BAHAN PROYEK KALKULUS TURUNAN

BAHAN PROYEK KALKULUS

“TURUNAN”

Disusun Oleh:

DWIJA HASTA GAVRILA (K1321033)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2021

A. DUA MASALAH DENGAN SATU TEMA Garis Singgung

Gagasan Euclides tentang garis singgung adalah garis yang menyentuh kurva di satu titik benar untuk lingkaran, tetapi tidak memuaskan untuk kurva lain. Lihat gambar dibawah ini.

Gagasan bahwa garis singgung kurva pada titik P sebagai garis yang merupakan aproksimasi terbaik terhadap kurva di sekitar titik P adalah gagasan yang lebih baik, tapi masih kurang jelas secara matematis. Misalkan P adalah titik pada kurva dan Q titik berdekatan yang dapat dipindah – pindahkan pada kurva.

Garis yang melalui P dan Q disebut garis sekan (tali busur). Garis singgung (garis tangen) di P adalah posisi pembatas (jika ada) dari garis sekan jika Q bergerak kearah P sepanjang kurva. Lihat gambar dibawah ini.

Misalkan terdapat suatu kurva dengan grafik dari persamaan y = f (x). Misal P mempunyai koordinat P(c, f (c)) dan titik Q di dekatnya mempunyai koordinat Q(c+h, f (c+h)) . Tali busur

PQ memiliki gradien mPQ =𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐) ℎ

P

P

Contoh:

Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = -x² + 2x +2 di titik dengan absis -1.

Penyelesaian:

Kemiringan garis singgung kurva y = f(x) = -x² + 2x +2 di titik x = a adalah 𝑚_𝑡𝑎𝑛 = lim

ℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) ℎ

=limℎ→0

[−(𝑎+ℎ)²+2(𝑎+ℎ)+2−[−𝑎² +2𝑎+2]

ℎ

=lim

ℎ→0

−𝑎²− 2𝑎ℎ−ℎ²+2𝑎+2ℎ+2+𝑎²−2𝑎−2 ℎ

=lim

ℎ→0(−2𝑎 − h +2) = −2𝑎 + 2

Sehingga, gradien untuk a = -1 adalah -2(-1) + 2 = 4.

Kecepatan Rata – rata dan Kecepatan Sesaat

Misalkan suatu benda bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan s = f (t) , menunjukkan jarak ( berarah ) benda terhadap titik asal setelah waktu t dan sering disebut Garis singgung terhadap kurva y = f (x) pada titik P(c, f(c)) adalah garis yangh melalui P dengan gradien

𝑚_𝑡𝑎𝑛 = lim

ℎ→0

𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) ℎ

Asalkan limit tersebut ada , bukan ∞ atau - ∞

sebagai fungsi posisi. Pada interval t = a sampai dengan t = a + h perubahan posisi adalah f (a + h) − f (a) . Sehingga kecepatan rata – rata pada interval ini adalah

V rata-rata:

=𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) ℎ

Contoh :

Partikel bergerak sepanjang koordinat dan s merupakan jarak berarah dalam cm yang diluar dari titik – titik asal ke titik yang dicapai t detik dinyatakan sebagai

. Tentukan kecepatan sesat partikel pada akhir 3 detik.

Penyelesaian :

Kecepatan sesat pada akhir 3 detik adalah v =

(𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙)

Jadi, kecepatan sesaat pada akhir 3 detik adalah 𝑐𝑚 tiap detik.

Jika benda bergerak di sepanjang garis lurus dengan posisi f(t), maka kecepatan sesaat pada saat a adalah

𝑉_{𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑎} = lim

ℎ→0𝑉𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎[𝑎 ,𝑎+ℎ]=lim

ℎ→0

𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) ℎ

Asalkan limit tersebut ada dan bukan ∞ atau - ∞

B. TURUNAN

DEFINISI TURUNAN:

Fungsi f’ yang nilainya pada x ditentukan oleh

Dinamakan turunan dari f terhadap x Contoh:

Misalkan f(x)=8x-3. Carilah f’(5) Penyelesaian :

f’(5)= lim

ℎ→0

𝑓(5+ℎ)−𝑓(5)

ℎ = lim

ℎ→0

(8(5+ℎ)−3)−(8(5)−3)

ℎ = lim

ℎ→0 8ℎ

ℎ = lim

ℎ→08 = 8 Contoh:

Jika f(x)=𝑥³ + 2𝑥, 𝐶arilah f’(x) Penyelesaian :

f’(x)=lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

=limℎ→0(^(𝑥+ℎ)3+2(𝑥+ℎ))−(𝑥³+2𝑥)

ℎ )

=lim

ℎ→0

3𝑥²+3𝑥ℎ²+ℎ³+2ℎ ℎ

=lim

ℎ→0(𝑥²+3xh+ℎ²+2) = 3𝑥²+ 2

C. ATURAN PENCARIAN TURUNAN TEOREMA:

Teorema : Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kontinuitas Jika f’(c) ada maka f kontinu di c

