Matematika Bisnis Teori dan Praktek (1)

MATEMATIKA BISNIS

Teori dan Terapan

Edisi Pertama

IMAM TAHYUDIN

BAB I

HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat

dibedakan mana anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan. Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik

dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainya.

Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang.

Tipe himpunan adalah tipe yang bisa menerima himpunan nilai yang masing-masing elemennya adalah tipe enumerasi. Perhatikan:

tidak semua bahasa pemrograman prosedural memiliki tipe SET. Himpunan (Set) dalam turbo Pascal serupa dengan himpunan pada matematika. Sebuah himpunan adalah koleksi dari sejumlah nilai yang bertipe sama dan sifatnya tidak ada data yang kembar. Pada Turbo Pascal, anggota dari suatu himpunan terbatas pada dat ordinal yang nilai ordinalnya terletak antara nol (0) sampai dengan 255.

1. Pendeklarasian Himpunan

Suatu himpunan biasa dideklarasikan pada bagian TYPE (meskipun bisa saja pada bagian VAR). Bentuk pendeklarasiannya adalah:

Type

hari = (senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, minggu); setkar = set of char;

harihari = set of hari; Type

Nama_tipe = SET OF tipe_elemen;

Dalam hal ini tipe_elemen dapat berupa misalnya Char, Byte, tipe enumerasi atau subjangkauan. Beberapa contoh pendeklarasian tipe_elemen :

Type

Bulan = (Jan, Feb, Mar, Apr, Mei, Jun, Jul, Agu, Sep, Okt, Nov, Des);

HimpKarakter = Set Of Char; HimpDigit = Set Of 0..9; HimpBulan = Set Of Bulan;

2. Konstanta Himpunan

Suatu konstanta himpunan adalah daftar elemen atau subjangkauan yang terletak didalam tanda kurung. Contoh:

a. [0..9] {Himpunan Digit dengan nilai : 1, 2,3,4,5,6,7,8,9} b. [’A’,’B’,’C’,’D’,’E’] { Himpunan Karakter}

Contoh Program:

Program Himpunan; Uses Wincrt;

Const

KumpulanHuruf : Set Of Char

= [ ‘D’ .. ‘G’, ‘M’,’X’ ]; Var

Kar : Char; Begin

Writeln(‘Isi Kumpulan Huruf : ‘);

For Kar : #0 to #225 do

If Kar In KumpulanHuruf Then Writeln(Kar);

Readln; End.

B. Cara Penyajian Himpunan

1. Enumerasi adalah cara penyajian himpunan yang elemen-elemennya bisa disebutkan satu persatu (dapat dicacah).

Contoh 1.

- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.

- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.

- C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} }

- K = { {} }

- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Keanggotaan

x  A : x merupakan anggota himpunan A; x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A. Contoh 2.

maka

3  A

5  B

{a, b, c}  R

c  R {}  K

{}  R

Contoh 3.

Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka

a  P1

a  P2

P1 P2

P1 P3

P2 P3

2. Simbol-simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

 Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3. Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x  syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh 4.

A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau

A = { x | x  P, x < 5 }

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}

4. Diagram Venn

Contoh 5.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn:

U

1 ₂

5

3 6

8

4 7

A B

5. Kardinalitas

 Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

 Notasi: n(A) atau A  Contoh 6.

(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },

atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 (ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5 (iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3

6. Himpunan Kosong

 Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Contoh 7.

(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

 himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}

 himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}

 {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

7. Himpunan Bagian (Subset)

 Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

 Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

 Notasi: A  B

 Diagram Venn:

U

A B

Contoh 8.

(i) { 1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) {1, 2, 3}  {1, 2, 3}

(iii) N  Z  R  C

(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y  0 } dan

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A  A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).

(c) Jika A  B dan B  C, maka A  C

   A dan A  A, maka  dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan  adalah improper subset dari A.

 A  B berbeda dengan A  B

 A  B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A  B.

A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}

(ii) A  B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

8. Himpunan yang Sama

 A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

 A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A  B.

 Notasi : A = B  A  B dan B  A Contoh 9.

(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B (ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A  B Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B, dan C = C

(b) jika A = B, maka B = A

9. Himpunan yang Ekivalen

 Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

 Notasi : A ~ B A = B Contoh 10.

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab

A = B = 4

10. Himpunan Saling Lepas

 Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

 Notasi : A // B

 Diagram Venn:

U

A B

Contoh 11.

Jika A = { x | x  P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

11. Himpunan Kuasa

 Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

 Notasi : P(A) atau 2A

Contoh 12.

Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

Contoh 13.

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.

12. Operasi Terhadap Himpunan a. Irisan (intersection)

 Notasi : A  B = { x  x  A dan x  B }

Contoh 14.

(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},

maka A  B = {4, 10}

(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A  B = .

Artinya: A // B

b. Gabungan (union)

Contoh 15.

(i) Jika A = { 2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22}, maka A  B = {2, 5, 7, 8,

22}

(ii) A  = A

c. Komplemen (complement)

 Notasi :

A

= { x  x  U, x  A }

Contoh 16.

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka

A

= {2, 4, 6, 8}

(ii) jika A = { x | x/2  P, x < 9 }, maka

A

= { 1, 3, 5, 7, 9 } Contoh 17. Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu (i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau

diimpor dari luar negeri”  (E  A)  (E  B) atau E  (A  B) (ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum

tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta”

(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai

nilai jual lebih dari Rp 100 juta” 

C



D



B

d. Selisih (difference)

 Notasi : A – B = { x  x  A dan x  B } = A 

B

Contoh 18.

(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 },

maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = 

(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

 Notasi: A  B = (A  B) – (A  B) = (A – B)  (B – A)

Contoh 19.

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A  B = { 3, 4, 5, 6 } Contoh 20. Misalkan

U = himpunan mahasiswa

P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80

Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.

(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P  Q (iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P  Q)

TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A  B = B  A (hukum komutatif)

(b) (A  B )  C = A  (B  C ) (hukum asosiatif)

f. Perkalian Kartesian (cartesian product)

 Notasi: A  B = {(a, b)  a  A dan b  B } Contoh 21.

(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka

C  D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka

A  B = himpunan semua titik di bidang datar

Catatan:

1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A  B=

A. B.

2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b)  (b, a).

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A  B  B  A dengan syarat A atau B tidak kosong.

