SUKU BANYAK
A.
Pengertian Suku Banyak
Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut:
Dinamakan suku banyak (polinom) dalam yang berderajat dengan
bilangan cacah dan . Bilangan disebut konstanta,
disebut koefisiendari dan disebut suku tetap.
Contoh 1:
Sebutkan peubah, derajat, dan koefisien-koefisien dan tiap sukubanyak berikut,
a) 5 b)
Jawab:
a) 5 adalah sukubanyak dalam peubah berderajat 3.
Koefisien adalah 5, koefisien adalah 2, koefisien adalah 10, dan suku tetapnya adalah 4.
= (
merupakansukubanyak dalam peubah t berderajat 4.
B.
Nilai Suku Banyak dan Operasi antar Suku Banyak
a) Nilai Sukubanyak
Dengan menuliskan suatu sukubanyak scbagai fungsi nilai sukubanyak itu dengan mudah dapat ditentukan. Secara umum, nilai sukubanyak
untuk = k adalah Nilai dari dicari dengan dua cara, yaitu:
• Cara Substitusi
Cara substitusi biasanya dipakai untuk menghitung nilai suku banyak yang sederhana dan untuk nilai yang tidak terlalu besar atau untuk nilai yang bulat. Misalkan sukubanyak
Nilai sukubanyak untuk:
Contoh 3 :
Dengan menggunakan cara bagan hitunglah nilai sukubanya:
1. = 10 untuk
b) Operasi antar Sukubanyak
1. Penjumlah, Pengurangan, dan Perkalian Sukubanyak
Perhatikan sukubanyak berikut:
• Penjumlahan sukubanyak dengan sukubanyak adalah:
• Pengurangan sukubanyak dengan sukubanyak adalah:
Jadi,
• Perkalian sukubanyak dengan sukubanyak adalah:
Jadi,
2. Kesamaan Sukubanyak
Kalau kesamaan dengan (ditulis: ), maka dapat
disimpulkan bahwa:
Contoh 4:
Misalkan dan berturut-turut adalah sukubanyak berderajat dan , maka:
(1) adalah suku banyak berderajat dan
Hitunglah nilai A, B, dan C yang memenuhi kesamaan:
Jawab:
Karena untuk bagian penyebut berlaku kesamaan
, maka untuk bagian pembilang harus berlaku kesamaan:
Berdasarkan sifat kesamaan sukubanyak, didapat:
………(1)
………..(2)
……….(3)
C.
Pembagian Sukubanyak
a. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi dan Sisa Pembagian
Dalam aritmatika bilangan, bahwa pembagian bilangan dapat dilakukan dengan cara pembagian bersusun. Sebagai contoh. 471 dibagi 4 dapat diselesaikan dengan cara pembagian bersusun sebagai berikut.
Pada pembagian bilangan itu, kita dapat menuliskan sebagai berikut:
Atau
Cara pembagian bersusun pada bilangan yang telah dijelaskan tadi dapat diterapkan pula pada pembagian sukubanyak. Misalnya, sukubanyak dibagi dengan maka hasil bagi dan sisanya dapat ditentukan sebagai berikut.
Catatan:
471 merupakan bilangan yang dibagi 4 merupakan bilangan pembagi 117 merupakan bilangan hasil bagi 3 merupakan bilangan sisa bagii 4
yang dibagi=pembagi hasil bagi
Catatan:
Merupakan sukubanyak yang dibagi
merupakan pembagi
merupakan hasil bagi
Pembagian sukubanyak di atas dapat ditulis sebagai
jadi, hasil baginya dan sisanya .
Contoh 5:
a) Tentukan hasil-hasil dan sisa, jika sukubanyak
dibagi dengan
b) Bandingkan sisa yang Anda peroleh pada soal a dengan
Jawab
a)
Jadi sukubanyak dibagi dengan
memberikan hasil bagi dan sisa .
b)
b. Pembagian Sukubanyak dengan cara Horner
o Pembagian Sukubanyak dengan (x – k)
Misalkan sukubanyak dibagi
dengan memberikan hasil bagi dan sisa Persamaan yang
menghubungkan dengan ( ), dan dapat dituliskan
sebagai berikut.
pembagian sukubanyak dengan menggunakan cara horner sebagai berikut:
o Pembagian Sukubanyak dengan (ax + b)
Misalkan k adalah bilangan rasional yang ditentukan oleh sehingga
bentuk dapat dinyatakan menjadi
kalau sukubanyak dibagi dengan memberikan hasil bagi dan
sisa maka terdapat hubungan.
