MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI

(1)

A l j a b a r L i n e a r 1 1

MODUL

ALJABAR LINEAR 1

Disusun oleh,

ASTRI FITRIA NUR’ANI

2014

Astri Fitria Nur’ani Aljabar Linear 1 1/1/2014

(2)

A l j a b a r L i n e a r 1 DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ... i

BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan ... 1

B. Aljabar Matriks ... 5

C. Sistem Persamaan Linear ... 15

BAB II DETERMINAN A. Pengertian Determinan... 22

B. Metode Perhitungan Determinan ... ... 23

C. Sifat-sifat Determinan ... 25

BAB III INVERS MATRIKS A. Pengertian Invers Matriks ... 27

B. Matriks Adjoint ... ... 28

C. Sifat-sifat Invers Matriks ... 29

D. Hubungan Invers Matriks, determinan, dan Solusi SPL . ... 31

i

(3)

A l j a b a r L i n e a r 1

BAB I

MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN

A. Pendahuluan

Bentuk persamaan linear dalam n peubah (variabel):

𝑎₁𝑥₁+ 𝑎₂𝑥₂+ … + 𝑎_𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏 Dimana:

𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛, 𝑏 = bilangan – bilangan real 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = peubah

Dengan demikian maka suatu sistem linear dari m persamaan dalam n peubah (sistem linear m x n) adalah sebagai berikut:

𝑎₁₁𝑥₁+ 𝑎₁₂𝑥₂+ … + 𝑎_1𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₁ 𝑎₂₁𝑥₁ + 𝑎₂₂𝑥₂+ … + 𝑎_2𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₂

. . .

𝑎_𝑚1𝑥₁+ 𝑎_𝑚2𝑥₂+ … + 𝑎_𝑚𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏_𝑛

Contoh sistem linear:

1. Sistem 2 x 2 𝑥₁ + 2𝑥₂ = 5 2𝑥₁ + 3𝑥₂ = 8

2. Sistem 2 x 3 𝑥₁− 𝑥₂+ 𝑥₃ = 2 2𝑥₁+ 𝑥₂− 𝑥₃ = 4

3. Sistem 3 x 2 𝑥₁+ 𝑥₂ = 2 𝑥₁− 𝑥₂ = 1 𝑥₁ = 4

Definisi 1:

Dua sistem persamaan yang mengunakan peubah-peubah yang sama dikatakan ekivalen jika kedua sistem itu memiliki himpunan penyelesaian yang sama.

Contoh:

𝑥₁+ 2𝑥₂ = 4 3𝑥₁− 𝑥₂ = 2 4𝑥₁+ 𝑥₂ = 6

Dan

4𝑥₁+ 𝑥₂ = 6 3𝑥₁− 𝑥₂ = 2 𝑥₁+ 2𝑥₂ = 4

1

(4)

Keduanya terdiri dari tiga persamaan yang sama dan sebagai akibatnya kedua sistem persamaan ini harus memiliki himpunan penyelesaian yang sama. Sehingga kedua persamaan tersebut dikatakan ekivalen.

Jika salah satu persamaan dari sistem dikalikan dengan suatu bilangan real bukan nol, maka hal ini tidak berpengaruh pada himpunan penyelesaian dan sistem yang baru akan ekivalen dengan sistem awal.

Contoh:

𝑥₁ + 𝑥₂+ 𝑥₃ = 3

−2𝑥₁− 𝑥₂+ 4𝑥₃ = 1 Dan

2𝑥₁ + 2𝑥₂ + 2𝑥₃ = 6

−2𝑥₁− 𝑥₂+ 4𝑥₃ = 1

Definisi 2:

Suatu sistem dikatakan memiliki bentuk segitiga jika koefisien-koefisien dari k-1 peubah yang pertama dalam persamaan ke-k semuanya nol dan koefisien dari xk adalah bukan nol (k = 1, 2, ... ,n).

Contoh:

3𝑥₁+ 2𝑥₂ + 𝑥₃ = 1 𝑥₂− 𝑥₃ = 2 2𝑥₃ = 4

Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut!

Penyelesaian:

Sistem persamaan diatas memiliki bentuk segitiga, karena koefisien-koefisien dalam persamaan kedua masing-masing adalah 0, 1, -1, dan koefisien-koefisien dalam persamaan ketiga masing-masing adalah 0, 0, 2. Karena berbentuk segitiga, sistem ini mudah untuk diselesaikan. Dari persamaan ketiga diperoleh:

2𝑥₃ = 4 𝑥₃ = 2

Kemudian substitusikan nilai 𝑥₃ = 2 ke persamaan 2 sehinga diperoleh:

𝑥₂− 𝑥₃ = 2 𝑥₂− 2 = 2 𝑥₂ = 2 + 2 𝑥₂ = 4

2

(5)

Substitusikan kembali nilai 𝑥₃ = 2 dan 𝑥₂ = 4 ke persamaan 1 sehingga diperoleh:

3𝑥₁+ 2𝑥₂ + 𝑥₃ = 1 3𝑥₁+ 2(4) + 2 = 1 3𝑥₁+ 8 + 2 = 1 3𝑥₁ = 1 − 10 3𝑥₁ = −9 𝑥₁ = −3

Jadi himpunan dari sistem persamaan diatas adalah (-3, 4, 2).

Sembarang sistem sigitiga n x n dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti dalam contoh. Pertama persamaan ke-n diselesaikan untuk mendapatkan nilai x_n. Nilai ini digunakan dalam persamaan ke n-1 untuk mendapatkan nilai xn-1. Nilai-nilai xn dan xn-1 digunakan dalam persamaan ke n-2 untuk mendapatkan nilai xn-2, dan seterusnya.

Metedo menyelesaikan sistem segitiga ini disebut Substitusi Balik (back- substitution).