Pada Contoh 20(i) di atas, D  C = {(a, 1), (a, 2),(a, 3),(b, 1),(b,

2),(b,3)}  C  D.

4. Jika A =  atau B = , maka A  B = B  A = 

Contoh 22. Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?

Jawab:

A  B = AB = 4  3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.

Contoh 23. Daftarkan semua anggota himpunan berikut: (a) P() (b)  P() (c) {} P() (d) P(P({3}))

13. Perampatan Operasi Himpunan

14. Hukum-hukum Himpunan

1. Hukum identitas:  A  = A  A  U = A

2. Hukum null/dominasi:  A  = 

 A  U = U 3. Hukum komplemen:

 A  A = U

 A  A = 

4. Hukum idempoten:  A  A = A  A  A = A 5. Hukum involusi:



(

A

)

= A

6. Hukum penyerapan (absorpsi):

 A  (A  B) = A  A  (A  B) = A 7. Hukum komutatif:

 A  B = B  A  A  B = B  A

8. Hukum asosiatif:

 A  (B  C) = (A  B)

 C

 A  (B  C) = (A  B)

 C 9. Hukum distributif:

 A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

 A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

10. Hukum De Morgan: 

A



B

=

A



B



A



B

=

A



B

11. Hukum 0/1 



= U 

U

=  Prinsip Dualitas

 Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh: AS  kemudi mobil di kiri depan

Inggris (juga Indonesia)  kemudi mobil di kanan depan Peraturan:

(a) di Amerika Serikat,

- mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,

- pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului, - bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh

- mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,

- pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,

- bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung Prinsip dualitas:

Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.

 (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi

seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti   ,   ,   U, U  , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

1. Hukum identitas:

A  = A

Dualnya:

A  U = A 2. Hukum null/dominasi:

A  = 

Dualnya: A  U = U 3. Hukum komplemen:

A  A = U

Dualnya: A  A= 

4. Hukum idempoten: A  A = A

Dualnya: A  A = A 5. Hukum penyerapan:

A  (A  B) = A

Dualnya:

A  (A  B) = A 6. Hukum komutatif:

A  B = B  A

Dualnya: A  B = B  A 7. Hukum asosiatif:

A  (B  C) = (A  B)  C

Dualnya:

A  (B  C) = (A  B)  C 8. Hukum distributif:

Contoh 25. Dual dari (A  B)  (A 

B

) = A adalah

(A  B)  (A 

B

) = A.

Prinsip Inklusi-Eksklusi Untuk dua himpunan A dan B:

A  B = A + B–A  B

A  B = A +B– 2A  B

Contoh 26. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?

Penyelesaian:

A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,

A  B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu

himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15), yang ditanyakan

adalah A  B.

A = 100/3 = 33,

B = 100/5 = 20,

A  B = 100/15 = 6

A  B = A + B– A  B = 33 + 20 – 6 = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.

Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku

A  B  C = A + B + C– A  B– A  C– B  C + A  B  C Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:

A1 A2…  Ar =



i

Ai–



  i j r 1



_{ }

 i j k r 1

Ai Aj Ak+ … +

(-1)r-1A1 A2…  Ar

Partisi

 Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:

(a) A1 A2… = A, dan

(b) Ai Aj =  untuk i  j

Contoh 27. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.

Himpunan Ganda

 Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).

Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.

 Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.

 Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.

Operasi Antara Dua Buah Multiset: Misalkan P dan Q adalah multiset:

1. P  Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },

P  Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }

2. P  Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }

P  Q = { a, a, c }

3. P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan:

- multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif

- 0, jika selisihnya nol atau negatif.

Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f } maka P – Q = { a, e }

4. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.

Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d }, P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }

15. Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan

 Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.

Contoh: Buktikan “A  (B  C) = (A  B)  (A  C)” 2. Implikasi

Contoh: Buktikan bahwa “Jika A  B =  dan A  (B  C) maka selalu berlaku bahwa A C”.

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Contoh 28. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A  (B  C) = (A  B)  (A  C) dengan diagram Venn.

Bukti:

A  (B  C) (A  B)  (A  C)

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.

Terbukti bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

 Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.

 Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.

2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan Contoh 29. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa

Bukti:

A B C B  C A  (B  C) A  B A  C (A  B)  (A  C)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Karena kolom A  (B  C) dan kolom (A  B)  (A  C) sama, maka A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan. Contoh 30. Misalkan A dan B himpunan.

Buktikan bahwa (A  B)  (A 

B

) = A Bukti:

(A  B)  (A 

B

) = A  (B 

B

) (Hukum distributif) = A  U (Hukum komplemen) = A (Hukum identitas)

Contoh 31. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A  (B – A) = A  B

Bukti:

A  (B – A) = A  (B 

A

) (Definisi operasi selisih) = (A  B)  (A 

A

) (Hukum distributif) = (A  B)  U (Hukum komplemen)

Contoh 32.

Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa

(i) A  (A  B) = A  B dan

(ii) A  (A  B) = A  B

Bukti:

(i) A  (

A

 B) = ( A 

A

)  (A  B) (H. distributif) = U  (A  B) (H. komplemen)

= A  B (H. identitas)

(ii) adalah dual dari (i)

A  (

A

 B) = (A 

A

)  (A  B) (H. distributif) =   (A  B) (H. komplemen)

= A  B (H. identitas)

4. Pembuktian dengan menggunakan definisi

 Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut

terdapat notasi himpunan bagian ( atau ).

Contoh 33. Misalkan A dan B himpunan.

Jika A  B =  dan A  (B  C) maka A  C. Buktikan! Bukti:

(i) Dari definisi himpunan bagian, P  Q jika dan hanya jika setiap

x  P juga  Q. Misalkan x  A. Karena A  (B  C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga  (B  C).

Dari definisi operasi gabungan (), x  (B  C) berarti x  B

atau x  C.

Dari (i) dan (ii), x  C harus benar. Karena x  A juga berlaku x 

C, maka dapat disimpulkan A  C .

C. Tipe Set dalam Bahasa Pascal

 Bahasa Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal (integer, character).

Contoh:

type

HurufBesar = ‘A’..‘Z’; { enumerasi }

Huruf = set of HurufBesar; var

HurufKu : Huruf;

Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’]; HurufKu:=[‘M’];

HurufKu:=[]; { himpunan kosong }

 Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan adalah operasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut:

{gabungan}

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];

{irisan}

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];

{selisih}

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’, ‘E’];

 Uji keanggotaan sebuah elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in seperti contoh berikut:

 Di dalam kakas pemrograman Delphi, set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan icon untuk window:

type

TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize, biMaximaze);

BAB II

BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

A. Pangkat

Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan.

