STUDENT REVIEW and BANK SOAL LOGIKA MATE

(1)

STUDENT REVIEW & BANK SOAL

LOGIKA MATEMATIKA

Dosen Pengampu:

Maxrizal, S.Pd.Si., M.Sc.

Disusun Oleh:

Mahasiswa Kelas E,F,Z

Logika Matematika

TEKNIK INFORMATIKA

(2)

CATATAN DOSEN PENGAMPU

Assalamulaikum wr. wb

Salam semangat!!!

Saya ucapkan selamat kepada mahasiswa-mahasiswi yang telah berhasil mereview kembali

perkuliahan logika matematika selama 1 semester. Student review dan bank soal ini adalah

kumpulan materi-materi dari modul kuliah, bahan dari internet dan diskusi materi di kelas selama

pembelajaran.

Saya berharap karya para mahasiswa ini akan memotivasi para mahasiswa untuk menulis dan

belajar, serta bisa digunakan untuk menunjang pembelajaran logika matematika di kampus STMIK

Atma Luhur.

Memang masih banyak kekurangan dalam penyusunan materi seperti format naskah, ataupun

kebiasan copas (copi-paste) sehingga hasilnya kurang maksimal.

(3)

DASAR-DASAR LOGIKA MATEMATIKA DAN PROPOSISINYA

Written by:

1.VIYENDRA VIRASTA 1411500134 2.DIKI ASTONI 1411500217 3.RESTU ANANDA 1411500152 4.DWI TIA MEILISA 1411500153

5.ZALIKA 1422500037 6.YUYUN MUTRIANI 1422500038

7.YUNITA 1411500169 8.NIRWAN EFFENDY 1422500142

TEKNIK INFORMATIKA

(4)

LESSON

DASAR-DASAR LOGIKA MATEMATIKA DAN PROPOSISI

MATEMATIKA DAN LOGIKA

Menurut BETRAND RUSSEL matematika adalah ilmu yang menyangkut deduksi logis tentang akibat-akibat dari pangkal fikir umum semua penalaran. Ini berkaitan dengan konsepsi matematika sebagai ilmu formal, ilmu tentang bilangan dan ruang, ilmu tentang besaran dan keluasan, ilmu tentang hubungan, pola bentuk, dan rakitan juga sebagai ilmu yang bersifat abstrak dan deduktif.

MAKNA LOGIKA

Berasal dari bahasa yunani “LOGOS” yang berarti kata, ucapan, atau alasan. Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penalaran kesimpulan yang absah.

HUBUNGAN MATEMATIKA DAN LOGIKA Menurut RUDOLF CARNAP (1931)

Konsep matematika dapat diturunkan dari konsep-konsep logika dengan melalui batasan-batasan yang jelas.

Dalil-dalil matematika dapat diturunkan dari aksioma-aksioma logika dengan perantara deduksi logis secara murni.

Menurut BETRAND RUSSEL

Logika adalah masa muda matematika dan matematika adalah masa dewasa logika.

LOGIKA DAN KOMPUTER

(5)

Program komputer berjalan di atas struktur penalaran yang baik dari suatu solusi terhadap suatu permasalahan dengan bantuan komponen program IF…THEN…ELSE, FOR…TO…DO, WHILE, CASE…OF.

1.1 LOGIKA DAN PERNYATAAN

1.1.1 LOGIKA

PENGERTIAN UMUM LOGIKA

Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran serta mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah.

Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen) dan hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai benar.

Kalimat yang dipelajari dalam logika bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun bukti matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh karena itu aturan-aturan yang berlaku di dalamnya haruslah bersifat umum dan tidak tergantung pada kalimat atau disiplin ilmu tertentu. Ilmu logika lebih mengarah dalam bentuk sintaks-sintaks daripada arti dari kalimat itu sendiri.

GAMBARAN UMUM LOGIKA

Secara umum logika dibedakan menjadi dua yaitu Logika Pasti dan Logika Tidak Pasti. Logika pasti meliputi Logika Pernyataan (Propotitional Logic), Logika Predikat (Predicate Logic), Logika Hubungan (Relation Logic) dan Logika Himpunan. Sedangkan logika tidak pasti meliputi Logika Samar atau kabur (Fuzzy Logic).

Logika Pernyataan membicarakan tentang pernyataan tunggal dan kata hubungnya sehingga didapat kalimat majemuk yang berupa kalimat deklaratif.

(6)

Logika Hubungan mempelajari hubungan antara pernyataan, relasi simetri, refleksif, antisimtris, dll.

Logika himpunan membicarakan tentang unsur-unsur himpunan dan hukum-hukum yang berlaku di dalamnya.

Logika Samar merupakan pertengahan dari dua nilai biner yaitu ya-tidak, nol-satu, benar-salah. Kondisi yang ditunjukkan oleh logika samar ini antara lain : banyak, sedikit, sekitar x, sering, umumnya. Logika samar banyak diterapkan dalam kecerdasan buatan, mesin pintar atau sistem cerdas dan alat-alat elektronika. Program komputer dengan menggunakan logika samar mempunyai kapasitas penyimpanan lebih kecil dan lebih cepat bila dibanding dengan logika biner.

1.1.2 PERNYATAAN (PROPOSISI)

Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi. Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.

Contoh :

1. Yogyakarta adalah kota pelajar (Benar).

2. 2+2=4 (Benar).

3. Semua manusia adalah fana (Benar). 4. 4 adalah bilangan prima (Salah).

5. 5x12=90 (Salah).

Tidak semua kalimat berupa proposisi

Contoh :

(7)

3. Andi lebih tinggi daripada Tina. 4. 3x-2y=5x+4.

5. x+y=2.

1.1.3 PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.

Dalam logika dikenal 5 buah penghubung

Simbol Arti Bentuk

¬ Tidak/Not/Negasi Tidak………….

 Dan/And/Konjungsi ……..dan……..

 Atau/Or/Disjungsi ………atau…….

 Implikasi Jika…….maka…….

 Bi-Implikasi ……..bila dan hanya bila……..

Contoh 1.1 :

Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”

Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”

Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “

(8)

Contoh 1.2 :

Misalkan p: hari ini hari minggu

q: hari ini libur

nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :

a. Hari ini tidak hari minggu tetapi libur b. Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur

c. Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur

Penyelesaian

a. Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p  q

b. ¬p ¬q c. ¬(p  q)

NEGASI (INGKARAN)

Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah p yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (p) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.

KONJUNGSI

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “”

Contoh 1.3:

p: Fahmi makan nasi

(9)

Maka pq : Fahmi makan nasi dan minum kopi

Pada konjungsi pq akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka pq bernilai salah.

DISJUNGSI

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “”.

Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :

a. INKLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”

Contoh :

p : 7 adalah bilangan prima

q : 7 adalah bilangan ganjil

p  q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil

Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.

b. EKSLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.