Latihan:

1. Analisis apakah persamaan-persamaan berikut ekivalent atau tidak? Jelaskan!

a. 𝑥₁+ 𝑥₂ = 4 𝑥₁− 𝑥₂ = 2

3𝑥₁ − 3𝑥₂ = 6 2𝑥₁ + 2𝑥₂ = 8

b. 𝑥₁− 2𝑥₂ = 5 3𝑥₁+ 𝑥₂ = 1

𝑥₁− 2𝑥₂ = 5 12𝑥₁ + 4𝑥₂ = 4

c. 𝑥₁+ 2𝑥₂− 𝑥₃ = 1 2𝑥₁− 𝑥₂+ 𝑥₃ = 3 𝑥₁+ 2𝑥₂+ 3𝑥₃ = 7

6𝑥₁ − 3𝑥₂ + 3𝑥₃ = 9 4𝑥₁ + 8𝑥₂ − 4𝑥₃ = 4 2𝑥₁ + 4𝑥₂ + 9𝑥₃ = 14

d. 3𝑥₁+ 2𝑥₂+ 𝑥₃ = 0

−2𝑥₁+ 𝑥₂ − 𝑥₃ = 2 2𝑥₁− 𝑥₂+ 2𝑥₃ = −1

−2𝑥₁+ 𝑥₂− 𝑥₃ = 2 4𝑥₁ − 2𝑥₂ + 4𝑥₃ = −2 6𝑥₁ + 4𝑥₂ + 2𝑥₃ = 0

3

(6)

A l j a b a r L i n e a r 1 2. Gunakan cara substitusi balik untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut:

a. 𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑥₃ = 8 2𝑥₂+ 𝑥₃ = 5 3𝑥₃ = 9

b. 2𝑥₁− 𝑥₂+ 3𝑥₃− 2𝑥₄ = 1 𝑥₂− 2𝑥₃+ 3𝑥₄ = 2 4𝑥₃+ 3𝑥₄ = 3 4𝑥₄ = 4

c. 𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑥₃+ 𝑥₄+ 𝑥₅ = 5 2𝑥₂+ 𝑥₃− 2𝑥₄+ 𝑥₅ = 1 4𝑥₃+ 𝑥₄+ 2𝑥₅ = 1 𝑥₄− 3𝑥₅ = 0 2𝑥₅ = 2

Penyelesaian:

...

4

(7)

A l j a b a r L i n e a r 1 B. Aljabar Matriks

1. Pengertian a. Matriks

Yaitu kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom.

𝐴 = 𝑎₁ 𝑏₁ 𝑐₁

𝑎₂ 𝑏₂ 𝑐₂ dan 𝐵 =

𝑎₁ 𝑏₁ 𝑐₁ 𝑎₂ 𝑏₂ 𝑐₂ 𝑎₃ 𝑏₃ 𝑐₃

b. Baris

Yaitu bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar / horizontal dalam matriks.

𝐴 = 𝑎₁ 𝑏₁ 𝑐₁ c. Kolom

Yaitu bagian susunan bilangan yang dituliskan tegak / vertikal dalam matriks.

𝐴 = 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃

d. Elemen / unsur

Yaitu bilangan – bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu.

𝐵 =

𝑎₁ 𝑏₁ 𝑐₁ 𝑎₂ 𝑏₂ 𝑐₂ 𝑎₃ 𝑏₃ 𝑐₃

Pada matriks B diatas, elemen/unsurnya yaitu 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, 𝑏₁, 𝑏₂, 𝑏₃, 𝑐₁, 𝑐₂, dan 𝑐₃ e. Ordo

Yaitu banyak baris dikali banyak kolom pada sebuah matriks.

𝐴 =

𝑎₁ 𝑏₁ 𝑐₁ 𝑎₂ 𝑏₂ 𝑐₂ 𝑎₃ 𝑏₃ 𝑐₃

𝐵 =

𝑎₁ 𝑏₁ 𝑎₂ 𝑏₂ 𝑎₃ 𝑏₃

Ordo : 3 x 3 ordo : 3 x 2

𝑨_{𝒎 𝐱 𝒏}

dengan :

A = sebuah matriks

m = jumlah baris pada matriks n = jumlah kolom pada matriks

5

(8)

A l j a b a r L i n e a r 1 2. Macam – macam Matriks:

a. Matriks Persegi

Yaitu matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom (berordo n x n).

𝐴 = 𝑎 𝑐

𝑏 𝑑 matriks A berordo 2 x 2 / berordo 2 𝐵 =

𝑎 𝑏 𝑐

𝑑 𝑒 𝑓

𝑔 𝑕 𝑖

matriks B berordo 3 x 3 / berordo 3

b. Matrks Baris

Yaitu matriks yang hanya memiliki satu baris dan memuat n elemen.

(berordo 1 x n).

𝐴 = 𝑎1 𝑎₂ … … … 𝑎_𝑛 c. Matriks Kolom

Yaitu matriks yang hanya memiliki satu kolom dan memuat m elemen.

(berordo m x 1).

𝐴 = 𝑎₁ 𝑎₂

⋮

⋮ 𝑎_𝑚 d. Matriks Skalar

Yaitu matriks yang hanya memuat satu unsur.

𝐴 = 𝑎 e. Matriks Sama

Yaitu matriks yang berordo sama dan unsur yang seletak sama.

𝐴 = 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 dan 𝐵 = 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 , maka A = B f. Matriks Satuan / Identitas

Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur pada diagonal utama bernilai 1 dan unsur lainnya bernilai 0 (nol).

𝐴 = 1 0

0 1 𝐵 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

6

(9)

A l j a b a r L i n e a r 1 g. Matriks Segitiga atas

Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur dibawah diagonal utama semuanya bernilai 0 (nol).

𝐵 =

𝑎₁ 𝑏₁ 𝑐₁ 0 𝑏₂ 𝑐₂

0 0 𝑐₃

h. Batriks Segitiga bawah

Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur diatas diagonal utama semuanya bernilai 0 (nol).

𝐵 =

𝑎₁ 0 0

𝑎₂ 𝑏₂ 0 𝑎₃ 𝑏₃ 𝑐₃

i. Matriks Diagonal

Yaitu matriks persegi yang semua unsur-unsurnya bernilai 0 (nol) kecuali unsur- unsur yang terletak pada diagonal utama.

𝐴 =

𝑎₁ 0 0

0 𝑏₂ 0

0 0 𝑐₃

j. Matriks Transpos

Yaitu matriks baru yang dihasilkan dari pertukaran baris-baris menjadi kolom- kolom atau sebaliknya.

𝐵 =

𝑎₁ 𝑏₁ 𝑎₂ 𝑏₂ 𝑎₃ 𝑏₃

𝐵^𝑡 = 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ k. Matriks Simetris

Yaitu matriks yang jika A = A^t. 𝐴 =

𝑎₁ 𝑏₁ 𝑐₁ 𝑎₂ 𝑏₂ 𝑐₂ 𝑎₃ 𝑏₃ 𝑐₃

𝐴^𝑡 =

𝑎₁ 𝑏₁ 𝑐₁ 𝑎₂ 𝑏₂ 𝑐₂ 𝑎₃ 𝑏₃ 𝑐₃

l. Matriks Nol

Yaitu matriks yang semua unsur-unsurnya bernilai 0 (nol).

