Matematika SMA BARISAN DAN DERET

BARISAN DAN DERET

I. Perngertian Barisan dan Deret 

Barisan bilangan adalah pemetaan dari bilangan asli ke bilangan real yang diurutkan menurut aturan tertentu.

n Un

n = bilangan asli Un = suku ke-n

Deret adalah jumlah suku-suku pada barisan Sn = U1 + U2 + U3 + ….. + Un

Sn = jumlah n suku pertama Untuk setiap deret berlaku :

Un = Sn – Sn – 1

II. Deret Aritmetika 

Cirinya : selisih tetap Un = a + (n – 1) b Sn =



a U_n



2 n _ Sn =



2a (n 1)b



2 n _{ } a = suku pertama = U1 b = beda deret = Un – Un – 1 Sisipan : 

Jika antara 2 suku pada deret aritmetika disisipkan k buah bilangan maka

b = 1 k bo  bo = beda mula-mula b = beda yang baru k = banyak sisipan

III. Deret Geometri

Cirinya : rasio tetap

Un = arn – 1 Sn =

 

r 1 r 1 a n   Sn =

 

1 r 1 r a n   a = suku pertama = U1 r = rasio = 1 n n U U  Sisipan : 

Jika antara 2 suku pada deret aritmetika disisipkan k buah bilangan maka

1 k o r r_  ro = rasio mula-mula r = rasio yang baru k = banyak sisipan

IV. Deret geometri tak hingga 

Yaitu deret geometri yang memiliki suku sebanyak tak hingga

agar jumlahnya berhingga deret harus konvergen, yaitu :

–1 < r < 1

Jumlah deret geometri tak hingga adalah r 1 a S   

Matematika SMA

Soal-soal latihan

1. Diketahui suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 2 dan bedanya 4, maka suku ke n dinyatakan dengan ....

a. 2n + 4 b. 2n + 6 c. 4n – 2 d. 4n + 2 e. 4n + 4

2. Jika suku ke- 4 suatu deret aritmatika adalah 14 dan suku ke-7 nya adalah 26. Maka jumlah suku ke-10 nya adalah ....

a. 100 b. 200 c. 300 d. 400 e. 500

3. Jumlah tiga suku pertama deret aritmatika 21, sedangkan hasil kalinya 280. Jika semua suku deret aritmatika ini positif maka jumlah 10 suku pertama deret itu sama dengan …. a. 175 b. 170 c. 160 d. 155 e. 150

4. Jika jumlah empat suku pertama dan jumlah enam suku pertama suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 56 dan 108, maka jumlah ke sepuluh suku pertama deret itu adalah: a. 164 b. 176 c. 200 d. 216 e. 260

5. Anton membuat segitiga sama-sisi dari segitiga-segitiga sama-sisi satuan (panjang sisi 1 satuan). Pada langkah pertama diperlukan 1 buah segitiga sama-sisi satuan. Pada langkah ke-2, dia menambahkan 3 buah segitiga satuan untuk mendapat segitiga sama-sisi 2 satuan. Pada langkah ke-3 ditambahkan 5 segitiga sama-sisi satuan untuk mendapat segitiga sama-sisi 3 satuan. Sampai dengan langkah ke-9, diperoleh segitiga sama-sisi satuan sebanyak

a. 13 b. 25

c. 36 d. 75 e. 81

6. Diberikan suku banyak

a x 3 x ) x ( f _ 3_ 2_{ .Jika f ''(2), f'(2),} ) 2 (

f membentuk barisan aritmetika, maka ) 2 ( f ) 2 ( f ) 2 ( '' f _ ' _{ =} a. 37 b. 46 c. 51 d. 63 e. 72

7. Tiga buah bilangan membentuk deret aritmatika. Jika suku kedua dikurangi 2 dan suku ketiga ditambah dengan 2, maka diperoleh deret geometri. Jika suku pertama deret semula ditambah dengan 5, maka ia menjadi setengah suku ketiga. Jumlah deret aritmatika semula … a. 42 b. 44 c. 46 d. 48 e. 50

