Gembong Edhi Setyawan gembongub.ac.id gembong

(1)

Gembong Edhi Setyawan gembong@ub.ac.id

(2)

TujuanPerkuliahan

• Menggambar peta karnaugh berdasarkan fungsi boolean atau

tabel kebenaran yang diketahui

• Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan peta

karnaugh

• Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan

(3)

Karnaugh maps



• Aljabar boolean membantu kita untuk

menyederhanakan persamaan dan circuit

• Karnaugh Map : teknis grafis yang digunakan

untuk menyederhanakan ekspresi boolean

kedalam form :

–

minimal sum of products (MSP)

–

minimal product of sums(MPS)

• Tujuan dari penyederhanaan

(4)

Pengaturan ulang tabel kebenaran

• 2 variabel fungsi memiliki 4 kemungkinan

minterms. Kita dapat melakukan perubahan

minterm sini kepeta karnaugh

• Sekarang kita dapat dengan mudah melihat

minterms yang memiliki literal umum

–

Minterms pada bagian kiri dan kanan

mengandung

y’

and

y

–

Minterms pada bagian atas dan bawah

mengandung

x’

and

x

x y minterm

(5)

PenyederhanaanKarnaughMap

• Bayangkan 2 variable sum pada minterms

x’y’ + x’y

• Setiap minterms yang terlihat pada baris atas

dari K-map mengandung literal x’

• Apa yang terjadi bila kita melakukan

penyederhanaan expresi tersebut dengan

Y

x’y’ x’y

(6)

Contoh 2 variabel

• Contoh 2 : untuk expression

x’y+ xy

– Setiap minterms yang tampak bada sisi kanan dimana

y tidak dikomplemenkan

– Kita dapat menyederhanakan x’y+ xy to just y

• Bagaimana jika

x’y’ + x’y + xy

?

– Kita memiliki x’y’ + x’y pada baris atas, yang dapat

disederhanakan menjadi x’

– Ada juga x’y + xy bagian kanan yang dapat kita

sederhanakan menjad iy

– Persamaan ini dapat kita sederhanakan menjadi x’ + y

(7)

Minterm Maxterm

(8)

Karnaugh Map 3 variabel

• untuk 3 variabel dengan input x,y,z ,

susunannya adalah sebagai berikut :

• Cara lain untuk menyusun Kmap 3

variabel ( pilih yang anda sukai )

Y

x’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’

(9)

Why the funny ordering?

X xy’z’ xy’z xyz xyz’

Z

Y

X xy’z’ xy’z xyz xyz’

(10)

K-mapsdari sebuah tabel

kebenaran

• Kita dapat mengisi K-map langsung dari

sebuah tabel kebenaran

–

Output dari baris

i

pada tabel dimasukkan pada

kotak

m

_i

pada K-map

–

Ingat bahwa bagian kanan kolom darik-map

(11)

Membaca MSP dariK-map

• Kita dapat menemukan expression SoP minimal

–

Setiap kotak sesuai dengan 1 term of product

–

Produk ditentukan dengan mencari literal umum

padakotak

Y

X xy’z’ xy’z xyz xyz’ Z

Y

0 1 0 0

X 0 1 1 1

Z

(12)

Mengelompokkanminterms

• Pengelompokanpadak-map

–

Buat persegi panjangan yang mengelilingi group dari

1,2,4, atau 8 dari nilai 1

–

Semua nilai 1 pada map harus dimasukkan paling

tidak pada 1 persegipanjang.

–

Jangan memasukkan nilai 0

–

Setiap kelompok terdiri dari satu term of product

Y

0 1 0 0

X 0 1 1 1

(13)

PIs AND EPIs (1/3)

• Untuk menemukan expresi SOP yang paling sederhana kita

harus mendapatkan :

– jumlah minimum literals per product term

– Jumla

h minimum product terms

• Bisa kita dapatkan melalui K-Map menggunakan

– Group terbesar dari sebuah minterms ( prime implicants ) bila

mungkin

– Tidakada redundant grouping ( essential prime implicants )

(14)

PIs AND EPIs (2/3)

• Prime implicant (PI): product term yang didapatkan dari

menggabungkan jumlah minterms yang memungkinkan dari kotak yang terdapat pada map. ( kemungkinan

pengelompokan terbesar )

• Selalu cari prime implicants pada sebuah K-map

(15)

PIs AND EPIs (3/3)

• Tidak ada redundant groups:

1

 Essential prime implicant (EPI): prime implicant yang terdiri setidaknya satu minterm yang tidak dikover prime implicant yang lain.