𝐴 = 0 0 0 = ∅ 𝐴 =

0 0 0

= ∅

7

(10)

A l j a b a r L i n e a r 1 m. Matriks Konyugat

Yaitu matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengganti tiap elemen dengan konyugantnya (sekawannya).

𝐴 = 𝑎 + 𝑏_𝑖 𝑖

𝑎 𝑎 − 𝑏_𝑖 𝐴 = 𝑎 − 𝑏_𝑖 −𝑖 𝑎 𝑎 + 𝑏_𝑖

Teorema:

Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks memadai sehingga dapat dilakukannya operasi yang ditunjukkan, maka aturan-aturan berikut akan sahih:

a. 𝐴 + ∅ = 𝐴 b. 𝐴 − 𝐴 = ∅ c. ∅ − 𝐴 = −𝐴 d. 𝐴 x ∅ = ∅ e. ∅ x 𝐴 = ∅

3. Operasi pada Matriks

a. Sifat-sifat pada Penjumlahan Matriks

Jika A, B, dan C merupakan matriks yang berordo sama, dan k, l adalah skalar dengan k, l ϵ R, maka penjumlahan dan perkalian skalar dengan matriks memenuhi sifat berikut:

a) A + B = B + A Bukti:

Ambil sembarang matriks A, B ϵ M_mxn yaitu:

𝐴 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ … 𝑎_1𝑛 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ … 𝑎_2𝑛

⋮ 𝑎_𝑚1

⋮ 𝑎_𝑚2 …

⋮ 𝑎_𝑚𝑛

dimana 𝑎₁₁, 𝑎₁₂, … , 𝑎_𝑚𝑛𝜖 𝑅

𝐵 =

𝑏₁₁ 𝑏₁₂ … 𝑏_1𝑛 𝑏₂₁ 𝑏₂₂ … 𝑏_2𝑛

⋮ 𝑏_𝑚1

⋮ 𝑏_𝑚2 …

⋮ 𝑏_𝑚𝑛

dimana 𝑏₁₁, 𝑏₁₂, … , 𝑏_𝑚𝑛𝜖 𝑅

Maka:

𝐴 + 𝐵 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ … 𝑎_1𝑛 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ … 𝑎_2𝑛

⋮ 𝑎_𝑚1

⋮ 𝑎_𝑚2 …

⋮ 𝑎_𝑚𝑛

+

𝑏₁₁ 𝑏₁₂ … 𝑏_1𝑛 𝑏₂₁ 𝑏₂₂ … 𝑏_2𝑛

⋮ 𝑏_𝑚1

⋮ 𝑏_𝑚2 …

⋮ 𝑏_𝑚𝑛

8

(11)

A l j a b a r L i n e a r 1 𝐴 + 𝐵 =

𝑎₁₁ + 𝑏₁₁ 𝑎₁₂+ 𝑏₁₂ … 𝑎_1𝑛+ 𝑏_1𝑛 𝑎₂₁ + 𝑏₂₁ 𝑎₂₂+ 𝑏₂₂ … 𝑎_2𝑛+ 𝑏_2𝑛

⋮ 𝑎_𝑚1+ 𝑏_𝑚1

⋮

𝑎_𝑚2+ 𝑏_𝑚2 …

⋮ 𝑎_𝑚𝑛 + 𝑏_𝑚𝑛

𝐵 + 𝐴 =

𝑏₁₁ + 𝑎₁₁ 𝑏₁₂ + 𝑎₁₂ … 𝑏_1𝑛 + 𝑎_1𝑛 𝑏₂₁ + 𝑎₂₁ 𝑏₂₂ + 𝑎₂₂ … 𝑏_2𝑛 + 𝑎_2𝑛

⋮ 𝑏_𝑚1+ 𝑎_𝑚1

⋮

𝑏_𝑚2+ 𝑎_𝑚2 …

⋮ 𝑏_𝑚𝑛 + 𝑎_𝑚𝑛

𝐵 + 𝐴 =

𝑏₁₁ 𝑏₁₂ … 𝑏_1𝑛 𝑏₂₁ 𝑏₂₂ … 𝑏_2𝑛

⋮ 𝑏_𝑚1

⋮ 𝑏_𝑚2 …

⋮ 𝑏_𝑚𝑛

+

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ … 𝑎_1𝑛 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ … 𝑎_2𝑛

⋮ 𝑎_𝑚1

⋮ 𝑎_𝑚2 …

⋮ 𝑎_𝑚𝑛

𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴

b) (A + B) + C = A + (B + C) Bukti:

Ambil sembarang matriks A, B, dan C ϵ Mmxn, yaitu:

𝐴 =

𝑎₁₁ … 𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

𝑎_𝑚1 … 𝑎_𝑚𝑛

𝐵 =

𝑏₁₁ … 𝑏_1𝑛

⋮ ⋮

𝑏_𝑚1 … 𝑏_𝑚𝑛

𝐶 =

𝑐₁₁ … 𝑐_1𝑛

⋮ ⋮

𝑐_𝑚1 … 𝑐_𝑚𝑛

dimana 𝑐₁₁, 𝑐₁₂, … , 𝑐_𝑚𝑛𝜖 𝑅 Maka:

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =

𝑎₁₁ … 𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

𝑎_𝑚1 … 𝑎_𝑚𝑛 +

𝑏₁₁ … 𝑏_1𝑛

⋮ ⋮

+

𝑐₁₁ … 𝑐_1𝑛

⋮ ⋮

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =

𝑎₁₁+ 𝑏₁₁ … 𝑎_1𝑛 + 𝑏_1𝑛

⋮ ⋮

𝑎_𝑚1+ 𝑏_𝑚1 … 𝑎_𝑚𝑛 + 𝑏_𝑚𝑛 +

𝑐₁₁ … 𝑐_1𝑛

⋮ ⋮

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =

𝑎₁₁+ 𝑏₁₁ + 𝑐₁₁ … 𝑎_1𝑛 + 𝑏_1𝑛+ 𝑐_1𝑛

⋮ ⋮

𝑎_𝑚1+ 𝑏_𝑚1+ 𝑐_𝑚1 … 𝑎_𝑚𝑛 + 𝑏_𝑚𝑛 + 𝑐_𝑚𝑛

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =

𝑎₁₁ … 𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

𝑎_𝑚1 … 𝑎_𝑚𝑛 +

𝑏₁₁+ 𝑐₁₁ … 𝑏_1𝑛 + 𝑐_1𝑛

⋮ ⋮

𝑏_𝑚1+ 𝑐_𝑚1 … 𝑏_𝑚𝑛 + 𝑐_𝑚𝑛

9

(12)

