[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Anda tentu sangat mengenal sekali benda yang bernama telur. Telur banyak sekali manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari. Perhatikan gambar telur di bawah ini (Gambar 12.1).
Sumber: www.google.co.id
Gambar 12.1 Gambar 12.1 Gambar 12.1 Gambar 12.1 Telur Telur Telur ayamTelur ayamayam ayam Definisi 1:
Definisi 1:
Definisi 1:
Definisi 1:
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya dari dua titik tertentu mempunyai nilai tetap. Kedua titik tertentu tersebut disebut Fokus () atau titik api dari sebuah elips.
Setelah mempelajari kegiatan belajar 12 ini, mahasiswa diharapkan mampu:
1. Menentukan persamaan elips.
2. Melukis persamaan elips
KEGIATAN BELAJAR 12
PERSAMAAN
ELLIPS
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Sekarang kita pindahkan gambar telur (Gambar 12.1) pada Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 12.2 di bawah ini.
Gambar 12.2. Elips pada koordinat cartesius Gambar 12.2. Elips pada koordinat cartesius Gambar 12.2. Elips pada koordinat cartesius Gambar 12.2. Elips pada koordinat cartesius
Berdasarkan gambar di atas, dapat kita ketahui bahwa unsur-unsur dari pembentukkan elips tersebut adalah sebagai berikut:
1) Sumbu adalah sumbu utama dan sumbu adalah sumbu sekawan.
2) Sumbu fokal (focal axis) adalah garis lurus yang menghubungkan kedua titik fokus elips, yaitu (dengan fokus elips; dan ).
3) Titik fokus elips adalah titik tengah kedua fokus elips.
4) Titik puncak elips adalah dua titik pada perpanjangan sumbu fokus yang membentuk elips, yaitu dan .
5) disebut sumbu mayor, dimana sumbu ini pasti melalui kedua titik
fokus. disebut sumbu minor, yaitu garis lurus melalui pusat elips dan tegak lurus sumbu mayor. Sumbu mayor ≡ sumbu terpanjang dan sumbu minor ≡ sumbu terpendek.
6) Titik adalah titik pusat elips
7) Panjang sumbu mayor adalah 2 dan panjang sumbu minor adalah 2
8) merupakan latus rectum atau focal chord.
Jika unsur-unsur elips tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan elips? Untuk menentukan persamaan elips berdasarkan koordinat pusat; koordinat puncak; panjang sumbu mayor dan sumbu minor;
jarak kedua fokus dan lain-lain, maka lakukanlah kegiatan berikut ini.
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Kegiatan 12.1.
Kegiatan 12.1.
Kegiatan 12.1.
Kegiatan 12.1. Menentukan Persamaan Elips yang berpusat di Menentukan Persamaan Elips yang berpusat di Menentukan Persamaan Elips yang berpusat di Menentukan Persamaan Elips yang berpusat di , dan sumbu dan sumbu dan sumbu dan sumbu mayor sejajar dengan sumbu
mayor sejajar dengan sumbu mayor sejajar dengan sumbu mayor sejajar dengan sumbu
1. Pertama sekali kita gambar sebuah elips yang berpusat di , dan sumbu mayornya sejajar dengan sumbu serta unsur-unsur elips diketahui, seperti yang terlihat pada Gambar 12.3 di bawah ini.
Gambar 12.3. Elips Horizontal berpusat di (p, q) Gambar 12.3. Elips Horizontal berpusat di (p, q) Gambar 12.3. Elips Horizontal berpusat di (p, q) Gambar 12.3. Elips Horizontal berpusat di (p, q)
2. Jumlah jarak titik sembarang , terhadap kedua fokus sama dengan 2.
3. Karena titik , terletak pada elips maka diperoleh,
2
2
2
2
! " !2 "
# $
4 4
# $ 4 4
2 2 2 4 2 2 2
4
4 4 4 4
! "
&
' (
&2 2 2
' 2 2 2 (
&2 2 2
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
2 2 2
2 2 &
2
2
Berdasarkan hubungan , maka persamaan di atas menjadi,
Jika dibagi dengan maka di peroleh suatu persamaan elips adalah:
) *
+* , * -* . Dengan syarat + >
Persamaan (17) di atas merupakan persamaan elips dengan pusat , .
Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika pusat elips , adalah 0,0, maka persamaan (17) menjadi:
) 1*
+* , 1* -* . sehingga diperoleh persamaan elips,
)* +*,*
-* . Dengan + > .
Persamaan (18) merupakan persamaan elips dengan pusat 0,0.