8. Suku ke-3 suatu deret geometri adalah 4, suku ke-5 deret tersebut adalah 16, maka suku pertama dan rasio deret tersebut berturut-turut adalah .... a. 1 dan 2 b. 1 dan 3 c. 2 dan 1 d. 2 dan 3 e. 2 dan 4 9. Diketahui a1, a2, a3 membentuk barisan geometri. Agar ketiga suku membentuk barisan aritmatika, maka suku ketiga harus ditambah dengan …

a. 8 b. 6 c. 5 d. 6 e. 8

10. Jumlah deret geometri tak hingga ... x log x log x log 4 16 2 _{   . adalah} a. 2 1_{log x} b. 2 log x c. 2 12_{log x} 

d. log x e. 22_{log x}

11. Tiga buah bilangan merupakan barisan geometri dengan pembanding lebih besar dari satu. Bila suku terakhir dikurangi 3, maka ketiga bilangan itu merupakan barisan aritmetika dengan jumlah 54. Selisih suku ketiga dan suku pertama deret aritmetika ini adalah … a. 16 b. 14 c. 12 d. 10 e. 8

12. Diketahui p_log2_log22_..._logn2 _{nilai p} untuk n  ~ adalah … a. 5_{log 2} b. 5_{log 2} c. 2_{log 5} d. log 5 2 e. log 2 5

13. Deret geometri 1_3log(x_5)_3log2(x_5)_... konvergen jika … a. 0 < x < 5 b. 5 < x < 8 c. 5 3 1 _{ x  8} d. 0  x  8 e. 5 3 1 _{< x < 8}

14. Diberikan lingkaran L1 dengan jari-jari r. Di dalam L1 dibuat bujur sangkar B1, dengan keempat titik sudutnya terletak pada busur L1. Dalam B1 dibuat pula lingkaran L2 yang menyinggung keempat sisi bujur sangkar tersebut. Dalam L2 dibuat pula bujur sangkar B2 dengan keempat titik sudutnya terletak pada busur L2. Demikian seterusnya sehingga diperoleh lingkaran-lingkaran L1, L2, L3, … dan bujur sangkar B1, B2, B3, … Jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh bujur sangkar adalah … a. 2( + 2)R2 b. ( + 2)R2 ₂ c. ( + 2)r2 d. ( + 2 )r2 e. ( + 2)r2 ₂

15. Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 8, dan jumlah semua suku pada

kedudukan (urutan) genap adalah 3

8_{. Suku} kelima deret tersebut adalah …

a. 2 b. 1 c. 2 1 d. 3 1 e. 4 1

16. Deret _log1 _{5 log}1_{5) xlog}1₅₎₃ ...

( 2 x (

x   

konvergen untuk nilai x berikut … a. 1 < x < 1 b. 5 < x < 5, x  1 c. 5 1_{< x < 5, x  1} d. x < 5 1_{atau x > 1} e. x < 1atau x > 1 17. Deret geometri ... ) 6 x ( log ) 6 x ( log ) 6 x log( 2 2 2 3 2 _{      .konv}

ergen pada interval a. 6,5 < x < 8 b. 6,5  x  8 c. 0 < x  6< 2 d. 0  x  6  2 e. x > 6

18. Jika P 10log2 10log22 ...10logn2

n   dan _ nlimPn = P maka 5P _{= …} a. 52 b. 5 c. 5log2 d. 2 e. 25 19. Perhatikan deret ... x cos log x cos log x cos log 1_{ } 2 _ 3 _

