P E R S M A A N D A N P E R T I D A K S A M A A N N I L A I M U T L A K

P E R S M A A N D A N

P E R T I D A K S A M A A N

N I L A I M U T L A K

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai Mutlak Fungsi Nilai Mutlak

Persamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan

Nilai Mutlak

Nilai mutlak

Notasi nilai mutlak digunakan untuk menyatakan selisih bilangan yang harus dinyatakan dalam positif

Contoh:

• Selisih suhu

• Jarak suatu bilangan ke titik nol

• Menentukan jarak antar 2 titik

𝑥 = 𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 0

Contoh:

Tentukan nilai setiap bilangan bertanda mutlak berikut.

a. 4 = 4 b. −7 = 7 c. 0 = 0

d. −0,7 = 0,7

Contoh

Tentukan hasilnya tanpa tanda mutlak a. −3 + 2 = −1 = 1

b. −3 + 2 = 3 + 2 = 5 c. −3 − 2 = −5 = 5 d. −3 − 2 = 3 − 2 = 1

e. 6 − 2 5 − 9 = 6 − 2 −4 = 6 − 2 4 = 6 − 8 = −2

f. 6 2 − 1 − 2 −1 − 2 = 6 1 − 2 −3 = 6.1 − 2.3 = 0

Menentukan jarak antar 2 titik

𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑎 − 𝑏 atau 𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑏 − 𝑎

Contoh: tentukan jarak antara titik a = -2 dan b = -5

Contoh: tentukan jarak antara titik a = -2 dan b = 7 𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑎 − 𝑏

𝑑 𝐴, 𝐵 = −2 − (−5) 𝑑 𝐴, 𝐵 = 3

𝑑 𝐴, 𝐵 = 3

𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑏 − 𝑎

𝑑 𝐴, 𝐵 = −5 − (−2) 𝑑 𝐴, 𝐵 = −3

𝑑 𝐴, 𝐵 = 3

𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑎 − 𝑏 𝑑 𝐴, 𝐵 = −2 − 7 𝑑 𝐴, 𝐵 = −9 𝑑 𝐴, 𝐵 = 9

𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑏 − 𝑎 𝑑 𝐴, 𝐵 = 7 − (−2) 𝑑 𝐴, 𝐵 = 9

𝑑 𝐴, 𝐵 = 0

Fungsi Niai Mutlak

Bentuk fungsi mutlak paling sederhana

𝑓 𝑥 = 𝑥 Domain= *𝑥 𝑥 ∈ 𝑅+

Range = *𝑦 𝑦 ≥ 0, 𝑦 ∈ 𝑅+

Ingat

𝑥 = 𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 0

Maka

𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 0

Grafik Fungsi Niai Mutlak

Contoh Soal:

1. Gambarkan grafik fungsi y = 𝑥

𝑦 = 𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 0

𝒙 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 𝑦 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Grafik Fungsi Niai Mutlak

𝑦 = −𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 0

𝒙 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 𝑦 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

Grafik Fungsi Niai Mutlak

+ =

Grafik y = 𝑥 secara keseluruhan

Grafik y = 𝑥 Grafik y = −𝑥

Note: Grafik y=-x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik y=x terhadap sumbu Y

Grafik Fungsi Niai Mutlak

Contoh Soal:

2. Gambarkan grafik fungsi y = 𝑥 + 3

𝑦 = 𝑥 + 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 0

𝒙 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 𝑦 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Grafik Fungsi Niai Mutlak

𝑦 = −𝑥 + 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 0

𝒙 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 𝑦 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2

Grafik Fungsi Niai Mutlak

Grafik y = 𝑥 + 3 secara keseluruhan Grafik y = 𝑥 + 3 Grafik y = −𝑥 + 3

+ =

Grafik Fungsi Niai Mutlak

Grafik y = 𝑥 + 3 secara keseluruhan Grafik y = 𝑥 secara keseluruhan

Note: Grafik y = 𝑥 + 3 memiliki bentuk seperti y = 𝑥 tetapi digeser ke atas 3 satuan

Grafik Fungsi Niai Mutlak

Contoh Soal:

3. Gambarkan grafik fungsi y = 𝑥 + 3

𝑦 = 𝑥 + 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ −3

𝒙 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 𝑦 0 1 2 3 4 5 6 7 8

𝑥 + 3 ≥ 0 𝑥 ≥ 0 − 3 𝑥 ≥ −3

Grafik Fungsi Niai Mutlak

𝑦 = − 𝑥 + 3

𝑦 = −𝑥 − 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < −3

𝒙 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 𝑦 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