Notasi xa : bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali.

Kaidah Pemangkatan Bilangan

Kaidah perkalian bilangan berpangkat

Kaidah pembagian bilangan berpangkat

Contoh:

Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Akar dari sebuah bilangan ialah basis (x) yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya (a).

Bentuk umum :

Kaidah pengakaran bilangan

Kaidah penjumlahan (pengurangan) bilangan terakar

 Bilangan-bilangan terakar hanya dapat ditambahkan atau dikurangkan apabila akar-akarnya sejenis.

Kaidah perkalian bilangan terakar

Hasil kali bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil kali bilangan-bilanganya. Perkalian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama.

√ √ √

Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan, pangkat baru akarnya ialah hasil kali pangkat dari akar-akar sebelumnya.

√√ √

Kaidah pembagian bilangan terakar

Hasil bagi bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil bagi bilangan-bilangannya. Pembagian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama.

a. Menyederhanakan, Mengalikan dan Membagi 1). Menyederhanakan

a

x

b



a

x

b

Contoh:

3 5

3 25

3 25 75

  

x x

2). Mengalikan

a x b  a xb

b a

b a

b a

x

n

m

x

n

x

m





(



)

b b

b

y x y

x

Contoh:

c. Menarik Akar Kuadrat

d. Akar Pangkat n suatu bilangan

Akar Pangkat n suatu bilangan (bentuk akar) dapat dinyatakan dengan pangkat rasional.

Contoh:

e. Kesekawanan Bentuk Akar.

Kesekawanan Bentuk Akar adalah pasangan bentuk akar (bilangan irasional) yang hasil kalinya bukan bentuk akar (bil.rasional).

Untuk a, b, m dan nbilangan rasional selain nol, maka : Bentuk Akar Bentuk Sekawan Hasil Kali

b

Hasil kali bentuk akar dengan sekawannya:

( 7 5)( 7 5)75 = 2

f. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar.

Contoh:

Menyelesaikan bentuk:

Contoh:

Menyelesaikan bentuk :

C. Logaritma

Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran.

Basis Logaritma

 Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun.

 Biasanya berupa bilangan positif dan tidak sama dengan satu.

 Basis logaritma yang paling lazim dipakai adalah 10 (common logarithm)/(logaritma briggs)

 logm berarti 10 log m, log 24 berarti 10 log 24

 Logaritma berbasis bilangan e (2,72) disebut bilangan logaritma alam (natural logarithm) atau logaritma Napier

 ln m berarti elogm

Kaidah-kaidah Logaritma

Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma

 Logaritma dapat digunakan untuk mencari bilangan yang belum diketahui (bilangan tertentu) dalam sebuah persamaan,

khususnya persamaan eksponensial dan persamaan logaritmik.

 Persamaan logaritmik ialah persamaan yang bilangan tertentu berupa bilangan logaritma, sebagai contoh : log (3x + 298) = 3 Suku-suku pada ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk

Bentuk Umum : p b

p = bilangan pokok jika tidak ditulis artinya p=10 a = numerus

b = hasil logaritma.

Jika p=10 dan a= 10m maka log 10m = m

log 1 = log 100 = o log 10 = log 101 = 1 log 100 = log 102 = 2 log 1000 = log 103 = 3

a. Sifat-sifat Logaritma.

b

2). alog f(x)=blog f(x) Contoh 2 :

3_log(x2_-x-3)=2

=3log32 =3log 9 (x2-x-3) = 9 x2 +x -12 = 0 (x+4)(x-3)=0 x+4=0 atau x-3=0 x= - 4 x=3 Syarat : f(x) > 0 x2 + x - 3 > 0

x= - 4 (-4)2 +(-4) – 3>0 | x=332 +3 -3>0

16 - 4 -3 > 0 | 9 > 0 memenuhi 16 - 7 > 0

9 > 0 memenuhi Hp={-4 , 3}

3). alog f(x)=blog f(x)

f(x)=1 syarat : a b Contoh 1 :

5_{log (2x-3)=}7_log(2x-3)

Syarat f(x)=1 2x – 3 = 1 2x = 4

x = 2 Syarat : a b

5  7 memenuhi maka Hp={2} Contoh 2 :

3_{log (x}2 _+2x-2)=4_{log (x}2 _+2x-2)

x2+2x-2=1 x2 +2x-3=0

(x+3)(x-1)=0

x + 3=0 atau x -1=0 x = -3 x= 1 Syarat : a b

3  4 memenuhi Hp={-3, 1}

4). alog f(x)=alog g(x)  f(x) = g(x)

Syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0 Contoh 1 :

log (x2 +3x-7)=log (x+8)

(x2+3x-7)= (x+8) x2 +2x -15=0 (x+ 5)(x- 3)=0

x + 5 = 0 atau x – 3=0 x = - 5 x=3 Syarat : f(x) > 0

x2+3x-7>0

x=-5(-5)2+3(-5)-7>0 | x=3(3)2+3(3)-7>0 25 -15 -7 >0 9 + 9 -7 >0

3 > 0 memenuhi 11 >0 memenuhi Syarat : g(x) > 0

x + 8 > 0

x=-5(-5)+8 > 0 | x=3(3)+8 > 0

3 >0 memenuhi 11 > 0 memenuhi Maka Hp={ -5, 3 } Contoh 2 :

log log 2x = log(log 2x + 6)-log 4

log log 2x = log 

  



 

log 2x = 4

6 2 log x

4log 2x = log 2x + 6 3log 2x = 6

log 2x= 2 2x= 102

2x= 100 x= 50

Syarat f(x)>0 | Syarat g(x)>0

log 2x > 0 0 4

6 2 log

 

x

log 2.50>0 0 4

6 50 . 2 log

 

log 100 >0 0 4

6 100 log

 

2 > 0

0 2

0 4

6 2

  

DERET

A. Pengertian

Deret merupakan rangkaian bilangan yang disusun secara

teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Dalam deret ada yang disebut sebagai suku,pembeda ,pengganda dan yang lainya. Suku adalahbilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret. Pembeda/beda merupakan penunjuk pola perubahan pada suatu deret begitu pula pengganda/rasio. Bedanya adalah kalo pembeda itu dalam deret hitung sedangkan pengganda dalam deret ukur/deret geometri.