Jumlah deret ini, yaitu s dapat mengambil setiap nilai … a. 2 1_{< s  1} b. 2 1_{< s < 2} c. s < 2 1 d. s > 2 1 e. s > 1 20. Diketahui y_1_x_x2_x3_..._, 0 y

sin  dalam selang 0 < y < 2 untuk …

a.  1 < x < 1

Matematika SMA

b.  1 < x < 1 _{ }1

c.  1 _{ }1 < x < 1 _{ }1 d. x < 1  _1

e. x <  21. Agar jumlah deret

... ) 2 x ( log ) 2 x ( log ) 2 x log( 64 2 64 3 64 _{     }

terletak antara 1 dan 2, maka haruslah … a. 64 129 _{< x < 66} b. 64 129 _{< x < 18} c. 64 129 _{< x < 10} d. 10 < x < 66 e. 10 < x < 18

22. x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2_(2k_4)x_(3k_4)_0_{. Kedua} akar itu bilangan bulat dan k konstan. Jika x1, k, x2 merupakan tiga suku pertama deret geometri maka suku ke-n deret tersebut adalah … a. 1 b. 2(1)n c. (1)n d. 1 + (1)n e. 1  (1)n

23. Untuk k0, bilangan k2, k6, dan 3

k

2  membentuk tiga suku pertama suatu deret geometri. Jumlah n suku pertama deret tersebut adalah …

a. 1₄(1 – 3n₎ b. 2 1₍₃n _{– 1)} c. 1₄(1 – 3n₎ d.  2 1_{(1 – (3)}n₎ e. 1₄(1 – (3)n₎

24. Akar-akar persamaan kuadrat

0 ) 1 k 7 ( x 20 x 2 2_{    , merupakan suku}

pertama dan suku kedua suatu deret geometri dengan perbandingan yang lebih besar dari 1, jika kedua akar persamaan itu berbanding sebagai 2 dan 3, maka suku keempat deret geometri itu adalah …

a. 9 untuk k = 7

b. 13,5 untuk k sembarang c. 13,5 untuk k = 7

d. 15,5 untuk k sembarang e. 15,5 untuk k = 7

25. Sebuah ayunan matematika yang panjang talinya 60 cm mulai berayun dari posisi terjauh dari kedudukan seimbang sebesar

12

5 _{radian. Posisi terjauh yang dicapainya} setiap kali berkurang sebesar

5 1_posisi

terjauh sebelumnya.

Panjang busur yang dijalani ujung ayunan itu sampai berhenti penuh adalah …radial a. 4 125 b. 4 250 c. 100 d. 125 e. 250

26. Semua bilangan genap positif dikelompokkan seperti berikut (2),

 

4,6 ,



8,10,12



, ) 20 , 18 , 16 , 14

 

( , …. Bilangan yang terletak di tengah pada kelompok ke-15 adalah … a. 170

b. 198 c. 226 d. 258 e. 290

27. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar positif persamaan kuadrat x2_ax_b_0 _{. Jika 12,} x1, x2 adalah tiga suku pertama barisan aritmatika dan x1, x2, 4 adalah tiga suku pertama barisan geometri maka diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah … a. 6

b. 9 c. 15 d. 30 e. 54

28. Jumlah 5 buah bilangan yang membentuk barisan aritmatika adalah 75. Jika hasil kali bilangan terkecil dan terbesar adalah 161, maka selisih dari bilangan terbesar dan terkecil adalah … a. 15 b. 4 c. 8 d. 16

e. 30

29. Sebuah deret arotmatika terdiri dari n suku (n ganjil). Jumlah semua sukunya adalah 90, besar suku tengahnya 10, serta beda deret tersebut adalah 2. Suku kedua dari deret ini adalah … a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. 10

30. Jika suku pertama dan keempat barisan geometri berturut-turut

_a

12 _dan

_a

3x12

sedang suku kesepuluh sama dengan

_a

912 _, 

maka nilai x adalah… a. – 25

b. –5 c. 5 d. 10 e. 15

31. Jika x50, x14, x5 adalah tiga suku pertrama suatu deret geometri tak hingga. Maka jumlah semua suku-sukunya adalah … a. –96

b. –64 c. –36 d. –24 e. –12

32. Diketahui deret geometri a₁a₂a₃...

Jika a6162dan 3 log 6 2 log 4 a log a log a log a log ₂ ₃ ₄ ₅  . Maka a3 = a. 2 b. 3 c. 6 d. 8 e. 9

