diamond) tipe II.
4. Kecepatan mesin dianggap konstan dengan suhu inlet sebesar 373 K.
5. Tidak diperhitungkan laju fluida dalam volume kontrol.
6. Tidak diperhitungkan frekuensi bunyi dan suhu sambungan benda.
7. Model knalpot adalah knalpot sepeda motor Supra X 125 D 2009.
3
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan solusi numerik berupa besar suhu akhir pada perpindahan panas dari inlet ke outlet dengan perubahan material knalpot pada silinder besar knalpot .
1.5 Kontribusi Penelitian
Dengan adanya tulisan ini diharapkan dapat menjadi bahan rujukan untuk melakukan penelitian perpindahan panas secara numerik lebih lanjut terutama pada suatu knalpot.
1.6 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bagi Peneliti
Penelitian ini dapat menambah wawasan dalam implementasi metode elemen hingga pada perpindahan panas khususnya dalam membandingkan besar perpindahan panas dengan perbedaan material.
2. Bagi Universitas
Penelitian ini dapat digunakan untuk menambah referensi jurnal dan bacaan kepada mahasiswa/i yang tertarik dalam penerapan metode elemen hingga pada perpindahan panas atau jenis penelitian yang serupa.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Metode Elemen Hingga
Metode Elemen Hingga adalah prosedur numerik untuk mendapatkan solusi persamaan diferensial, dapat berupa persamaan diferensial biasa (Ordinary Differential Equation) atau persamaan diferensial parsial (Partial Differential Equation) dalam permasalahan teknik maupun permasalahan fisika dalam kehidupan sehari-hari. Tipe permasalahan dalam metode elemen hingga yang dapat diselesaikan terbagi menjadi dua kelompok yaitu kelompok masalah analisa struktur dan kelompok masalah non struktur.
a. Kelompok masalah Analisa Struktur
1. Analisa tegangan/Stress, meliputi analisa Truss dan frame serta permasalahan yang terkait dengan tegangan yang terkonsentrasi.
2. Buckling.
3. Analisa getaran.
b. Kelompok masalah non struktur 1. Perpindahan panas dan massa.
2. Mekanika fluida, termasuk aliran fluida lewat media porous.
3. Distribusi dari potensial listrik dan potensial magnet.
Pada awalnya metode elemen hingga dikembangkan untuk keperluan industri pesawat terbang pada tahun 1950-an oleh Boeing dan Bell Aerospace. Artikel jurnal pertama tentang metode elemen hingga ditulis oleh Turner et al.(1950) Dalam tulisannya Turner menjabarkan bagaimana formulasi elemen ditentukan dan model matriks dibentuk. Proses inti dari metode elemen hingga adalah membagi permasalahan yang rumit menjadi elemen-elemen yang lebih sederhana sehingga dari pembagian elemen-elemen tersebut dapat ditentukan solusi dari masing-masing elemen sehingga dengan penggabungan kembali dari pembagian elemen akan didapatkan solusi numerik dari permasalahan yang ada. Untuk mendapatkan solusi
5
elemen, metode elemen hingga menggunakan fungsi interpolasi untuk mengaproksimasi solusi elemen.
Gambar 2. 1 Aproksimasi solusi total diperoleh dari gabungan solusi elemen
2.2 Tipe Elemen pada Metode Elemen Hingga
Dalam Metode Elemen Hingga terdapat 3 tipe elemen yang tergolong analisis struktur yaitu elemen 1 dimensi, 2 dimensi dan 3 dimensi. Penentuan tipe elemen tergantung bagaimana struktur yang akan dianalisis, penentuan tipe elemen juga harus memperhatikan koordinat yang digunakan didalam kasus yang akan dianalisis.
a. Elemen 1 Dimensi
Elemen 1 dimensi adalah tipe elemen paling sederhana, dimana bentuk dari elemen 1 dimensi hanya berupa garis lurus yang berada pada sumbu-x atau sumbu-y dengan dipengaruhi oleh komponen lainnya dimana elemen satu dimensi hanya memiliki 2 titik yaitu di kedua ujung garis lurus atau dapat dikatakan elemen garis linier. Jenis elemen 1 dimensi lainnya dengan titik lebih tinggi adalah elemen kuadratik 1 dimensi dengan 3 titik dan elemen 1 dimensi kubik dengan 4 titik.
(1) (2) (3)
Gambar 2. 2 Tipe elemen 1 dimensi .
. . . . . . Fungsi interpolasi
. . . . .
6
b. Elemen 2 dimensi
Elemen 2 dimensi adalah tipe elemen yang memiliki jumlah titik lebih banyak dari pada elemen 1 dimensi yaitu dengan menggunakan koordinat pada sumbu-x dan sumbu-y. Elemen 2 dimensi dapat membentuk sebuah segitiga ataupun berbentuk trapesium dan bentuk lainnya dengan titik dan garis yang membentuk sebuah struktur 2 dimensi.
Gambar 2. 3 Contoh elemen 2 dimensi sebuah segitiga
c. Elemen 3 Dimensi
Elemen 3 dimensi adalah tipe elemen yang sangat rumit karena menggunakan 3 koordinat yaitu sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z, koordinat pada ketiga sumbu akan membentuk sebuah bangun ruang dengan berbagai bentuk baik yang teratur maupun bentuk sebarang.
Gambar 2. 4 Contoh elemen 3 dimensi bentuk balok
d. Elemen Axisymetri
Elemen terakhir dalam Metode Elemen Hingga adalah elemen axisymetri. Elemen ini terbentuk karena suatu luasan dari benda yang diputar disekitar sumbu yang sama. Jika benda dengan luasan segitiga diputar pada sumbu z maka luasan
7
segitiga tersebut akan membentuk benda axisymetri yaitu bentuk toroid atau kerucut terpancung.
Gambar 2. 5 Terbentuknya benda axisymetri karena segitiga diputar
2.2.1 Mesh
Inti dari Metode Elemen Hingga adalah pembagian elemen yang kompleks menjadi elemen-elemen yang lebih sederhana atau yang dinamakan mesh. Meshing adalah proses pembagian elemen pada benda, jenis mesh terbagi menjadi dua yaitu mesh segi empat dan mesh segitiga. Secara struktur mesh terbagi menjadi dua yaitu mesh teratur dan tak teratur. Mesh teratur memiliki susunan yang memiliki pola sedangkan mesh tak teratur tidak memiliki pola.