𝑥 + 3 < 0 𝑥 < 0 − 3 𝑥 < −3

Grafik Fungsi Niai Mutlak

Grafik y = 𝑥 + 3 secara keseluruhan

Grafik y = 𝑥 + 3 Grafik

y = −𝑥 − 3

+ =

Grafik Fungsi Niai Mutlak

Grafik y = 𝑥 + 3 secara keseluruhan Grafik y = 𝑥 secara keseluruhan

Note: Grafik y = 𝑥 + 3 memiliki bentuk seperti y = 𝑥 tetapi digeser ke kiri 3 satuan

Grafik Fungsi Niai Mutlak

Contoh Soal:

4. Diketahui fungsi nilai mutlak 𝑦 = 2𝑥 + 1

a. Tentukan titik potong fungsi terhadap sumbu Y b. Tentukan titik potong fungsi terhadap sumbu X c. Gambarkan sketsa grafik fungsi

d. Tentukan domain dan range

a. Grafik memotong sumbu Y jika x =0

𝑦 = 2𝑥 + 1 𝑦 = 2(0) + 1 𝑦 = 1

𝑦 = 1

b. Grafik memotong sumbu X jika y =0

𝑦 = 2𝑥 + 1 0 = 2𝑥 + 1 0 = 2𝑥 + 1

2𝑥 + 1 = 0 2𝑥 = 0 − 1 2𝑥 = −1 𝑥 = −1

2 Jadi, titik potong grafik

terhadap sumbu Y adalah (0,1) Jadi, titik potong grafik terhadap sumbu X adalah −¹₂, 0

Grafik Fungsi Niai Mutlak

𝑦 = 2𝑥 + 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ −1 2

𝒙 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 𝑦 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11

2𝑥 + 1 ≥ 0 2𝑥 ≥ 0 − 1 𝑥 ≥ −1

2

c. Gambar sketsa grafik fungsi 𝑦 = 2𝑥 + 1

Grafik Fungsi Niai Mutlak

𝑦 = − 2𝑥 + 1

𝑦 = −2𝑥 − 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < −1 2

𝒙 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 𝑦 11 9 7 5 3 1 -1 -3 -5

2𝑥 + 1 < 0 2𝑥 < 0 − 1 𝑥 < −1

2

Grafik Fungsi Niai Mutlak

Grafik y = 2𝑥 + 1 secara keseluruhan Grafik y = 2𝑥 + 1 Grafik y = −2𝑥 − 1

+ =

Note: Grafik y = 2𝑥 + 1 memiliki bentuk seperti y = 2𝑥 tetapi digeser ke kiri 1/2 satuan

Grafik Fungsi Niai Mutlak

c. Gambar sketsa grafik fungsi 𝑦 = 2𝑥 + 1

Cara 2:

Menggunakan titik potong dan pencerminan terhadap sumbu X Titik potong di sumbu Y adalah (0,1) Titik potong di sumbu X −¹₂, 0

d. Domain dan Range

Domain= 𝐷_𝑦 = *𝑥 𝑥 ∈ 𝑅+

Range = 𝑅_𝑦 = *𝑦 𝑦 ≥ 0, 𝑦 ∈ 𝑅+

Persamaan Niai Mutlak

𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘 ≥ 0 Penyelesaian:

𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑓(𝑥) = −𝑘

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) Penyelesaian:

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = −𝑔(𝑥) Syarat: 𝑔 𝑥 ≥ 0

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑝 = 𝑞 Penyelesaian:

(𝑝 + 𝑞)( 𝑝 − 𝑞 = 0

1

2

3

Contoh Soal

1. 𝑥 + 4 = 1 2. 2𝑥 − 3 = 5

Nomor 1 𝑥 + 4 = 1 𝑥 = 1 − 4 𝑥 = −3

𝑥 + 4 = −1 𝑥 = −1 − 4 𝑥 = −5

HP={-5, -3}

Nomor 2 2𝑥 − 3 = 5 2𝑥 = 5 + 3 2𝑥 = 8 𝑥 = 8 𝑥 = 4 2

2𝑥 − 3 = −5 2𝑥 = −5 + 3 2𝑥 = −2 𝑥 = −2 𝑥 = −1 2

HP={-1, 4}

Contoh Soal

3. 3𝑥 + 1 = 4𝑥 − 1 3𝑥 + 1 = 4𝑥 − 1 3𝑥 − 4𝑥 = −1 − 1

−𝑥 = −2 𝑥 = 2

3𝑥 + 1 = −(4𝑥 − 1) 3𝑥 + 1 = −4𝑥 + 1 3𝑥 + 4𝑥 = 1 − 1 7𝑥 = 0

𝑥 = 0 𝑥 = 0 7

HP={2}

Syarat:

