BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1Pengajaran Berbantuan Komputer/Computer Aided Instruction (CAI)
Menurut Herman D. Surjono (1996), istilah Computer Aided Instruction (CAI) umumnya menunjuk pada semua software pendidikan yang diakses melalui komputer di mana anak didik dapat berinteraksi dengannya. Sistem komputer menyajikan serangkaian program pengajaran kepada anak didik baik berupa informasi maupun latihan soal-soal untuk mencapai tujuan pengajaran tertentu dan pebelajar melakukan aktivitas belajar dengan cara berinteraksi dengan sistem komputer.
Melalui CAI, beberapa bentuk aktifitas seperti membaca, melihat video tape dapat ditampilkan dalam satu layar dan juga dapat meyakinkan bahwa topik-topik akan disajikan secara utuh. Hal ini berbeda sekali dengan kegiatan pembelajaran yang konvensional apabila guru menjelaskan suatu bagian topik terlalu lama maka topik yang lain mungkin tidak disampaikan karena waktunya sudah habis.
Menurut Azhar Arsyad (Idris, 2008), pemerolehan hasil belajar melalui indra pandang berkisar 75%, melalui indra dengar sekitar 13%, dan melalui indra lainnya sekitar 12%. Hal senada ditegaskan oleh Baugh (1986) yang menyatakan bahwa kurang lebih 90% hasil belajar seseorang diperoleh melalui indra pandang, 5% diperoleh melalui indra dengar, dan 5% lagi diperoleh melalui indra lainnya.
Banyak penelitian menunjukkan bahwa belajar dengan memanfaatkan CAI akan lebih efektif dibanding dengan alat. Beberapa penelitian yang dimaksud adalah: 1. Bila CAI dibandingkan dengan pengajaran konvensional maka akan banyak
2. Ada 42 penelitian studi di tingkat SLTP dan SLTA dalam proses belajar mengajar pada beberapa topik tertentu dengan belajar berbantuan komputer lebih efektif . 3. Ada analisis baru bahwa CAI lebih efektif
4. Pada faktanya, CAI bila dikembangkan, misalnya terlihat pada studi komparatif, maka CAI lebih memiliki kesiapan dibandingkan dengan pengajaran konvensional.
Penelitian tersebut di atas didukung pula dengan terjaminnya kewenangan penuh (otoritas) pelajar dalam mengambil keputusan-keputusan penting selama proses instruksional untuk memperbesar hasil belajar individu. Pelajar tersebut dapat menentukkan topik-topik apa saja yang ia sukai dan bebas untuk memilih memulai pelajaran. Hal inilah yang akan menjadikan CAI lebih menarik bagi para pelajar dalam mempelajari suatu materi pembelajaran dibanding dengan belajar di sekolah. Disamping itu, motivasi dan rasa percaya diri meningkat melalui pembelajaran berbatuan komputer disebabkan karena terciptanya suasana belajar yang mandiri, umpan balik (feedback) segera dan reinforcement.
Kesimpulannya CAI adalah salah satu metode pengajaran yang digunakan untuk membantu pengajar dalam mengajarkan materi secara interaktif dalam sebuah program tutorial dengan menggunakan suatu aplikasi komputer. Dalam menyampaikan pengajaran, perangkat lunak CAI dapat mengontrol berbagai proses, seperti penyajian materi kepada pemakai untuk dibaca dan dipelajari, memberikan
petunjuk dan latihan mengenai materi yang dipelajari, memberikan pertanyaan dan masalah untuk dijawab serta memberikan penilaian dari hasil belajar kepada pemakai. Pemakai dapat berinteraksi melalui alat-alat input, seperti keyboard atau penekanan tombol dengan menggunakan mouse, yang hasilnya dapat ditampilkan melalui layar monitor dan printer.