Gambar 2. 6 Mesh teratur (1) dan mesh tidak teratur (2)
Dalam proses meshing semakin banyak garis dan titik yang digunakan maka tingkat error dari perhitungan akan semakin kecil tetapi dalam perhitungan akan membutuhkan waktu yang sangat lama karena harus menghitung nilai masing-masing
(1) (2)
8
dari elemen. Dalam proses meshing ada beberapa hal penting yang harus diperhatikan, yaitu:
1. Conforming yaitu sebuah titik atau titik tidak diperbolehkan berada dalam elemen dalam geometri.
2. Garis dari domain geometri harus saling terhubung dengan garis elemen lainnya tidak boleh terpotong.
3. Memiliki rentang sudut antara 450-900
Gambar 2. 7 Meshing dari benda 2 dmensi dan kesalahannya (atas)
Gambar 2. 8 A dan B merupakan titik dan x merupakan garis
2.3 Matriks Kekakuan Lokal
Matriks kekakuan adalah matriks yang dibentuk dari elemen yang memiliki hubungan antara gaya (𝐹) yang diberikan dengan perpindahan yang dihasilkan (𝑑) berdasarkan persamaan:
{𝐹} = [𝑘]{𝑑} (2.1)
Pemotongan batang panjang menjadi elemen yang sederhana dianggap ekuivalen dengan sebuah sistem pegas linier dalam memberikan respon gaya konservatif yang diberikan kepadanya.
Tidak sesuai domain
Tidak sesuai domain Berbentuk jarum
A B
x
9
Gambar 2. 9 Elemen batang panjang dan sistem pegas linier
Berdasarkan persamaan kekakuan lokal, maka dapat dibentuk persamaan kesetimbangan yang bekerja dari sebuah batang panjang dan sebuah pegas linier:
𝐹1𝑥 =𝑘 (𝑑1𝑥− 𝑑2𝑥)
𝐹2𝑥 = 𝑘 (𝑑2𝑥− 𝑑1𝑥) (2.2)
Dari persamaan kesetimbangan yang telah dibentuk, selanjutnya akan disusun matriks persamaan kesetimbangan (2.3)
{ 𝐹1𝑥 𝐹2𝑥
} = [ 𝑘 − 𝑘
−𝑘 𝑘 ] {
𝑑1𝑥 𝑑2𝑥
} (2.3)
Matriks persamaan (2.3) merupakan matriks kekakuan lokal elemen.
2.4 Tahapan Metode Elemen Hingga
Secara umum dalam penyelesaian persoalan dengan metode elemen hingga perlu melakukan dan memperhatikan langkah-langkah sebagai berikut:
Langkah 1 : Pemilihan tipe elemen dan diskritisasi.
Tahap pertama yang harus dilakukan adalah dengan mengamati benda atau struktur yang akan dianalisa apakah merupakan benda satu dimensi (contoh batang panjang), dua dimensi (plate datar) atau tiga dimensi (seperti balok).
Langkah 2 : Pemilihan fungsi pemindah/interpolasi.
Beberapa jenis fungsi yang sering digunakan adalah fungsi linier, fungsi kuadratik, fungsi kubik atau fungsi polynomial derajat tinggi.
Langkah 3 : Mencari hubungan antara tegangan dan regangan.
Persamaan umum dalam elastisitas adalah hubungan antara tegangan dan regangan, berlaku:
10
∈𝑥= 𝑑𝑢
𝑑𝑥 dan 𝜎𝑥= 𝐸 ∈𝑥 (2.4)
dimana: ∈𝑥= Strain 𝜎𝑥 =Stress
𝐸 = Modulus Elastisitas u = Perpindahan
Langkah 4 : Menghitung matriks kekakuan dari elemen yang dibuat
Untuk benda yang terdiri dari beberapa buah elemen, lakukan penggabungan dari matriks kekakuan elemen menjadi matriks kekakuan global yang berlaku untuk seluruh benda atau struktur.
Langkah 5 : Gunakan persamaan kesetimbangan {𝑭} = [𝒌]{𝒅}
Dengan persamaan kesetimbangan masukkan syarat batas yang diketahui dalam soal.
Langkah 6 : Menghitung Strain dan Stress dari tiap elemen.
Langkah 7 : Menginterpretasikan kembali hasil-hasil perhitungan yang dihasilkan.
Contoh penyelesaian
Dari gambar sistem pegas, diberikan 4 titik yaitu titik 1, 2, 3, 4. Jika pada titik 4 diberikan gaya P = 5000 Lb dan konsanta pegas 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, 𝑘4 masing-masing adalah 1.000 Lb/in, 2.000 Lb/in, 3.000 Lb/in. Maka tentukan matriks kekakuan global, perpindahan titik 3 dan 4, dan besar gaya yang bekerja pada masing-masing pegas.
Penyelesaian:
Struktur sistem pegas terdiri dari 4 titik dan 3 elemen yaitu:
11
Elemen 1 berbatas titik 1 dan 3 Elemen 2 berbatas titik 3 dan 4 Elemen 3 berbatas titik 4 dan 2
Elemen 1 :
Matriks kekakuan elemen 1 adalah:
{ F1x F3x
} = [
𝑘1 − 𝑘1
−𝑘1 𝑘1 ] {
d1x d3x
}
Elemen 2:
Matriks kekakuan elemen 2 adalah:
{F3x F4x} = [
𝑘2 −𝑘2
−𝑘2 𝑘2 ] {d3x d4x} Elemen 3:
12
Matriks kekakuan elemen 3 adalah:
{ 𝐹4𝑥 𝐹2𝑥
} = [
𝑘3 − 𝑘3
−𝑘3 𝑘3 ] {
𝑑4𝑥 𝑑2𝑥
}
Setelah matriks kekakuan masing-masing elemen sudah ditentukan maka matriks kekakuan global dapat disusun dengan menggabungkan seluruh matriks kekakuan lokal. Selanjutnya matriks kekakuan global sebagai berikut:
{ 𝐹1𝑥 𝐹2𝑥 𝐹3𝑥 𝐹4𝑥
} = [
𝑘1 0 −𝑘1 0 0 𝑘3 0 −𝑘3
−𝑘1 0
0
−𝑘3
𝑘1+ 𝑘2 −𝑘2
−𝑘2 𝑘2+ 𝑘3 ] {
𝑑1𝑥 𝑑2𝑥 𝑑3𝑥 𝑑4𝑥
}
Selanjutnya substitusikan nilai 𝑘 yang diketahui kedalam matriks kekakuan global, maka diperoleh persamaan:
{ 𝐹1x 𝐹2x 𝐹3x 𝐹4𝑥
} = [
1.000 0 −1.000
0 3.000 0
−1.000 0
0
−3.000
3.000
−2.000 0 3.000 −2.000
5.000 ] {
𝑑1𝑥 𝑑2𝑥 𝑑3𝑥 𝑑4𝑥
}
Matriks di atas merupakan matriks kekakuan global. Perlu diketahui bahwa sistem pegas adalah terikat disetiap ujung pegas, maka titik 1 dan 2 masing-masing tidak mengalami perpindahan posisi, sehingga perpindahan masing-masing titik 1 dan 2 adalah 0 atau 𝑑1𝑥 = 𝑑2𝑥 = 0.