𝑔 𝑥 ≥ 0 4𝑥 − 1 ≥ 0

4𝑥 ≥ 1 𝑥 ≥ 1

4

Karena syaratnya x harus lebih besar dari ¹₄ maka x=0 tidak memenuhi, jadi yang

memenuhi hanya x=2

Contoh Soal

4. 𝑥 + 2 = 2𝑥 − 1

𝑥 + 2 + 2𝑥 − 1 𝑥 + 2 − 2𝑥 − 1 = 0 (3𝑥 + 1)(−𝑥 + 3) = 0

3𝑥 + 1 = 0 3𝑥 = 0 − 1

3𝑥 = −1 𝑥 = −1

3

−𝑥 + 3 = 0

−𝑥 = 0 − 3

−𝑥 = −3 𝑥 = 3

𝑥 = −1

3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 3 HP={−^𝟏_𝟑, 3}

Contoh Soal

5. 𝑥² − 𝑥 − 6 = 0

Misal:

𝑥 = 𝑝 𝑥 ² = 𝑝²

𝑥² − 𝑥 − 6 = 0 𝑝² − 𝑝 − 6 = 0

𝑝 − 3 𝑝 + 2 = 0 𝑝 = 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = −2

Subtitusi nilai p ke 𝑥 = 𝑝

• 𝑝 = 3 𝑥 = 3

𝑥 = 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −3

• 𝑝 = −2

𝑥 = −2 (tidak memenuhi karena 𝑥 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑙𝑢 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 Jadi, HP={-3, 3}

Contoh Soal

6. 𝑥 + 3 ² − 6 𝑥 + 3 + 5 = 0

Misal:

𝑥 + 3 = 𝑝

𝑥 + 3 ² − 6 𝑥 + 3 + 5 = 0 𝑝² − 6𝑝 + 5 = 0

𝑝 − 5 𝑝 − 1 = 0 𝑝 = 5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = 1

Subtitusi nilai p ke 𝑥 + 3 = 𝑝

• 𝑝 = 5 𝑥 + 3 = 5

𝑥 = 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −8

• 𝑝 = 1 𝑥 + 3 = 1

𝑥 = −2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −4 Jadi, HP={-8, -4, -2, 2}

𝑥 + 3 = 5 𝑥 = 5 − 3 𝑥 = 2

𝑥 + 3 = −5 𝑥 = −5 − 3 𝑥 = −8

𝑥 + 3 = 1 𝑥 = 1 − 3 𝑥 = −2

𝑥 + 3 = −1 𝑥 = −1 − 3 𝑥 = −4

Pertidaksamaan Niai Mutlak

𝑥 < 𝑎 maka −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 dengan 𝑎 > 0 𝑥 ≤ 𝑎 maka −𝑎 ≤ 𝑥dengan 𝑎 ≥ 0 ≤ 𝑎

𝑥 > 𝑎 maka 𝑥 < −𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > 𝑎 dengan 𝑎 > 0 𝑥 ≥ 𝑎 maka 𝑥 ≤ −𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 𝑎 dengan 𝑎 ≥ 0

1

2

Bentuk Penyelesaian

𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)² > 𝑔(𝑥)² 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)² ≥ 𝑔(𝑥)²

𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)² < 𝑔(𝑥)² 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔 𝑥

𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)² ≤ 𝑔(𝑥)²

3

Contoh Soal

1. 𝑥 − 3 ≤ 1 2. ^3𝑥+2₄ < 1

𝑥 < 𝑎 maka −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 dengan 𝑎 > 0 𝑥 ≤ 𝑎 maka −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 dengan 𝑎 ≥ 0

𝑥 − 3 ≤ 1

−1 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 1

−1 + 3 ≤ 𝑥 ≤ 1 + 3 2 ≤ 𝑥 ≤ 4

𝐻𝑃 = *𝑥 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 , 𝑥𝜖𝑅+

𝐻𝑃 = *2,3,4+

3𝑥 + 2

4 < 1 3𝑥 + 2 < 4

−4 < 3𝑥 + 2 < 4

−4 − 2 < 3𝑥 < 4 − 2

−6 < 3𝑥 < 2

−6

3 < 𝑥 < 2 3

−2 < 𝑥 < 2 3 𝐻𝑃 = *𝑥 −2 < 𝑥 < 2

3, 𝑥𝜖𝑅+

1 2

Contoh Soal

1. 3𝑥 + 1 ≥ 7 2. −¹₃ 3 + ^𝑥₂ < −2

−1

3 3 + 𝑥

2 < −2

−1 3 + 𝑥

2 < −6 3 + 𝑥

2 > 6

𝑥 > 𝑎 maka 𝑥 < −𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > 𝑎 dengan 𝑎 > 0 𝑥 ≥ 𝑎 maka 𝑥 ≤ −𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 𝑎 dengan 𝑎 ≥ 0