Contoh :

p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.

q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.

p  q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.

(10)

IMPLIKASI

Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “”.

Notasi pq dapat dibaca :

1. Jika p maka q 2. q jika p

3. p adalah syarat cukup untuk q 4. q adalah syarat perlu untuk p

Contoh 1.4:

1. p : Pak Ali adalah seorang haji. q : Pak Ali adalah seorang muslim.

p  q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim. 2. p : Hari hujan.

q : Adi membawa payung.

Benar atau salahkah pernyataan berikut?

a. Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung. b. Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung. c. Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung.

d. Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.

BIIMPLIKASI

(11)

pernytaan hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar.

Contoh 1.5 :

p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.

q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

p  q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

Tabel Kebenaran

Pernyataan, Negasi, Konjungsi,Disjungsi,Inplikasi dan Biimplikasi p q p q pq pq pq pq

T T F F T T T T

T F F T T F F F

F T T F T F T F

F F T T F F T T

(12)

QUESTION

Soal 1

Contoh Soal Proposisi Bernilai Benar

1. Jakarta Adalah Ibukota Negara Indonesia

Apakah Pertanyaan diatas termasuk Proposisi,kalau proposisi berikan alasannya..?

JAWABAN:Kalimat diatas Merupakan proposisi bernilai benar karena Ibukota Indonesia adalah Jakarta.

Soal 2

2. STMIK adalah satu-satunya Sekolah Tinggi Ilmu Komputer dan Manajemen di Bangka Belitung.

Apakah Pertanyaan diatas termasuk Proposisi,kalau proposisi berikan alasannya..?

Jawaban : Kalimat diatas merupakan proposisi bernilai benar karena STMIK adalah satu-satunya Sekolah Tinggi Ilmu Komputer dan Manajemen di Bangka Belitung.

Soal 3

3. Universitas Gajah Mada adalah Universitas Negeri yang berada di Kota Yogyakarta. Apakah Pertanyaan diatas termasuk Proposisi,kalau proposisi berikan alasanya..?

Jawaban : Kalimat diatas Merupakan proposisi bernilai benar karena Universitas Gajah Mada adalah Universitas Negeri yang berada di Yogyakarta

Soal 4

Contoh Soal Proposisi Bernilai Salah

4. Tokyo adalah Ibukota Negara Indonesia

(13)

Jawaban : Kalimat diatas merupakan proposisi bernilai salah karena tidak benar Tokyo adalah Ibukota Negara Indonesia dan kalimat Proposisi Bernilai Benar adalah Tokyo adalah Ibukota Negara Jepang.

Soal

Contoh Soal Proposisi Bernilai Salah

5. Rupiah adalah mata uang negara Arab Saudi

Apakah Pertanyaan diatas merupakan kalimat Proposisi yang bernilai salah, jika iya berikan kalimat proposisi yang bernilai benar..?

Jawaban : Kalimat di atas merupakan kalimat proposisi bernilai salah, Karena tidak benar rupiah adalah mata uang negara Arab Saudi dan kalimat proposisi bernilai benar adalah Rupiah adalah mata uang negara Indonesia.

Soal 6

Contoh Soal Proposisi Bernilai Salah 6. Menara Eifell terletak di German

Apakah Pertanyaan diatas merupakan kalimat Proposisi yang bernilai salah, jika iya berikan kalimat proposisi yang bernilai benar..?

Jawaban : Kalimat di atas merupakan kalimat proposisi bernilai salah, Karena tidak benar Menara Eifell terletak di German dan kalimat proposisi bernilai benar adalah Menara Eifell terletak di Perancis.

Soal 7

Contoh Soal Yang Bukan Proposisi :

7. Andi lebih tinggi dari pada Rio

(14)

Jawaban :

Kalimat diatas merupakan kalimat bukan proposisi, karena belum jelas kepastiannya.

Soal 8

8. Bejo Lebih Pintar Dari pada Zalika

Apakah kalimat diatas merupakan kalimat proposisi?

Jawaban :

Soal 9

9. Anggara Lebih Ganteng dari pada Ningol

Jawaban :

Soal 10

10.Juminten Lebih cantik dari pada Tukiem

Jawaban :

(15)

DAFTAR PUSTAKA

(16)

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA

OPERATOR LOGIKA DASAR & TABEL KEBENARAN

Written by:

1.Dian Rahayu Utami(1411500121)

2.Nindya Pinka(1411500099)

3.Putri Saprini(1411500116)

4.Riana Jannati(1411500120)

5.Sinta(1411500117)

6.Suci Amalia Arfah(1411500032)

6.Sulastri(1411500057)

TEKNIK INFORMATIKA

(17)

OPERATOR LOGIKA DASAR

A. Pengertian Operator Logika

Pada preposisi majemuk kita akan menjumpai kata penghubung antar kalimat yang dinamakan operator logika. Perhatikan contoh preposisi majemuk 5 ada majemuk 5 adalah bilangan prima dan genap, jelas bahwa operator logika yang digunakan adalah operator logika. Selanjutnya kita bisa menyimbolkan p: 5 adalah bilangan prima dan q: 5 adalah bilangan genap, sehingga contoh diatas dapat di simbolkan dengan p dan q.

Simbol huruf p,q disebut denga variable logika.

Berikut beberapa operator logika yang sering digunakan, yaitu:

Simbol Arti Bentuk

~ Tidak/Bukan/Negasi/Not Tidak p

ᴧ Dan/Konjungsi/And p dan q

V Atau/Disjungsi/Or p atau q

→ Implikasi/Implies Jika p maka q

↔ Bi-Implikasi/If and Only If p jika dan hanya jika q

B. Jenis-Jenis Operator Logika  NEGASI

“Misalkan p adalah suatu preposisi. Negasi p adalah bentuk pengingkaran dari p dan disimbolkan dengan ~p.”

Berikut contohnya:

a. p : Hari ini cerah.

~p : Tidak benar bahwa hari ini cerah. Bisa juga dinyatakan dengan:

~p : Hari ini tidak cerah b. q : 5 adalah bilangan prima.

~q : Tidak benar bahwa 5 adalah bilangan prima. Bisa juga dinyatakan dengan:

(18)

“Misalkan p adalah suatu preposisi. Disjungsi p,q adalah penggabungan preposisi p,q dengan operator logika atau, disimblkan dengan p v q.”

Berikut contohnya:

a. p : Hari ini saya membuat tugas logika q : Hari ini saya menonton TV.

Jadi, p v q : Hari ini saya membuat tugas Logika atau menonton TV.

b. p : Saya memilih jurusan Teknik computer

q : Saya memilih jurusan Teknik computer atau Management Informatika.

 IMPLIKASI

“Misalkan p adalah suatu preposisi. Implikasi p,q adalah penggabungan preposisi p,q dengan operator logika jika….maka…., disimbolkan dengan p→q, dengan p disebut p disebut antesenden dan q disebut konsekuen.”