Lakukan pembagian matriks menjadi sub matriks yang lebih sederhana. Perhatikan garis bagi dari matriks kekakuan global di bawah ini
{ 𝐹1x 𝐹2x 𝐹3x 𝐹4𝑥
} = [
1.000 0 −1.000 0
0 3.000 0 3.000
−1.000 0
0
−3.000
3.000 −2.000
−2.000 5.000 ] {
0 0 𝑑3𝑥 𝑑4𝑥
}
dengan pembagian matriks yang telah dilakukan maka sub matriks yang dapat diselesaikan adalah:
{𝐹3x
𝐹 } = [−1.000 0
0
−3.000] {0
0} + [ 3.000
−2.000
−2.000 5.000 ] {𝑑3𝑥
𝑑 }
13
dengan harga 𝐹3x= 0 dan 𝐹4x= 5.000, substitusikan nilai tersebut kedalam persamaan matriks yang telah menjadi sub matriks sehingga dihasilkan:
𝑑3x =10
11 𝑖𝑛 ; 𝑑4x =15 11𝑖𝑛
Untuk menghitung besar gaya masing-masing pegas dapat menggunakan sub matriks lain dari pembagian matriks di atas, maka:
{𝐹1x
𝐹2𝑥} = [1.000 0
0 3.000] {0
0} + [−1.000 0
0
−3.000] {𝑑1𝑥 𝑑2𝑥} Maka besar gaya masing-masing pegas adalah:
𝐹1x = −10.000
11 𝐿𝑏 ; 𝐹2x = −45.000 11 𝐿𝑏
2.5 Metode Galerkin pada Metode Elemen Hingga
Metode galerkin merupakan salah satu metode yang sering digunakan dalam menghitung residual pemberat. Dalam menentukan pendekatan solusi berupa persamaan diferensial perlu ditentukan karakteristik dari fungsi dasar yang terdiri dari kombinasi linier suatu fungsi independen (fungsi dasar).
Fungsi dasar:
𝑢 = ∑ 𝑎𝑗 𝐺𝑗
𝑛
𝑖=1
, 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑗 = 1, 2, 3, 4, … ,𝑛 (2.5)
dimana : 𝑎𝑖 = koefisien yang diasumsikan 𝐺𝑖 = fungsi independen
𝑛 = range dari koefisien
Metode ini merupakan metode yang menghitung dan menentukan fungsi pemberat untuk masing-masing elemen bagi setiap 𝑎, sehingga persamaan umum dari metode galerkin adalah:
14
𝑊𝑖 = 𝜕𝑢
𝜕𝑎𝑖 = 𝐺𝑖, 𝑖 = 1, 2, 3, . . . , 𝑛 atau ∫ 𝐺𝑥 𝑖 𝐸 𝑑𝑥 = 0, 𝑖 = 1, 2, 3, . . . , 𝑛
(2.5a)
(2.5b) dimana: 𝑊𝑖 = fungsi pemberat
𝑢̅ = fungsi dasar 𝐸 = nilai residu
2.6 Aliran Laminar dan Turbulen
Bentuk aliran dalam pergerakan fluida dapat dibedakan menjadi 2 jenis, yaitu aliran laminar dan aliran turbulen. Aliran laminar adalah aliran fluida dengan kecepatan rendah dan/atau kekentalan fluida yang cukup besar sehingga aliran laminar cenderung stabil tanda banyak riak atau gelombang. Pada aliran turbulen kecepatan gerak partikel zat cukup besar dan/atau kekentalan fluida yang cukup kecil sehingga mengakibatkan bentuk gerakan fluida menjadi tidak teratur dan banyak gelombang. (Triatmodjo, 1993).
Gambar 2. 10 Aliran turbulen dan laminar 2.7 Perpindahan Panas (Heat Transfer)
Perpindahan panas atau Heat Transfer merupakan salah satu permasalahan non struktur yang dapat diselesaikan dengan metode elemen hingga. Dalam hal ini metode elemen hingga berperan sebagai alat formulasi dalam menentukan persamaan distribusi panas dalam suatu benda, persamaan yang akan dihasilkan adalah persamaan diferensial parsial karena dalam perpindahan panas yang akan dibahas merupakan benda 3 dimensi yaitu knalpot sepeda motor. Persamaan diferensial parsial elliptik
15
sering digunakan untuk menganalisis berbagai permasalahan rekayasa. Persamaan umum dari persamaan diferensial parsial elliptik adalah:
𝜕2𝑇
𝑑𝑥2(𝑥, 𝑦, 𝑧) +𝜕2𝑇
𝑑𝑦2(𝑥, 𝑦, 𝑧) +𝜕2𝑇
𝑑𝑧2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝒬(𝑥, 𝑦, 𝑧) (2.6) Persamaan (2.6) juga dikenal sebagai persamaan Poisson. Tetapi apabila hasil persamaan (2.6) 𝒬(x, y, z) = 0 maka persamaan ini tergolong kategori persamaan diferensial eliptik dan dikenal sebagai persamaan Laplace, dengan persamaan umum:
𝜕2𝑇
𝑑𝑥2(𝑥, 𝑦, 𝑧) +𝜕2𝑇
𝑑𝑦2(𝑥, 𝑦, 𝑧) +𝜕2𝑇
𝑑𝑧2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 (2.7) a. Konduksi Panas 1 Dimensi
Dalam perpindahan panas secara konduksi diasumsikan dalam sebuah ruang volume kontrol benda diberikan pembatas volume kontrol supaya panas merambat hanya dalam sumbu x.