(16)

K-map Simplificationof SoP

Expressions

• Mari kita sederhanakan persamaan berikut

f(x,y,z) =

xy + y’z + xz

• Kita harus mengkonversi persamaan tersebut ke

minterms form

–

Hal yang paling mudah adalah dengan membuat tabel

kebenaran dari fungsi dan kemudian kita temukan

mintermsnya

–

Anda dapat menuliskan literals nya atau dengan minterm

• Berikut adalah tabel kebenaran dan mintermdari

fungsi diatas :

(17)

UnsimplifyingExpressions

• Kita juga dapat mengkonversi fungsi diatas dengan

menggunakan aljabar boolean

– Terapkan hukum distribusi untuk menambahkan variabel yang

hilang

• Dalam contoh diatas, kita sama sekali tidak

“menyederhanakan”

– Hasil dari expres idiatas lebih luas dari pada fungsi aslinya – Tetapi dengan menemukan minterms akan memudahkan kita

untuk menggabungkan terms tersebut pada sebuah k-map

xy + y’z + xz = (xy• 1) + (y’z• 1) + (xz• 1)

= (xy• (z’ + z)) + (y’z• (x’ + x)) + (xz• (y’ + y)) = (xyz’ + xyz) + (x’y’z + xy’z) + (xy’z + xyz) = xyz’ + xyz + x’y’z + xy’z

(18)

ExampleK-map

• Pada contoh kita , kita bisa menuliskan

f(x,y,z) dengan cara sbb:

• Hasil dari tabel kebenaran ditunjukkan

pada k-map dibawah ini

Y

(19)

(20)

FIGURE 4-12 Examples of looping pairs of adjacent 1s.

Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss Digital Systems: Principles and

Applications, 9e

(21)

(22)

Latihansoal

• Simplify the sum of minterms m

1

+ m

3

+ m

5

+ m

6

Y

X

Z

Y m0 m1 m3 m2

(23)

Solusi

–

Hijau dan merah muda overlap

–

Minterm m

6

ditulis lengkap

• Hasil minimal sum of product adalahsbb :

Y

0 1 1 0

X 0 1 0 1

(24)

K-maps can be tricky!

Y

0 1 0 1

X 0 1 1 1

Z

y’z + yz’ + xy y’z + yz’ + xz

Y

0 1 0 1

X 0 1 1 1

Z Y

0 1 0 1

X 0 1 1 1

(25)

4 variable K-maps – f(W,X,Y,Z)

– Minterms pada kolom ketiga dan keempat, dan

juga baris ke 3 dan bariske 4 dibalik

(26)

4 variable K-maps

Y

m0 m1 m3 m2

m4 m5 m7 m6

m12 m13 m15 m14

X W

m8 m9 m11 m10

Z Y

w’x’y’z’ w’x’y’z w’x’yz w’x’yz’

w’xy’z’ w’xy’z w’xyz w’xyz’

wxy’z’ wxy’z wxyz wxyz’ X

W

wx’y’z’ wx’y’z wx’yz wx’yz’

(27)

Contoh : Simplify

m

₀

+m

₂

+m

₅

+m

₈

+m

₁₀

+m

₁₃

• The expression is already a sum of minterms, so here’s the

(28)

Contoh : Simplify

m

₀

+m

₂

+m

₅

+m

₈

+m

₁₀

+m

₁₃

• The expression is already a sum of minterms, so here’s the

(29)

(30)

ContohKasus

Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss Digital Systems: Principles and

Applications, 9e

(31)