A l j a b a r L i n e a r 1 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =

𝑎₁₁ … 𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

+

𝑏₁₁ … 𝑏_1𝑛

⋮ ⋮

𝑏_𝑚1 … 𝑏_𝑚𝑛 +

𝑐₁₁ … 𝑐_1𝑛

⋮ ⋮

𝑐_𝑚1 … 𝑐_𝑚𝑛 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)

c) (k + l) A = kA + lA Bukti:

Ambil sembarang matriks A ϵ Mmxn dan bilangan real (k,l) 𝐴 =

𝑎₁₁ … 𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

Maka:

𝑘 + 𝑙 𝐴 = (𝑘 + 𝑙)

𝑎₁₁ … 𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

𝑘 + 𝑙 𝐴 =

(𝑘 + 𝑙)𝑎₁₁ … (𝑘 + 𝑙)𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

(𝑘 + 𝑙)𝑎_𝑚1 … (𝑘 + 𝑙)𝑎_𝑚𝑛

𝑘 + 𝑙 𝐴 =

𝑘𝑎₁₁ + 𝑙𝑎₁₁ … 𝑘𝑎_1𝑛 + 𝑙_1𝑛

⋮ ⋮

𝑘𝑎_𝑚1+ 𝑙𝑎_𝑚1 … 𝑘𝑎_𝑚𝑛 + 𝑙_𝑚𝑛

𝑘 + 𝑙 𝐴 =

𝑘𝑎₁₁ … 𝑘𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

𝑘𝑎_𝑚1 … 𝑘𝑎_𝑚𝑛 +

𝑙𝑎₁₁ … 𝑙𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

𝑙𝑎_𝑚1 … 𝑙𝑎_𝑚𝑛

𝑘 + 𝑙 𝐴 = 𝑘

𝑎₁₁ … 𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

𝑎_𝑚1 … 𝑎_𝑚𝑛 + 𝑙

𝑎₁₁ … 𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

𝑎_𝑚1 … 𝑎_𝑚𝑛 𝑘 + 𝑙 𝐴 = 𝑘𝐴 + 𝑙𝐴

d) k (A + B) = kA + kB Bukti:

Ambil sembarang matriks A, B ϵ Mmxn dan k bilangan Real, yaitu:

𝐴 =

𝑎₁₁ … 𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

𝐵 =

𝑏₁₁ … 𝑏_1𝑛

⋮ ⋮

10

(13)

A l j a b a r L i n e a r 1 Maka:

𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘

𝑎₁₁ … 𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

𝑎_𝑚1 … 𝑎_𝑚𝑛 +

𝑏₁₁ … 𝑏_1𝑛

⋮ ⋮

𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘

𝑎₁₁+ 𝑏₁₁ … 𝑎_1𝑛 + 𝑏_1𝑛

⋮ ⋮

𝑎_𝑚1+ 𝑏_𝑚1 … 𝑎_𝑚𝑛 + 𝑏_𝑚𝑛

𝑘(𝐴 + 𝐵) =

𝑘(𝑎₁₁+ 𝑏₁₁) … 𝑘(𝑎_1𝑛 + 𝑏_1𝑛)

⋮ ⋮

𝑘(𝑎_𝑚1+ 𝑏_𝑚1) … 𝑘(𝑎_𝑚𝑛 + 𝑏_𝑚𝑛)

𝑘(𝐴 + 𝐵) =

𝑘𝑎₁₁ + 𝑘𝑏₁₁ … 𝑘𝑎_1𝑛+ 𝑘𝑏_1𝑛

⋮ ⋮

𝑘𝑎_𝑚1+ 𝑘𝑏_𝑚1 … 𝑘𝑎_𝑚𝑛 + 𝑘𝑏_𝑚𝑛

𝑘(𝐴 + 𝐵) =

𝑘𝑎₁₁ … 𝑘𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

𝑘𝑎_𝑚1 … 𝑘𝑎_𝑚𝑛

𝑘𝑏₁₁ … 𝑘𝑏_1𝑛

⋮ ⋮

𝑘𝑏_𝑚1 … 𝑘𝑏_𝑚𝑛

𝑘 𝐴 + 𝐵 = 𝑘

𝑎₁₁ … 𝑎_1𝑛

⋮ ⋮

+ 𝑘

𝑏₁₁ … 𝑏_1𝑛

⋮ ⋮

𝑏_𝑚1 … 𝑏_𝑚𝑛 𝑘 𝐴 + 𝐵 = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵

b. Jika matriks A, B, dan C adalah matriks-matriks yang memadai untuk dilakukannya perkalian matriks, maka memenuhi sifat-sifat berikut:

a) (AB)C = A(BC) b) (A + B) C = AC + BC c) A (B + C) = AB + AC

4. Transpos Matriks Definisi:

Jika A adalah sembarang matriks m x n, maka transpos A dinyatakan dengan A^t adalah matriks n x m yang kolom pertamanya sama dengan baris pertama matriks A, kolom kedua sama dengan baris kedua matriks A, dan seterusnya.

11

(14)

A l j a b a r L i n e a r 1 Contoh:

1. Tentukan transpos dari matriks berikut!

𝐴 = 2 3 4 1 0 5 Penyelesaian:

Diketahui matriks 𝐴 = 2 3 4

1 0 5 , maka transposnya yaitu:

𝐴^𝑡 = 2 1 3 0 4 5

Definisi:

Jika A matriks berordo n x n dan A = A^t, maka A disebut Matriks Simetris.

Contoh:

𝐴 = 1 2

2 1 , maka 𝐴^𝑡 = 1 2 2 1 𝐵 =

2 −5 8

−5 4 7

8 7 0

, maka 𝐴^𝑡 =

2 −5 8

−5 4 7

8 7 0

Teorema:

a) (A^t)^t = A

b) (A + B)^t = A^t + B^t, jika A, B ϵ Mmxn

c) (kA)^t = kA^t, dengan sembarang skalar k ϵ R

d) (AB)^t = B^tA^t, jika A matriks m x n dan B matriks n x r

5. Invers Matriks Definisi:

Jika A adalah matriks persegi, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A.

(A^-1 = B)

12

(15)

A l j a b a r L i n e a r 1 a) Matriks Singular

Yaitu matriks persegi yang tidak mempunyai invers.

b) Matriks Non-Singular

Yaitu matriks persegi yang mempunyai invers.

Contoh:

Apakah matriks berikut saling invers?