Salah satu aspek yang memainkan peranan penting dalam kesuksesan implementasi Computer Aided Instruction adalah tersedianya materi ajar yang dirancang sesuai dengan kebutuhan. Dengan tersedianya materi ajar tersebut pada berbagai topik dan juga tingkatan akan sangat membantu guru dalam proses belajar mengajar. Bentuk bantuan tersebut dapat berupa penelusuran topik dengan cepat, kelengkapan sumber belajar, serta dapat memvisualisasikan penjelasan secara interaktif (Surjono, 1996).
2.1.1 Sejarah Perkembangan Computer Aided Instruction
Pada pertengahan tahun 1950 sampai awal tahun 1960, kolaborasi antara Universitas Stanford di California dan perusahaan International Business Machines (IBM) memperkenalkan CAI pada sekolah dasar. Pada saat itu, program CAI merupakan presentasi linier dari informasi dengan menambahkan sesi latihan dan praktik. Sistem CAI mula-mula ini terkendala oleh kurangnya modal untuk memperoleh, merawat, ataupun menggunakan komputer yang tersedia pada masa itu.
Universitas Illinois bersama dengan Control Data Corporation menciptakan suatu sistem CAI mula-mula yang diberi nama Programmed Logic for Automatic
Dengan tersedianya komputer personal yang lebih murah dan kuat di tahun 1980, penggunaan CAI berkembang dengan pesat. Tahun 1980, hanya 5% dari sekolah dasar dan 20% dari sekolah menengah di Amerika yang menggunakan komputer untuk membantu proses pengajaran. Tetapi 3 tahun kemudian, kedua angka tersebut berlipat ganda dengan sangat pesat, dan di akhir dekade, hampir semua sekolah di Amerika dan juga di negara maju lainnya telah dilengkapi dengan komputer sebagai alat bantu pengajaran.
Kini, perkembangan CAI merambah sampai ke internet. Dengan menyambungkan miliaran komputer, siswa dapat mengakses bermiliaran informasi yang tentu saja dapat meningkatkan kemampuan mereka untuk meneliti suatu bidang pembelajaran (Soenarto, 2005).
2.1.2 Model-Model Computer Aided Instruction
CAI dapat berfungsi untuk membantu siswa belajar dan membantu pengajar untuk memberikan informasi dan tugas-tugas. Menurut Budiarjo (1991), model CAI bisa dibedakan menjadi lima jenis, yaitu: Tutorial, Latih dan Praktik, Pemecahan Masalah, Simulasi, dan Permainan.
a. Tutorial
b. Latih dan praktik
Model ini merupakan salah satu bentuk CAI dimana metode pengajaran dilakukan dengan memberikan latihan yang berulang-ulang. Pendekatan ini menekankanpengajaran dengan menghafal tanpa memberikan kemampuan untuk memahaminya, dimana ingatan manusia dilatih dengan memberikan latihan yang terus-menerus sehingga materi akan tertanam dalam otak. Bentuk ini cocok dipakai dalam tingkat pendidikan dasar.
c. Pemecahan masalah
Pada model ini siswa dituntut untuk menganalisis masalah dan memecahkannya. Tujuannya agar siswa dapat memperoleh pengertian yang lebih mendalam mengenai masalah yang sangat kompleks.
d. Simulasi
Model ini digunakan untuk mengkaji permasalahan yang rumit, aspek penting dari objek dicatat oleh komputer, model dibuat semirip mungkin dengan model nyata dari permasalahan yang dipelajari oleh siswa, sehingga siswa dapat mengkaji kaitan antara besaran objek yang penting, cara ini banyak digunakan di biologi, transportasi, ekonomi dan ilmu komputer.
e. Model permainan
Untuk dunia akademis, permainan seringkali dapat dimanfaatkan untuk menambah pengetahuan dengan cara yang santai karena di dalam permainan terdapat unsur hiburan. Permainan dapat dilakukan berulangkali sehingga dapat melatih kecepatan respon dari pemakai. Metode ini dapat juga berupa simulasi, yang mempunyai lawan dalam melakukan permainan.