Berikut contohnya:

(19)

 BIIMPLIKASI

Konsep dari biimplikasi sebenarnya adalah pengembangan dari konsep implikasi. Biimplikasi dikenal dengan implikasi dua arah yaitu p↔q dapat diartikan p→q dan q→p.

Berikut contohnya:

a. p : Sebuah bangun disebut persegi panjang q : Keempat sudutnya berukuran 90®

Jadi, p↔q : Sebuah bangun disebut persegi panjang, jika dan hanya jika keempat sudutnya berukuran 90®.

b. p : Setiap penduduk negara Indonesia memiliki KTP.

(20)

TABEL KEBENARAN A. Nilai Kebenaran

Nilai kebenaran dari suatu proposisi hanya ada 2 yaitu benar atau salah saja, biasanya disimbolkan B dan S. Benar(B) bisa dinyatakan True(T) atau 1, sedangkan Salah(S) bisa dinyatakan False(F) atau 0.

B. Tabel Kebenaran Operator Logika

Diberikan pernyataan p: Hari ini cerah , sehingga ~p: Hari ini tidak cerah. Jika p bernilai benar maka ~p pasti bernilai salah. Begitu juga sebaliknya. Berikut ini tabel kebenaran negasi:

P ~P

B S

S B

Tabel Kebenaran konjungsi :

P q P^q

B B B

B S S

S B B

S S S

“Operator logika konjungsi akan bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar” Tabel kebenaran disjungsi :

P q pvq

B B B

B S B

S B B

(21)

“Operator logika disjungsi akan bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah” Berikut ini disajikan tabel kebenaran implikasi :

p q P=>q

B B B

B S S

S B B

S S B

“Operator logika implikasi akan bernilai salah jika pernyataan yang pertama bernilai benar dan pernyataan yang kedua bernilai salah”

Berikut ini disajikan tabel kebenaran biimplikasi :

p q P<=>q

B B B

B S S

S B S

S S B

“Operator logika biimplikasi akan bernilai benar jika kedua pernyataan memiliki nilai kebenaran yang sama”

Contoh-contoh yang berkaitan dengan tabel kebenaran operator logika :

a. Akan ditentukan tabel kebenaran untuk ekspresi logika ~pvq : Perhatikan bahwa kita membutuhkan kolom tambahan untuk mempermudah proses penyelidikan yaitu kolom untuk ~p.

P ~p q ~pvq

B S B B

B S S S

S B B B

(22)

b. Akan ditemukan tabel kebenaran untuk ekspresi logika ~p  ~q. Perhatikan bahwa kita membutuhkan dua kolom tambahan untuk ~p dan ~q.

p ~p q ~q ~p  ~q

B S B S B

B S S B S

S B B S S

S B S B B

c. Akan ditentukan tabel kebenaran untuk ekspresi logika (pᴧq) => ~p. Perhatikan bahwa tanda kurung berperan sebagai tanda agar ekspresi didalamnya harus dikerjakan terlebih dahulu.

p ~p q pᴧq (pᴧq) => ~p

B S B B S

B S S S B

S B B S B

(23)

QUESTION Soal 1

Diberikan beberapa proposisi berikut. P : Hari ini saya berangkat ke Jakarta Q : Hari ini saya ke Bandung

Nyatakan kalimat dibawah ini dengan symbol logika.

a. Hari ini saya tidak berangkat ke Jakarta atau tidak ke Bandung b. Tidak benar hari ini saya berangkat ke Jakarta dan ke Bandung Penyelesaian :

a. ~pv~q b. ~(pᴧq)

Soal 2

Tentukan negasi dari kalimat berikut!

a. Jokowi adalah Presiden Indonesia sekarang b. Saya pasti akan lulus tes wawancara Penyelesaian :

a. Jokowi adalah bukan Presiden Indonesia sekarang b. Saya tidak akan lulus tes wawancara

Soal 3

Diberikan beberapa proposisi berikut. P : Kami pintar membuat animasi Q : Kami akan mengikuti kontes animasi

Nyatakan simbol logika di bawah ini ke dalam proposisi a. ~qᴧ~p

b. ~q  p Penyelesaian :

a. Kami tidak akan mengikuti kontes animasi dan kami tidak pintar membuat animasi b. Kami tidak akan mengikuti kontes animasi jika dan hanya jika kami pintar membuat

(24)

Soal 4 :

Diberikan beberapa proposisi berikut. P : Anda seorang pilot

Q : Anda seorang pramugara

Nyatakan kalimat di bawah ini dengan simbol logika

a. Jika anda seorang pilot maka anda bukan seorang pramugara b. Anda adalah seorang pilot dan anda bukan seorang pramugara Penyelesaian :

a. P => ~q b. pᴧ~q

Soal 5 :

Diberikan beberapa proposisi berikut. P : Anak-anak senang

Q : Guru memberi hadiah Penyelesaian :

Nyatakan kalimat di bawah ini dengan simbol logika.

a. Anak-anak senang jika dan hanya jika guru memberi hadiah

b. Jika guru tidak memberi hadiah maka anak-anak tidak senang, dan jika anak-anak tidak senang maka guru tidak memberi hadiah

(25)

(26)

Soal 9 (~pvr)ᴧq Penyelesaian:

p q r ~p (~pvr) (~pvr)ᴧq

B B B S B B

B B S S S S

B S B S B S

B S S S S S

S B B B B B

S B S B S S

S S B B B S

S S S B S S

Soal 10

(pᴧq) => (rv(~q => ~ r) Penyelesaian:

p q r ~q ~r (pᴧq) (~q => ~r) (rv(~q => ~r) (pᴧq) => (rv(~q => ~ r)

B B B S S B B B B

B B S S B B B B B

B S B B S S S B B

B S S B B S B B B

S B B S S S B B B

S B S S B S B B B

S S B B S S S B B

(27)

(28)

OPERATOR LOGIKA DASAR & TABEL KEBENARAN

Nama-Nama Anggota Kelompok :

Aperlinus Nazara (1411500200)

Eyo Prasisto (1422500154)

Cici Novia Putri (1422500130)

Enung Rismawati (1422500161)

Ferawati (1411500062)

TEKNIK INFORMATIKA

(29)

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

MATERI

DAFTAR ISI

II.2.

: TABEL KEBENARAN

2.1. : Perangkai Logika atau Operator

Pengertian Logika

2.1.1 : Negasi (¬)

1.2. : Kojungsi (^)

(30)

OPERATOR LOGIKA DASAR & TABEL KEBENARAN

II.2. TABEL KEBENARAN

Logika adalah ilmu tentang penalaran.Penalaran berarti mencari bukti validitas dari

suatu argument,mencari kosistensi dari pernyataan-pernyataan, dan membahas tentang

kebenaran dan ketidakbenaran.