Pada kegiatan 12.1 kita sudah dapat suatu persamaan elips
)*
+*,-** . dan )2+* *,2-* * .. Sekarang kita juga dapat menentukan persamaan elips, jika sumbu mayornya adalah sumbu Y seperti yang terlihat pada Gambar 12.4 dengan cara yang sama pada kegiatan 12.1
11117777
18 1818 18
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Gambar 12.4. elips Vertikal dengan pusat di Gambar 12.4. elips Vertikal dengan pusat di Gambar 12.4. elips Vertikal dengan pusat di
Gambar 12.4. elips Vertikal dengan pusat di 3,
Berdasarkan gambar di atas, dapat dilihat bahwa jumlah jarak titik sembarang , terhadap kedua fokus sama dengan 2. Karena titik ,
terletak pada elips maka diperoleh,
2
2
2
! " !2 "
# $
4 4
2
4 4 2
2 2 2
4 4 2 2 2 4 4 4 4
2
! 2 2 2 "
2 2 2
&
2 2 &
2
2
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Berdasarkan hubungan , maka persamaan di atas menjadi,
Jika dibagi dengan maka di peroleh suatu persamaan elips adalah:
) *
-* , * +* . Dengan syarat > .
Persamaan (19) di atas merupakan persamaan elips dengan pusat , .
Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika pusat elips , adalah 0,0, maka persamaan (19) menjadi:
) 1*
-* , 1* +* . sehingga diperoleh persamaan elips,
)* -*,*
+* . Dengan > .
Persamaan (20) merupakan persamaan elips dengan pusat 0,0.
Masalah 12.1 Masalah 12.1 Masalah 12.1 Masalah 12.1
Tentukan koordinat pusat, koordinat puncak, koordinat fokus, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, sumbu utama dan sumbu sekawan dari persamaan elips
169
81 1 Penyelesaian.
Penyelesaian.
Penyelesaian.
Penyelesaian.
Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.
Untuk menyelesaiakan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu nilai , dan .
169 → ±13
81 → ±9
berarti sehingga diperoleh nilai √169 81 √88 atau ±2√22
Karena > , maka kita dapat menggunakan persamaan (18) yaitu,
1 Sehingga dapat disimpulkan bahwa:
(i) Koordinat pusat di 0, 0.
11119999
20 2020 20
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
(ii) Koordinat puncak 13, 0, 13, 0, 0, 9 dan 0, 9.
(iii) Koordinat fokus 2√22, 0 dan 2√22, 0.
(iv) Panjang sumbu mayor 26.
(v) Panjang sumbu minor 18.
(vi) Sumbu utama adalah sumbu dan sumbu sekawan adalah sumbu .
Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh.
Masalah 12.2 Masalah 12.2 Masalah 12.2 Masalah 12.2
Tentukan persamaan elips yang mempunyai fokus 8, 2 dan 2, 2 serta mempunyai sumbu panjang 12!
Penyelesaian.
Penyelesaian.
Penyelesaian.
Penyelesaian.
Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu titik pusat. Titik pusat dapat diperoleh dari titik tengah kedua fokus. Fokus elips adalah 8, 2 dan 2, 2 sehingga diperoleh titik pusat adalah,
<8 2 2 ,2 2
2 = 5, 2
Jarak kedua fokus adalah 2 8 2 2 6 → 3
Mempunyai sumbu panjang adalah 12, sumbu panjang ≡ sumbu mayor 2, berarti 6. Karena 6 dan 3, sehingga diperoleh nilai dengan menggunakan teorema phytagoras yaitu,
36 9
27 → ±3√3
Jadi, persamaan elips adalah
5
36 2 27 1
Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang anda peroleh.
Persamaan Direkstriks, Eksentrisitas dan panjang latus rectum Persamaan Direkstriks, Eksentrisitas dan panjang latus rectum Persamaan Direkstriks, Eksentrisitas dan panjang latus rectum Persamaan Direkstriks, Eksentrisitas dan panjang latus rectum
Untuk menentukan persamaan direktriks, eksentrisitas dan panjang latus rectum, perhatikan ganbar elips di bawah ini.
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Gambar 12.5. elips dengan pusat Gambar 12.5. elips dengan pusat Gambar 12.5. elips dengan pusat Gambar 12.5. elips dengan pusat 1, 1
Dari definisi elips, elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jarak ke suatu titik fokus dan suatu garis adalah tetap nilainya yang besarnya lebih besar dari nol dan kurang dari harga tetap tersebut adalah
+ ABCDEC 1 F@ @ + F 1
Persamaan di atas, dinamakan dengan eksentrisitas dan dilambangkan dengan G. Persamaan elips atau
1 Dengan ↔ .
Persamaan di bagi dengan diperoleh:
1
1
I1
√ Dan nilai 1 F+@F 1.
Jadi, dapat di simpulkan bahwa persamaan eksentrisitas adalah G @
+ Berarti,
G √+* -* +
Kedua garis K dan L disebut dengan garis direktris dengan persamaan:
± M
2121 2121
22 22 22 22
2323 2323
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Sehingga persamaan menjadi,
N ≡ ) +*
@ AEC O ≡ ) +*
@
persamaan (24) adalah persamaan garis direktris dengan pusat elips 0, 0.