Gambar 2. 11 Ilustrasi perpindahan panas dalam volume control
Secara umum perubahan energi yang tersimpan pada konduksi panas 1 dimensi adalah:
dimana:
𝑞𝑥+ 𝒬 = ∆𝑈
𝑞𝑥 = konduksi panas masuk pada sisi x (KW/m2) Q = sumber panas pada volume kontrol (KW/m2)
∆𝑈= perubahan energi dalam (KWh)
(2.8)
Dalam perpindahan panas dalam ruang 1 dimensi dijelaskan dengan penerapan persamaan Fourier yaitu:
Bidang volume kontrol
𝑞𝑥+𝑑𝑥 𝑄𝑥
𝑑𝑥
16
𝑞𝑥 = −𝐾𝑥𝑥𝑑𝑇
𝑑𝑥 (2.9)
dimana: 𝐾𝑥𝑥 = konduktivitas panas arah x (KW/m0C) 𝑇 = Temperatur (0C atau 0F)
𝑑𝑇
𝑑𝑥 = gradien temperatur (0C/m atau 0F/ft)
Dapat diperhatikan pada persamaan (2.9) nilai fluks panas memiliki nilai yang sebanding dengan gradien temperatur pada arah 𝑥, selanjutnya apabila akan dihitung besar rambatan fluks panas pada sisi 𝑥 + 𝑑𝑥 dari volume kontrol maka persamaan Fourier menjadi:
𝑞𝑥+𝑑𝑥 = −𝐾𝑥𝑥𝑑𝑇 𝑑𝑥|
𝑥 + 𝑑𝑥 (2.10)
gradien temperatur yang menyatakan 𝑑𝑇
𝑑𝑥 adalah dihitung pada sisi 𝑥 + 𝑑𝑥. Apabila panas secara kontinu mengalir pada volume kontrol dengan sisi volume kontrol tetap maka laju perubahan temperatur akan mengikuti pada fungsi deret taylor yaitu dari suatu fungsi 𝑓(𝑥) disekitar titik 𝑥 + 𝑑𝑥 adalah:
𝑓𝑥+𝑑𝑥 = 𝑓𝑥+𝑑𝑥 1!
𝜕𝑓
𝜕𝑥+(𝑑𝑥)2 2!
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2+(𝑑𝑥)3 3!
𝜕3𝑓
𝜕𝑥3+ . . . +(𝑑𝑥)𝑛 𝑛!
𝜕𝑛𝑓
𝜕𝑥𝑛 (2.11) dengan menggunakan persamaan (2.10) apabila dihubungkan dengan persamaan (2.11) yang bertujuan menghitung rambatan fluks panas pada sisi 𝑥 + 𝑑𝑥 maka persamaan baru akan didapatkan yaitu:
𝑞𝑥+𝑑𝑥 = − [𝐾𝑥𝑥𝑑𝑇
𝑑𝑥+ 𝑑𝑥 𝜕
𝜕𝑥(𝐾𝑥𝑥𝑑𝑇
𝑑𝑥)] (2.12)
selanjutnya dari persamaan perubahan energi yang tersimpan dapat dirumuskan dengan persamaan:
∆𝑈 = 𝐶 𝜌 𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝑇 (2.13)
Dimana: 𝐶 = kapasitas panas (𝐾𝑊ℎ/𝐾𝑔°𝑐) 𝜌 = Rapat massa (𝑘𝑔/𝑚3)
17
apabila persamaan (2.9), (2.10), dan (2.13) disubstitusikan kepersamaan (2.8) dan dibagi dengan 𝐴 𝑑𝑥 maka akan menghasilkan persamaan baru yaitu:
𝜕
𝜕𝑥[𝐾𝑥𝑥𝜕𝑇
𝜕𝑥] + 𝒬 = 𝜌 𝐶 𝜕𝑇
𝜕𝑥 (2.14)
untuk kondisi benda pada keadaan tetap, maka diferensial terhadap waktu bernilai nol, hal ini dikarenakan dalam keadaan tetap kondisi sistem tidak berubah dengan berjalannya waktu atau konstan, kondisi ini berakibat untuk setiap properti 𝜌 dari sistem turunan parsial terhadap waktu adalah nol, maka:
𝜕
𝜕𝑥[𝐾𝑥𝑥𝜕𝑇
𝜕𝑥] + 𝒬 = 0 (2.15)
Tetapi apabila kondisi material adalah dengan konduktivitas panas konstan (tetap) dan berada dalam keadaan tetap, maka persamaan (2.15) ditulis:
𝐾𝑥𝑥𝑑2𝑇
𝑑𝑥2 + 𝒬 = 0 (2.16)
b. Perpindahan Panas Konduksi dengan Konveksi
Secara umum ada 3 jenis perambatan panas yaitu konduksi, konveksi dan radiasi.
Dalam hal ini akan dijelaskan bagaimana perpindahan secara konduksi bersamaan dengan perambatan panas secara konveksi. Dalam ruang tertutup volume kontrol yang memiliki padatan dengan temperatur tinggi dari pada fluida yang akan dipindahkan dimana fluida bergerak disekitar padatan dari volume kontrol, akan menimbulkan proses perpindahan panas dari padatan volume kontrol ke fluida yang bergerak ataupun yang berada disekitarnya dengan cara konveksi.
18
Gambar 2. 12 Perpindahan panas konduksi dengan konveksi
pada persamaan (2.8) dituliskan persamaan umum dan perubahan energi yang tersimpan dalam volume kontrol 1 dimensi secara konduksi, pada kondisi seperti gambar 2.12 akan diturunkan persamaan diferensial dasar dari proses konduksi 1 dimensi bersamaan dengan proses konveksi pada volume kontrol.