2.1.3 Prinsip Pengembangan Program Computer Aided Instruction
latih dan praktik, pemecahan masalah, simulasi dan permainan. Setelah dapat menentukan metodenya, langkah berikut adalah memperhatikan aspek penting dalam perencanaan program CAI. Menurut Simonson dan Thompson (Soenarto, 2005), aspek tersebut adalah:
a. Aspek umpan balik
Untuk mendapatkan respon dari siswa, mereka harus segera diberi umpan balik. Umpan balik bisa berupa komentar, pujian, peringatan atau perintah tertentu bahwa respon siswa tersebut benar atau salah. Umpan balik dapat dibuat semenarik mungkin dan menambah motivasi belajar apabila disertai ilustrasi suara, gambar atau video klip.
b. Aspek percabangan
Beberapa alternatif yang disajikan untuk ditempuh oleh siswa dalam kegiatan belajarnya melalui program CAI adalah merupakan aspek percabangan. Program ini dapat diberikan berdasarkan pada adanya respon dari siswa. Sewaktu siswa melakukan kesalahan dalam memberikan jawaban pada soal-soal tertentu maka alternatif percabangan yang diberikan pada siswa adalah rekomendasi agar siswa mempelajari lagi dengan sungguh-sungguh materi tersebut. Sebaliknya jika siswa telah mencapai nilai standart yag sudah ditetapkan sebelumnya maka siswa tersebut dapat direkomendasi untuk menuju tingkat selanjutnya.
c. Aspek Penilaian
Bagian terpenting dari program CAI adalah aspek penilaian yang dimaksudkan untuk mengetahui sejauhmana siswa paham akan materi yang disajikan.
d. Aspek Tampilan
bila berlebihan akan membosankan. Satu layar bila mungkin berisi satu ide atau pokok bahasan saja.
2.1.4 Kelebihan dan Kekurangan Computer Aided Instruction
Walaupun potensi CAI sebagai media pendidikan telah dikembangkan namun masih ada saja program CAI yang memprihatinkan dan banyak program CAI yang kurang memiliki nilai-nilai pendidikan. Seperti halnya media pendidikan yang lain CAI juga memiliki kelebihan dan kekurangannya. Namun semua itu tergantung kepada keahlian pengembangannya dan perhatian yang diberikan selama program itu dikembangkan.
2.1.4.1 Kelebihan Computer Aided Instruction
Kelebihan dalam penerapan CAI (Sugilar, 1996) diantaranya adalah sebagai berikut:
a. Meningkatkan interaksi
Interaksi disini adalah aktifitas pertukaran informasi antara komputer dengan penggunanya dalam hal ini siswa. Ketika komputer menampilkan suatu pesan maka siswa harus meresponnya. Karena kerja komputer berdasarkan respon yang
diberikan siswa, maka pelajaran dalam CAI terikat langsung oleh respon yang diberikan siswa. Dengan CAI maka interaksi antara siswa dengan materi lebih banyak karena siswa langsung menyimak materi tanpa ada rasa takut, terlalu cepat dan sebagainya.
b. Individualisasi
c. Efektifitas biaya
Salah satu alasan kuat digunakannya CAI adalah masalah administrasi, karena penggunaan pelayanan dalam CAI tidak membutuhkan kehadiran seorang guru, CAI dapat digunakan di malam hari, hari-hari libur yang dimana biasanya guru tidak bisa hadir. Dengan kata lain waktunya bisa kapan saja.
d. Motivasi
Banyak siswa yang menganggap bahwa CAI sangat menarik perhatian mereka, walaupun alasan ketertarikan mereka terhadap CAI sangat beragam. Beberapa siswa mengatakan bahwa belajar dengan mesin sangat berbeda dengan belajar dengan guru. Siswa lain mengatakan mereka menyukai CAI karena mereka tertarik pada komputer sehingga pembelajaran menjadi efisien, atau dengan CAI maka proses pembelajaran dapat dikendalikan oleh tingkat kemampuan siswa.
e. Umpan balik
Umpan balik lebih cepat diterima dalam penggunaan CAI dibandingkan media lain yang sulit atau tidak bisa menerima umpan balik, jawaban siswa bisa dievaluasi dengan cepat. Kemampuan komputer untuk mengevaluasi dan merespon lebih cepat dibandingkan kemampuan instruktur. Kemampuan ini membuat CAI efektif dan efesien.