Sedangkan persaman garis direktriks elips dengan pusat , adalah:
N ≡ ) +*
@ P+Q O ≡ ) +*
@
Garis K dan K disebut latus rectum dengan persamaan ) @ dan ) @.
Apabila garis kita potongkan pada elips
1
1
1
&
I&
±
Jadi, panjang latus rectum adalah
* R-* + S Masalah 12.3
Masalah 12.3 Masalah 12.3 Masalah 12.3
Tentukan persamaan garis direktriks, persamaan eksentrisitas, dan panjang latus rectum dari persamaan elips
2
25 1 16 1 Penyelesaian.
Penyelesaian.
Penyelesaian.
Penyelesaian.
Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.
2525 2525 242424 24
26 26 26 26
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu nilai , dan . Nilai 25 → ±5, 16 → ±4, sehingga
√25 16 √9
±3.
Sekarang kita dapat menentukan persamaan garis direktriksnya dengan mensubsitusikan nilai , dan ke persamaan garis direktriks yaitu,
dan
2 25
3 dan 2 25 3
19
3 dan 31
Jadi persamaan garis direktriks adalah WX dan 3 XX
Sedangkan persamaan eksentrisitas adalah M XY dan panjang latus rektumny adalah
2 R
S 2 <16 5 = 32
5
Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh.
Kegiatan 12.2.
Kegiatan 12.2.
Kegiatan 12.2.
Kegiatan 12.2. Menggambar persamaan elipsMenggambar persamaan elipsMenggambar persamaan elips Menggambar persamaan elips
Perlu diperhatikan apa saja yang dibutuhkan untuk melukis sketsa elips adalah sebagai berikut:
1. Mengubah persamaan ke dalam bentuk
1 2. Menentukan koordinat pusat elips.
3. Menentukan sumbu panjang (sumbu mayor) dan sumbu terpendek (sumbu minor)
4. Menentukan nilai , , dan untuk:
a. Menentukan koordinat titik fokus.
b. Menentukan koordinat titik puncak .
c. Menentukan koordinat titik potong sumbu dan sumbu .
d. Menentukan beberapa titik bantu jika diperlukan.
Masalah 12.4 Masalah 12.4 Masalah 12.4 Masalah 12.4
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Gambarlah sketsa elips dengan persamaan 16 25 160 200 400 0 Penyelesaian
Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian
Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.
Untuk menyelesaiakan permasalahan di atas, pertama sekali kita ubah persamaan di atas ke bentuk baku persamaan elips yaitu:
16 25 160 200 400 0 16 160 25 200 400 16 10 25 8 400
16 5 400 25 4 400 400 16 5 25 4 400 400 400 16 5 25 4 400
5
25 4 16 1
Dari persamaan di atas, diperoleh 25 → ±5, 16 → ±4, sehingga √
√25 16 √9
±3.
Untuk melukis Elips tersebut, tentukan terlebih dahulu unsur-unsur elips adalah sebagai beriku:
1. Koordinat pusat , berarti 5, 4
2. Koordinat titik puncak , , , , , dan ,
yaitu 10, 4, 0, 4, 5, 8 dan 5, 0
3. Sumbu mayor (sumbu utama) 4 4. Sumbu minor (sumbu sekawan) 5
5. Koordinat titik fokus , dan , adalah 8, 4 dan 2, 4
6. Koordinat titik potong pada sumbu → 0
5
25 1 1 ↔ 5 Sehingga titik potongnya adalah 5, 0.
Koordinat titik potong pada sumbu → 0
4
16 1 1 ↔ 4 Sehingga titik potongnya adalah 0, 4.
7. Titik bantunya adalah:
2 4 6 8
7,2 7,9 7,9 7,2
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Gambar 12.6. Elips Horizontal Gambar 12.6. Elips Horizontal Gambar 12.6. Elips Horizontal Gambar 12.6. Elips Horizontal
Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh.
1. Persamaan elips horizontal dengan pusat 0, 0 adalah )*
+*,* -* . Dengan syarat + >
2. Persamaan elips horizontal dengan pusat , adalah
) *
+* , * -* . Dengan syarat + >
3. Persamaan elips vertikal dengan pusat 0, 0 adalah )*
-*,* +* . Dengan syarat - >
4. Persamaan elips horizontal dengan pusat , adalah
) *
-* , * +* . Dengan syarat - >
5. Persamaan garis direktris elips dengan pusat 0, 0 adalah ) ±+*
@
6. Persamaan garis direktris elips dengan pusat , adalah
Rangkuman
Rangkuman Rangkuman
Rangkuman
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
) ±+* 7. Persamaan eksentrisitas adalah @
G @ + 8. Panjang latus rectum adalah
* R-* + S
