mempunyai tak berhingga banyak solusi.

(1)

Department of Mathematics FMIPA UNS Lecture 4: Simplex Method A. Introduction

Jika suatu masalah LP hanya melibatkan 2 kegiatan (variabel keputu-san) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Tetapi, jika melibatkan lebih dari 2 kegiatan, maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks (simplex method). Metode simpleks merupakan suatu cara yang lazim dipakai untuk menentukan kombinasi optimal dari tiga variabel atau lebih.

Penyelesaian model Program Linear dengan metode grafik menjadi dasar pengembangan metode aljabar simpleks. Secara grafik, kita dapat menge-tahui terdapat banyak tak berhingga solusi fisibel dengan melihat daerah fisibelnya. Tetapi bagaimana dengan reperesentasi solusi secara aljabar? Dalam representasi aljabar,

jumlah persamaan m selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah variabel n, yaitu ≤ .

Karena jika > , maka terdapat paling sedikit − persamaan redundant.

Jika = dan persamaan-persamaan tersebut konsisten, maka sis-tem mempunyai solusi tunggal.

Jika < dan persamaan-persamaan tersebut konsisten, maka sis-tem mempunyai tak berhingga banyak solusi.

Contoh. Persamaan = 2 mempunyai = = 1, sehingga mempunyai solusi tunggal. Tetapi persamaan + = 1 mempunyai = 1 dan = 2, sehingga mempunyai tak berhingga banyak solusi (garis semua titik di sepanjang + = 1 merupakan solusi.

B. Computational Details of the Simplex Algoritm

Contoh. Diberikan masalah Reddy Mikks dengan model program linear: Maksimumkan = 5 + 4 terhadap kendala 6 + 4 ≤ 24 (bahan A) + 2 ≤ 6 (bahan B) + ≤ 1 (Batas pemasaran) ≤ 2 (Batas Permintaan) , ≥ 0

(2)

Department of Mathematics FMIPA UNS

(a) Mengubah fungsi objektif dan batasan-batasan.

Fungsi objektif diubah menjadi fungsi implisit, artinya semua dipindah ke ruas kiri. Misalnya fungsi tujuan

= 5 + 4 diubah menjadi

− 5 − 4 = 0

Pada bentuk standar, semua batasan mempunyai tanda ≤. Ke-taksamaan tersebut harus diubah menjadi kesamaan, caranya dengan menambah variabel slack (variabel tambahan yang mewakili tingkat pengangguran), yaitu , , , dan .

6 + 4 ≤ 24 menjadi 6 + 4 + = 24 + 2 ≤ 6 menjadi + 2 + = 6 − + ≤ 1 menjadi − + + = 1 ≤ 2 menjadi + = 2

Berdasarkan perubahan persamaan-persamaan di atas, dipero-leh bentuk standar / kanonik (siap simplex) sebagai berikut.

Maksimumkan = 5 + 4 + 0 + 0 + 0 + 0s terhadap kendala 6 + 4 + = 24 + 2 + = 6 − + + = 1 + = 2 , , , , , s ≥ 0

Untuk selanjutnya, fungsi objektif ditulis − 5 − 4 = 0

Catatan: Perhatikan bahwa sistem mempunyai = 4 persamaan dan = 6 variabel, sehingga

 Karena > , dengan memisalkan ( − ) variabel sama dengan 0, maka dapat dihitung nilai m variabel lainnya.

 ( − ) variabel yang sama dengan 0 disebut variabel non basis, sedangkan m variabel lainya disebut variabel basis.

 Penyelesaian basis adalah penyelesaian yang diperoleh de-ngan mengenolkan ( − ) variabel dan diperoleh nilai m variabel lainnya. Penyelesaian basis dengan semua nilai varia-bel non negatif disebut penyelesaian basis fisibel.

(b) Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel simpleks.

(3)

Tabel 4.1. Tabel simpleks iterasi 1

Iterasi metode simpleks dimulai dari titik asal ( , ) = (0,0), sehingga Variabel nonbasic (nol): ( , )

Variabel dasar (basic) : ( , , , s ). Dengan mensubstitusi ( , ) = (0,0), diperoleh

= 0 = 24 = 6 = 1 = 2

Perhatikan pada persamaan 6 + 4 + = 24,

Karena = 0 dan = 0, berarti belum ada kegiatan apa-apa, sehingga terjadi pengangguran pada kendala pertama sebesar 24 satuan, atau

= 24. Nilai lain diperoleh dengan cara yang sama.

(c) Memilih elemen pivot (perpotongan kolom pivot dan baris pivot

Kolom pivot. Pilihlah kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi objektif yang bernilai negatif terbesar. Dalam hal ini, kolom dengan nilai pada baris z sebesar −5.