f. Keutuhan pelajaran
Dengan CAI beberapa bentuk aktifitas seperti membaca, melihat video tape dapat ditampilkan dalam satu layar. Melalui CAI dapat meyakinkan bahwa topik-topik akan disajikan secara utuh. Hal ini berbeda sekali dengan kegiatan pembelajaran yang konvensional, apabila guru menjelaskan suatu bagian topik terlalu lama maka topik yang lain mungkin tidak disampaikan karena waktunya sudah habis.
g. Kendali peserta belajar
menentukkan topik-topik apa saja yang disukai dan siswa bebas untuk memilih untuk memulai pelajaran.
2.1.4.2 Kekurangan Computer Aided Instruction
Menurut Hannafin & Peck (Sugilar, 1996) kekurangan dalam penerapan CAI diantaranya adalah sebagai berikut:
a. Sangat bergantung pada kemampuan membaca dan keterampilan visual siswa. b. Membutuhkan tambahan keterampilan pengembangan di luar keterampilan yang
dibutuhkan untuk pengembangan pembelajaran yang lama. c. Memerlukan waktu pengembangan yang lama.
d. Kemungkinan siswa untuk belajar secara tak sengaja (intidental learning) menjadi terbatas.
2.2Metode Pendekatan Pembelajaran
Metode adalah cara yang digunakan untuk mengimplementasikan rencana yang sudah disusun dalam kegiatan nyata agar tujuan yang telah disusun tercapai secara optimal. Ini berarti, metode digunakan untuk merealisasikan strategi yang telah ditetapkan.
Dengan demikian, metode dalam rangkaian sistem pembelajaran memegang peran yang sangat penting. Keberhasilan implementasi strategi pembelajaran sangat tergantung pada cara guru menggunakan metode pembelajaran, karena suatu strategi pembelajaran hanya mungkin dapat diimplementasikan melalui penggunaan metode pembelajaran (Dharma, 2008).
2.2.1 Pendekatan Pembelajaran Kontekstual
(konteks pribadi, sosial, dan kultural) sehingga siswa memiliki pengetahuan/keterampilan yang secara fleksibel dapat diterapkan dari satu konteks ke konteks lainnya.
Pendekatan kontekstual (Contextual Teaching and Learning) merupakan konsep belajar yang membantu guru mengaitkan antara materi yang diajarkan dengan situasi dunia nyata siswa dan mendorong siswa membuat hubungan antara pengetahuan yang dimilikinya dengan penerapannya dalam kehidupan mereka sebagai anggota keluarga dan masyarakat. Dengan konsep itu, hasil pembelajaran diharapkan lebih bermakna bagi siswa. Proses pembelajaran berlansgung alamiah dalam bentuk kegiatan siswa bekerja dan mengalami, bukan mengirim pengetahuan dari guru ke siswa.
Dalam kelas kontekstual, tugas guru adalah membantu siswa mencapai tujuannya. Guru lebih banyak berurusan dengan strategi daripada memberi informasi. Tugas guru mengelola kelas sebagai sebuah tim yang bekerja bersama untuk menemukan sesuatu yang baru bagi anggota kelas (siswa). Sesuatu yang baru datang dari menemukan sendiri bukan dari apa kata guru. Begitulah peran guru di kelas yang dikelola dengan pendekatan kontekstual
Berdasarkan hasil penelitian Mislakhudin (2006) yang berjudul Penerapan
2.3Educational Game
Educational games atau game edukasi adalah permainan yang dirancang dan dibuat untuk merangsang daya pikir termasuk meningkatkan konsentrasi dan memecahkan masalah (Handriyantini, 2009). Model pengembangan permainan edukatif, menggunakan model perancangan sistem berbantuan komputer, yang dikembangkan oleh Roblyer & Hall pada tahun 1985. Pembelajaran melalui permainan edukatif berbasis komputer bertujuan untuk membawa siswa dalam suasana belajar yang menyenangkan. Banyak hal yang bisa diperoleh anak dengan pembelajaran melalui permainan edukatif ini, selain sebagai alat belajar, bermain bagi siswa sekolah menengah pertama juga merupakan kebutuhan hidup seperti bergerak, berlari dan berpikir.