Fluks panas pada proses konveksi:
𝑞ℎ = ℎ (𝑇 − 𝑇∞) (2.17)
persamaan umum kekekalan energi:
𝑞𝑥𝐴 𝑑𝑡 + 𝒬 𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝐶(𝜌 𝐴 𝑑𝑥)𝑑𝑇 + 𝑞𝑥+𝑑𝑥𝐴 𝑑𝑇 + 𝑞ℎ 𝑃 𝑑𝑥 𝑑𝑡 (2.18)
akan disubstitusikan hasil dari persamaan (2.10) sampai dengan persamaan (2.13) ke persamaan (2.17) selanjutnya akan dibagi dengan 𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝑡, maka hasil yang didapatkan adalah persamaan perpindahan panas secara konduksi bersamaan dengan perpindahan panas secara konveksi sebagai berikut:
dimana: ℎ = koefisien perpindahan panas secara konveksi (𝐾𝑊/𝑚2 0𝐶) 𝑇 = Temperatur antara volume kontrol dan fluida ( 𝐶0 )
T∞ = Temperatur fluida ( 𝐶0 )
𝑃 = Perimeter bidang A, yang bersinggungan dengan fluida 𝑞ℎ = kalor yang mengalir secara konveksi (KW/m2)
𝑞ℎ
𝑞𝑥+𝑑𝑥 𝑞𝑥
ℎ, 𝑇
𝑞ℎ
𝐴 𝑄
19
𝜕
𝜕𝑥[𝐾𝑥𝑥𝜕𝑇
𝜕𝑥] + 𝒬 = 𝜌 𝐶 𝜕𝑇
𝜕𝑥+ℎ 𝑃
𝐴 (𝑇 − 𝑇∞) (2.19)
perpindahan panas pada bidang volume kontrol dianggap konstan dengan besar kalor adalah 𝑞 = −𝐾𝑥𝑥𝑑𝑇
𝑑𝑥 kemudian akan kehilangan panas secara konveksi pada bidang yang tidak terisolasi dalam arah 1 dimensi. Aliran panas dari permukaan padat ke fluida sekitar (padatan yang bersinggungan dengan fluida) adalah:
−𝐾𝑥𝑥𝑑𝑇
𝑑𝑥 = ℎ (𝑇 − 𝑇∞) (2.20)
dalam formulasi persamaan Elemen hingga untuk perpindahan panas digunakan metode residual dari galerkin. Asumsikan 𝒬 = 0 dan diperoleh keadaan tetap, sehingga diferensial terhadap waktu akan sama dengan 0. Nilai residu 𝑅 diberikan dalam persamaan:
𝑅(𝑇) = − 𝑑
𝑑𝑥(𝐾𝑥𝑥,𝑑𝑇
𝑑𝑥) +𝑚 𝑐 𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥+ ℎ. (ℎ. 𝑃ℎ 𝑝
𝐴 (𝑇 − 𝑇∞)) (2.21) Kriteria Galerkin:
∭ 𝑅. 𝑁𝑖. 𝑑𝑉 = 0,
𝑉
𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 (2.22)
dengan melakukan substitusi persamaan (2.22) pada persamaan (2.21) akan didapatkan persamaan yang selanjutnya akan diselesaikan dengan integrasi parsial untuk mendapatkan persamaan pertama untuk elemen hingga
∫ [𝑑
𝑑𝑥(𝐾𝑥𝑥,𝑑𝑇
𝑑𝑥) +𝑚 𝑐 𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥+ ℎ. (ℎ. 𝑃ℎ 𝑝
𝐴 (𝑇 − 𝑇∞))] 𝑁𝑖𝑑𝑥
𝐿
0
(2.23)
penerapan integrasi parsial pada persamaan (2.23) akan menghasilkan karakteristik dari persamaan pertama metode elemen hingga dengan mengambil
𝑈 = 𝑁𝑖 dan 𝑑𝑈 =𝑑𝑁𝑖
𝑑𝑥 𝑑𝑥 maka 𝑑𝑉 = − 𝑑
𝑑𝑥(𝐾𝑥𝑥 𝑑𝑇
𝑑𝑥) 𝑑𝑥 dan 𝑣 = −𝐾𝑥𝑥𝑑𝑇
𝑑𝑥
selanjutnya persamaan (2.23) dapat diintegralkan secara parsial menjadi
20
∫ [−𝑑𝑇
𝑑𝑥(𝐾𝑥𝑥 𝑑𝑇
𝑑𝑥) 𝑁𝑖 𝑑𝑥 = −𝐾𝑥𝑥𝑑𝑇 𝑑𝑥𝑁𝑖|𝐿
0+ ∫ 𝐾𝑥𝑥𝑑𝑇 𝑑𝑥
𝑑𝑁𝑖 𝑑𝑥
𝐿
0
𝑑𝑥]
𝐿
0
(2.24)
persamaan (2.23) disubstitusi ke persamaan (2.24) maka akan diperoleh
∫ (𝐾𝑥𝑥𝑑𝑇 𝑑𝑥
𝑑𝑁𝑖 𝑑𝑥)
𝐿
0
𝑑𝑥 + ∫ [𝑚 𝑐 𝐴
𝑑𝑇 𝑑𝑥+ℎ 𝑝
𝐴 (𝑇 − 𝑇∞)𝑁𝑖 𝑑𝑥 = 𝐾𝑥𝑥𝑑𝑇 𝑑𝑥𝑁𝑖]𝐿
0
𝐿
0
(2.25)
dari persamaan shape function dalam fungsi temperatur (fungsi perpindahan dalam analisa stress) berbentuk linier yaitu:
𝑇 = 𝑁1𝑡1+ 𝑁2𝑡2 (2.26)
dimana 𝑡1 dan 𝑡2 adalah temperatur titik dan 𝑁1 dan 𝑁2 adalah shape function karena dalam sebuah batang dimodelkan sebagai berikut
1 2
Gambar 2. 13 Analisa elemen temperatur sebuah batang
dari model analisa elemen temperatur sebuah batang didapatkan bahwa
L N1 1 x𝑛
L
N2 x (2.27)
Maka matriks shape function adalah:
[𝑁] = [ L
x 1
L
x ] (2.28)
dari persamaan (2.26) dan (2.27) akan diperoleh 𝑑𝑇
𝑑𝑥 = −𝑡1 𝐿 +𝑡2
𝐿 (2.29)
dan 𝑑𝑁1
𝑑𝑥 = −1
𝐿, 𝑑𝑁2 𝑑𝑥 =1
𝐿 (2.30)
……… L ………
𝑥̅
21
dari persamaan (2.27) bahwa Ni =
L
N1 1 x dan substitusikan persamaan (2.29) dan (2.30) pada persamaan (2.25) untuk memperoleh persamaan pertama pada elemen hingga
∫ 𝐾𝑥𝑥(−𝑡1 𝐿+𝑡2
𝐿) (−1 𝐿)
𝐿
0
𝑑𝑥 + ∫𝑚 𝑐 𝐴 (−𝑡1
𝐿+𝑡2 𝐿) 𝑑𝑥 +ℎ 𝑝
𝐴 [(
L
x 1
) 𝑡1+
(
L x
) 𝑡2− 𝑇∞
] L
x
1 𝑑𝑥 = 𝑞∗𝑥1
𝐿
0
(2.31)
dengan nilai 𝑞x = −𝐾𝑥𝑥𝑑𝑇
𝑑𝑥 , pada persamaan (2.25) diketahui bahwa memiliki persamaan bahwa 𝑞∗x
1 pada 𝑥 = 0. Karena 𝑁1 = 1 pada 𝑥 = 0, dan 𝑁1 = 0 pada 𝑥 = 𝐿. Maka hasil integral dari persamaan (2.25) adalah
(𝐾𝑥𝑥𝐴
𝐿 −𝑚 𝑐
2 +ℎ 𝑝 𝐿
3 ) 𝑡1+ (−𝐾𝑥𝑥 𝐴
𝐿 −𝑚 𝑐
2 +ℎ 𝑝 𝐿
6 ) 𝑡2= 𝑞∗𝑥1+ℎ 𝑝 𝐿
2 𝑇∞ (2.32)
dimana 𝑞∗x
1 didefinisikan sebagai 𝑞x yang dihitung pada titik 1, selanjutnya untuk memperoleh nilai elemen hingga kedua dilakukan iterasi kedua dengan mengambil nilai 𝑁𝑖 = 𝑁2 =
L
x pada persamaan (2.25), maka akan didapatkan hasil
(−𝐾𝑥𝑥𝐴 𝐿 −𝑚 𝑐
2 +ℎ 𝑝 𝐿
6 ) 𝑡1+ (−𝐾𝑥𝑥 𝐴 𝐿 −𝑚 𝑐
2 +ℎ 𝑝 𝐿
3 ) 𝑡2= 𝑞∗𝑥2+ℎ 𝑝 𝐿
2 𝑇∞ (2.33)
Kemudian susun persamaan (2.32) dan (2.33) ke dalam bentuk matriks
{𝐾𝑥𝑥𝐴
𝐿 [ 1 −1
−1 1 ] + 𝑚 𝑐
2 [−1 1
−1 1] +ℎ 𝑝 𝐿 6 [2 1
1 2]} {𝑡1
𝑡1} =ℎ 𝑝 𝐿 2 𝑇∞{1
1} + {𝑞∗𝑥1
𝑞∗𝑥2} (2.34) Pada persamaan (2.1) tentang matriks kekakuan elemen akan diformulasikan pada persamaan (2.34), untuk matriks kekakuan 3 elemen adalah sebagai berikut.