Baris pivot. Terlebih dahulu carilah rasio tiap-tiap baris dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom solusi dengan nilai yang sebaris dengan kolom pivot.

Rasio = .

(4)

Department of Mathematics FMIPA UNS Catatan:

(1) Untuk masalah maksimisasi, dipilih kolom pivot dengan nilai negatif terbesar. Perhatikan fungsi objektif

= 5 + 4

Untuk memaksimumkan nilai z akan lebih cepat jika memproduksi terlebih dahulu, karena mempunyai unit profit terbesar, yaitu 5. Karena dalam tabel simpleks fungsi objektif diubah menjadi

− 5 − 4 = 0,

berarti dipilih koefisien dengan nilai negatif terbesar.

(2) Baris pivot dipilih dengan rasio nonnegatif terkecil. Perhatikan ilustrasi secara grafik berikut. Dari gambar terlihat bahwa pada iterasi selanjutnya, solusi tetap berada pada daerah fisibel hanya jika diambil rasio dengan nilai nonnegatif terkecil.

Rasio

24/6 =4 (min) 6/1 =6 1/-1 =-1 × 2/0 = ∞ ×

(5)

(d) Mengubah nilai-nilai pada solusi basis (Komputasi Gauss-Jordan) Mengubah nilai-nilai baris pivot

Terlebih dulu ganti leaving variable pada kolom basis dengan entering

variable. Selanjutnya, nilai baris pivot diubah dengan cara membaginya

dengan elemen pivot:

Baris pivot baru = Baris pivot ÷ Elemen pivot Sehingga diperoleh

Tukar pada kolom basis dengan . Baris pivot baru ( ) = Baris pivot ( ) ÷ 6 = (6 4 1 0 0 0 24) ÷ 6 = (1 0 0 0 4)

Mengubah nilai-nilai selain pada baris pivot

Nilai-nilai baris yang lain, selain baris pivot dapat diubah dengan ru-mus sebagai berikut:

Baris baru = Baris lama – (Koefisien kolom pivot)(Baris pivot baru) Sehingga diperoleh

Baris z baru = Baris z lama – (−5) × Baris pivot baru

= (−5 − 4 0 0 0 0 0) − (−5)(1 0 0 0 4) = 0 − 0 0 0 20

Baris baru = Baris lama – (1) × Baris pivot baru = (1 2 0 1 0 0 6) − (1)(1 0 0 0 4) = 0 − 1 0 0 2

Baris baru = Baris lama – (−1) × Baris pivot baru = (−1 1 0 0 1 0 1) − (−1)(1 0 0 0 4) = 0 0 1 0 5

Baris baru = Baris lama – (0) × Baris pivot baru = (0 1 0 0 0 1 2) − (0)(1 0 0 0 4) = (0 1 0 0 0 1 2)

(6)

(e) Melanjutkan perubahan-perubahan

Ulangi langkah-langkah perubahan solusi basis pada langkah (d) Peru-bahan baru berhenti setelah pada baris fungsi objektif tidak ada yang bernilai negatif.

Perhatikan pada tabel simpleks iterasi ke 3, baris pertama (z) sudah tidak ada yang bernilai negatif (semuanya positif). Sehingga tabel tersebut sudah merupakan tabel optimal, dengan solusi optimalnya adalah:

Variabel Keputusan Nilai Optimum Rekomendasi 3 3/2 21

Memproduksi cat eksterior 3 ton/hari Memproduksi cat interior 1,5 ton/hari Keuntungan per hari $21.000

Catatan:

Dari hasil di atas diperoleh juga nilai untuk variabel-variabel slack:

= 0, = 0, = , dan = . Rasio 6 1,5 (min) 3 2

(7)

Nilai solusi tersebut juga sekaligus menjelaskan status dari masing-masing sumber daya, yang diberikan pada tabel berikut.

Sumber Daya Variabel Slack Status

Bahan A Bahan B Batas Pemasaran Batas Permintaan = 0 = 0 = 5/2 = 1/2 Langka (scarce) Langka (scarce) Berlebih (abundant) Berlebih (abundant)  Suatu sumber daya dikatakan langka (scarce), jika

variabel-variabel dari model menggunakan seluruh kapasitas sumber daya tersebut. Dengan kata lain, tidak ada kapasitas yang menganggur, yang ditunjukkan dengan variabel slack = 0.

Contoh. Semua bahan A maupun B dipakai untuk memproduksi cat eksterior dan cat interior, sehingga tidak ada bahan yang me-nganggur. Ditunjukkan dengan nilai = 0 dan = 0.

 Suatu sumber daya dikatakan berlebih (redundant), jika ada beberapa kapasitas sumber daya yang tidak digunakan (mengang-gur). Dengan kata lain, variabel slack > 0.