B. Jenis deret

Pada makalah ini kami akan menyebutkan dua jenis deret,yaitu deret hitung dan deret ukur/deret geometri.

1. Deret hitung

Deret hitung merupakan deret yang perubahan-perubahan sukunya berdasarkan penjumlahan sebuah bilangan tertentu. Bias juga diartikan sebagai barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap. Tambahan bilangan itulah yang di sebut pembeda.

Perhatikan contoh berikut!

1000,750,500,250

ini adalah contoh deret hitung yang memiliki pembeda 250.

Jadi pada suku setelah suku pertama(a) akan berubah secara konstan pada suku berikutnya

pengurangan nilai suku. Karena setelah suku pertama suku berikutnya berkurang secara konstan yaitu sebesar 250.

a. Suku ke-n dari Deret hitung

Ada beberapa cara untuk menentukan berapakah nilai suku ke-n. Kita bisa mencarinya dengan mengurutkan mulai dari suku pertama sampai dengan suku yang hendak kita cari. Mungkin cara itu sepintas terlihat simple,tapi apa jadinya kalau yang kita cari sukunya yang ke seribu atau mungkin lebih banyak? Oleh karena itu kita perlu mencari cara yang lebih mudah yaitu dengan mencari rumus untuk menentukan nilai suku ke-n

Berikut caranya,

Missal kita mempunyai deret sebagai berikut; 4, 6, 8, 10

U1 U2 U3 U4

U1/a = 4

U2 = 6 = a + (2 - 1)b U3 = 8 = a + (3 - 1)b

U4 = 10 = a + (4 - 1)b

Dengan demikian kita dapat menyimpulkan rumus untuk mencari nilai suku ke-n sebagai berikut:

contoh :

misal diketahui sebuah deret,

3,5,7,9,11,…..tentukanlah nilai suku ke-20 pada deret tersebut! Jawab:

b. Jumlah n suku pertama pada Deret hitung

Jumlah n suku pertama biasanya dinotasikan dengan Sn. Untuk mencari jumlah n suku yang pertama bias menggunakan cara manual,yaitu ditulis secara langsung deret yang akan dicari

Kemudian tingal dijumlahkan. Tetapi untuk mencari Sn yang sekalanya besar bisa kita cari dengan menggunakan rumus

Contoh:

Diketahui sebuah deret,

5,8,11,14,….berapakah jumlah 12 suku pertama pada deret tersebut?

Jawab : Diketahui : a = 5 b = 3 ditanya : S12 ,

U12 = 5 + (12-1)3

U12 = 38

2. Deret ukur

Deret ukur disebut juga dengan nama deret geometri. Deret ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku di depannya.

Contoh : 2, 6, 18, 54, 162, . . . (pengganda = 3)

a. Suku ke-n dari Deret ukur

Untuk mencari suku ke-n dari deret ukur kita dapat

menggunakan rumus berikut :

U

n

= ap

n-1

Ket :

a : suku pertama p : pengganda n : indeks suku

b. Jumlah n suku pada Deret ukur

Seperti halnya dalam deret hitung, jumlah sebuah deret ukur

sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n yang bersangkutan. Untuk mencarinya kita lakukan penjabaran rumus dibawah ini:

∑

Berdasarkan rumus suku ke-n dari Deret Ukur,kita jabarkan masing-masing Ui . sehingga menjadi:

Jika persamaan diatas dikalikan dengan pengganda “p”,maka menjadi :

Setelah kita memperoleh kedua persamaan tersebut,maka kurangkan persamaan yang kedua dengan persamaan yang pertama.sehingga akan diperoleh persamaan sebagai berikut:

Dari data diatas secara ringkas kita dapat menuliskan rumus secara ringkas untuk mencari Sn sebagai berikut:

Untuk lebih jelasnya ,lihatlah contoh dibawah ini:

Sebuah deret ukur memiliki suku pertama 5 dengan pengganda 2.

Tentukan jumlah lima suku pertama dari deret tersebut!

Karena penggandanya memiliki nilai lebih besar daripada 1 maka kita gunakan rumus yang kedua:

C. Penerapan ekonomi

Pada makalah ini kita akan sedikit membahas deret dalam perananya dalam bidang ekonomi. Diantaranya ialah penerapan deret dalam hal perhitungan perkembangan usaha dan penerapan deret dalam penentuan modal bunga majemuk.

1. Model perkembangan usaha

Inilah salah satu penerapan deret dalam kehidupan sehari-hari. Deret dapat kita gunakan untuk melakukan penghitungan perkembangan usaha. Kita bisa menggunakan deret hitung melakukan perhitungan ini,dengan catatan perkembangan usaha yang kita akan hitung memiliki perkembangan yang konstan,tidak

berubah-ubah.

Berikut contoh kasus yang dapat kita lakukan penghitungan

menggunakan deret:

Jawab :

Diketahui : a = 30

b = 10

Ditanya : U9 ? (untuk mengetahui berapa banyak botol yang dapat terjual)

U9 = a + (n-1) b

= 30 + (9-1) 10

= 110

Jadi, uang yang di peroleh Abu = 110 x 22.500 = 2.475.000

2. Model bunga majemuk

Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur kasus dalam simpan pinjam dan kasus investasi. Dengan menggunakan deret ukur, kita bisa mengetahui jumlah bunga dari uang yang telah kita pinjam untuk rentang waktu tertentu. Selain itu kita juga dapat menghitung hasil investasi yang akan kita terima di masa yang akan datang.

Misalkan kita memiliki modal sebesar P dibungakan secara majemuk dengan bunga setingkat i dan jumlah akumulatif dimasa yang akan datang setelah n tahun adalah Fn,maka secara matematis

didapat rumus sebagai berikut:

Keterangan: n = indeks tahun

P

t

= P

1

R

t-1

rumus ini digunakan apabila pembayaran dilakukan satu kali dalam satu tahun. Namun apabila kita melakukan pembayaran m kali dalam

satu tahun(masing-masing i/m per termin)maka Fn menjadi:

Dalam dunia bisnis (1 + i) dan (1 + i/m) disebut factor bunga majemuk/compounding interest factor yaitu suku bilangan lebih dari 1 yang dapat digunakan untuk mencari Fn dan bisa juga untuk mencari

P.