Kriteria game edukasi yang baik menurut Hurd dan Jenuings (2009:5) yaitu:
1. Overall value (nilai keseluruhan).
Suatu game memiliki nilai keseluruhan yang terdapat pada desain dan panjang durasi game. Desain dibangun dengan menarik dan interaktif dan durasi game yang dapat diatur melalui waktu(timer).
2. Usability (Dapat digunakan)
Aplikasi game akan lebih baik jika memiliki interface yang mudah dipahami dan digunakan oleh user (user friendly).
3. Accuracy (Keakuratan)
Keakuratan adalah bagaimana keakuratan model game pada tahap perencanaan dengan aplikasi yang telah diimplementasikan pada perancangannya.
4. Appropriateness (Kesesuaian)
5. Relevance (Relevan)
Relevan yaitu dapat mengaplikasikan content dari game ke target user. Sistem harus membimbing mereka dalam pencapaian tujuan pembelajaran.
6. Objectives (Objektifitas)
Objektifitas adalah goal(target) yang harus dicapai user dengan kriteria kesuksesan dan kegagalan.
7. Feedback (Umpan Balik)
Umpan balik diberikan agar user mengetahui apakah objektif yang mereka kerjakan telah diselesaikan dengan sukses atau tidak.
Pemanfaatan game sebagai media pembelajaran belum lama dikembangkan di Indonesia. Berbeda dengan beberapa negara yang telah mengembangkan game sebagai media pembelajaran. Padahal game menawarkan bentuk pembelajaran langsung dengan pola learning by doing. Pembelajaran yang dilakukan merupakan suatu konsekuensi dari sang pengguna game untuk dapat melalui tantangan yang ada dalam suatu permainan edukasi tersebut. Pembelajaran diperoleh dari faktor kegagalan yang telah dialami pengguna, sehingga mendorong pengguna untuk tidak mengulangi kegagalan di tahapan selanjutnya (Clark, 2006)..
2.4 Adobe Flash
2.4.1 Sejarah Flash
Sejak Flash muncul sebagai sarana media animasi untuk web pada tahun 1996, Flash telah mengalami banyak evolusi dalam pengembangannya. Awalnya digunakan untuk animasi sederhana dan interaksi minimal, Flash mulai berkembang pada iterasi ketiga dengan tambahan ActionScript 1 yang dapat menangani navigasi frame dan interaksi mouse sederhana. Hal ini tetap bertahan sampai Flash 5, dimana Action Script mengambil bentuk yang mirip JavaScript dan memungkinkan penambahan fungsionalitas untuk mengakses variabel dan fungsi.
Pada saaat ini, beberapa game Flash sederhana mulai bermunculan di web. Sebagian besar merupakan clone dari game-game arcade lama, seperti Asteroid, dengan interaksi sederhana.
Pada Flash 7, ActionSccript 2 diperkenalkan kepada publik. Penambahannya antara lain tipe data untuk variabel dan syntax class. Dengan tipe data, Flash dapat memeriksa kesesuaian variabel dengan data yang diberikan ke dalam variabel tersebut pada compile time. Syntax class memudahkan orang dengan latar belakang bahasa pemrograman lain untuk memahani Action Script dan mempermudah mengorganisir
definisi class dan package pada file.as terpisah.
2.4.2 Action Script
Salah satu kelebihan Adobe Flash adalah kemampuannya membuat sebuah animasi objek. Animasi yang sudah dibuat akan terlihat lebih interaktif apabila ditambahkan dengan ActionScript. Keberadaan ActionScript memungkinkan para penggunanya untuk lebih mengoptimalkan keyboard dan mouse sebagai alat untuk menjalankan aplikasi (Astuti, 2006).