1. 𝐴 = 2 4

3 1 dengan 𝐵 = − ¹

10 3 5 3

10 −¹

5

2. 𝐴 = 3 5

1 2 dengan 𝐵 = 2 −5 1 3

Penyelesaian:

1. 𝐴 x 𝐵 = 2 4 3 1 − ¹

10 3 5 3

10 −¹

5

𝐴 x 𝐵 =

1 2

5

0 8

5

𝐴 x 𝐵 ≠ 𝐼

Jadi, matriks A dan B tidak saling invers.

2. 𝐴 x 𝐵 = 3 5

1 2 2 −5

1 3 𝐴 x 𝐵 = 1 0

0 1 𝐴 x 𝐵 = 𝐼

𝐵 x 𝐴 = 2 −5

1 3 3 5 1 2 𝐵 x 𝐴 = 1 0

0 1 𝐵 x 𝐴 = 𝐼 Jadi, matriks A dan B saling invers.

13

(16)

A l j a b a r L i n e a r 1 Latihan:

1. Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut!

𝐵 =

4 3 2

1 −1 0

0 5 1

𝐶 = 2 5 4

𝐷 =

1 2 3

2 0 5

3 5 1

𝐸 = 4

2. Carilah invers dari masing-masing matriks berikut (jika ada) ! a. 𝐴 = −1 0

0 2 b. 𝐴 = 1 1

−1 1

Penyelesaian:

...

14

(17)

A l j a b a r L i n e a r 1 C. Sistem Persaman Linear

1. Pendahuluan

a. Sebuah persamaan linear dengan n peubah dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑎₁𝑥₁+ 𝑎₂𝑥₂+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏

b. Sistem persamaan linear dengan n peubah dan m persamaan linear dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑎₁₁𝑥₁+ 𝑎₁₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_1𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₁ 𝑎₂₁𝑥₁+ 𝑎₂₂𝑥₂+ ⋯ + 𝑎_2𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₂

: :

𝑎_𝑚1𝑥₁+ 𝑎_𝑚2𝑥₂+ ⋯ + 𝑎_𝑚𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏_𝑚

c. Diagram penyelesaian Sistem Persamaan Linear :

d. Untuk menyelesaikan suatu SPL dapat digunakan metode sebagai berikut:

1) Metode Eliminasi

Yaitu menghilangkan atau mengeliminasi salah satu peubah dengan cara menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lain.

2) Metode Substitusi

Yaitu mengganti atau mensubstitusi suatu peubah berdasarkan nilai peubah tersebut pada persamaan yang lain.

SPL

Memiliki Solusi (Konsisten)

Tunggal Banyak Solusi

Tidak Memiliki Solusi (Tidak Konsisten)

15

(18)

A l j a b a r L i n e a r 1 Contoh:

Diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut:

x + 2y = 1 2x – y = 7

Tentukan solusinya dengan:

a. Metode Eliminasi b. Metode Substitusi

Penyelesaian:

a. Metode Eliminasi 𝑥 + 2𝑦 = 1 2𝑥 − 𝑦 = 7

x 2 x 1

2𝑥 + 4𝑦 = 2

2𝑥 − 𝑦 = 7 5𝑦 = −5 𝑦 = −1

𝑥 + 2𝑦 = 1 2𝑥 − 𝑦 = 7

x 1 x 2

𝑥 + 2𝑦 = 1 4𝑥 − 2𝑦 = 14

5𝑥 = 15 𝑥 = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya (HP) = {3, -1}

b. Metode Substitusi 𝑥 + 2𝑦 = 1 ... (1)

𝑥 = 1 − 2𝑦 ... (2) 2𝑥 − 𝑦 = 7 ... (3)

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (3) : 2𝑥 − 𝑦 = 7

2(1 − 2𝑦 ) − 𝑦 = 7 2 − 4𝑦 − 𝑦 = 7

2 − 5𝑦 = 7

−5𝑦 = 5

𝑦 = −1 ... (4)

16

(19)

A l j a b a r L i n e a r 1 Substitusikan persamaan (4) ke persaman (2) :

𝑥 = 1 − 2𝑦 𝑥 = 1 − 2(−1) 𝑥 = 1 + 2 𝑥 = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) = {3,-1}

2. Eliminasi Gauss – Jordan

Yaitu suatu metode untuk menentukan solusi suatu persamaan linear dengan cara mengubah suatu SPL dalam bentuk persamaan matriks kemudian mereduksi matriks yang bersesuaian dengan SPL tersebut menjadi bentuk Matriks Eselon Tereduksi.

Matriks Eselon Tereduksi adalah matriks yang memenuhi 4 syarat, yaitu:

a. Bilangan tak nol pertama dan setiap baris adalah 1 ( 1 utama).

b. Kolom yang memuat 1 utama hanya memuat nol di tempat lainnya.

c. 1 utama pada baris yang lebih bawah terletak lebih kanan dari pada baris diatasnya.

d. Bila terdapar baris nol maka letaknya pada baris bagian bawah matriks.

Untuk mendapatkan bentuk Eselon baris tereduksi diperlukan Operasi Baris Elementer (OBE) yang terdiri dari 3 operasi, yaitu:

a. Mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta k ≠ 0.

b. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

c. Mempertukarkan 2 buah baris.

Contoh:

Diketahui SPL sebagai berikut:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5

Selesaikan SPL tersebut dengan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)!

17

(20)

A l j a b a r L i n e a r 1 Penyelesaian:

𝐴. 𝑥 = 𝑏

1 1 1

2 1 −1

1 −1 2

𝑥 𝑦 𝑧

= 6 1 5 Matriks diperbesar:

𝐴 𝑏 =

1 1 1

2 1 −1

1 −1 2

6 1 5

𝑥

𝑦 𝑧

=

1 1 1

2 1 −1

1 −1 2

6 1 5

≈ −2𝑏₁ + 𝑏₂

≈ −𝑏₁+ 𝑏₃ 𝑥

𝑦 𝑧

=

1 1 1

0 −1 −3

0 −2 1

6

−11

−1

≈ −𝑏₂ 𝑥

𝑦 𝑧

=

1 1 1

0 1 3

0 −2 1 6 11

−1

≈ −𝑏₂+ 𝑏₁

≈ 2𝑏₂+ 𝑏₃ 𝑥

𝑦 𝑧

=

1 0 −2

0 1 3

0 0 7

−5 11 21 ≈1

7𝑏₃ 𝑥

𝑦 𝑧

=

1 0 −2

0 1 3

0 0 1

−5 11 3

≈ 2𝑏₃ + 𝑏₁

−3𝑏₃+ 𝑏₂ 𝑥

𝑦 𝑧

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 2 3

𝑥

𝑦 𝑧

= 1 2 3

Jadi, Himpunan penyelesaiaannya (HP) = {1,2,3}

Catatan:

a. SPL memiliki solusi tunggal jika banyaknya 1 utama pada matriks eselon baris tereduksi = banyaknya variabel.

b. SPL memiliki solusi tak hingga jika n (1 utama) < n (variabel).

c. SPL tidak memiliki solusi jika pada matriks eselon baris tereduksi terdapat 1 utama pada kolom paling kanan.