Logika hanya berhubungan dengan bentuk-bentuk logika dari argumen-argumen,serta

penarikan kesimpulan terhadap validitas dari argument tersebut.Logika juga tidak

mempermasalahkan atau isi yang sebenarnya dari pernyataan tersebut.Penekanan hanya

silakukan pada premis-premis yang benar untuk menghasilkan kesimpulan yang

benar.Penekanan logika pada penarikan kesimpulan tentang validitas argument dilakukan

untuk mendapatkan kesimpulan yang abstrak,yang dibangun dengan memakai

kaidah-kaidah dasar logika tentang kebenaran dan ketidakbenaran yang menggunakan perangkai

logika.

Contoh 1 :

Jika hari hujan maka Aris basah kuyup

Proposisi kedua dari konsekuen masih bisa deperdebatkan kebenarannya.karena bisa jadi

baju Aris basah disiram oleh temannya atau sebab lainnya.Logika yang dimaksud

menekankan pada kemungkinan-kemungkinan tersebut.

Contoh 2 :

(1). Aris menangkap bola dan menendangnya

(2). Aris menendang bola dan menangkapnya

(31)

Untuk menentukan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi (proposisi majemuk dari

proposes atomiknya),dan cara mereka berhubungan oleh operator logika digunakan

sebuah alat yang dipakai untuk memberikan nilai yang dinamakan Tabel Kebenaran.

Sebelumnya perlu untuk mengetahui Tabel Kebenaran dari perangkai logika yang dasar

pembuktian argument.

II.2.1. Perangkai Logika atau Operator

Setiap perangkai memiliki nilai kebenaran masing-masing sesuai dengan jenis perangkai

logika yang digunakan.

No Perangkai

Arity

Simbol

1. Dan (And)

Unary

˄

2. Atau (Or)

Binary

˅

3. Tidak/Bukan (Not)

Binary

¬

4. Jika… maka… (If…Then…Implies)

Binary

→

5. Jika dan hanya Jika (if and only if)

Binary

↔

II.2.1.1. Negasi (¬)

Negasi dipergunakan untuk menggantikan perangkai “tidak(not)” dan berikut adalah

tabel kebenarannya.

A

¬A

¬¬A

F

T

F

T

F

T

F

T

F

T

F

T

Perangkai ¬ disebut perangkai unary atau monadic karena hanya dapat merangkai satu

variabel proposional.

(32)

1. Komputer mahal atau computer murah

2. Sepeda lama atau sepeda baru

Contoh di atas diubah menjadi varibel proposional.

Penyelesaian :

1. A : komputer mahal A : komputer mahal

B : komputer murah ¬A : komputer murah

2. A : sepeda lama A : sepeda lama

B : sepeda baru ¬A : sepeada baru

Bentuk logikanya adalah (A ˅ B), tidak boleh ditafsirkan dan diganti dengan variabel

proposional disebelah kanannya sehingga bentuk logikanya menjadi (A ˅¬A).Perangkai

kojungsi,dijungsi,dan negasi merupakan perangkai alamiah atau dasar karena semua

perangkai dapat dijelaskan dengan ke tiga perangkai tersebut.

II.2.1.2. Kojungsi (^)

Kojungsi (conjuntion) adalah kata lain dari perangkai “dan (And)”.Menggabungkan 2

proposisi untuk membentuk logika konjungsinya sehingga merupakan perangkaian binary

dan memiliki tabel kebenaran sebagai berikut :

A

B

A ˅ B

F

T

F

T

Contoh 1:

A : Fera naik sepeda

B : Enung naik sepeda

(33)

Contoh 2:

A : Eyo kuliah sore

B : Cici kuliah sore

A˄B : Eto dan Cici kuliah sore

II.2.1.3. Disjungsi(˅)

Disjungsi merupakan perangkai binary yang merangkai dua proposisi dan memiliki

symbol “v”.perangka logika ini memiliki tabel seperti di bawah ini :

A

B

A v B

F

T

F

T

Contoh 1:

A : Mesin mobil saya rusak

B : Karburator mobil saya rusak

A ˅ B : Mesin mobil dan karburator mobil saya rusak

Contoh 2:

A : Eyo kuliah di AMIK

B : Cici kuliah di AMIK

A˅B : Eyo dan Cici kuliah di AMIK

II.2.1.4. Implikasi(→)

(34)

Contoh 1:

A : Nilai ujian akhir anda adalah 80 atau <80

B : Anda mendapat nilai A

A→B Jika nilai akhir anda 80 atau lebih maka anda mendapat nilai A

Contoh 2:

A : Nilai Uas saya 50 atau >50

B : saya merana

A→B : Jika nilai Uas saya 50 atau lebih kecil maka saya merana.

A

B

A→B

F

T

F

T

F

T

(a)

Jika A,maka B (if A, then B)

(b)

Jika A, B (if A, B)

(c)

A mengakibatkan B (A implies B)

(d)

B jika A (B if A)

(e)

A hanya jika B (A only if B)

(f)

A syarat cukup agar B (B is sufficient for B)

(g)

B syarat perlu bagi A (B is necessary for A)

(h)

B bilamana A (B whenever A)

Latihan :

“Jika saya rajin kuliah hari ini,mata hari akan bersinar esok hari.” true/false?

“Jika hari selasa, maka saya adalah hantu.” True/false?

“Jika 1+1 = 6,maka Eyo adalah pemimpin.” True/false?

(35)

II.2.1.5. Ekiuvalensi(↔)

Operator biimplikasi A↔B menyatakan bahwa A benar jika dan hanya jika B benar

Conto 1:

A : SBY menang pada pemilu 2004

B : SBY akan mulai menjadi Presiden tahun 2004

A↔B : Jika dan hanya jika SBY menang pada pemilu 2004 maka SBY akan menjadi presiden

pada tahun 2004

Contoh 2:

A : Aris masuk kuliah tahun 2014

B : Aris jadi mahasiswa tahun 2014

A↔B : jika dan hanya jika Aris masuk kuliah 2014 maka aris jadi mahasiswa tahun 2015

A

B

A↔B

F

T

F

T

F

T

F

T

(a)

A jika dan hanya jika B (A if and only if B)

(b)

A adalah syarat perlu dan cukup untuk B. (A is necessary and sufficient for B)

(c)

Jika A maka B,dan sebaliknya (if A then B,and conversely)

(d)

A jika B (A iff B)

Soal-soal latihan serta cara penyelesaiannya :

1.Buat tabel kebenaran dari pernyataan di bawah ini:

(p˄q) ˄ (¬p˄q)

(36)

2.Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan ¬(p˅q) ˅ (¬q˄¬q)

Penyelesaian:

3.Buatlah tabel kebenaran dari pernyataaan dibawah ini:

((p→q)˄p)→q nilainya selalu benar.