[𝐾] = [𝐾]𝑐+ [𝐾]ℎ+ [𝐾]𝑚 (2.35)
Dimana
[𝐾]𝑐=𝐾𝑥𝑥𝐴
𝐿 [ 1 −1
−1 1 ], [𝐾]ℎ=ℎ 𝑝 𝐿
6 [2 1
1 2] dan [𝐾]𝑚=𝑚 𝑐
2 [−1 1
−1 1] (2.36) formulasi gaya nodal elemen dan temperatur nodal yang akan dicari adalah
{𝑓} =ℎ 𝑝 𝐿 𝑇∞ 2 {1
1} + {𝑞∗𝑥1
𝑞∗𝑥2} (2.37)
22
perlu diperhatikan bahwa nilai matriks kekakuan [K]m bersifat asimetris.
Mengakibatkan jika flux panas keluar dari benda akan terjadi pada ujung bebas, maka nilai 𝑞∗x
1 dan 𝑞∗x
2 terjadi jika ujung elemen dalam keadaan bebas. Pada proses penggabungan elemen-elemen nilai flux panas 𝑞∗x
1 dan 𝑞∗x
2 adalah sama tetapi berlawanan pada titik joint kedua elemen untuk ujung elemen yang diisolasi 𝑞∗x
1 bernilai nol.
2.6 Formulasi Persamaan Panas 2 Dimensi
Ddalam menyelesaikan perpindahan panas dalam kondisi elemen 2 dimensi perlu diikuti tahapan sesuai dengan langkah-langkah elemenisasi metode elemen hingga.
1. Pemilihan tipe elemen dan diskritisasi domain
Gambar 2. 14 Elemen segitiga dengan 3 titik
Dalam elemenisasi struktur dipilih elemen segitiga sebagai bentuk elemen dasar yang akan dibahas pada persoalan ini
2. Pemilihan fungsi temperatur (fungsi interpolasi) Fungsi temperatur:
{𝑇} = [𝑁𝑖 𝑁𝑗 𝑁𝑚] { 𝑡𝑖 𝑡𝑗 𝑡𝑚
} (2.38)
Dimana t𝑖, t𝑗 dan t𝑚 adalah nilai temperatur dari masing-masing nodal elemen. Shape function [𝑁] diambil dari persamaan fungsi perpindahan yaitu:
𝑁𝑖 = 1
∆(𝑎𝑖 + 𝑏𝑖𝑥 + 𝑐𝑖𝑦) ∆ = 2 kali luas elemen segitiga
(2.39)
23
3. Menentukan hubungan antara Temperatur – Gradien Temperatur dan Flux panas – Gradien Temperatur
Matriks gradien {g} analog dengan matriks strain pada analisa stress, diketahui bahwa:
{𝑔} = [𝐵] {𝑡} (2.40)
Pada persamaan (2.40) diketahui bahwa matriks [𝐵] diperoleh dari hasil substitusi nilai persamaan (𝑖, 𝑗, 𝑚) pada persamaan (2.38) ke persamaan gradien temperatur yaitu:
Gradien temperatur
{𝑞} = {
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝜕𝑇
𝜕𝑦}
(2.41)
dari persamaan (2.41) akan diperoleh matriks {g}:
{𝑔} = [
𝜕𝑁1
𝜕𝑥
𝜕𝑁2
𝜕𝑥
𝜕𝑁3
𝜕𝑥
𝜕𝑁2
𝜕𝑦
𝜕𝑁2
𝜕𝑦
𝜕𝑁3
𝜕𝑦
… … … … 𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
… … … … 𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦 ]{ 𝑡1 𝑡2 𝑡3 . . . . 𝑡𝑖}
(2.42)
Dengan melakukan substitusi persamaan (2.39) ke persamaan (2.42) akan diperoleh matriks [𝐵] baru yaitu:
[𝐵] = 1
2. 𝐴[𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑐1 𝑐2 𝑐3] (2.43)
Selanjutnya akan didapatkan bahwa hubungan flux panas dengan gradien temperatur adalaha:
{𝑞𝑥
𝑞𝑦} = −[𝐷]{𝑔} (2.44)
Dimana matriks sifat material suatu benda adalah:
[𝐷] = [𝐾𝑥𝑥 0
0 𝐾𝑦𝑦] (2.45)
4. Menurunkan persamaan matriks konduksi
Matriks kekakuan perpindahan panas secara konduksi-konveksi adalah:
24
[𝐾] = ∭[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]𝑑𝑉 + ∬ ℎ[𝑁]𝑇[𝑁]𝑑𝑆
𝑠3 𝑉
(2.46)
dimana:
[𝐾]𝑐= ∭[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]𝑑𝑉 = ∭ 1 4 𝐴2[
𝑏1 𝑐1
𝑏2 𝑐2 𝑏3 𝑐3
] [𝐾𝑥𝑥 0
0 𝐾𝑦𝑦] [𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑐1 𝑐2 𝑐3]
𝑉 𝑉
(2.47) Apabila kondisi elemen adalah memiliki ketebalan yang uniform dan temperatur yang ada pada ruas kanan pada persamaan (2.47) adalah konstan atau tidak sebagai fungsi maka persamaan (2.47) dapat disederhanakan menjadi:
[𝐾]𝑐 = ∭[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]𝑑𝑉
𝑉
= 𝑡 𝐴 [𝐵]𝑇[𝐷][𝐵] (2.48)
Akibat pengaruh perpindahan panas secara konduksi yang terjadi sepanjang titik- elemen mengakibatkan matriks [𝐾]𝑐 merupakan bagian dari matriks kekakuan, yang memberikan kontribusi perpindahan panas konduksi pada matriks kekakuan elemen.