3 + 𝑥

2 > 6 𝑥

2 > 6 − 3 𝑥

2 > 3 𝑥 > 6 3 + 𝑥

2 < −6 𝑥

2 < −6 − 3 𝑥

2 < −9 𝑥 < −18

𝐻𝑃 = *𝑥 𝑥 < −18 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > 6, 𝑥𝜖𝑅+

3𝑥 + 1 ≥ 7

3𝑥 + 1 ≤ −7 3𝑥 ≤ −7 − 1

3𝑥 ≤ −8 𝑥 ≤ −8

3

3𝑥 + 1 ≥ 7 3𝑥 ≥ 7 − 1

3𝑥 ≥ 6 𝑥 ≥ 6 𝑥 ≥ 2 3

𝐻𝑃 = *𝑥 𝑥 ≤ −8

3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 2, 𝑥𝜖𝑅+

1 2

x (-1)

Contoh Soal

1. 𝑥 < 𝑥 − 3

2. 2𝑥 − 1 ≥ 3𝑥 − 7 3. 𝑥 − 3 < 2𝑥

Ingat

𝑎² − 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

1

2

(𝑥)²< (𝑥 − 3)² (𝑥)²− 𝑥 − 3 ² < 0

𝑥 + 𝑥 − 3 𝑥 − 𝑥 − 3 < 0 2𝑥 − 3 𝑥 − 𝑥 + 3 < 0

3 2𝑥 − 3 < 0 2𝑥 − 3 < 0 2𝑥 < 0 + 3

𝑥 < 3 2 𝐻𝑃 = *𝑥 𝑥 < 3

2, 𝑥𝜖𝑅+

(2𝑥 − 1)²≥ (3𝑥 − 7)² (2𝑥 − 1)²− 3𝑥 − 7 ² ≥ 0

2𝑥 − 1 + 3𝑥 − 7 , 2𝑥 − 1 − 3𝑥 − 7 - ≥ 0 (2𝑥 + 3𝑥 − 1 − 7)(2𝑥 − 3𝑥 − 1 + 7) ≥ 0

5𝑥 − 8 −𝑥 + 6 ≥ 0 𝑥 = ⁸₅ atau 𝑥 = 6

Uji dengan garis bilangan. Misal uji x = 2 (bilangan diantara 8/5 dan 6

5(2) − 8 −(2) + 6 ≥ 0 2 4 ≥ 0

8 ≥ 0 (benar)

𝐻𝑃 = *𝑥 8

5 ≤ 𝑥 ≤ 6, 𝑥𝜖𝑅+

Contoh Soal

1. 𝑥 < 𝑥 − 3

2. 2𝑥 − 1 ≥ 3𝑥 − 7 3. 𝑥 − 3 < 2𝑥

Ingat

𝑎² − 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

3 (𝑥 − 3)²< (2𝑥)² (𝑥 − 3)²− 2𝑥 ² < 0

𝑥 − 3 + 2𝑥 𝑥 − 3 − 2𝑥 < 0 𝑥 + 2𝑥 − 3 𝑥 − 2𝑥 − 3 < 0

3𝑥 − 3 −𝑥 − 3 < 0 𝑥 = 1 atau 𝑥 = −3

Uji dengan garis bilangan. Misal uji x = 0 (bilagan diantara -3 dan 1 (𝑥 − 3)²< 2𝑥 ²

(−3)²< 0 9 < 0 (salah) Karena 𝑥 ≥ 0

𝐻𝑃 = *𝑥 𝑥 > 1, 𝑥𝜖𝑅+

Contoh Soal

Suatu pabrik memproduksi baut dengan diameter standar 21 mm. Baut yang diproduksi dapat diterima jika diameternnya memiliki selisish sebesar 0,85 mm dari diameter standar.

a. tuliskan model matematika dari permasalahan tersebut jika ukuran baut yang dapat diterima dinyatakan dengan d

b. tentukan batas minimum dan maksimum diameter yang masih dapat diterima

1

Contoh Soal

Dalam suatu ruang penelitian, suhu harus tetap terjaga dalam 26℃ dengan batas toleransi 5℃. Alarm dipasang dalam ruang tersebut akan berbunyi jika suhu dalam ruangan

melewati batas toleransi tersebut. Tentukan:

a. Model matematika dengan suhu dinyatakan dalam T b. batas suhu dalam ruangan agar alarm tidak berbunyi.

2