𝑓^′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ

Contoh:

y = f(x) = 2-𝑥². Cari ∆𝑦 ketika x berubah dari 0,4 ke 1,3 Penyelesaian :

∆𝑦 = 𝑓(1,3) − 𝑓(0,4) = (2 − (1,3)²) − (2 − (0,4)²) = −1,53

TEOREMA ATURAN PENCARIAN TURUNAN:

Teorema A: Aturan Fungsi Konstanta

Bukti: f’(x)=lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ = lim

ℎ→0 𝑘−𝑘

ℎ =lim

ℎ→00 = 0 Teorema B: Aturan Fungsi Satuan

Bukti: f’(x)=lim

ℎ→0 𝑓(𝑥+ℎ)

ℎ = lim

ℎ→0 𝑥+ℎ−𝑥

ℎ =lim

ℎ→0 ℎ ℎ = 1 Teorema C: Aturan Pangkat

Contoh:

Dx(x³) = 3x² , Dx(x⁹) = 9x⁸ , Dx(x¹⁰⁰) = 100x⁹⁹ Teorema D: Aturan Kelipatan Konstanta

Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x,f(x) = 0; yakni, Dx (k) = 0

Jika f(x) = x, maka f(x) = 1 yakni, Dx (x) = 1

Jika f(x) = xⁿ , dengan n bilangan bulat positif, maka f’(x) = nx^n-1 yakni, Dx(xⁿ) = nx^n-1

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka (kf)’(x)

= k . f(x) yakni,

Dx[k.f(x)] = k . Dxf(x)

Contoh:

Dx(-7x³) = -7Dx(x³) = -7.3x² = -21x² dan Dx(⁴

3 x⁹) =⁴

3 Dx(x⁹) =⁴

3 . 9x⁸= 12x⁸ Teorema E dan F: Aturan Jumlah dan Aturan Selisih

Aturan Jumlah:

Aturan Selisih:

Contoh:

Carilah turunan dari 5x² + 7x – 6 Penyelesaian:

Dx(5x² + 7x – 6) = Dx(5x² + 7x) – Dx(6) (Teorema F)

= Dx(5x²) + Dx (7x) – Dx(6) (Teorema E)

= 5Dx(x²) + 7Dx(x) – Dx(6) (Teorema D)

= 5 . 2x + 7 . 1 – 0 (Teorema C,B,A) Teorema G: Aturan Hasil Kali

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x) yakni,

Dx[f(x) + g(x)] = Dxf(x) + Dxg(x)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f - g)’(x) = f’(x) - g’(x) yakni,

Dx[f(x) - g(x)] = Dxf(x) - Dxg(x)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f . g )’(x)= f(x)g’(x) + g(x)f’(x)

Yakni

Dx[f(x)g(x)] = f(x)Dx g(x) + g(x)Dx f(x)

Contoh:

Cari turunan (3x² - 5)(2x⁴ – x) dengan menggunakan aturan hasil kali Penyelesaian:

Dx[(3x² - 5)(2x⁴ - x)] = (3x² - 5) Dx(2x⁴ - x) + (2x⁴ - x) Dx(3x² - 5)

= (3x² - 5) (8x³ - 1) + (2x⁴ - x)(6x)

= 24x⁵ – 3x² – 40x³ + 5 + 12x⁵ – 6x²

= 36x⁵ – 40x³ – 9x² + 5 Teorema H: Aturan Hasil Bagi

Contoh:

Cari turunan ^𝑑

𝑑𝑥 = ^(3𝑥−5)

(𝑥²+7)

Penyelesaian:

𝑑 𝑑𝑥[^3𝑥−5

𝑥²+7] = ^(𝑥

2+7)_𝑑𝑥^𝑑 (3𝑥−5)−(3𝑥−5)_𝑑𝑥^𝑑(𝑥²+7) (𝑥²+7)²

= ^(𝑥2+7)(3) − (3𝑥−5)(𝑥) (𝑥²+7)²

= ^−3𝑥

2+10 𝑥+21 (𝑥²+7)²

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan g(x) ≠ 0, Maka

(𝑓

𝑔) ′(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔^′(𝑥) 𝑔²(𝑥)

Yaitu,

𝐷_𝑥(𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥))𝑔(𝑥)𝐷_𝑥𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝐷_𝑥𝑔(𝑥) 𝑔²(𝑥)

D. TURUNAN TINGKAT TINGGI

Operasi pendiferensialan terhadap f mengahasilkan sebuah fungsi baru f ' . Jika operasi pendiferensialan dilakukan pada f ' akan diperoleh f " ( dibaca f dua aksen ) dan disebut turunan kedua. Jika operasi pendiferensialan dilakukan pada f "akan diperoleh fungsi f '''dan disebut turunan ketiga. Cara penulisan untuk turunan dari y = f (x) adalah sebagai berikut :

Turunan-ke Notasi f ' Notasi y' Notasi ^Dx Notasi Leibniz

1 f '(x) y' Dxy 𝑑𝑦

𝑑𝑥

2 f ''(x) y'' D2

𝑥y 𝑑²𝑦

𝑑𝑥²

3 f '''(x) y''' D3

𝑥y 𝑑³𝑦

𝑑𝑥³

4 f ⁽⁴⁾(x) y⁽⁴⁾ D4

𝑥y 𝑑⁴𝑦

𝑑𝑥⁴ .