Penyelesaian :

4.Buktikan pernyataan (p˄q) q adalah tautology

Penyelesaian:

(p˄q) q ˜(p˄q) ˅q

˷p ˅

(37)

6.Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan (p˄q)→¬p

Jika p bernilai B

7. Buktikan pernyataan majemuk (q→p)↔(¬p→¬p) merupakan Tautologi

Penyelesaian:

8.Buktikan pernyataan majemuk (p→(p→r)) ((p˄q)→r)

Penyelesaian:

(p→(q→r)) (¬p˅(p→r))

¬p˅ (¬q˅r)

(¬p˅¬q)˅r

¬(p˄q)˅r

(38)

Jadi hasilnya merupakan tautology

9.Buktikan pernyataan q (p˅q) merupakan tautologi

Penyelesaian:

q (p˅q) ~q˅ (p˅q)

~q˅ (p˅q)

T ˅ p

T………(merupakan tautologi)

10.Buktikan ekuivalensi berikut:

~(p˅~q) ˅ (~p˄~q) ~p

Penyelesaian:

~ (p˅~q) ˅ (~p ˄ ~q) (~p˄q) ˅ (~p ˄ ~q)

~ p ˄ (q ˄ ~q)

P ˄ T

(39)

DAFTAR PUSTAKA

II.2.

: TABEL KEBENARAN

2.1. : Perangkai Logika atau Operator

2.1.1 : Negasi (¬)

1.2. : Kojungsi (^)

1.3. : Disjungsi (v)

1.4. : Implikasi (→)

1.5. : Ekuivalensi (↔)

(40)

TUGAS LOGIKA MATEMATIKA

TENTANG

2.) OPERATOR LOGIKA DASAR DAN TABEL

KEBENARANNYA

1. EKO TEGUH BACHTIAR

2. SEPTIANA PUTRI HARUM BAMA

( 1422300026)

( 1422500211 )

3. CICI ANGGREINI

( 1422500213 )

4. DIO ANDIKA PRATAMA

( 1422300044 )

5. HENDA ARDIAN NATA

( 1422500157 )

(41)

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

Alhamdulillahirabbilalamin, banyak nikmat yang Allah berikan, tetapi

sedikit sekali yang kita ingat. Segala puji hanya layak untuk Allah atas

segala berkat, rahmat, taufik, serta hidayah-Nya yang tiada terkira

besarnya, sehingga kami dapat menyelesaikan tugas logika matematika

ini.

Dalam penyusunannya, kami mengucapkan terimakasih kepada Guru

logika matematika kami yaitu Bapak Maxrizal yang telah memberikan

dukungan, kasih, dan kepercayaan yang begitu besar. Dari sanalah

semua kesuksesan ini berawal, semoga semua ini bisa memberikan

sedikit kebahagiaan dan menuntun pada langkah yang lebih baik lagi.

Meskipun kami berharap isi dari laporan tugas kami ini bebas dari

kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yang kurang. Oleh

karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar

tugas logika matematika ini dapat lebih baik lagi.

Akhir kata kami mengucapkan terimakasih, semoga hasil laporan tugas

logika matematika kami ini bermanfaat.

Wassallammuallaikum WR.WB

(42)

OPERATOR LOGIKA MATEMATIKA

PENDAHULUAN

· Logika adalah ilmu yang mempelajari tentang penalaran yang berhubumgan dengan

pembuktian validitas suatu argumen.

· Argument yang berisi pernyataan-pernyataan harus dirubah menjadi bentuk logika untuk

dapat dibuktikan validitasnya.

· Cara membuat ke bentuk logika, argument harus dirubah menjadi preposisi-preposisi

selanjutnya preposisi dirubah menjadi variabel preposisi dengan huruf.

· Setiap variabel preposisi ditentukan nilainyadan dimanipulasi dengan cara tertentu untuk

mendapatkan nilaikebenarannya.

· Contoh-contoh argument yang valid dan yang bisa dipakai adalah. Disjunctive Sillogism,

Hypothecal Sillogism, Modus ponen, dan Modus Tollens.

· Argument : permis & kesimpulan, preposisi / pernyataan semua berbentuk kal.

· Preposisi dinotasikan dengan huruf abjad dan diberi nilai benar dan salah.

· Eksprersi terdiri dari notasi dan perangkai ini juga disebut logika

PREPOSISI

Kalimat yang benar atau salah, ttp tidak keduanya

· Preposisi atau kalimat dalam logika, preposisi bisa berupa

+ atom / kalimat sederhana

+ kalimat kompleks, komposisi kalimat menggunakan operator logika. · Kalimat sederhana bisa berupa

+ symbol konstanta : true dan false + symbol variabel proposisi : p,q,r,p1,q1 · Literial adalah atom atau negasinya. Kalau keduanya barsamaan pakai ( ... )

p  q 1. Jika p maka q atau q apabila p 2. P hanya apabila q

3. P adalah syarat cukup untuk q 4. Q adalah syarat perlu untuk p

p  q 1. p => q dan q => p

2. P jika dan hanya jika q

(43)

Contoh soal :

1. Diberikan data:

Pernyataan p bernilai salah Pernyataan q bernilai benar

Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini: a) p ∧ q

b) p ∧ ~q c) ~p ∧ q d) ~p ∧ ~q

Pembahasan

Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi : p q p ∧ q

B B B

B S S

S B S

S S S

Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar. Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel:

p q ~p ~q p ∧ q p ∧ ~q ~p ∧ q ~p ∧ ~q

S B B S S S B S

Dari tabel di atas a) p ∧ q bernilai salah b) p ∧ ~q bernilai salah c) ~p ∧ q bernilai benar d) ~p ∧ ~q bernilai salah

Diberikan nilai dari pernyataan p dan q sebagai berikut: p q

(44)

2. Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut: a) p ∨ q

b) p ∨ ~q c) ~p ∨ q

Pembahasan

Tabel lengkap dari disjungsi sebagai berikut: . p q p ∨ q

1 B B B

2 B S B

3 S B B

4 S S S

Dari data soal dapat diperoleh nilai dari negasi p maupun negasi q, tinggal dibalikkan saja B jadi S, S jadi B

p q ~p ~q

B S S B

a) p ∨ q

p bernilai B, q bernilai S

Pasangan B S menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 2)

b) p ∨ ~q

p bernilai B, ~q bernilai B (kebalikan dari nilai q)

Pasangan B B menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 1)

c) ~p ∨ q

~p bernilai S (kebalikan dari nilai p), q bernilai S

(45)

QUESTION

:

1. Tentukan tabel kebenaran dari pernyataan berikut

:

(P  Q) => ~ P

P Q ~ P P  Q (P  Q)  ~ P

B B S B S

B S S S B

S B B S B

S S B B B

Penjelasan : pertama di cari dulu negasi p lalu implikasi lalu dapatlah dicari semua Bi-implikasi dan Implikasinya.