3. Model pertumbuhan penduduk

Menurut Malthus,penduduk yang ad di dunia ini tumbuh mengikuti pola deret ukur. Jika jumlah pada tahun pertama (basis) = P1, jumlah setelah t tahun = Pt, r = presentase pertumbuhan/tahun

dan R = 1 + r,

Maka secara matematis dirumuskan sebagai berikut:

Kasus:

Pada tahun 1990 penduduk kota A sebesar 500.000

Jawab:

Pt = P1 Rt-1

=500.000 x (1 + 0,02)3-1 =500.000 x 1,0404 =520.200

Jadi pada tahun 1993 penduduk kota A sebanyak 520.000 orang.

D. Latihan soal

1. Tentukan nilai suku ke-10 dari deret dibawah ini a. 2,5,8,11…..

b. 20,15,10,5….

2. Sebuah deret hitung sebagai berikut: 3,7,11,15,…

Tentukanlah: a. U10 dan U15

b. Bentuk rumus suku ke-n

3. Sebuah deret hitung dengan U8=18 dan U15=46 tentukanlah

a. Suku ke10 dan 4 suku pertama

b. Bentuk rumus suku ke-n

4. Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret hitung 4,7,10,13,….

5. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalh 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….

6. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah …buah.

dan seterusnya. Besar tabungan nak tersenut selama dua tahun adalah ….

8. Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah ….

9. Suku ke – n suatu deret aritmetika Un = 3n – 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah ….

10. Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn = n/2 ( 5n –19 ). Beda deret tersebut adalah ….

11. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = n2 + 5/2n. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah ….

12. Dari deret aritmetika diketahui suku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret tersebut adalah ….

13. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nlai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?

14. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memnatul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah ….

15. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing – masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang

potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah … cm.

16. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi semula. Pematulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … m.

BAB III

FUNGSI

A. Pengertian Fungsi

Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan ( hubungan fungsional ) antara satu variabel dengan variabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien,dan konstanta. Sebuah fungsi, yang secara konkret dinyatakan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan. Koefisien dan variabel sering melengkapi sebuah fungsi, namun konstanta jarang melengkapi/terdapat pada fungsi. Namun ada tidaknya konstanta pada sebuah fungsi, tak mengurangi arti dari fungsi tersebut.

Variabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor tertentu, dilambangkan ( berdasarkan keseakatan umum ) dengan huruf-huruf Latin. Dalam matematika, variabel-variabel dalam sebuah persamaan lazimnya ditulis dengan huruf kecil, melambangkan sumbu dalam sistem koordinat ( absis dan ordinat ).

Namun dalam ekonomika, tidak ada ketentuan dalam penulisan variabel. Berdasarkan kedudukan dan sifatnya, di dalam sebuah fungsi terdapat dua macam variabel,yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain, sedangkan variabel terikat adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain.

Contoh fungsi : y = 2x + 8 , y adalah variabel terikat karena nilainya tergantung pada variabel x, x merupakan variabel bebas karena nilainya tak terikat pada variabel y, 2 merupakan koefisien karena letaknya terikat pada variabel x, sedangkan 8 adalah konstanta

karena letaknya berdiri sendiri.

Untuk mempermudah memahami sebuah fungsi maka dibuatlah sistem koordinat cartesius atau disebut juga sistem tegak lurus berasal dari nama Latin Rene Descartes. Sistem ini terdiri dari dua komponen yaitu garis mendatar, disebut sumbu X, dan garis tegak disebut sumbu Y. Sumbu X dan sumbu Y berpotongan tegak lurus di titik O(0,0) yang disebut titik asal.

Koordinat cartesius dibagi oleh sumbu X dan sumbu Y yang membagi menjadi empat bagian atau daerah yang disebut kuadran. Kuadran I = { (x,y) | x > 0 dan y > 0 }

Kuadran II = { (x,y) | x < 0 dan y > 0 } Kuadran III = { (x,y) | x < 0 dan y < 0 } Kuadran IV = { (x,y) | x > 0 dan y < 0 }

Dalam ilmu ekonomi, daerah atau kuadran yang sering digunakan adalah kuadran I.

X Y

Kuadran I

Kuadran IV Kuadran III

Kuadran II

B. Jenis-Jenis Fungsi

FUNGSI

Fungsi aljabar Fungsi non aljabar

f. polinom f. pangkat f. ekspononsial f. linear f.logaritmik f. kuadrat f.trigonometrik f. kubik f.hiprbolik f. bikuadrat

1. Fungsi yang paling sederhana adalah fungsi konstan ( f(x) = k, k adalah konstan) dan fungsi identitas ( f(x) = x ). Namun secara garis besar, fungsi dikelompokan menjadi dua, yaitu fungsi aljabar dan fungsi non-aljabar( transenden ).

2. Fungsi aljabar adalah fungsi yang diperoleh dengan sejumlah berhingga operasi aljabar ( penjumlahan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan penarikan akar ) terhadap fungsi identitas dan

fungsi konstan. Fungsi aljabar dibagi menjadi menjadi fungsi irrasional dan fungsi rasional. Fungsi rasional mempunyai beberapa

jenis, diantaranya fungsi polinom, fungsi linear, dan fungsi berderajat n ( fungsi kuadrat, fungsi kubik, dan fungsi bikuadrat ), serta fungsi pangkat.

3. Fungsi polinom adalah fungsi yang mengandung banyak suku ( polinom ) dalam variabel bebasnya. Bentuk umum persamaan polinom adalah : y = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn . Pangkat tertinggi

pada variabel suatu fungsi polinom menceriminkan derajat polinomnya, sekaligus juga mencerminkan derajat persamaan atau fungsi tersebut.

disebut fungsi berderajat satu. Bentuk umum persamaan linear adalah : y = a0 + a1x ; dimana a0 adalah konstanta dan a1‡ 0.

Fungsi-fungsi lain yang pangkat tertinggi dari variabelnya lebih dari satu, secara umum disebut fungsi non-linear meliputi fungsi kuadrat, fungsi kubik, fungsi bikuadrat dan seterusnya.