Selanjutnya persamaan dapat diubah bentuknya
menjadi sebagai berikut:
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa sukubanyak dibagi dengan memberikan hasil bagi dan sisa . Koefisien-koefisien dari dan sisa ditentukan dengan cara pembagian sinetik, yaitu dengan mengganti
Contoh 6:
Dengan menggunakan cara pembagian sinetik, tentukan hasil bagi dan sisa
pada pembagian sukubanyak dengan
Jawab:
Bentuk dapat ditulis menjadi
Jadi, hasil baginya adalah dan sisanya
Bentuk tidak dapat difaktorkan. Hasil bagi dan sisa pada
pembagian sukubanyak dengan ditentukan
dengan cara pembagianbersusunsebagaiberikut:.
Jadi, pembagian sukubanyak dengan
memberikan hasil bagi dan sisa
D.
Teorema Sisa
Persamaan umum yang menyatakan hubungan antara dengan dan dapat dituliskan sebagai :
Dengan:
merupakan sukubanyak yang dibagi, misalnya diketahui berderajat .
merupakan pembagi, misalnya berderajat
merupakan hasil bagi, berderajat , atau derajat sukubanyak yang dibagi dikurangi dengan derajat pembagi.
a. a. a.
a. Pembagian dengan (
Jika pembagi maka persamaan pembagian dapat
dituliskan sebagai berikut:
Yang berlaku untuk tiap bilangan real. Oleh karena pembagi berderajat satu, maka sisa maksimum sama berderajat nol, yaitu suatu konstanta yang tidak memuat . Sisa dapat ditentukan dengan menggunakan teorema sebagai berikut:
TEOREMA
Teorema di atas dikenal sebagai Teorema Sisa atau Dalil Sisa.
Bukti:
Perhatikan kembali persamaan:
Oleh karena persamaan itu berlaku untuk tiap bilangan real, maka dengan menyulihkan atau substitusi nilai ke dalam persamaan itu, didapat:
Jadi, terbukti bahwa
Catatan:
Perhatikan bahwa sisa S = adalah nilai sukubanyak untuk
kita ingat bahwa nila dapat dihitung dengan Cara Substitusi atau Cara bagan.
Contoh 8:
Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak yang berikut ini.
a) dibagi
b) dibagi
Jawab
a) Sukubanyak 6 dibagi dengan
sisanya adalah (1) Cara Substitusi
(2) Cara Bagan
Jadi, sisa
b) Sukubanyak dibagi sisanya
adalah
Dengan cara substitusi, didapat:
Jadi, sisa
b. b. b.
b. Pembagian dengan )
Pembagian sukubanyak dengan memberikan hasil
dan dengan sisa . Hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:
Yang berlaku untuk semua bilangan . Nilai sisa s dapat ditentukan dengan menggunakan teorema sebagai berikut:
TEOREMA 2
Bukti:
Dengan subtitusi ke persamaan , didapat:
Jadi terbukti bahwa
Catatan:
Dalam menentukan nilai dapat menggunakan cara subtitusi atau cara
bagan. Jika, menggunakan cara bagan, maka koefisien-koefisien dari dapat ditentukan.
Contoh 9:
Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak
dan .
Jawab:
Sukubanayak dibagi dengan , sisanya adalah
. Untuk menghitung ada dua cara, yaitu:
(1)Cara subtitusi
Jadi, sisa
(2)Cara bagan
Jadi sisa .
Dengan cara bagan, koefisisen-koefisien dari H(x) dapat ditentukan. Dalam soal
c. c. c.
c. Pembagian Berderajat Dua atau Lebih yang dapat Difaktorkan
Menjadi faktor-Faktor Linier
Pengertian teorema sisa pada pembagian sukubanyak dengan atau dapat diterapkan untuk menentukan sisa pada pembagian sukubanyak dengan sukubanyak berderajat dua atau lebih yang dapat difaktorkan atas faktor-faktor liniernya.