Dari gambar 2.14 apabila dianggap pada elemen 1-2 terjadi proses konveksi, yang mengakibatkan pada matriks kekakuan juga terjadi perpindahan panas secara konveksi dengan persamaan:
[𝐾]ℎ = ∬ ℎ [𝑁]𝑇[𝑁]𝑑𝑆
𝑆3
(2.49)
Secara eksplisit persamaan (2.49) dapat dituliskan menjadi:
[𝐾]ℎ = ∬ ℎ [
𝑁1𝑁1 𝑁1𝑁2 𝑁1𝑁3 𝑁2𝑁1 𝑁2𝑁2 𝑁2𝑁3 𝑁3𝑁1 𝑁3𝑁2 𝑁3𝑁3
] 𝑑𝑆
𝑆3
(2.50)
Menentukan besar gaya pada elemen terhadap sumber panas, dapat digunakan persamaan term body force sebagai berikut:
{𝑓𝒬} = ∭ 𝒬 [𝑁]𝑇 𝑑𝑉 = 𝒬 ∭[𝑁]𝑇 𝑑𝑉
𝑉 𝑉
(2.51)
Apabila kondisi sumber panas adalah konstan persamaan (2.51) dapat dituliskan
25
{𝑓𝒬} =𝒬 𝑉
3 { 1 1 1
} dimana V = volume elemen = A t (2.52) , Hal ini menunjukkan bahwa panas yang mengalir pada elemen mengalir secara merata pada ketiga titik-titik elemen. Maka untuk setiap sisi dapat ditentukan matriks gaya yang terjadi adalah sebagai berikut:
{𝑓}𝑞= ∬ 𝑞∗ [𝑁]𝑇 𝑑𝑆 = ∬ 𝑞∗{ 𝑁𝑖 𝑁𝑗 𝑁𝑚
}
𝑆2 𝑆2
(2.53)
Maka untuk setiap sisi pada elemen dapat dihitung besar nilai perpindahan panas secara konveksi pada matriks kekakuan [𝐾]ℎ yaitu:
[𝐾]ℎ,𝑖−𝑗 = 𝑞∗𝐿𝑖−𝑗 𝑡 2 {
1 1 0 }
[𝐾]ℎ,𝑗−𝑚 = 𝑞∗𝐿𝑗−𝑘 𝑡
2 {
0 1 0 }
[𝐾]ℎ,𝑚−𝑖 = 𝑞∗𝐿𝑚−𝑖 𝑡
2 {
1 0 1 }
dimana 𝐿𝑖−𝑗, 𝐿𝑗−𝑚 dan 𝐿𝑚−𝑖 adalah panjang masing-masing sisi elemen dan besar nilai 𝑞∗ dianggap konstan pada setiap sisi elemen. Selanjutnya dengan mengganti nilai 𝑞∗ menjadi ℎ 𝑇∞ maka persamaan matriks gaya nodal menjadi:
{𝑓}𝑞= ∬ ℎ 𝑇∞ [𝑁]𝑇 𝑑𝑆
𝑆2
(2.54)
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Studi Pendahuluan
Dalam penelitian yang dilakukan Penulis mengenai implementasi metode elemen hingga pada perpindahan panas, Penulis terlebih dahulu mengumpulkan referensi dan pendukung penelitian dari sumber-sumber rujukan baik buku, jurnal atau penelitian terdahulu mengenai metode elemen hingga dan perpindahan panas.
3.2 Teknik Analisis Data
Dalam melakukan penelitian tentang perpindahan panas perlu dikaji terlebih dahulu mengenai variabel atau faktor yang mempengaruhi aliran panas dalam sebuah volume kontrol atau dalam hal ini adalah knalpot sepeda motor. Penentuan model dan komponen penyusun merupakan hal terpenting dalam analisis perpindahan panas.
Selanjutnya model geometri yang telah dibentuk akan didiskritisasikan menjadi elemen-elemen yang sederhana. Dalam penelitian ini mesh yang digunakan sangat banyak sehingga diperlukan program khusus dalam menghitung dan diskritisasi benda.
Proses perpindahan panas pada knalpot ini terjadi secara konduksi dan konveksi. Secara konduksi terjadi pada alat perantara berupa susunan (model) knalpot supra X 125 D tahun 2009 seperti pada gambar 3.1.
Gambar 3. 1 Model Knalpot Supra X 125 D 2009
Perpindahan panas terjadi secara konveksi pada aliran fluida dalam inlet dan outlet dari knalpot. Formulasi metode elemen hingga pada perpindahan panas akan
27
menghasilkan persamaan baru dalam menghitung dan melihat laju perpindahan panas pada knalpot sepeda motor. Dalam penelitian ini juga akan dilihat bagaimana perpindahan panas yang terjadi jika dilakukan perubahan komponen penyusun benda dengan geometri (model) sama yaitu mengacu pada model knalpot supra X 125 D tahun 2009.
3.3 Komponen Model Knalpot pada COMSOL Multiphysics 5.4
Dalam pembentukan model knalpot pada gambar 3.1 di COMSOL Multyphysics 5.4 akan ditentukan batas-batas seperti pada tabel 3.1.