ActionScript merupakan bahasa pemrograman di Flash. ActionScript berguna untuk mengontrol objek di Flash, untuk membuat navigasi, dan elemen interaktif lainnyaSetiap modul berdiri sendiri tetapi digabungkan bersama-sama menjadi animasi film Flash. Pada actionscript, script dapat bersifat tidak sederhana dan kompleks.
2.5 Aljabar
Kata aljabar berasal dari kata al-jabr yang diambil dari buku karangan Muhammad Ibn Musa Al-Khuwarizmi (780-850 SM) yaitu kitab A-jabr wa al-nuqabalah yang membahas tentang cara menyelesaikan persamaan-persamaan aljabar. Aljabar merupakan bahasa simbol dan relasi. Aljabar digunakan untuk memecahkan masalah
sehari-hari. Dengan bahasa simbol, dari relasi-relasi yang muncul, masalah-masalah dipecahkan secara sederhana. Bahkan untuk hal-hal tertentu ada algoritma-algoritma yang mudah diikuti dalam rangka memecahkan masalah simbolik itu, yang pada saatnya nanti dikembalikan kepada masalah sehari-hari.
2.5.1 Bentuk Aljabar
Beberapa ungkapan tentang konsep atau pengertian yang digunakan dalam matematika aljabar adalah:.
a. Ekspresi (expression). Semua angka dan semua huruf menyatakan suatu ekspresi. demikian juga penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dari dua ekspresi, pemangkatan dan penarikan akar dari sebuah, dua atau lebih ekspresi merupakan ekspresi pula. Pembagian dengan 0 (nol) dan penarikan akar berderajat genap dari bilangan negatif, dikecualikan dari hal di atas. Dalam bahasa aljabar, ekspresi juga dikenal sebagai bentuk aljabar.
b. Pernyataan adalah kalimat (berita) yang bernilai benar saja atau salah saja (tetapi tidak sekaligus benar dan salah). Kebenaran pernyataan mengacu pada kecocokan pernyataan itu dengan keadaan sesungguhnya.
c. Konstanta adalah lambang yang mewakili (menunjuk pada) anggota tertentu pada suatu semesta pembicaran).
d. Variabel (peubah) adalah lambang yang mewakili (menunjuk pada) anggota sebarang pada suatu semesta pembicaraan.
e. Kalimat Terbuka adalah kalimat yang memuat variabel, dan jika variabelnya diganti dengan konstanta akan menjadi sebuah pernyataan (yang bernilai benar saja atau salah saja).
f. Dua Kalimat Terbuka dikatakan ekuivalen jika untuk domain yang sama keduanya memiliki himpunan penyelesaian yang sama.
disebut ruas kiri dan E2 ruas kanan persamaan tersebut. Jika E1 dan E2 keduanya ekuivalen dan tidak memuat variabel dinamakan kesamaan. Persamaan yang bernilai benar untuk setiap variabel angggota domain disebut identitas. Misalnya
adalah identitas, karena untuk setiap penggantian x dengan sebarang bilangan real, pernyataan yang diperoleh selalu bernilai benar.
h. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda relasi <, >, ≤ , ≥,
atau ≠.
i. Penyelesaian suatu kalimat terbuka. Penyelesaian kalimat terbuka dengan satu variabel adalah konstanta (atau konstanta-konstanta) anggota daerah definisinya yang jika digantikan (disubstitusikan) pada variabel dalam kalimat itu, kalimat terbuka semula menjadi pernyataan yang bernilai benar. Penyelesaian persamaan disebut juga akar persamaan.
j. Himpunan penyelesaian suatu kalimat terbuka adalah himpunan semua penyelesaian kalimat terbuka tersebut.
2.5.2 Hukum Dasar Aljabar
Semua hukum atau aturan dasar dalam aljabar berkenaan dengan operasi hitung aljabar sesuai yang berlaku dalam 11 aturan atau sifat penjumlahan dan perkalian bilangan real. Dalam himpunan bilangan real R didefinisikan dua operasi hitung yaitu
penjumlahan dengan lambang operasi “+” dan perkalian dengan lambang operasi “ ”, atau dalam aljabar sering menggunakan “ ” atau kadang tidak dituliskan.