33. Tiga buah bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio r > 1, jika suku tengah ditambah 4, maka terbentuk sebuah barisan aritmatika yang jumlahnya 30. Hasil kali ketiga bilangan itu adalah … a. 64

b. 125 c. 216 d. 343 e. 1000

34. Diketahui barisan tak hingga

2 1 _,

 

sin2t 2 1 _,

 

sin4t 2 1 _,

 

sin6t 2 1 _,….Jika 3 t , maka hasil kali semua suku barisan tersebut adalah … a. 0 b. ₁₆1 c.

 

12 3 2 1 d. ₂1 e.

 

2 1 2 1 35. Barisan



2k25



,



k9



,



3k7



,… merupakan suatu barisan aritmatika. Jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah … a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 36. Perhatikan barisan 7 5 3 12x 4x 6x 1 , 5 3 1 2x 4x 1 , 3 1 2x 1 , 1 1             _{, … Jika} 

un menyatakan suku ke-n barisan tersebut dan Vn 



u_ndx, maka lim_n~V_n

a. 2 x2 b. x2 c. x d. 1 e. 2 1

37. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Bila keuntungan sampai bulan ke-4 Rp. 30.000,00, dan sampai bulan ke-8 Rp. 172.0000,00, maka keuntungan samapai bulan ke-18 adalah …

a. 1.017 ribu rupiah b. 1.050 ribu rupiah c. 1.100 ribu rupiah d. 1.120 ribu rupiah e. 1.137 ribu rupiah

38. Seorang karyawan menabung dengan teratur setiap bulan. Yang ditabungkan setiap bulan selalu lebih besar dari yang ditabungkan bulan sebelumnya dengan selisih yang sama. Bila jumlah seluruh tabungannya dalam 12

Matematika SMA bulan pertama adalah 192 ribu rupiah dan

dalam 20 bulan pertama adalah 480 ribu rupiah, maka besar yang ditabungkan dibulan ke-10 adalah …

a. 97 ribu rupiah b. 28 ribu rupiah c. 23 ribu rupiah d. 8 117 _{ribu rupiah} e. 2 23_{ribu rupiah}

39. Andaikan 30 siswa dalam suatu kelas mempunyai nilai ujian yang berbeda satu dengan yang lainnya dan setiap dua nilai yang bedekatan berbeda 0,3. Jika nilai rata-rata 75, maka nilai tertinggi adalah

a. 87,25 b. 82,25 c. 81,35 d. 79,35 e. 73,55

40. Pada sebuah kursus yang baru dibuka, murid baru yang mendaftar setiap bulan bertambah dengan jumlah yang sama. Jumlah murid baru yang mendaftar pada bulan ke-2 dan murid baru yang mendaftar pada bulan ke-4 berjumlah 20 orang, sedangkan yang mendaftar pada bulan ke-5 dan ke-6 adalah 40 orang. Jumlah semua murid kursus tersebut dalam 10 bulan pertama adalah … a. 220 orang b. 200 orang c. 198 orang d. 190 orang e. 180 orang

41. Diketahui segitiga OP1P2 dengan sudut siku-siku pada P2 dan sudut puncak 30o _{pada O.} Dengan OP2 sebagai sisi miring dibuat pula segitiga siku-siku OP2P3 dengan sudut puncak P2OP3 sebesar 30o_{. Selanjutnya dibuat pula} segitiga siku-siku OP3P4 dengan OP3 sebagai sisi miring dan sudut puncak P3OP4 sebesar 30o_{. Proses ini dilanjutkan terus menerus.} Jika OP1 = 16, maka jumlah luas seluruh segitiga adalah … a. 64 3 b. 128 c. 128 3 d. 256 e. 256 3 42. Jika        











