BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
A. Bilangan Kompleks
Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan yang terjadi secara bertahap. Perkembangan tersebut berawal dari adanya bilangan asli, bilangan bulat, bilangan real hingga bilangan yang cakupannya lebih luas yakni bilangan kompleks.
Bilangan kompleks merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan real dan imajiner. Bilangan kompleks pada dasarnya merupakan bentuk penyelesaian dari persamaan . Berdasarkan persamaan tersebut, tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan sehingga . Untuk menghendaki adanya penyelesaian dari persamaan tersebut dan yang sejenisnya, maka himpunan bilangan kompleks diperkenalkan.
Suatu bilangan kompleks dinotasikan dengan bentuk , dengan dan anggota bilangan real dan dinamakan satuan khayal (imaginary unit) dengan
.
Jika terdapat , maka dinamakan bagian real dari atau Re( ) dan dinamakan bagian khayal dari atau Im( ). Lambang z disebut dengan peubah kompleks. Dalam hal ini, bilangan real dapat dipandang sebagai bagian dari himpunan bilangan kompleks dengan Jika ,
Kompleks sekawan atau conjugate dari suatu bilangan kompleks adalah ̅ . (Spigel, 1964)
1. Operasi Dasar Bilangan Kompleks
Operasi-operasi dasar pada bilangan kompleks dapat diselesaikan seperti operasi pada bilangan real, dengan .
a) Penjumlahan ( ) ( ) ( ) ( ) b) Pengurangan ( ) ( )
( ) ( ) c) Perkalian ( )( )
( ) ( ) d) Pembagian
( )
( ) 2. Sifat-sifat pada operasi bilangan kompleks
Jika dan anggota himpunan bilangan kompleks S ( ), maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
a) (Ketertutupan terhadap penjumlahan dan perkalian)
b) (Komutatif terhadap penjumlahan) c) ( ) ( ) (Assosiatif terhadap penjumlahan) d) (Komutatif terhadap perkalian) e) ( ) ( ) (Assosiatif terhadap perkalian) f) ( ) (Distributif) g) (0 merupakan unsur satuan terhadap operasi
penjumlahan)
h) (1 merupakan unsur satuan terhadap operasi perkalian)
i) Untuk suatu bilangan kompleks terdapat suatu bilangan tunggal dalam S sehingga dinamakan invers dari terhadap penjumlahan dan dinyatakan dengan
j) Untuk suatu terdapat suatu bilangan tunggal dalam S sehingga = = 1 dinamakan invers dari terhadap perkalian dan dinyatakan dengan atau
B. Himpunan
Kumpulan bilangan-bilangan yang sering dijumpai seperti bilangan bulat, real, kompleks dan sebagainya merupakan contoh dari himpunan.
Himpunan merupakan kumpulan dari obyek-obyek yang mampu didefinisikan dengan jelas, artinya jika ditunjuk suatu obyek tertentu, maka obyek tersebut mampu dengan mudah ditentukan apakah sebagai anggota
adalah suatu obyek dari himpunan , maka merupakan elemen dari ditulis . Namun jika a bukan merupakan obyek dari himpunan , maka bukan elemen , ditulis .
C. Teori Grup
Angka sebagai tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan merupakan bagian dalam ilmu aljabar. Ilmu aljabar dikategorikan menjadi beberapa bidang kajian. Salah satu bidang kajian dalam ilmu aljabar adalah aljabar abstrak. Aljabar abstrak atau disebut juga sebagai aljabar modern merupakan salah satu kajian aljabar yang mempelajari struktur aljabar seperti grup, ring, field dan sebagainya.
Diberikan operasi pada suatu himpunan . Suatu himpunan yang dilengkapi dengan operasi-operasi biner pada disebut dengan struktur aljabar atau himpunan berstruktur, yang dinotasikan dengan ( , ). Teori grup merupakan salah satu konsep yang digunakan untuk mengetahui tipe dari struktur aljabar. Ruang lingkup mengenai teori grup diantaranya meliputi:
1. Operasi Biner
Suatu operasi ◦ pada elemen-elemen himpunan S disebut operasi biner, jika setiap dua elemen a, b S maka a ◦ b S. Operasi biner pada S dikatakan juga sebagai pemetaan dari (S S) ke S.