2. Tentukan tabel kebenaran dari pernyataan (P ∧ Q) => ~P :

P Q P ( P ∧ Q) (P ∧ Q) => P

B B S B S

B S S S B

S B B S S

S S B S S

Cara penyelesaianya : tentukan dulu negasi p lalu p dan q menggunakan ∧ (dan) sehingga p dan q di implikasikan ke negasi p sehingga hasil lebih mudah dicari.

3. Tentukan nilai dari pernyataan berikut beserta tabel kebenaranya (~p ∧ r) ∨ (~r ⇒ q)

Cara penyelesainya :

(46)

4. Tentukan nilai dari pernyataan berikut : {(p => q) ∧ ~q} => ~p

Cara penyelesaian :autologi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai benar untuk setiap kemungkinan. Hal ini dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran ataupun sifat-sifat logika.

5. Diketahui premis-premis :

1. Jika Budi ulang tahun maka semua temannya datang 2. Jika semua temannya datang maka ia mendapatkan kado 3. Budi tidak mendapatkan kado

Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah ... A. Budi ulang tahun

B. Semua temannya datang C. Budi tidak ulang tahun D. Semua teman tidak datang E. Budi mendapatkan kado

Pembahasan : misal :

Budi ulang tahun = p Semua teman datang = q Budi mendapatkan kado = r Budi tidak mendapatkan kado = ~r

Kesimpulan dari premis 1 dan 2 berdasarkan silogisme adalah : p → q

q → r ————

∴ p → r ---> jika Budi ulang tahun, maka ia mendapatkan kado.

Kesimpulan dari silogisme dan premis 3 berdasarkan modus Tollens adalah : p → r

~r ————

(47)

6. Diberikan nilai dari pernyataan p dan q sebagai berikut:

p q B S

Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut: a) p ∨ q

b) p ∨ ~q c) ~p ∨ q

Pembahasan

Tabel lengkap dari disjungsi sebagai berikut:

. p q p ∨ q 1 B B B 2 B S B 3 S B B 4 S S S

Dari data soal dapat diperoleh nilai dari negasi p maupun negasi q, tinggal dibalikkan saja B jadi S, S jadi B

p q ~p ~q B S S B

a) p ∨ q

p bernilai B, q bernilai S

Pasangan B S menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 2)

b) p ∨ ~q

p bernilai B, ~q bernilai B (kebalikan dari nilai q)

Pasangan B B menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 1)

c) ~p ∨ q

~p bernilai S (kebalikan dari nilai p), q bernilai S

(48)

7. Diketahui pernyataan :

1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi

2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung 3. Ani tidak memakai payung

Kesimpulan yang sah adalah ... A. Hari panas

B. Hari tidak panas C. Ani memakai topi

D. Hari panas dan Ani memakai topi E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi.

Pembahasan :

Ingat kembali aturan kesetaraan : ~ q ∨ r ≡ q → r

Misal :

Hari panas = p Ani memakai topi = q Ani memakai payung = r

Maka pernyataan di atas dapat ditulis menjadi : 1. p → q

Selanjutnya, dari kesimpulan pertama dan pernyataan 3 diperoleh : p → r

~ r ————

∴ ~ p

Jadi kesimpulan yang sah adalah hari tidak panas. ---> opsi B.

Ingat kembali penarikan kesimpulan dengan modus Tollens : p → r

~ r ————

∴ ~ p

8. Pernyataan p bernilai salah Pernyataan q bernilai benar

(49)

Pembahasan :

Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi :

p q p ∧ q

Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar. Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel :

Dari tabel di atas

a) p ∧ q bernilai salah

9. Diberikan nilai dari pernyataan p dan q sebagai berikut: p q

B S

Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut : a) p ∨ q

b) p ∨ ~q c) ~p ∨ q

Pembahasan

Tabel lengkap dari disjungsi sebagai berikut : p q p ∨ q

Dari data soal dapat diperoleh nilai dari negasi p maupun negasi q, tinggal dibalikkan saja B jadi S, S jadi B p q ~p ~q B S S B a) p ∨ q p bernilai B, q bernilai S Pasangan B S menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 2) b) p ∨ ~q p bernilai B, ~q bernilai B (kebalikan dari nilai q) Pasangan B B menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 1) c) ~p ∨ q ~p bernilai S (kebalikan dari nilai p), q bernilai S Pasangan S S menghasilkan nilai S.

10.Diberikan data:

(50)

c) ~p ∧ q d) ~p ∧ ~q

Pembahasan

Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi :

p q p ∧ q B B B B S S S B S S S S

Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar. Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel:

p q ~p ~q p ∧ q p ∧ ~q ~p ∧ q ~p ∧ ~q

S B B S S S B S

(51)

http://id.wikipedia.org/wiki/Kontradiksi

http://id.wikipedia.org/wiki/Tautologi

http://apiqquantum.com/2009/10/23/negasi-ingkaran-logika-matematika-implikasi/

http://www.bimbingan.org/implikasi-logika-matematika.htm

(52)

LOGIKA MATEMATIKA

“ SISTEM INFORMASI “

Written by:

1. Muhammad Doddy Setiawan 1422500120 2. Zainah 1422500050 3.

4.

Septia Desiandi Mulia

1422500041 1422500061 5. Yuni Ade Issusanti 1422500129

OPERATOR LOGIKA TAMBAHAN & TABEL KEBENARAN

(53)

2 LESSON

A. Pengertian Operator Logika Tambahan

Operator logika tambahan adalah proposisi-proposisi yang ada dan dapat dibentuk menjadi proposisi baru dengan menggunakan penghubung atau operator logika. Yangdikenal ada 6 jenis operator logika, yaitu negasi ┐, konjungsi ⋀, disjungsi ⋁, exclusive or ⨁, implikasi →,dan bi-implikasi(biconditional)↔

Contoh 1

Tentukan table kebenaran untuk ekspresi logika berikut ini: a. (p ∩ ┐q) ∙ ⇒ ┐p

Diketahui p bernilai benar (B), q bernilai salah (S), dan r bernilai benar (B) Tentukan nilai dari pernyataan berikut :

a. (p ∩ q) ⇒ (┐p ν ┐r) b. (┐p ν q) ⨁ (q ∩ ┐r)

a. ( p ∩ q ) ⇒ ( ┐p ν ┐r ) b. (┐p ν q ) ⨁ (q ∩ ┐r )

(54)

“Jika saya lapar maka saya akan makan dan kenyang”

Tentukan symbol dari ekspresi logika dan buatlah table kebenarannya

Jawab:

Diketahui p bernilai benar (B), q bernilai salah (S), dan r bernilai salah (S) Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan ini