 

4

3

2

4

)

1

2

(

lim

y

y

y

a

y maka untuk 2 x 0 , deret   

 logsinx log sinx log sinx

1 a a 2 a 3 _.… a. 6  _{< x <} 2  b. 6  _{< x <} 4  c. 4  _{< x <} 3  d. ₄ < x < 2  e. ₃ < x < 2 

43. Suku ke n sebuah deret adalah

) x )( 1 n ( 2 ₄1

2

  . Deret ini konvergen untuk semua x yang memenuhi

 

a. 0 < x < ₂5 b.  ₂5 < x < ₂5 c. 0 < x < 1₂ d. 1₂ < x < ₂1 e. x  ₂1, x   ₂1 44. Untuk 3 x 3  

 , jumlah n suku persamaan

deret logcosx_logcos2x_... _Mempunyai nilai minimum a. (₂1 n2 _ 2 1 _{n) log2} b. (₂1n2 _ 2 1_{n) log2} c. (₂1n2 _{+ n) log2} d. (n2 _{ n) log2} e. (n2 _ 2 1 _{n) log2}

45. Dari barisan empat buah bilangan, jumlah tiga bilangan pertama sama dengan nol dan kuadrat bilangan pertama sama dengan 

3 2

kali bilangan ketiga. Jika setiap dua bilangan

 

yang berdekatan sama selisihnya, maka bilangan keempat adalah

a. ₃4 b.  3 2 c. ₉4 d. 9 4 e. ₃4

46. Diketahui barisan enam bilangan u₁, u₂, u₃, 4

u , u₅ dan u₆. Selanjutnya u1u611 dan 1 u log u log 10 ₄ 3

10 _{  , Jika untuk setiap n}

adalah 1, 2, 3, …, 5; un1pun , maka  p log 10 a. 2 1 b. 3 1 c. ₄1 d. 5 1 e. ₆1

47. Perhatikan barisan sepuluh

bilangan a1, a2, a3, … , a10. a₁2p25, 9

p

a2  , a33p7dan an1an sama

untuk semua n = 1, 2, …, 9, maka jumlah semua bilangan itu adalah …

a. 160 b. 180 c. 200 d. 220 e. 240

48. Selisih sisi terpanjang dan sisi terpendek sebuah segitiga siku-siku sama dengan dua kali selisih sisi yang lain dengan yang terpendek. Jika luas segitiga itu 150 cm2_, maka kelilingnya sama dengan

a. 30cm b. 45 cm c. 60 cm d. 90 cm e. 120 cm

49. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor ganjil adalah 4. Suku ke-6 deret tersebut adalah a. ₃₂1 b. ₃₂2 c. ₃₂3 d. ₃₂4 e. ₃₂6

50. u1, u2, u3, … adalah barisan aritmatika dengan suku-suku positif. Jika

24 u u u1 2 3 dan u u3 10 2 1   , maka u4 = a. 16 b. 20 c. 24 d. 30 e. 32

51. f(x)_1_cosx_cos2x_cos3x_... untuk 0x ....

a. merupakan fungsi turun b. merupakan fungsi naik c. mempunyai maksimum saja d. mempunyai minimum saja

e. mempunyai maksimum dan minimum

52. ... 3 1 2 2 1 2 1 ) ( _{2 }                      x x x x x x x f

a. Merupakan fungsi naik b. Merupakan fungsi turun c. Mempunyai maksimum saja d. Mempunyai minimum saja

e. Mempunyai maksimum dan minimum 53. Jumlah semua suku deret geometri tak

berhingga adalah 9, sedangkan jumlah suku yang bernomor genap adalah ₄9 . Maka suku pertama deret tersebut adalah