Contoh II. C.1
Misalkan = himpunan bilangan bulat
Operasi + pada merupakan operasi biner, sebab operasi + merupakan pemetaan dari ( ) , yaitu ( ) ( ) maka dikenai operasi + menjadi (a + b) B, karena jumlah dua bilangan bulat adalah suatu bilangan bulat pula.
+ : (B B) B (m, n) m + n
(m, n) dikawankan oleh pemetaan “+” ke m + n
Jadi, operasi + terhadap B merupakan operasi biner atau dapat pula dikatakan bahwa operasi + pada B bersifat tertutup.
Misalkan operasi ◦ pada S merupakan operasi biner.
a) Jika a, b S berlaku a ◦ b = b ◦ a, maka dikatakan bahwa operasi ◦ pada S bersifat komutatif.
b) Jika a, b, c S berlaku (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c), maka dikatakan bahwa operasi ◦ pada S bersifat assosiatif.
c) Jika e S sedemikian sehingga a S berlaku a ◦ e = e ◦ a = a, maka e disebut elemen identitas terhadap ◦.
d) Jika a S, b S sedemikian hingga a ◦ b = b ◦ a = e maka b disebut invers dari a terhadap operasi ◦. Invers dari a ditulis a-1.
2. Grupoid, Semigrup dan Monoid
Grupoid, semigrup dan monoid merupakan contoh tipe dari struktur aljabar. Suatu himpunan tak kosong dengan suatu operasi disebut grupoid, semigrup atau monoid jika memenuhi aksioma yang sudah ada. Misalkan G dan ◦ adalah operasi biner pada G, maka G bersama-sama dengan ◦ ditulis (G, ◦) disebut grupoid.
Jika (G, ◦) suatu grupoid dan a, b, c G berlaku (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) yang merupakan sifat assosiatif, maka (G, ◦) disebut semigrup.
Jika (G, ◦) suatu semigrup kemudian e G sedemikian sehingga a G berlaku a ◦ e = e ◦ a = a, dengan kata lain terdapat elemen identitas pada G dengan operasi ◦, maka (G, ◦) disebut monoid.
3. Grup
Selain grupoid, semigrup dan monoid, suatu himpunan tak kosong dengan suatu operasi biner dapat dikatakan sebagai grup. Misalkan G adalah himpunan yang tidak kosong dan operasi ◦ pada G adalah suatu operasi biner, maka (G, ◦) adalah suatu grup apabila memenuhi aksioma- aksioma berikut:
a. Bersifat assosiatif
a, b, c G berlaku (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
b. G memuat elemen identitas, misalkan elemen tersebut e e G sedemikian sehingga a G berlaku a ◦ e = e ◦ a = a
c. Setiap unsur G mempunyai invers di dalam G
a G, a-1 G, a-1 adalah invers dari a, sedemikian sehingga a ◦ a-1 = a-1 ◦ a = e
Jadi, jika (G, ◦) memiliki sifat ketertutupan atau bersifat biner dan dipenuhi ketiga aksioma tersebut, maka (G, ◦) merupakan suatu grup. Jika (G, ◦) suatu grup yang memenuhi sifat komutatif, yaitu a, b G berlaku a ◦ b = b ◦ a, maka (G, ◦) disebut grup komutatif atau grup Abel.
D. Matriks
Kumpulan dari bilangan-bilangan dapat disajikan dalam suatu himpunan. Selain itu, kumpulan dari bilangan-bilangan dapat pula disajikan dalam suatu matriks.
Definisi II.D.1 : Matriks
Matriks adalah suatu susunan bilangan-bilangan yang ditempatkan dalam baris dan kolom, membentuk persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan disebut sebagai anggota dalam matriks tersebut. (Anton, 2000)
= [
]
Matriks disusun dalam baris dan kolom. Susunan di atas disebut sebuah matriks ukuran , karena memiliki baris dan kolom.
Matriks lazimnya dinotasikan dengan huruf besar yang dicetak tebal ( , dst.) dan elemen-elemen dinotasikan dengan huruf kecil yang dicetak miring
( dan seterusnya). Matriks dapat pula ditulis dengan notasi || ||, ( ) atau [ ] dengan ( = 1, 2, 3, . . ; = 1, 2, 3 . . . ).