18

(21)

A l j a b a r L i n e a r 1 3. SPL Homogen

Yaitu bentuk khusus dari SPL 𝐴𝑋 = 𝑏 adalah bentuk khusus untuk 𝑏 = 𝜃 (nol) atau bisa dituliskan sebagai 𝐴𝑋 = 𝜃 .

Solusi SPL Homogen : a. Trivial

Yaitu bila SPL Homogen hanya memiliki 𝑋 = 𝜃 sebagai satu-satunya solusi.

b. Tak Trivial

Yaitu bila SPL Homogen memiliki solusi selain 𝑋 = 𝜃 .

Contoh:

Tentukan solusi SPL Homogen dengan matriks koefisien!

𝐴 =

2 −1 1

1 1 −1

4 1 −1

Penyelesaian:

𝐴. 𝑋 = 𝜃

2 −1 1

1 1 −1

4 1 −1

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ =

0 0 0

Matriks diperbesar:

𝐴 𝑏 =

2 −1 1

1 1 −1

4 1 −1

0 0 0

𝑥₁

𝑥₂ 𝑥₃

=

2 −1 1

1 1 −1

4 1 −1

0 0 0

tukar baris ke-1 dengan baris ke-2 𝑥₁

𝑥₂ 𝑥₃ =

1 1 −1

2 −1 1

4 1 −1

0 0 0

≈ −2𝑏₁+ 𝑏₂

≈ −4𝑏₁+ 𝑏₃ 𝑥₁

𝑥₂ 𝑥₃

=

1 1 −1

0 −3 3

0 0 0

≈ −1 3𝑏₂ 𝑥₁

𝑥₂ 𝑥₃ =

1 1 −1

0 1 −1

0 −3 3

0 0 0

≈ −𝑏₂+ 𝑏₁

≈ 3𝑏₂+ 𝑏₃

19

(22)

A l j a b a r L i n e a r 1 𝑥₁

𝑥₂ 𝑥₃ =

1 0 0

0 1 −1

0 0 0

Di dapat:

𝑥₁ = 0 𝑥₂− 𝑥₃ = 0 𝑥₂ = 𝑥₃ Misal:

𝑥₁ = 𝑎 , 𝑎 𝜖 𝑅

Maka:

𝑥₁ = 0 𝑥₂ = 𝑎 𝑥₃ = 0

Jadi, solusi SPL tak trivial.

Latihan:

1. Diketahui SPL sebagai berikut:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2 𝑥 − 2𝑧 = 1

Tentukan solusinya dengan metode campuran eliminasi dan substitusi!

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3 4𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 8

Tentukan solusi untuk SPL tersebut dengan EGJ!

3. Diketahui SPL dalam bentuk matrik sebagai berikut:

3 2 1 1

2 2 4 2

1 0 −3 −1

𝑤𝑥

𝑦 𝑧

=

−2 3

−5

4. Diketahui SPL dalam bentuk matrik sebagai berikut:

2 3 1

1 2 1

3 2 1

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ =

−2 0 2

20

(23)

A l j a b a r L i n e a r 1 5. Diketahui SPL dalam bentuk matrik sebagai berikut:

3 1 4

−1 2 3

1 −3 −2

𝑥 𝑦 𝑧

=

−2 1

−4

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2

−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 3 𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 5

7. Diketahui matriks 𝐴 =

3 2 2

2 2 3

1 2 4

. Tentukan solusi SPL Homogen tersebut dengan matriks koefisien!

Penyelesaian :

...

21

(24)

BAB II DETERMINAN

A. Pengertian Determinan Definisi:

Determinan merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada matriks persegi.

Determinan A didefinisikan sebagai jumlah hasil kali elementer bertanda dari Anxn

yang berbentuk:

𝑎_{1𝑗 1}, 𝑎_{2𝑗 2}… … 𝑎_𝑛𝑗𝑛

dengan 𝑗1, 𝑗2, … … , 𝑗𝑛 merupakan permutasi dari himpunan {1,2,.... n)

Hasil kali elementer 𝑎_{1𝑗 1}, 𝑎_{2𝑗 2}… … 𝑎_𝑛𝑗𝑛 akan bertanda positif jika banyaknya invers (bilangan bulat kecil yang didahului oleh bilangan bulat lebih besar pada permutasi) adalah genap. Sedangkan 𝑎_{1𝑗 1}, 𝑎_{2𝑗 2}… … 𝑎_𝑛𝑗𝑛bertanda negatif jika banyaknya invers adalah ganjil.

Determinan Anxn dinotasikan dengan:

det 𝐴 = 𝐴 = 𝐴 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ … 𝑎_1𝑛 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ … 𝑎_2𝑛

⋮ ⋮

𝑎_𝑚1 𝑎_𝑚2 …

⋮ 𝑎_𝑚𝑛

Contoh:

Hitunglah determinan dari:𝐴 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂

Penyelesaian:

Permutasi Hasil Kali Elementer Banyak Invers Tanda (1,2)

(2,1)

𝑎₁₁dan 𝑎₁₂ 𝑎₁₂dan 𝑎₂₁

0 1

det 𝐴 = 𝐴 = 𝐴 = 𝑎₁₁. 𝑎₂₂ − 𝑎₁₂. 𝑎₂₁

22

(25)

A l j a b a r L i n e a r 1 B. Metode Perhitungan Determinan

1. Metode Ekspansi Kofaktor

a. Ekspansi Kofaktor sepanjang baris i

𝐴 = 𝑎_𝑖1𝑀_𝑖1− 𝑎_𝑖2𝑀_𝑖1+ ⋯ + 𝑎_𝑖𝑛𝑀_𝑖𝑛 dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 b. Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom j

𝐴 = 𝑎_1𝑗𝑀_1𝑗 − 𝑎_2𝑗𝑀_2𝑗 + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑗𝑀_𝑛𝑗 dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

M_ij (Minor elemen i, j) yaitu determinan matriks A yang sudah dihilangkn baris ke-i dan kolom ke-j nya. Pemilihan baris ke-i dan kolom ke-j bebas.