5. Fungsi berderajat n adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n ( n = bilangan nyata ). Bentuk umumnya adalah : y = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn. Fungsi kuadrat n =

2 ( bentuk umum y = a0 + a1x + a2x2), fungsi kubik n = 3 ( bentuk

umum y = a0 + a1x + a2x2 + a2x3), fungsi bikuadrat n =4 ( bentuk

umum y = a0 + a1x + a2x2+ a2x3+ a2x4) dan seterusnya.

6. Fungsi pangkat adalah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan nyata bukan nol. Bentuk umum : y = xn , n = bilangan nyata bukan nol.

7. Fungsi non-aljabar adalah fungsi yang tidak termasuk fungsi aljabar. Jenis-jenis fungsi non-aljabar antara lain fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik, dan fungsi hiperbolik.

8. Fungsi eksponensial adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol. Bentuk umumnya adalah : y = nx n > 0.

9. Fungsi logaritmik adalah fungsi balik ( inverse ) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik. Bentuk umumnya : y = nlog x.

10. Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik adalah fungsi yang variabel bebasnya adalah bilangan-bilangan goneometrik. Bentuk umum fungsi trigonometrik : y = sin 5x , sedangkan bentuk umum fungsi hiperbolik : y = arc cos 2x.

terletak di ruas yang berlainan. Sedangkan fungsi implisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikatnya terletak di ruas yang sama. Contoh : fungsi eksplisit : y = a0 + a1x , fungsi implisit : a0

+ a1x – y = 0 . Setiap fungsi yang berbentuk eksplisit senantiasa dapat

diimplisitkan, tetapi tidak semua fungsi implisit dapat diubah menjadi bentuk eksplisit.

Selain pembagian jenis fungsi sebagaina yang baru saja diuraikan diatas, fungsi juga dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu fungsi eksplisit dan fungsi implicit. Fungsi eksplisit adalah fungsi yang variable bebas dan variable terkaitnya terletak diruas yang berlainan. Sedangkan fungsi implicit adalah fungsi yang variable bebas dan variable trikatnya terletak disatu ruas yang sama. Secara operasional, bentuk umum persamaan fungsi yang eksplisit dan yang implicit dapat dilihat sebagai berikut:

C. Penggambaran Grafik Fungsi

Setiap fungsi (yang berbentuk eksplisit, atau bisa di eksplisitkan) dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang sumbu silang ( sistem koordinat ). Gambar yang dihasilakan dapat

berupa garis lurus ataupun kurva, tergantung pada jenis fungsi yang bersangkutan. Gambar dari sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan

cara menghitung koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya, dan kemudian memindahkan pasangan-pasangan titik tersebut ke sistem sumbu silang. Dalam menggambarkan suatu fungsi terdapat

Fungsi Bentuk Eksplisit Bentuk Implisit

Umum Linear Kuadrat Kubik

kebiasaan meletakkan variabel bebas pada sumbu horizontal ( absis ) dan variabel terikat pada sumbu vertikal ( ordinat ).

Pada penggambaran grafik fungsi linear, dengan memberikan nilai-nilai tertentu untuk variabel bebas x lalu disubstitusikan ke dalam

persamaan fungsinya, akan diperoleh nilai-nilai variabel terikat y. Setelah diketahui nilai-nilainya ( x,y ) , dapat ditentukan koordinat titik-titiknya. Lalu hubungkan titik-titik tersebut hingga terbentuk garis lurus ( grafik fugsi linear ).

Pada persamaan lenear y = a + bx , konstanta a adalah penggal garis pada sumbu vertikal y, sedangkan koefisien b merupakan koefisien arah atau lereng ( slope ) garisnya. Jika a = 0 maka garisnya mempunyai penggal pada sumbu vertikal.

Apabila koefisien b positif ( b > 0 ), garis yang tercipta bergerak dari kiri-bawah ke kanan-atas, sedangkan bila koefisien b negatif ( b < 0 ) maka garisnya bergerak dari kiri-atas ke kanan-bawah.

Pada penggambaran fungsi non-linear tidak semudah fungsi linear. Namun prinsip penggambarannya sama, tetapi lebih sulit dalam

8

X

4

0

Gambar 2 Y

y = 8 – 2x

8

X

penghitungannya dan penggambarannya karena bentuk kurvanya tak seperti fungsi linear yang berbentuk garis lurus.

Berikut cara sederhana dalam membuat grafik fungsi non-linear terutama grafik fungsi kuadrat :

Misalkan y = ax2 + bx + c

1. Carilah perpotongan grafik y dengan sumbu Y dan sumbu X. Perpotongan sumbu X dengan memisalkan y = 0 dan perpotongan dengan sumbu Y dengan memisalkan x = 0

2. Carilah sumbu simetri grafik y. Sumbu simetri dapat dicari dengan menggunakan rumus sederhana

a

3. Carilah titik puncak grafik y. Sebelum menentukan titik puncak, cari dahulu titik ekstrimnya atau titik y dengan menggunakan rumus Setelah diperoleh nilai ekstrim, kemudian cari titik puncaknya

 

_ _ _ Grafik akan terbuka ke atas bila a 0, dan grafik akan terbuka ke

bawah bila a 0.

5. Setelah perhitungan selesai, kemudian gambar kurva sesuai dengan informasi yang telah di dapat dari perhitungan.

D. Sifat Kurva Non-Linear

Kurva non-linear mempunyai sifat tertentu. Melalui sifat-sifat yang khas ini, dapat diketahui pola kurvanya. Sifat-sifat-sifat tersebut adalah penggal, simetri, perpanjangan, asimtot, dan faktorisasi.

1. Penggal

dengan memisalkan y = 0 dalam persamaan yang bersangkutan, sehingga nilai x dapat dihitung. Penggal pada sumbu Penggal pada sumbu y dicari dengan memisalkan x = 0 sehingga nilai y dapat dihitung.

2. Simetri

Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap sebuah garis apabila garis tersebut berjarak sama terhadap kedua titik tadi dan tegak lurus terhadap segmen garis yang menghubungkannya . dua buah titik dikatakan simetrik terhadap titik ketiga apabila titik ketiga ini terletak persis di tengah segmen garis yang menghubungkannya kedua titik tadi.

Titik ( x,y) adalah simetrik terhadap titik : ( x,-y ) sehubungan dengan sumbu x , ( -x,y ) sehubungan dengan sumbu y, ( -x,-y ) sehubungan dengan titik pangkal.