. .

n f ⁿ(x) y(n) D𝑛

𝑥y 𝑑^𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛

E. DIFERENSIAL DAN APROKSIMASI Notasi ^𝑑

𝑑𝑥 digunakan sebagai operator untuk turunan sehingga notasi ^𝑑

𝑑𝑥 sinonim dengan 𝐷𝑥.

Sebelumnya telah didefinisikan turunan fungsi 𝑓 sebagai berikut. Misalkan fungsi 𝑓 terdiferensiasi pada (𝑥0,𝑂) jika lim

∆x→0

𝑓(𝑥₀ + ∆x) −𝑓(𝑥₀)

ℎ = 𝑓′(𝑥0) Perhatikan bahwa jika ∆𝑥 kecil, maka hasil bagi lim

∆x→0

𝑓(𝑥₀ + ∆x) −𝑓(𝑥₀)

ℎ = 𝑓′(𝑥0) akan mendekati 𝑓 ′(0) sehingga 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) ≈ ∆𝑥𝑓(𝑥0)

Ruas kiri disebut ∆𝑦, yaitu perubahan dalam y Ketika 𝑥0 berubah ke 𝑥0 + ∆𝑥. Ruas kanan disebut 𝑑𝑦 dan bertindak sebagai aproksimasi terhadap ∆𝑦.

Besaran 𝑑𝑦 merupakan perubahan dalam garis singgung terhadap kurva di P ketika x berubah dari 𝑥0 𝑘𝑒 𝑥0 + ∆𝑥. Ketika ∆𝑥 kecil, diharapkan 𝑑𝑦 mengaproksimasi terhadap ∆𝑦.

Definisi Diferensial

Misalkan 𝑦 = (𝑥) fungsi terdiferensiasi dari variable bebas x.

• ∆𝑥 adalah pertambahan sebarang dalam variable x.

• 𝑑𝑥 adalah diferensial variable bebas x sama dengan ∆𝑥.

• ∆𝑦 adalah perubahan sebenarnya dalam variable y ketika x berubah dari x ke 𝑥 + ∆𝑥,

𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

• 𝑑𝑦 adalah diferensial variable tak-bebas y, didefinisikan oleh 𝑑𝑦 = 𝑓^′(𝑥)𝑑𝑥.

Perhatikan bahwa 𝑑𝑦 = 𝑓^′(𝑥)𝑑𝑥, pembagian kedua ruas dengan 𝑑𝑥 menghasilkan

𝑓^′(𝑥)=𝑑𝑦 𝑑𝑥

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN Soal :

Dari puncak sebuah gedung setinggi 160 feet, sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan awal 64 feet per detik.

a) Kapan bola mencapai ketinggian maksimum?

b) Berapa ketinggian maksimumnya?

c) Kapan bola membentur tanah?

d) Dengan laju berapa bola membentur tanah?

e) Berapa percepatannya pada t = 2?

Penyelesaian :

Misalkan t = 0 berkorespondensi dengan saat pada waktu bola dilempar. Maka s0 =160 dan v0

= 64 (v0 positif karena bola dilempar ke atas). Jadi 𝑠 = −16𝑟²+ 64𝑡 + 160

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡 = −32𝑡 + 64 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡 = −32

a) Bola mencapai ketinggian maksimum pada waktu kecepatannya 0, yakni ketika -32t + 64

= 0 atau ketika t = 2 detik.

b) Pada t = 2, s = -16(2)² + 64(2) + 160 = 224 feet.

c) Bola membentur tanah pada waktu s = 0, yakni ketika

−16𝑟² + 64𝑡 + 160 = 0 Pembagian oleh -16 memberikan

𝑡²− 4𝑡 − 10 = 0

Maka rumus abc menghasilkan

𝑡 = 4 ± √16 + 40

2 =4 ± 2√14

2 = 2 ± √14

Hanya jawaban positif yang masuk akal. Jadi bola membentur tanah pada t = 2 + √14 ≈ 5,74 detik.

d) Pada t = 2 + √14, v = -32(2 + √14) + 64 ≈ -119,73. Jadi bola membentur tanah pada laju 119,73 feet per detik.

e) Percepatan selalu -32 feet per detik. Ini adalah percepatan gravitasi di dekat permukaan laut.