Tanda (+) atau (-) di depan aij.Mij didasarkan pada:

1) Jika i + j ϵ genap, maka tanda (+).

2) Jika i + j ϵ ganjil, maka tanda (-).

Contoh:

Hitunglah determinan dari matriks 𝐴 =

2 3 4

3 2 3

1 2 2

dengan ekspansi kofaktor baris dan kolom!

Penyelesaian:

a. Ekspansi Kofaktor baris ke-2:

𝐴 =

2 3 4

3 2 3

1 2 2

𝐴 = −3 3 4

2 2 + 2 2 4

1 2 − 3 2 3 1 2 𝐴 = −3 6 − 8 + 2 4 − 4 − 3(4 − 3) 𝐴 = −3 −2 + 2 0 − 3(1)

𝐴 = 6 + 0 − 3 𝐴 = 3

b. Ekspansi Kofaktor kolom ke-3:

𝐴 =

2 3 4

3 2 3

1 2 2

𝐴 = 4 3 2

1 2 − 3 2 3

1 2 + 2 2 3 3 2 𝐴 = 4 6 − 2 − 3 4 − 3 + 2(4 − 9)

23

(26)

A l j a b a r L i n e a r 1 𝐴 = 4 4 − 3 1 + 2(−5)

𝐴 = 16 − 3 − 10 𝐴 = 3

2. Metode Reduksi Baris

Bila A adalah matriks segitiga atau berukuran n x n

𝐴 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ … 𝑎_1𝑛 0 𝑎₂₂ … 𝑎_2𝑛

⋮ ⋮

0 0 …

⋮ 𝑎_𝑚𝑛

Maka 𝐴 yang dihitung dengan mengunakan ekspansi sepanjang kolom ke-1 akan diperoleh:

𝐴 = 𝑎₁₁𝑎₁₂… 𝑎_𝑛𝑛

Metode reduksi baris memiliki prinsip mengubah bentuk matriks menjadi matriks segitiga atas dengan melakukan OBE (Operas Baris Elementer). OBE pada matriks akan mempengaruhi nilai determinan untuk operasi:

1) Jika menukarkan dua baris maka determinannya bernilai (-). Untuk mengembalikan determinan ke nilai semua, kalikan determinan matriks dengan (-1).

2) Jika suatu baris dikali k ≠ 0 maka nilai determinan menjadi k kali determinan semula. Agar nilai determinan tetap, maka kalikan determinan dengan ¹

𝑘. Contoh:

Hitunglah determinan untuk matriks 𝐴 =

2 3 4

3 2 3

1 2 2

Penyelesaian:

𝐴 =

2 3 4

3 2 3

1 2 2

menukar baris 1 dengan baris 3.

𝐴 =

2 3 4

3 2 3

1 2 2

= (−1)

1 2 2

3 2 3

2 3 4

≈ −3𝑏₁+ 𝑏₂

≈ −2𝑏₁+ 𝑏₃

24

(27)

A l j a b a r L i n e a r 1 𝐴 =

2 3 4

3 2 3

1 2 2

= (−1)

1 2 2

0 −4 −3

0 −1 0

≈ −1 4𝑏₂

𝐴 =

2 3 4

3 2 3

1 2 2

= −1 (−4)

1 2 2

0 1 3

4

0 −1 0

𝐴 =

2 3 4

3 2 3

1 2 2

= 4

1 2 2

0 1 3

4

0 −1 3 4

𝐴 =

2 3 4

3 2 3

1 2 2

= 4(1 x 1 x 3 4) 𝐴 =

2 3 4

3 2 3

1 2 2

= 3

C. Sifat-sifat Determinan

1. Jika Anxn matriks diagonal maka 𝐴 adalah perkalian elemen pada diagonal utamanya.

𝐴_3x3 =

𝑎 0 0

0 𝑏 0

0 0 𝑐

→ 𝐴 = 𝑎. 𝑏. 𝑐

2. Jika A_nxn matriks segitiga atas / bawah maka 𝐴 adalah perkalian elemen pada diagonal utamanya.

𝐴_3x3 =

𝑎 𝑏 𝑐

0 𝑑 𝑒

0 0 𝑓

→ 𝐴 = 𝑎. 𝑑. 𝑓

3. Jika ada baris / kolom dari Anxn yang semua elemennya nol, maka 𝐴 = 0.

𝐴_3x3 =

𝑎 𝑏 𝑐

0 0 0

𝑑 𝑒 𝑓

→ 𝐴 = 0

4. Jika ada 2 baris / 2 kolom / kelipatannya pada Anxn , maka 𝐴 = 0.

𝐴_3x3 =

1 2 3

0 4 1

1 2 3

→ 𝐴 = 0

𝐴_3x3 =

1 2 3

2 0 6

−1 5 −3 ≈ 𝑘₃ = 3𝑘₁

→ 𝐴 = 0

25

(28)

A l j a b a r L i n e a r 1 𝐴_3x3 =

1 2 3

2 4 6

−1 −1 2

𝑏₂ = 2𝑏₁ → 𝐴 = 0 5. 𝐴^𝑡 = 𝐴

6. 𝐴𝐵 = 𝐴 𝐵

7. Jika suatu baris pada Anxn dikali dengan 𝑘 𝜖 𝑅 maka determinan matriks barunya 𝑘 𝐴

8. Jika A_nxn maka 𝑘𝐴 = 𝑘^𝑛 𝐴

9. Apabila dua buah baris suatu matriks dipertukarkan maka 𝐴₁ = 𝐴 .

Latihan :

1. Hitunglah determinan dari matriks𝐴 =

2 0 2 2

1 2 3 1

3 0 2 1

2 3

dengan ekspansi kofaktor

baris dan kolom!

Penyelesaian:

...

26

(29)

BAB III

INVERS MATRIKS

A. Pengertian Invers Matriks Definisi:

Bila A adalah matriks persegi berukuran n x n yang memiliki determinan tidak sama dengan nol, maka invers matriks A (dinotasikan dengan A^-1) didefinisikan sebagai matriks yang memenuhi persamaan:

AA^-1 = A^-1A = I

Dengan I = matriks identitas berukuran n x n.

Invers suatu matriks adalah tunggal.

Apabila 𝐴 = 0 maka A tidak mempunyai invers.