Sebuah kurva akan simetrik terhadap sumbu x, jika untuk setiap titik ( x,y ) pada kurva itu titik simetri ( x,-y ) juga terdapat kurva tersebut , yakni jika penggantian y oleh –y , dalam persamaannya menghasilkan persamaan yang ekivalen.

Sebuah kurva akan simetrik terhadap sumbu y, jika untuk setiap titik ( x,y ) pada kurva itu titik simetri ( -x,y ) juga terdapat pada kurva tersebut, yakni jika pengganti x oleh –x, dalam persamaannya menghasilkan persamaan yang ekivalen.

Sebuah kurva akan simetrik terhadap pangkal, jika untuk setiap titik ( x,y ) pada kurva itu titik simetri ( -x,-y ) juga terdapat pada kurva tersebut, yakni jika penggantian x oleh –x dan y oleh –y dalam persamaannya menghasilkan persamaan yang ekivalen.

Secara ringkas dapat dirumuskan bahwa kurva dari suatu persamaan f(x,y) = 0 adalah simetris terhadap :

3. Perpanjangan

Titik – titik (x,y) pada bidang sepasang sumbu silang (system

koordinat) sesungguhnya hanya mencerminkan koordinat-koordinat yang terdiri atas bilangan – bilangan nyata. System koordinat tersebut tidak berlaku bagi titik – titik koordinat yang mengandung bilangan khayal. Jadi, nilai – nilai x untuk y yang berupa bilangan khayal tak dapat di tempatkan disitu, sehingga harus keluar dari bidang sepasang sumbu-silang tersebut.

Jika sebuah persamaan mengandung fariabel berpangkat genap, maka penyelesaian untuk variable yang bersangkutan akan melibatkan akar berpangkat genap. Konsekwensinya, perpanjangan kurva dari persamaan yang demikian boleh jadi terbatas, mengingat bilangan negative dibawah tanda akar akan selalu mengahasilkan bilangan khayal. Dalam menyelidiki terdapat atau tidaknnya batas perpanjangan sebuah kurva, sebaiknya ( jika dimungkinkan ) persamaanya dieksplisitkan untuk masing – masing variable agar dapat diketahui batas perpanjangan pada masing – masing fariabel tersebut. Patut di catat, kehadiran batas

perpanjangan pada salah satu variable dapat dengan sendirinya membatasi perpanjangan pada variable lainya.

4. Asimtot

Asimtot suatu kurva adalah sebuah garis lurus yang jaraknya semakin dan semakin dekat dengan salah satu ujung kurva tersebut. Jarak itu sendiri tidak akan menjadi nol; atau dengan perkataan lain, garis lurus dan kurva tadi tidak sampai berpotongan. Jadi, suatu kurva dikatakan asimtotik terhadap sebuah garis lurus tertentu apabila salah satu ujung kurva semakin dan semakin mendekati garis yang bersangkutan.

besar dari a + bx dan semakin mendekati a + bx apabila x dan y diperpanjang tanpa batas. Dengan notasi limit, hal ini dituliskan

sebagai f

 

x abx apabila x,y 5. Faktorisasi

Faktorisasi fungsi maksudnya ialah menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas – ruas utama dari dua fungsi yang lebih kecil. Sebagai contoh, faktorisasi sebuah

fungsi yang memiliki persamaan f

 

x,y 0 berarti membentuk sedemikian rupa sehingga diperoleh f

     

x,y  g x,y h x,y .[catatan : f(x, y) disebut ruas utama dari f

 

x,y 0].

Dalam menghadapi persamaanf

 

x,y 0 seringkali, karena kompleksnya jalinan antara x dan y, kita mengalami kesukaran untuk menggambarkan kurvanya. Kesukaran demikian bias diatasi dengan jalan mengfaktorkan (menguraikan) fungsi tersebut, jika hal ini menguraikan ( tidak semua fungsi dapat difaktorkan). Gambar yang dihasilkan akan terdiri atas gambar dan fungsi – fungsi yang lebih kecil. Jadi, jika f (x, y) = 0 dapat difaktorkan menjadi

   

x y h x y

g ,  , maka gambar dari f

 

x,y 0dan h(x, y) =0 penyelidikan mengenai faktorisasi adalah penting, mengingat sebuah persamaan kompleks yang dapat difaktorkan sulit digambarkan dengan tepat apabila tidak difaktorkan. ( persamaan – kompleks disini ialah persamaan yang mengandung suku berbentuk hasil kali antara variable bebas dan terikat, misalnya x2 – 5 y2 + 3 xy = 0.

E. Contoh Soal

Contoh 1. Gambarkan f

 

x x2 4x1 Penyelesaian :



misalx0



y f

 

x x24x1y04

 

0 11

Jadi Sumbu simetri kurva pada x = 2 dan nilai ekstrimnya y = 5.

Jadi Titik puncak Kurva pada titik ( 2,5 ).

Contoh 2. Selidiki apakah terdapat batas perpanjangan bagi kurva

yang dicerminkan oleh persamaan x2 y2 250

Penyelesaian untuk x : 2 25 y x 

Berapapun nilai y, bilangan di bawah tanda akar akan selalu positif sehingga x akan berupa bilangan nyata. Berarti perpanjangan kurva searah sumbu y tidak terbatas.

Penyelesaian untuk y : y x2 25

Jika x < 5 atau x > -5 ( ringkasnya : |x| < 5 ), bilangan di bawah tanda akar akan negatif dan y akan menjadi bilangankhayal atau maya ( tidak nyata ). Berarti perpanjangan kurva searah sumbu x terbatas hanya sampai x5

Jadi, dalam kasus ini, tidak terdapat batas perpanjangan bagi kurva untuk variabel x ( searah sumbu y ), tetapi terdapat batas perpanjangan untuk variabel y ( searah sumbu x ).