Contoh 10:
Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak
dengan
Jawab:
Perhatikan bahwa pembagi dapat difaktorkan menjadi
. Oleh karena pembagi berderajat dua, maka sisanya maksimum berderajat satu. Misalkan sisa itu adalah dan hasil baginya maka terdapat hubungan:
Untuk , didapat:
………….………….(1)
………...(2)
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh dan
Jadi, sisa
Contoh 11:
Misalkan sukubanyak dibagi oleh
dan . Tentukan sisa pembagiannya dalam , dan .
Jawab:
Pembagi berderajat dua, sehingga sisanya maksimum berderajat satu. Misalkan sisa itu adalah dan hasil baginya adalah , maka:
Untuk didapat:
………(1)
Untuk didapat:
………(2)
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:
dan
Jadi, sisa pembagian yang dinyatakan adalah:
Perhatikan bahwa sisa S(x) dapat ditentukan apabila nilai-nilai dan diketahui.
Latihan soal
1. Sebutkan nama peubah, derajat, serta koefisien dari tiap sukubanyak berikut: a.
b. c.
2. Tentukan banyaknya peubah, nama peubah, serta derajat yang bersesuaian bagi nama peubah untuk tiap sukubanyak berikut:
a. b. c.
3. Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan tiap sukubanyak berikut ini, kemudian tentukan pula pada peubah, derajat, serta koefisien-koefisiennya:
a. b.
4. Dengan menggunakan cara subtitusi, hitunglah!
a. jika,
b. jika,
c. jika,
5. Hitunglah nilai dari tiap suku banyak berikut untuk nilai peubah yang diberikan atau (gunakan cara subtitusi)
a. , untuk
c. untuk dan 6. Penggunaan cara skema atau (bagan) untuk menghitung :
a. jika
8. tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak:
a. dengan
b. dengan
c. dengan
9. tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagiian suku banyak :
a. dibagi
b. dibagi
c. 5 dibagi
10.Hitunglah nilai p jika:
a. dibagi dengan (sisa 10)
Kunci jawaban
1.a adalah sukubanyak dalam peubah berderajat .
Koefisien adalah . Koefisien adalah . Koefisien adalah , dan suku tetapnya adalah .
b. adalah sukubanyak dalam peubah brderajat Koefisisen adalah . Koefisien adalah dan suku tetapnya adalah 1.
c. adalah sukubanyak dalam peubah bederajat Koefisien adalah dan suku tetapnya adalah
2.a merupakan sukubanyak dalam peubah (peubah dan ). Sukubanyak ini berderajat dalam peubah , atau berderajat dalam peubah
b. merupakan sukubanyak dalam peubah (peubah dan . Sukubanyak ini berderajat dalam peubah atau berderajat dalam peubah
c. merupakan sukubanyak dalam peubah
3.a =
Merupakan sukubanyak dalam peubah x. Sukubanyak ini berderajat 3. Koefisien adalah -1, koefisien adalah 5, koefisien adalah 2, dan koefisien tetap adalah 10.
b merupakan sukubanyak
dalam peubah y. Sukubanyak ini berderajat 4. Koefisien adalah 1, koefisien adalah 0, koefisien adalah -3, koefisien adalah 3, dan koefisien tetap adalah -1.
6 a)
a. b) jika
=
7. a)
=
Jadi derajatnya adalah
b)
1
8 10
1 -2
-3
+
1 -2
1
=
=
Jadi derajatnya adalah
c)
= 4
8
= 4
Jadi derajatnya adalah 6
8. a) :
b)
c) (
2
22
15
sisanya adalah 2
sisanya adalah 22
10. a) dibagi dengan sisanya 10
Oleh diketahui sisanya 10, maka diperoleh:
Jadi Nilai p = 3/4
b) sisanya=0
Diketahui sebagai sisa, maka:
Jadi nilai
1
1 1
1
1 1 0 -1 p 2
+ 0