(55)

4 Soal 3

Sebutkan Jenis-jenis operator logika tambahan

Jawab:

Diketahui a bernilai benar (B), d bernilai salah (S), dan f bernilai salah (S) Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan ini

a ⟺ (┐a ∩ f ) ↓ (┐d ⇒ f ) ν a

Apa yang dimaksud dengan table kebenaran :

Jawab:

(56)

5 Soal 6

Tentukan table kebenaran untuk ekspresi logika dibawah ini: (p ∩ ┐p)⟺ ┐q

Jawab:

p q ┐p ┐q (p∩┐p) (p∩┐p)⟺ ┐q

B B S S S B

B S S B S S

S B B S S B

S S B B S S

Soal 7

Diketahui x bernilai benar (B), y bernilai salah (S), dan z bernilai benar (B) Tentukan nilai dari pernyataan dibawah ini :

(x ν z) ↓ (┐y ν y)

Jawab:

(57)

6 Soal 8

Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi dari p ∧ q

Jawab:

Tabel niali kebenaran untuk konjungsi p q p ∧ q

B B B

B S S

S B S

S S S

Terlihat konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan benar p q ┐p ┐q p ∧ q

S B B S S

Dari tabel diatas p ∧ q bernilai salah

Soal 9

Pernyataan x bernilai salah Pernyataan z bernilai benar

Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi dari x ∧ ┐z

Jawab:

Tabel niali kebenaran untuk konjungsi x z x ∧ z

B B B

B S S

S B S

(58)

7 Terlihat konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan benar

x z ┐x ┐z x ∧ z x ∧ ┐z

S B B S S S

Dari tabel diatas x ∧ ┐z bernilai salah

Soal 10

Pernyataan r bernilai salah Pernyataan s bernilai benar

Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi dari ┐r ∧ ┐s

Jawab:

Tabel niali kebenaran untuk konjungsi r s r ∧ s

B B B

B S S

S B S

S S S

Terlihat konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan benar r s ┐r ┐s r ∧ s r ∧ ┐s ┐r ∧ s ┐r ∧ ┐s

S B B S S S B S

(59)

8 DAFTAR PUSTAKA

1. http://arydipa.blogspot.com/2011/03/operator-logika.html 2. http://sciencebooth.com/2013/05/page/7/

(60)

Operator Logika Tambahan & Tabel Kebenaran

Written by:

1.Azizah Az-zahro 1422500056

2.Azizah Az-zuhro 1422500057

3.Umami 1422500074

4.Suciana 1422500039

5.Andi Setiawan 1411500008

6.Muhammad khomaini 1422500169

7.Ilham 1422500186

(61)

Operator Logika Tambahan & Tabel Kebenaran

LESSON

FUNGSI LOGIKA LAINNYA (TAMBAHAN)

No. Perangkai Logika

Istilah

Simbol

1. Yaitu kebalikan konjungsi, proposisi yang bernilai FALSE (salah) jika proposisi A dan B

keduanya TRUE (benar), dan proposisi yang lainnya pasti benar.

Tabel Kebenaran :

Yaitu kebalikan disjungsi, proposisi yang bernilai TRUE (benar) jika proposisi A dan B

keduanya FALSE (salah), dan proposisi yang lainnya pasti FALSE (salah).

(62)



Exslusive Or ( (↓) ) = exlusive or

Yaitu kebalikan biimplikasi, proposisi yang bernilai FALSE (salah) jika proposisi A dan B

bernilai sama.

Tabel Kebenaran :

A

B

A (↓) B

T

F

T

F

T

F

T

F

Contoh 1

p ˅ (q ↓ p )

Penyelesaian:

p

q

r

q ↓ p

p ˅ (q ↓ p)

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

Contoh 2

p ϴ ( q ˄ p )

Penyelesaian:

p

q

q ˄ p

¬p ϴ ( q ˄ p )

B

S

B

S

B

(63)

QUESTION

Soal 1

p ˄ q|r

Penyelesaian:

p

q

r

p ˄ q

p ˄ q | r

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

Soal 2

(¬p ˅ r) ˄|q

Penyelesaian:

p

q

r

¬p

¬p˅ r

(¬p ˅ r) | q

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

(64)

Soal 3

( p ˅ r ) | ( ¬q ϴ ¬p)

Penyelesaian:

p

q

R

¬p

¬q

p ˅ r

¬q ϴ ¬p

( p ˅ r ) | ( ¬q ϴ ¬p)

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

Soal 4

( p ˅ (q ↓ p ) ˄ r

Penyelesaian:

p

Q

r

q ↓ p

p ˅ (q ↓ p)

( p ˅ (q ↓ p ) ˄ r

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

(65)

Soal 5

( q | ¬r ) ˅ ( p ˄ r )

Penyelesaian:

p

q

r

¬r

q | ¬r

p ˄ r

( q | ¬r ) ˅ ( p ˄ r )

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

Soal 6

¬( ¬p |¬q)

Penyelesaian:

p

q

¬p

¬q

¬p ˄ ¬q

¬( ¬p |¬q)

B

S

B

S

B

S

B

S

(66)

Soal 7

p ↓ (p ˅ q)

Penyelesaian:

p

q

p ˅ q

p ↓ (p ˅ q)

B

S

B

S

B

S

B

S

B

Soal 8

q˄r |¬q

Penyelesaian:

p

q

r

¬q

r ˄¬q

q˄r |¬q

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

(67)

Soal 9

¬p ϴ ( q ˄ p )

Penyelesaian:

p

q

¬p

q ˄ p

¬p ϴ ( q ˄ p )

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

Soal 10

¬( p ˅ q ) | p

Penyelesaian:

p

q

p ˅ q

( p ˅ q ) | p

¬( p ˅ q ) | p

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

(68)

DAFTAR PUSTAKA

(http://arydipa.blogspot.com/2011/03/operator-logika.html

https://smartblogmathematic.wordpress.com/ingkaran/

(69)

IMPLIKASI DAN APLIKASI

Written by:

1. Triana Wulandari

1422400045

2. Nurul Fajrin

1422500044

3. Ismailiwati

1422500202

4. Amudia Kalpa Taruna

1411500129

5. Olivia Fahrelyanti

1422500040

6. Ardiansyah

1422500220

7. Prima Wiriandana

1422500055

TEKNIK INFORMATIKA

(70)

1

IMPLIKASI DAN APLIKASI

LESSON

A. Pengertian Implikasi

Implikasi adalah pengertian majemuk yang diawali dengan kata jika dan dihubungkan

dengan kata hubung “maka” yang disimbolkan dengan “

⟹

” , misal “p

⟹

q” dibaca “jika p

maka q.