Contoh 3. Selidiki apakah kurva dari persamaan x3yxy20

mempunyai asimtot vertikal dan/atau asimtot horizontal

Penyelesaian untuk x :

y y x

 

1 2 3

Jika y , maka x3 dan x3

Jika y , maka x3 dan x3

Berarti x = 3 merupakan asimtot

Penyelesaian untuk y :

x x y

 

3 2

Jika x , maka y1 dan y1 Jika x , maka y1 dan y1

Contoh 4. Faktorkan persamaan 2x2 xy y2 0 lalu gambar

kurvanya

Penyelesaian :

Faktorisasi persamaan 2x2 xy y2 0





2



0 0

2 2 2

  

  

y x y x

y xy x

Sehingga gambar dari grafik 2x2 xy y2 0terdiri atas garis-garis

lurus xy0dan 2xy0

x

=

3

y = -1 X

Y

0 2

3   

 y xy x

Gambar 4

0

 y x 0

2xy

X Y

F. Latihan Soal

1. Jika grafik fungsiyx2  pxq

Mempunyai titik puncak (1,2), nilai p dan q adalah…

2. Selidiki apakah persamaan-persamaan berikut dapat di faktorkan :

(a)x2 xy2y2 0 (c)xy2xy5

(b)x2yx2 4y0 (d)x2y2 xy2 xy

3. Untuk persamaanxyxy2,

(a) tentukan pengggal pada masing-masing sumbu (b) selidiki kesemitreian kurvanya

(c) selidiki batas perpanjangan kurvanya

(d) tentukan asimtot vertical dan /atau asimtot horizontal (e) jelaskan apakah persamaan tersebut dapat difaktorkan

4. Untuk persamaanx3 y2 9

(a) tentukan penggal pada masing-masing sumbu (b) selidiki kesimetrian kurvanya

(c) selidiki batas perpanjangan kurvanya

HUBUNGAN LINEAR DAN NONLINEAR

A. Hubungan Linear 1. Pengertian

Hubungan linear merupakan bentuk yang paling dasar dan paling sering digunakan dalam analisis ekonomi. Hubungan sebab- akibat antara berbagai variabel ekonomi misalnya antara permintaan dan harga, antara investasi dan tingkat bunga – dapat dengan mudah dinyatakan serta diterangkan dalam bentuk fungsi. Sesuai dengan namanya, setiap persamaan linear apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis (garis lurus). Bentuk umum persamaan linear:

Y = a + bX

- Nilai a adalah penggal garis pada sumbu vertikal

- Nilai b adalah koefisien arah atau lereng garis, yang mencerminkan besarnya tambahan nilai Y untuk setiap tambahan satu unit X

2. Pembentukan Persamaan Linear a. Cara Dwi Koordinat

Apabila diketahui titik A (2,3) dan titik B(6,5), sehingga penerapan rumusnya adalah sebagai berikut :

b. Cara Koordinat Lereng

Dari sebuah titik dan suatu lereng dapat dibentuk ssebuah persamaan linear yang memenuhi titik dan lereng tersebut. Apabila diketahui titik A(2,3) dan lereng garisnya 0,5, maka persamaan

linear yang dipenuhi adalah :

c. Cara Penggal Lereng

Sebuah persamaan linear dapat juga dibentuk jika diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan lereng garis yang memenuhi persamaan tersebut.

Y = a+bX

Apabila diketahui lereng garis Y = f (X) masing - masing adalah 4 dan 0,8, maka persamaan linearnya

Y = 4 + 0,8X

d. Cara Dwi Penggal

Persamaan linear dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis tersebut pada masing - masing sumbu. Apabila a dan c merupakannilai penggal pada masing-masing sumbu vertikal dan

horizontal dari sebuah garis lurus, maka persamaan garisnya :

3. Hubungan Dua Garis Lurus

Dua buah garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari (proposional terhadap)

persamaan garis yang lain. Garis Y1= a1+b1X akan berimpit dengan garis Y2= a2+b2X Jika ;

- a1 = na2

- b1 = nb2

Dua buah garis lurus akan sejajar apabila lereng garis yang satu sama dengan lereng garis yang lain. Garis Y = a1+b1X akan sejajar dengan garis Y = a2+b2X jika ;

- b1 = b2

- a1 ≠ a2

Dua buah garis lurus akan berpotongan apabila lereng garis yang satu tidak sama dengan lereng garis yang lain. Garis Y = a1+b1X akan berpotongan dengan garis Y =a2+b2X jika ;

Dua buah garis lurus akan SALING TEGAK LURUS apabila lereng garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Garis Y = a1+b1X akan tegak lurus dengan garis

Y =a2+b2X jika ;

- b1 = -1/b2 atau

- b2 = -1

4. Pencarian Akar – Akar Persamaan Linear

a. Metode Substitusi

Dua persamaan dengan dua bilangan tertentu dapat

diselesaikan dengan cara menyelesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan untuk salah satu bilangan tertentu, kemudian

mensubsitusikannya ke dalam persamaan yang lain. Contoh :

2X +3Y =21 dan X + 4Y =23 Penyelesaian ;

X + 4Y =23 di ubah menjadi X=23-4Y 2X +3Y =21

2(23-4Y)+3Y =21 46 – 8Y + 3Y = 21 5Y = 25

Y = 5 Kemudian 2X +3Y =21 2X +3(5) =21 2X = 6

X = 3

b. Metode Eliminasi

Dua persamaan dengan dua bilangan tertentu dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeleminasi) salah satu bilangan tertentu yang ada, sehingga dapat dihitung bilangan yang lain

Contoh :

2X +3Y =21 dan X + 4Y =23 Penyelesaian ;

Akar-akar persamaan tersebut

B. Hubungan Nonlinear

1. Identifikasi Persamaan Kuadrat Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

 Jika B = 0 dan A = C ≠ 0  Lingkaran

 Jika B2 – 4AC < 0  Elips

 Jika B2 – 4AC > 0  Hiperbola

 Jika B2 – 4AC = 0  Parabola Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

 Jika A = C ≠ 0  Lingkaran

 Jika A ≠ C, tanda sama  Elips

 Jika A dan C berlawanan tanda  Hiperbola

 Jika A=0 atau C=0, tapi tidak keduanya  Parabola 2. Lingkaran

h dan k bisa positif / negatif  persamaan lingkaran : Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0  A = C dan B = 0

3. Elips

Elips didefinisikan sebagai lokus titik-titik yang jumlah jaraknya hingga dua titik tertentu, yang dinamakan fokus F dan F’ adalah tetap. Persamaan elips menjadi sederhana bila dipilih asal 0 di pertengahan FF’ dan sumbu y tegak lurus FF’.

Misal : 0F = 0F’ = c, PF + PF’ = 2a dan a2 _{– c}2 _{= b}2

Bila pusat lingkaran dipindahkan dari 0 ke M(h,k) , maka juga dengan Dapat ditulis