Ada 11 (sebelas) hukum dasar tentang penjumlahan dan perkalian bilangan real yaitu:
a. Sifat Tertutup (Closure).
Untuk setiap , jika dan ,
b. Sifat Asosiatif (Pengelompokan).Untuk setiap berlaku:
dan .
c. Ada elemen netral, yaitu 0 (nol) pada penjumlahan dan 1 pada perkalian. Sesuai namanya maka sifat elemen netral tersebut adalah:
Untuk setiap maka: , dan
d. Elemen Invers. Setiap bilangan real a mempunyai invers penjumlahan (aditif) yaitu – (negatif a) dan untuk setiap dan mempunyai sebuah invers
perkalian (kebalikan a). Dalam hal ini
– – dan , asal
Pemahaman tentang invers inilah yang sangat diperlukan dalam penyelesaian persamaan/ pertidaksamaan linear satu variabel (peubah)
e. Sifat Komutatif.
Untuk setiap a, b R berlaku:
f. Distributif.
Untuk setiap berlaku .
Beberapa akibat sifat distributif dapat dilihat pada teorema berikut ini: 1. Teorema 1 : Untuk setiap , berlaku
2. Teorema 2 : Misalkan dan bilangan real dan ,
maka atau
3. Teorema 3 : Untuk setiap berlaku
4. Teorema 4 : Untuk setiap , berlaku
– –
2.5.3 Persamaan Linear
Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam sistem koordinat kartesius.
Persamaan linear satu variabel dapat dinyatakan dalam bentuk :
ax = b atau ax +b =c dengan a,b, dan c adalah konstanta,a ≠ 0, dan x variabel pada suatu himpunan.
Contoh perasamaan linear satu variabel beserta penyelesaiannya:
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1}
2.5.3.1 Persamaan Linear Dua Variabel
Bentuk standar dari persamaan linear dua variabel yaitu sebagai berikut:
di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk umum apabila a dan b adalah nol.
Pada gambar berikut terdapat contoh dari gambaran sistem persamaan linear dua variabel.
Gambar 2.1 Contoh aplikasi persamaan linear dalam aljabar (Sumber:Aljabar SLTP 01, Krismanto, 2004)
Pada contoh di atas dianggap beban yang kecil sebagai variabel x dan beban yang besar sebagai variabel y. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat dilakukan dengan metode grafik, eliminasi, substitusi, dan metode gabungan.
1. Metode Grafik
Pada metode grafik, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah koordinat titik potong dua garis tersebut. Jika garis-garisnya tidak berpotongan di satu titik tertentu maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.
Contoh:
x + y = 5 dan x– y = 1
Penyelesaian :
Gambar 2.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Metode Grafik (Sumber: Matematika Konsep dan Aplikasinya, Nuharini, 2008)
Gambar 2.2 adalah grafik sistem persamaan dari x + y = 5 dan x – y = 1. Dari gambar tampak bahwa koordinat titik potong kedua garis adalah (3, 2). Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1 adalah {(3, 2)}.
2. Metode Eliminasi
Pada metode eliminasi, untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linear dua variabel, caranya adalah dengan menghilangkan (mengeliminasi)
salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabelnya x dan y,
untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau
sebaliknya. Jika koefisien dari salah satu variabel sama maka kita dapat mengeliminasi
atau menghilangkan salah satu variabel tersebut, untuk selanjutnya menentukan variabel
yang lain.
Contoh:
2x + 3y = 6 dan x – y = 3
a. Langkah I : Eliminasi variabel y
Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 3.
b. Langkah II : Eliminasi variabel x
Untuk mengeliminasi variabel x, koefisien xharus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 2.
3. Metode Substitusi
Untuk menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan persoalan diberikan contoh
sebagai berikut. Persamaan x – y = 3 ekuivalen dengan x = y + 3. Dengan menyubstitusi
persamaan x = y + 3 ke persamaan 2x + 3y = 6 diperoleh sebagai berikut.