1. Operasi pada Matriks
Layaknya bilangan-bilangan yang sering dijumpai, suatu matriks dapat pula dioperasikan untuk menentukan penyelesaian dari perintah yang dikehendaki. Operasi yang terdapat pada matriks diantaranya meliputi:
a. Kesamaan Matriks
Dua matriks dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan anggota-anggota yang berpadanan sama. (Anton, 2000) Matriks ( ) dan matriks ( ) memiliki ukuran yang sama, maka jika dan hanya jika untuk setiap .
b. Penjumlahan Matriks
Diberikan matriks ( ) dan matriks ( ) yang berukuran sama yaitu . Jumlah matriks dan matriks ditulis adalah matriks berukuran dengan elemen-elemennya yang merupakan jumlah elemen yang seletak dari kedua matriks. (Budi, 1995)
( )
Notasi ini mempertegas bahwa elemen pada baris ke- dan kolom ke- dari matriks adalah ( ) yang diperoleh sebagai jumlah elemen seletak dari masing-masing matriks.
c. Perkalian Matriks dengan Skalar
Diketahui matriks dan c suatu skalar yang merupakan besaran yang memiliki nilai. Matriks adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari matriks dengan c.
( )
Untuk matriks dapat dituliskan sebagai perkalian antara skalar dan matriks, dengan skalar -1 atau (c = -1) yang dikalikan dengan matriks .
( )
Sehingga untuk bentuk pengurangan matriks – dapat dituliskan sebagai penjumlahan matriks dengan notasi sebagai berikut:
– ( ) d. Perkalian Matriks dengan Matriks
Diketahui matriks berukuran dan matriks berukuran . Hasil perkalian matriks dan matriks ditulis , adalah matriks berukuran dengan elemen pada baris ke- dan kolom ke- dari matriks adalah jumlah perkalian elemen antara baris ke- dari matriks dengan kolom ke- dari matriks B. (Budi, 1995) Contoh II.D.1
Diberikan matriks-matriks sebagai berikut:
* + [ ]
Matriks merupakan matriks yang berukuran dan matriks merupakan matriks yang berukuran . Berdasarkan definisi yang ada, maka matriks hasil kali adalah sebuah matriks berukuran . Untuk menentukan anggota pada baris ke 2 dan kolom ke 2 dari , maka dipilih baris ke 2 dari matriks dan baris ke 2 dari matriks . Sehingga dari kedua matriks dan diperoleh hasil perkalian sebagai berikut:
*
+ [
]
[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] * +
2. Sifat-sifat Operasi Matriks
Sifat-sifat operasi matriks diantaranya meliputi:
a. Sifat Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
1) (Komutatif) 2) ( ) ( ) (Sifat Assosiatif) 3) Terdapat matriks yang semua elemennya nol dan mempunyai
sifat untuk setiap matriks
(Sifat Identitas) 4) Untuk setiap matriks ada matriks dengan sifat sehingga diperoleh (Elemen invers)
b. Sifat Perkalian Matriks dengan Skalar
Untuk sembarang skalar c dan d, perkalian matriks dengan skalar memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
1) ( ) ( ) (Assosiatif) 2) ( ) (Distributif kanan) 3) ( ) (Distributif kiri) c. Sifat Perkalian Matriks dengan Matriks
Perkalian matriks memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
1) ( ) ( ) (Sifat Assosiatif) 2) ( ) (Sifat Distributif) 3) Misalkan matriks berukuran , maka
dan
Dengan dan matriks identitas yang masing-masing berukuran dan . Matriks identitas I merupakan matriks persegi yang setiap elemennya berharga nol (0) kecuali elemen- elemen pada diagonalnya yang semuanya berharga satu (1) atau
.
(Budi, 1995) E. Transpose Matriks
Suatu matriks dengan ukuran dapat ditentukan transpose matriksnya dengan definisi sebagai berikut:
Definisi: II.E.1: Transpose Matriks
Jika matriks adalah sembarang matriks berukuran , maka transpose dari matriks dinyatakan dengan atau , merupakan matriks berukuran yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari matriks , yaitu kolom pertama pada matriks adalah baris pertama dari matriks , kolom kedua pada matriks adalah baris kedua dari matriks dan seterusnya.