Tabel 3.1 Komponen model knalpot dengan COMSOL Multyphysics 5.4
No Komponen Jari-jari (cm) Panjang (cm)
1. Silinder kecil dalam 1,25 130
1. Silinder besar 5 35
2. Silinder kecil outlet 2,5 7
3. Silinder tengah 2,5 50
4. Kerucut silinder ujung 1 2,5 1,5
5. Silinder kecil ujung 2 15
6. Kerucut kecil silinder tengah 2 1
7. Kerucut silinder ujung 1 2 1
3.4 Material Knalpot Sepeda Motor
Penelitian ini akan mengkombinasikan knalpot dengan silinder kecil berbahan Stainless steel 405 annealed dengan penggantian 3 material berbeda pada silinder besar knalpot yaitu Stainless Steel Chrome 35% Steel, C (diamond) tipe II dan Titanium Beta-21S. Dalam perhitungan yang akan dilakukan, knalpot dimodelkan dengan software COMSOL Multiphysics 5.4 dimulai dengan pembentukan komponen- komponen knalpot seperti pada tabel 3.1. Kemudian penentuan fluks panas pada masing-masing komponen dan material knalpot. Setelah model knalpot dan material penyusunnya dibentuk meshing model akan dilakukan untuk mendiskritisasi domain menjadi lebih sederhana. Komputasi akan diulangi dengan merubah properties
28
material masing-masing model knalpot pada silinder besarnya. Selanjutnya akan dibandingkan laju perpindahan panas terhadap perbedaan material pada rentang waktu yang sama dilihat dari hasil simulasi software dan akan ditentukan jenis knalpot yang menghantarkan panas lebih rendah pada silinder besar knalpot.
3.5 COMSOL Multiphysics 5.4
Ilustrasi penyelesaian manual perpindahan panas secara konduksi dan konveksi dengan metode elemen hingga seperti pada halaman 22. Dikarenakan jumlah elemen yang sangat banyak sehingga sangat tidak efisien untuk menghitung karakteristik tiap elemen secara manual, maka persoalan perpindahan panas pada knalpot akan disimulasikan dengan software COMSOL Mutiphysics 5.4. COMSOL Multiphysics adalah software berbasis elemen hingga yang dapat mensimulasikan berbagai masalah matematika-fisika baik analisis struktur maupun non struktur. Program COMSOL Multiphysics pernah digunakan oleh Gerlich, Vladimir et al(2013) dengan judul penelitiannya adalah validation as simulation software for heat transfer calculation in buildings:Building simulation software validation. COMSOL Multiphysics COMSOL Multiphysics 5.4 adalah software keluaran terbaru yang telah disempurnakan dari versi sebelumnya yaitu terintegrasi pada MATLAB dan Microsoft Office Excel sehingga memungkinkan pengguna dapat menghubungkan penggunaan COMSOL Multiphysics 5.4 dengan MATLAB dan Microsoft Office Excel.
1. Penentuan model dan diskritisasi domain
Dengan menggunakan COMSOL Multiphysics 5.4 batas-batas komponen knalpot pada tabel 3.1 dihasilkan model seperti pada gambar 3.2.
Gambar 3. 2 Model Knalpot di COMSOL Multiphysics 5.4
Selanjutnya pada tahap pembentukan mesh dihasilkan bentuk mesh knalpot seperti pada gambar 3.3 dengan hasil keterangan mesh pada tabel 3.2.
29
Tabel 3.2 Komponen Mesh Model Knalpot
No Komponen Jumlah
1. Mesh Tetrahedral 239.735
2. Garis elemen 3.125
3. Titik elemen 134
Gambar 3. 3 Mesh Model Knalpot
Selanjutnya dengan menggunakan langkah-langkah metode elemen hingga yang bertujuan untuk menghitung besar perpindahan panas yang terjadi dan membandingkan hasil yang diperoleh terhadap perbedaan material. Dapat diasumsikan bahwa silinder kecil inlet dan oulet adalah Stainless steel 405 annealed dan dilakukan penggantian komponen material pada silinder besar knalpot dengan keterangan material seperti pada tabel 3.3.
Tabel 3.3 Properties Material 4 jenis knalpot
(Sumber: Material Library COMSOL Multiphysics 5.4) Jenis bahan Konduktivitas
( W/ m K)
Massa Jenis (kg/m3)
Kapasitas Kalor (J/Kg 𝐾) Stainless steel 405
Annealed
30 7,8 𝑥 103 480
Stainless Steel Chrome 35% Steel
16,26 8,0272 𝑥 103 502,1
Titanium Beta-21S 36 7,753 𝑥 103 486
C (diamond) tipe II 15,6 4,51 𝑥 103 544
30
2. Penentuan jenis material
Setelah jenis material telah ditentukan langkah selanjutnya adalah menentukan bagian- bagian material pada model knalpot.
Gambar 3. 4 Model Knalpot Stainless steel 405 Annealed di COMSOL
Model knalpot pada gambar 3.4 adalah model knalpot dengan bahan tetap untuk masing-masing model knalpot dengan 3 bahan berbeda pada silinder besarnya.
Gambar 3. 5 Model knalpot silinder besar
Pada gambar 3.5 akan dibentuk model knalpot dengan kombinasi knalpot berbahan Stainless steel 405 Annealed-C (diamond) tipe II, Stainless steel 405 Annealed- Titanium Beta-21S dan Stainless steel 405 Annealed- Stainless Steel Chrome 35%
Steel.
31
3.6 Diagram Alir Penelitian
Dalam menyelesaikan persoalan perpindahan panas akan ditentukan terlebih dahulu model geometri, hal ini dikarenakan nilai kekakuan masing-masing model adalah berbeda. Dalam hal ini penulis memilih model knalpot Supra X 125 D tahun 2009 karena memiliki geometri yang unik dan merupakan knalpot dengan kombinasi 2 material penyusun yang berbeda. Setelah model ditentukan akan diberikan batas awal geometri baik dari nilai konduktivitas, suhu inlet, suhu outlet, waktu yang dibutuhkan, massa jenis material dan kapasitas kalor. Perpindahan panas yang terjadi pada knalpot kendaraan akan mengalami dua kondisi yaitu konduksi dan konveksi, maka dalam perhitungan manual akan dilakukan modifikasi persamaan Fourier dan persamaan Newton dengan menggunakan metode elemen hingga. Dikarenakan elemen yang dihasilkan adalah sangat banyak maka digunakan bantuan komputasi berbasis elemen hingga yaitu COMSOL Multiphysics 5.4 dan akan dihasilkan besar suhu masing-masing bagian knalpot terhadap perbedaan material pada silinder besar, dan akan ditarik kesimpulan.
Gambar 3. 6 Diagram Alir Penelitian Penentuan Model
Batas awal Model
Modifikasi Persamaan Fourier dan Newton untuk persoalan perpindahan panas
Komputasi dengan elemen hingga
Pembahasan dan Hasil oleh COMSOL Multiphysics 5.4
Kesimpulan