Contoh 1

Tentukan konvers,invers,dan kontraposisi dari pernyataan implikasi berikut :

a)

Jika harga rak,maka permintaan turun

b)

Jika x = 9,maka x

2

_{= 81}

Penyelesaian:

a)

Jika harga naik,maka permintaan turun

Konversnya : jika permintaan turun,maka harga naik q

⟹

p

Inversnya : jika harga tidak naik,maka permintaan tidak turun ⌐p

⟹

⌐q

Kontraposisi : jika permintaan tidak turun,maka harga tidak naik ⌐q

⟹

⌐p

Tabel Kebenaran:

(71)

2

If ( x ≤ 20 )

∧

( 3 + x =15 ) then x : = x + 5

Bila diberikan nilai x = 8, 12, 16, 18 sebagai x input maka akan di tentukan x output

Lengkapi table di bawah ini :

x input

8 12 16 18

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan implikasi berikut :

a.)

Jika Yuri Rajin belajar, Maka Yuri pintar

(72)

3

Invers

= Jika Yuri tidak rajin belajar, maka Yuri tidak pintar (¬p

⟹

¬q)

Kontraposisi

= Jika Yuri tidak pintar, maka Yuri tidak Rajin Belajar (¬q

⟹

¬p)

b.)

Implikasi

= Jika x = 3, maka x + 4 = 7 (p

⟹

q)

Konvers

= Jika x + 4 = 7, maka x = 3 (q

⟹

p)

Invers

= Jika x ≠ 3, maka x + 4 ≠ 7 (¬p

⟹

¬q)

Kontraposisi

= Jika x + 4 ≠ 7, maka x ≠ 3 (¬q

⟹

¬p)

Soal 2

Tentukan Konvers, Invers dan Kontraposisi dari pernyataan Implikasi :

a.

Jika x = 4, maka x

2

_{= 16}

Kontraposisi

: jika dia tidak minum, maka dia tidak haus

(73)

(74)

5

X input

2 3 5 6

X output 7 3 28 39

1. If ( 2

2

_{+ 2 ≤ 8 )}

_⨁

_{( 2 + 2}

2

_{≥ 15) then x : 2}

2

_{+ 3 = 7}

B

S

B

2. If ( 3

2

_{+ 2 ≤ 8 )}

_⨁

_{( 3 + 3}

2

_{≥ 15) then x : x}

2

_{+ 3}

S

3. If ( 5

2

_{+ 2 ≤ 8 )}

_⨁

_{( 5 + 5}

2

_{≥ 15) then x : 5}

2

_{+ 3 = 28}

S

B

4. If ( 6

2

_{+ 2 ≤ 8 )}

_⨁

_{( 6 + 6}

2

_{≥ 15 ) then x : 6}

2

_{+ 3 = 39}

S

B

Soal 5

Misalkan didalam sebuah program computer diberikan pernyataan berikut;

If ( 2 + X ≤ 10 )

∨

( X ≤ 7 ) then x : = x + 6

X input

6

7

8

10 X output

12

13

14

10 Penyelesaian:

1. If ( 2 + 6 ≤ 10)

∨

( 6 ≤ 7 ) then x : = 6 + 6 = 12

B

(75)

6

2. If ( 2 + 7 ≤ 10 )

_∨

( 7 ≤ 7 ) then x : = 7 + 6 = 13

B

3. If ( 2 + 8 ≤ 10 )

∨

( 8 ≤ 7 ) then x : = 8 + 6 = 14

B

S

B

4. If ( 2 + 10 ≤ 10 )

∨

( 10 ≤ 7 ) then x : = x + 6

S

Soal 6

X input

13

10

9

8 X output

13

17

16

15 Tentukan if ( 5 + 8 – X ≤ 16 )

⨁

( x + 10 – 2 ≥ 20 ) then x : = x + 7

Penyelesaian:

1. If ( 5 + 8 – 13 ≤ 16 )

_⨁

( 13 + 10 – 2 ≥ 20 ) then x : =x + 7

B

S

2. If ( 5 + 8 – 10 ≤ 16 )

⨁

( 10 + 10 – 2 ≥ 20 ) then x : = 10 + 7 = 17

B

S

B

3. If ( 5 + 8 – 9 ≤ 16 )

⨁

( 9 + 10 – 2 ≥ 20 ) then x : = 9 + 7 = 16

B

S

(76)

7

4. If ( 5 + 8 – 8 ≤ 16 )

_⨁

( 8 + 10 – 2 ≥ 20 ) then x : = 8 + 7 = 15

B

S

B

Soal 7

Diketahui didalam sistem komputer diberikan pernyataan berikut;

If ( 10 : 5 x 2 + X – 6 ≤ 3 ) ↓ ( 8 x 2 : 4 + 10 – X ≤ 9 ) then x : = x + 7

X input

3

4

5

6 X output

3

4

5

6 Penyelesaian:

1. If ( 10 : 5 x 2 + 3 – 6 ≤ 3 ) ↓ ( 8 x 2 : 4 + 10 – 3 ≤ 9 ) then x : = x + 7

B

S

2. If ( 10 : 5 x 2 + 4 – 6 ≤ 3 ) ↓ ( 8 x 2 : 4 + 10 – 4 ≤ 9 ) then x : = x + 7

B

S

3. If ( 10 : 5 x 2 + 5 – 6 ≤ 3 ) ↓ ( 8 x 2 : 4 + 10 – 5 ≤ 9 ) then x : = x + 7

S

B

S

4. If ( 10 : 5 x 2 + 6 – 6 ≤ 3 ) ↓ ( 8 x 2 : 4 + 10 – 6 ≤ 9 ) then x : = x + 7

B

S

Soal 8

Diketahui didalam sistem komputer diberikan pernyataan berikut;

If ( x ≤ 10 )

⨁

( 1 + x = 10 ) then x : = x + 2

(77)

8

X output

Penyelesaian:

1. If ( 3 ≤ 10 )

⨁

( 1 + x = 10 ) then x : = 3 + 2 = 5

B

S

B

2. If ( 5 ≤ 10 )

_⨁

( 1 + x = 10 ) then x : = 5 + 2 = 7

B

S

B

3. If ( 7 ≤ 10 )

⨁

( 1 + x = 10 ) then x : = 7 + 2 = 9

B

S

B

4. If ( 10 ≤ 10 )

⨁

( 1 + x = 10 ) then x : = 10 + 2 = 12

B

S

B

Soal 9

(78)

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan implikasi berikut :

a.)

Jika Dia malas , Maka Dia tidur

b.)

Jika x = 7, Maka x

2

_{+ 4 = 53}

Penyelesaian:

a.

Implikasi

: Jika dia lulus, maka dia ikut wisuda

Invers

: jika dia ikut wisuda, maka dia lulus

Konvers

: Jika dia tidak lulus, maka dia tidak ikut wisuda

Kontraposisi

: Jika dia tidak ikut wisuda, maka dia tidak lulus

(79)

10