Contoh II.E.1
Berikut ini adalah beberapa contoh matriks dan transposenya.
*
+ [
]
[
] * +
[ ] [ ]
F. Jenis-jenis Matriks.
Jenis-jenis matriks dapat dibagi menjadi dua kelompok. Jenis tersebut dapat dibedakan berdasarkan susunan elemennya dan berdasarkan akibat operasi matriks. (Munadi, 1990)
1. Berdasarkan Susunan Elemennya
Berdasarkan susunan elemennya, jenis matriks dibagi menjadi beberapa jenis, diantaranya yaitu:
a. Matriks Baris
Matriks baris merupakan matriks yang terdiri hanya dari satu baris.
Misalkan matriks tersebut adalah matriks , maka bentuk umum matriks baris adalah sebagai berikut:
( ) b. Matriks Kolom
Matriks kolom merupakan matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.
Misalkan matriks tersebut adalah matriks , maka bentuk umum matriks yang merupakan matriks kolom adalah
[ ] c. Matriks Persegi
Matriks persegi merupakan matriks yang memiliki jumlah baris sama dengan jumlah kolom ( )
d. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang setiap elemenya adalah nol (0).
e. Matriks Diagonal
Suatu matriks persegi disebut matriks diagonal jika setiap elemen pada matriks tersebut berharga nol (0) kecuali elemen-elemen pada diagonalnya.
Contoh II.F.1
Matriks berikut merupakan salah satu contoh matriks diagonal [ ]
f. Matriks Satuan ( Matriks Identitas)
Matriks satuan merupakan matriks diagonal yang elemen pada diagonalnya berharga satu. Berikut merupakan matriks identitas untuk matriks berordo 4.
[
]
g. Matriks Skalar
Matriks skalar merupakan matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonalnya berharga tidak sama dengan satu atau nol dan elemen pada diagonalnya merupakan bilangan yang sama.
Contoh II.F.2
Matriks berikut merupakan salah satu contoh matriks skalar
[
]
h. Matriks Segitiga Bawah dan Segitiga Atas
Matriks segitiga bawah ( ) dan segitiga atas ( ) mempunyai bentuk umum sebagai berikut:
[
]
[
]
i. Matriks Simetris
Matriks simetris merupakan matriks persegi yang memiliki elemen ke
untuk setiap Contoh II.F.3
Matriks berikut merupakan salah satu contoh matriks simetris [ ]
Terlihat bahwa:
2. Berdasarkan Akibat Operasi Matriks
Berdasarkan akibat operasi matriks, jenis-jenis matriks diantaranya yaitu:
a. Matriks Singular dan Non Singular
Matriks merupakan matriks singular jika determinan dari matriks sama dengan nol atau ( ) . Sedangkan matriks non singular merupakan matriks yang nilai determinannya tidak sama dengan nol atau ( )
b. Matriks Hermit
Matriks persegi disebut matriks Hermit jika transpose conjugate dari matriks sama dengan matriks itu sendiri ( ̅ ). Pada matriks ini, elemen merupakan conjugate kompleks dari elemen
atau ( ̅̅̅) Contoh II.F.4
Matriks berikut merupakan salah satu contoh matriks Hermit [
]
̅ [
] ̅ [
]
Matriks ̅ merupakan matriks conjugate dari matriks yang diperoleh dengan cara mencari conjugate dari setiap elemen dari matriks . Matriks ̅ merupakan transpose conjugate dari matriks yang diperoleh dengan cara menentukan transpose dari matriks ̅.
Karena dipenuhi ̅ maka matriks merupakan matriks Hermit.