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 54. Untuk 2 x 2    , ... x sin x sin x sin ) x ( f _{ } 2 _ 3 _

a. Merupakan fungsi naik b. Merupakan fungsi turun c. Mempunyai maksimum saja d. Mempunyai minimum saja

e. Mempunyai maksimum dan minimum

Matematika SMA 55. Suatu deret geometri tak berhingga

mempunyai jumlah 33₂ dan jumlah 3 suku pertama adalah 143₉ . Suku ke empat adalah a. ₁₁3 b. ₂₇11 c. 119 d. ₁₁27 e. 11₃

56. f(x)_sinx_cosxsinx_cos2xsinx_cos3xsinx_... untuk 0x

a. Merupakan fungsi naik b. Merupakan fungsi turun c. Mempunyai maksimum saja d. Mempunyai minimum saja

e. Mempunyai maksimum dan minimum 57. Suatu barisan aritmatika dengan suku-suku

positif, S₁, S₂, S₃, …, diketahui 45 S S S1 2 3 dan S S3 10 2 1   . Maka S4 a. 35 b. 37 c. 48 d. 53 e. 55

58. Nilai-nilai x yang memenuhi 6 ... x 3 x 3 x 3 3_{ } 2_ 3_{ } adalah a. x > 1 b. x > ₂1 c. 1₂ < x < 1 d. 1₂ < x < 0 atau 0 < x < ₂1 e. 1₂ < x < 0 atau 0 < x < 1

59. Hasil kali suku kedua dan suku keempat dari suatu barisan geometri yang semua sukunya positif adalah 16. Jika jumlah tiga suku pertama adalah 7, maka suku pertamanya adalah a. ₂1 b. 1 c. ₂3 d. 2 e. ₂5

60. Diketahui 4 buah bilangan. Tiga bilangan pertama membentuk barisan geometri dan tiga bilangan terakhir membentuk barisan aritmatika dengan beda 6. Jika bilangan pertama sama dengan bilangan keempat, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah a. 10 b. 12 c. 14 d. 18 e. 24

61. Jika diantara suku pertama dan suku ke-2 suatu barisan geometri disisipkan 4 bilangan maka dapat diperoleh barisan aritmatika dengan beda 2 dan jika suku ke-3 barisan geometri tersebut adalah 40, maka rasio barisan geometri tersebut adalah

a. ₂1 b. ₂3 c. 2 d. ₂5 e. 3

62. Diketahui segitiga siku-siku sama kaki pertama dengan panjang sisi siku-siku a. Dibuat segitiga siku-siku sama kaki ke-2 dengan panjang sisi miring sama dengan panjang sisi siku-siku segitiga pertama. Segitiga siku-siku sama kaki ke-3, ke-4, dan seterusnya masing-masing dibuat dengan panjang sisi miring sama dengan panjang sisi siku-siku segitiga sebelumnya. Jumlah luas seluruh segitiga adalah

a. 8a2

b. 4a2

c. 3a2

d. 2a2

e. a2

63. Suatu tali dibagi menjadi tujuh bagian dengan panjang yang membentuk suatu barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dari yang paling panjang 192 cm, maka panjang tali semula sama dengan: (A) 379

(B) 381 (C) 383 (D) 385 (E) 387

64. Diketahui suatu persamaan parabola c bx ax

y_ 2_{ }

Jika a, b, dan c berturut-turut merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan aritmatika, serta garis singgung parabola tersebut di titik (1,12) sejajar dengan garis y6x, maka nilai (3a2bc) sama dengan a. 14 b. 16 c. 18 d. 20 e. 22

65. ABC siku-siku di A, B1 pada BC sehingga BC

AB1 , A1 pada AC sehingga B1A1AC,

B2 pada BC sehingga A1B2BC, A2 pada AC sehingga B2A2ACB2A2 , dan seterusnya. Jika AB6 dan BC10, maka jumlah luas ABC, B1AC, A1B1C, B2A1C, A2B2C dan seterusnya adalah a. 8 600 b. 9 600 c. 60 d. 50 e. 16 600 C A A3 A2 A1 B3 B2 B1 B