Menerapkan Metode Gauss Naif
untuk Menyelesaikan Sistem
Persamaan Linier dengan Tiga
Peubah
Yohannes S.M. Simamora
Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya
Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193
E-mail: [email protected]
1
Pendahuluan
Diberikan sistem persamaan linier dengan tiga peubah:
a11x1+a12x2+a13x3 =b1 (1)
a21x1+a22x2+a23x3 =b2 (2)
a31x1+a32x2+a33x3 =b3 (3) dengan x1, x2 dan x3 adalah peubah, a11. . . a33 koefisien, dan b1. . . b3 kon-stanta. Penerapan metode Gauss naif untuk mencari solusi (1)-(3) adalah dengan cara
i. eliminasi maju (forward elimination)–mengeliminasi x1 pada (2) dan
x1 danx2 pada (3) melalui operasi aljabar sedemikian sehingga masing-masing berubah menjadi:
˜
a22x2+ ˜a23x3 = ˜b2 (4) ˆ
a33x3 = ˆb3 (5) dengan ˜a22, ˜a23, ˜b2, ˆa33, ˆb3 adalah nilai-nilai koefisien dan konstanta baru yang diperoleh dari operasi tersebut; dan
2
Komputasi
2.1
Eliminasi Maju
Langkah pertama dalam eliminasi maju adalah mengenolkan a21dana31. Ini dilakukan dengan mengurangkan (2) dengan a21
a11 kali (1), menghasilkan (4)
dengan:
˜
a21 =a21−
a21
a11
a11= 0
˜
a22 =a22−
a21
a11
a12
˜
a23 =a23−
a21
a11
a13
˜b2 =b2−a21
a11
b1,
dan mengurangkan (3) dengan a31
a11 kali (1), menghasilkan:
˜
a32x2+ ˜a33x3 = ˜a3, (6)
dengan:
˜
a31 =a31−
a31
a11
a11= 0
˜
a32 =a32−
a31
a11
a12
˜
a33 =a33−
a31
a11
a13
˜b3 =b3−a31
a11
b1.
Dari proses mendapatkan (4) dan (6), tampak bahwa syarat agar operasi aljabar dapat dilakukan adalah a11 6= 0. Dalam hal a11 = 0, (1) sebagai poros (pivot) digantikan oleh dengan (2) atau (3), dengan syarat a21 6= 0 atau a316= 0.
men-gurangkan (6) dengan a′32
a′
22 kali (4), menghasilkan (5), dengan:
ˆ
a32 = ˜a32−
˜
a32 ˜
a22
˜
a22= 0
ˆ
a33 = ˜a33−
˜
a32 ˜
a22
˜
a23
ˆb3 = ˜b3−˜a32 ˜
a22
˜
b2.
2.2
Substitusi Balik
Nilai x3 dihitung menggunakan (5):
x3 = ˆb3 ˆ
a33
Selanjutnya, nilai x3 tersebut disubstitusikan ke dalam (4), menghasilkan:
x2 =
˜b2 −a˜23x3 ˜
a22
Akhirnya, x1 dapat dihitung dengan mensubstitusikan x3 dan x1 ke dalam (1):
x1 =
b1−a12x2−a13x3
a11
.
Pengecekan x1, x2 dan x3 dapat dilakukan dapat dengan mensubstitusikan ketiga nilai tersebut ke dalam (1-(3).
3
Contoh
Estimasi solusi sistem persamaan linier:
1.981x1−0.338x2−1.337x3 = 8.26 (7) 0.588x1 −1.921x2 + 3.21x3 = 26.017 (8)
−0.398x1+ 1.456x2−1.283x3 =−16.031. (9)
Koefisienx1 pada (8) dieliminasi dengan mengurangkan (8) dengan
yang menyusun persamaan dengan dua peubah seperti pada (4):
−1.821x2−3.591x3 = 23.565. (10)
Sementara koefisienx1pada (9) dieliminasi dengan mengurangkan (9) dengan −0.398
yang menyusun persamaan dengan dua peubah seperti pada (6):
1.338x2−1.552x3 =−14.371. (11) Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi koefisien x2 pada (11) dengan mengurangkannya dengan 1.338
yang menyusun persamaan dengan satu peubah seperti (5):
1.185x3 = 3.591 (12)
Nilai x3 dihitung menggunakan (12):
x3 = 3.591
1.185 = 3.03
Selanjutnya, nilai x2 dapat dihitung dengan menyubstitusikan nilai x3 ke dalam (10):
x2 =
−14.371−(−1.552) (3.591)
−1.821 =−6.966.
Akhirnya, x1 dapat dihitung dengan menyubstitusikan nilai x1 dan x2 ke dalam (7):
x1 =
8.26−(−0.338) (−6.966)−(−1.337) (3.03)
1.981 = 5.026.
Persentase galat sejati (true error) untuk masing-masing estimasi adalah (di sini galat dimutlakkan):
ǫt,x1 =
5−5.026 5
×100% = 0.52%
ǫt,x2 =
−7−(−6.966)
−7
×100% = 0.486%
ǫt,x3 =
3−3.03 3
×100% = 1%.
Kepustakaan
1. Chapra, S.C. & Canale, R.L., Numerical Methods for Engineers. Sev-enth Edition, McGraw-Hill, 2014
Disclaimer
Makalah tutorial ini ditulis untuk tujuan pengajaran semata. Tidak satu pun konsep dan metode dalam makalah ini yang merepresentasikan kontribusi asli penulisnya.