Contoh:

Tentukan invers dari matriks 𝐴 =

3 0 1

0 2 1

2 5 3

! Penyelesaian:

𝐴 𝐼 =

3 0 1 0 2 1 2 5 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

≈¹

3𝑏₁

𝐴 𝐼 =

1 0 1

3

0 2 1

2 5 3

1 3 0 0

0 1 0

0 0 1 ≈ −2𝑏₁+ 𝑏₃

𝐴 𝐼 =

1 0 1

3

0 2 1

0 5 7

3

1 3 0 0

0 1 0

− 2 3 0 1

≈ 1 2𝑏₂

𝐴 𝐼 =

1 0 1 3 0 1 1 2 0 5 7 3

1 3 0 0

0 1

2 0

− 2 3 0 1 ≈ −5𝑏₂+ 𝑏₃

27

(30)

A l j a b a r L i n e a r 1 𝐴 𝐼 =

1 0 1

3

0 1 1

2 0 0 − 1 6

1 3 0 0

0 1

2 0

− 2 3 − 5 2 1 ≈ −6𝑏₃

𝐴 𝐼 =

1 0 1

3

0 1 1

2

0 0 1

1 3 0 0

0 1

2 0

4 15 −6

≈ −1

3𝑏₃+ 𝑏₁

≈ −1

2𝑏₃ + 𝑏₂

𝐴 𝐼 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

−1 −5 2

−2 −7 3

4 15 −6

𝐴 𝐼 = 𝐼 𝐴⁻¹

Jadi, 𝐴⁻¹ =

−1 −5 2

−2 −7 3

4 15 −6

B. Matriks Adjoint

Matriks Adjoint didefinisikan sebagai matriks C_ij transpos dengan C_ij adalah kofaktor elemen i,j.

Invers matriks A memiliki rumusan:

𝐴⁻¹ = 1

𝐴 𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝐴⁻¹ = 1

𝐴 𝐴𝑑𝑗(𝐶_𝑖𝑗) Dengan C_ij = (-1)^i+j.M_ij

Contoh:

Dengan mengunakan Adjoint matriks, tentukan invers dari 𝐴 =

3 0 1 0 2 1 2 5 3 Penyelesaian:

𝐶₁₁ = (−1)¹⁺¹ 2 1

5 3 = 6 − 5 = 1 𝐶₁₂ = (−1)¹⁺² 0 1

2 3 = −(0 − 2) = 2 𝐶₁₃ = (−1)¹⁺³ 0 2

2 5 = 0 − 4 = −4 𝐶₂₁ = (−1)²⁺¹ 0 1

5 3 = −(0 − 5) = 5

28

(31)

A l j a b a r L i n e a r 1 𝐶₂₂ = (−1)²⁺² 3 1

2 3 = 9 − 2 = 7 𝐶₂₃ = (−1)²⁺³ 3 0

2 5 = − 15 − 0 = −15 𝐶₃₁ = (−1)³⁺¹ 0 1

2 1 = 0 − 2 = −2 𝐶₃₂ = (−1)³⁺² 3 1

0 1 = −(3 − 0) = −3 𝐶₃₃ = (−1)³⁺³ 3 0

0 2 = 6 − 0 = 6

Didapat 𝐶_𝑖𝑗 =

1 2 −4

5 7 −15

−2 −3 6

𝑡

Dan 𝐴𝑑𝑗 𝐴 =

1 5 −2

2 7 −3

−4 −15 6

Maka 𝐴 = 3 2 1

5 3 + 1 0 2

2 5 = 3 6 − 5 + 0 − 4 = −1 Sehingga 𝐴⁻¹ = ¹

−1

1 5 −2

2 7 −3

−4 −15 6

=

−1 −5 2

−2 −7 3

4 15 −6

C. Sifat –sifat Invers Matriks 1. (AB)^-1 = B^-1.A^-1

2. (A^-1)^-1 = A 3. A^-1.A = I

Menentukan solusi SPL dengan menggunakan invers matriks, pandang persamaan:

A.x = b , dengan A^-1 ada A.A^-1.x = A^-1.b

I.x = A^-1.b x = A^-1.b

29

(32)

A l j a b a r L i n e a r 1 Jika Anxn dan memiliki invers A^-1, maka:

1. Jika B adalah matriks A^-1 yang kolom baris ke-i dan ke-j dipertukarkan maka B^-1 adalah A^-1 yang kolom ke-i dan ke-j juga dipertukarkan.

2. Jika C adalah matriks A yang baris ke-i dikali k, maka C^-1 adalah A^-1 yang kolom ke-i dikali ¹

𝑘.

Contoh:

1. Tentukan solusi SPL berikut dengan persamaan Ax = b!

3 0 1

0 2 1

2 5 3

𝑥 𝑦 𝑧

= 2 3 4 Penyelesaian:

Dari perhitungan sebelumnya diperoleh 𝐴⁻¹ =

−1 −5 2

−2 −7 3

4 15 −6

sehingga:

𝑥 𝑦 𝑧

= 𝐴⁻¹𝑏 𝑥

𝑦 𝑧

=

−1 −5 2

−2 −7 3

4 15 −6

2 3 4

𝑥

𝑦 𝑧

=

−2 − 15 + 8

−4 − 21 + 12 8 + 45 − 24

𝑥

𝑦 𝑧

=

−9 13 29

Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) = {-9,13,29}

2. Tentukan invers dari matriks-matriks berikut!

𝐴 =

3 0 1

0 2 1

2 5 3

Penyelesaian:

𝐴 =

3 0 1

0 2 1

2 5 3

→ 𝐴⁻¹ =

−1 −5 2

−2 −7 3

4 15 −6

30

(33)

A l j a b a r L i n e a r 1 D. Hubungan Invers Matriks, Determinan, dan Solusi SPL

Pada suatu SPL Ax = b dengan A matriks persegi, terdapat hubungan antara keberadaan 𝐴⁻¹, 𝐴 , dan jenis solusi SPLnya, yaitu:

1. A^-1 ada jika dan hanya jika 𝐴 ≠ 0, maka SPL memiliki solusi tungal.

2. A^-1 tidak ada jika dan hanya jika 𝐴 = 0, maka SPL memiliki solusi tak hingga, solusi banyak, dan tidak ada solusi.

Latihan:

1. Tentukan invers dari matriks-matriks berikut:

𝐵 =

3 0 1

2 5 3

0 2 1

dan 𝐶 =

3 0 1

0 4 2

2 5 3

2. Tentukan invers matriks 𝐴 =

1 4 2

0 2 1

2 3 2

dengan menggunakan:

a. Eliminasi Gauss-Jordan b. Matriks Adjoint

3. Tentukan solusi SPL berikut:

2 1 2

2 3 1

1 1 0

𝑥 𝑦 𝑧

= 3 2 1

Penyelesaian:

...

31