G. Invers Matriks
Jika matriks adalah sebuah matriks persegi dengan determinan tidak sama dengan nol (det( ) 0) dan jika sebuah matriks yang berukuran sama mampu didapatkan sedemikian sehingga (dengan adalah matriks identitas yang memiliki ordo sama dengan matriks dan ),
maka matriks merupakan invers dari matriks atau matriks merupakan invers dari matriks . Matriks invers dari matriks dinotasikan dengan Contoh II.G.1
Diberikan matriks yang merupakan invers dari matriks . *
+ merupakan invers dari matriks *
+ karena *
+ *
+ * + *
+ *
+ * +
Invers suatu matriks dapat ditentukan dengan beberapa metode diantaranya yaitu metode yang dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan matriks adjoint dari suatu matriks yang akan ditentukan inversnya. Matriks adjoint dari matriks dinotasikan dengan ( ). Untuk menentukan matriks adjoint, terlebih dahulu harus ditentukan matriks kofaktor.
Jika matriks adalah matriks persegi berukuran maka kofaktor ( ) dari matriks :
[
]
Dengan ketentuan ( ) dan sebagai minor dari yang merupakan determinan submatriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke- dan kolom ke- dari matriks .
Transpose dari matriks kofaktor ( ) disebut matriks adjoint dari matriks .
[
]
( ) [
]
Matriks invers dari matriks dapat ditentukan setelah diperoleh matriks adjoint dari matriks . Jika matriks berukuran dan ( ) , maka
( ) ( )
H. Matriks Recipotent
Seiring dengan perkembangan teknologi, kebutuhan akan ilmu pengetahuanpun semakin meningkat. Perkembangan teknologi yang ada menuntut adanya timbal balik dengan ikut berkembangnya ilmu pengetahuan, sehingga dapat saling melengkapi kebutuhkan satu sama lain. Perkembangan ilmu aljabar memiliki peranan penting dalam kaitannya dengan perkembangan ilmu lain. Bidang kajian aljabar linier dalam ilmu aljabar memiliki banyak peluang untuk berkembang dan mampu memberikan kontribusi dalam perkembangan ilmu pengetahuan lainnya.
Perkembangan ini terbukti dengan adanya pengenalan matriks atas lapangan kompleks yang dikenalkan oleh Chandramouleeswaran dan Muralikrishna (2010). Matriks tersebut disebut matriks recipotent. Matriks recipotent merupakan jenis matriks persegi atas lapangan kompleks yang
dapat dikelompokan sebagai jenis matriks berdasarkan akibat operasi matriks.
Untuk mengetahui definisi matriks recipotent, terlebih dahulu perlu diketahui definisi dari matriks reversibel.
Definisi II.H.1: Matriks Reversibel
Matriks reversibel dari matriks merupakan matriks yang anggotanya merupakan balikan dari anggota pada matriks kecuali untuk anggota matriks yang merupakan bilangan nol. Matriks reversibel dari matriks dinotasikan dengan . (Chandramouleeswaran, 2010)
Berdasarkan definisi di atas, maka untuk matriks ( ) dapat ditentukan matriks reversibel ( ) dengan ketentuan sebagai berikut:
= {
} Contoh II.H.1
Diberikan matriks-matriks sebagai berikut:
= * + = [
] = [
]
Berdasarkan definisi matriks reversibel, maka matriks reversibel dari matriks-matriks tersebut adalah sebagai berikut:
R = [
] = [
] R = [
] R = [
]
Setelah memahami matriks reversibel tersebut, selanjutnya akan lebih mudah untuk memahami definisi matriks recipotent yang didefinisikan sebagai berikut:
Definisi II.H.1: Matriks Recipotent
Suatu matriks persegi ( ) dengan disebut matriks recipotent jika , dengan merupakan matriks nol dan matriks merupakan matriks reversibel dari matriks . (Chandramouleeswaran, 2010)
Diantara ketiga matriks pada Contoh II.H.1 tersebut, maka dapat diketahui matriks yang merupakan matriks recipotent.
Untuk matriks
*
+ [
]
[
]
[
]
[
]
Berdasarkan hasil tersebut maka dapat disimpulkan bahwa matriks bukan matriks recipotent karena .
Untuk matriks
[
] [
]
[
]
[
]
[
]
Berdasarkan hasil tersebut maka dapat disimpulkan bahwa matriks merupakan matriks recipotent karena dipenuhi . Dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa matriks bukan merupakan matriks recipotent karena hasil kali antara matriks dengan matriks reversibelnya bukan merupakan matriks nol.
