BAB XVIII. NOTASI SIGMA,
BARISAN, DERET DAN INDUKSI
MATEMATIKA
Notasi Sigma :
∑
adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola.∑
merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah.Bentuk umum notasi sigma:
∑
= n i i U 1= U1 + U2 + U3+ . . . + Un
∑
= n i i U 1dibaca penjumlahan suku Ui untuk i=1 sampai
dengan i=n
i = indeks penjumlahan
i =1 disebut batas bawah penjumlahan i = n disebut batas atas penjumlahan {1,2,3,…,n} adalah wilayah penjumlahan
Contoh:
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 100 dapat ditulis dengan
notasi sigma yaitu
∑
= 50 1 2 i i
Sifat-sifat notasi sigma:
1.
∑
= n i i U 1
= U1 + U2 + U3+ . . . + Un
2.
∑
= n i i U 1 =
∑
= n k k U 13.
∑
=
n
i
K
1
= nK ; dimana K adalah konstanta
4.
∑
= n i i KU 1
= K
∑
= n i i U 1
5.
∑
= ± n i i i V U 1 ) ( =
∑
= n i i U 1 ±∑
= n i i V 16.
∑
= n i i U 1 =
∑
− = + 1 0 1 n i iU =
∑
+ = − 1 2 1 n i i U
7.
∑
= n i i U 1 =
∑
= m i i U 1 +∑
+ = n m i i U 1; dimana 1< m < n
8.
∑
=
n
m i
i
U =
∑
+ + = − p n p m i p i
U =
∑
− − = + p n p m i p i U
9. a.
∑
= + n i i i V U 1 2 ) ( =
∑
= n i i U 1 2+ 2 i n i iV U
∑
=1 +∑
= n i i V 1 2b.
∑
= − n i i i V U 1 2 ) ( =
∑
= n i i U 1 2- 2 i n i iV U
∑
=1 +∑
= n i i V 1 2Barisan dan Deret Aritmetika (Deret Hitung):
Suatu barisan U1, U2, U3,…, Un−1, Un disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku sebelum dan sesudahnya tetap, dimana selish tersebut dinamakan beda (b).
b = U2 - U1 = U3 - U2 = Un- Un−1
Bentuk umum barisan aritmetika :
a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b
Bentuk umum deret aritmetika:
a + (a+b) + (a+2b) +… + {a+(n-1)b}
dimana:
a = suku pertama b = beda
www.matematika-sma.com - 1
18. SOAL-SOAL NOTASI SIGMA,
BARISAN, DERET DAN INDUKSI
MATEMATIKA
UN2004 1.Nilai
∑
=
= −
21
2
) 6 5 ( n
n ….
A. 882 B. 1030 C. 1040 D. 1957 E. 2060
Jawab:
∑
== −
21
2
) 6 5 ( n
n (5.2 – 6) + (5.3 – 6) + (5.4 – 6)+…+ (5.21 – 6) = 4 + 9 + 14+ . . .+ 99
a = 4
b = 9 – 4 = 14 – 9 = 5
n = n(akhir) – (n(awal)-1) = 21 – (2-1) = 20
Sn = 2
n
(a + Un) = 2
n
(2a +(n-1) b)
= 2 20
(2. 4 +(20-1) 5) = 10 (8 + 95)
= 10 . 103 = 1030
Jawabannya adalah B
EBTANAS2000
2. Diketahui
∑
== −
25
5
) 2 ( k
pk 0, maka nilai
∑
==
25
5
... k
pk
A. 20 B. 28 C. 30 D. 42 E. 112 Jawab:
∑
=
= −
25
5
) 2 ( k
pk 0
∑
=
= −
25
5
) 2 ( k
pk
∑
= 25
5 2 k
-
∑
==
25
5 k
pk 0
∑
= 25
5 2 k
=
∑
= 255 k
pk
2 (n(akhir) – (n(awal)-1) ) =
∑
= 255 k
pk
2 (25 – (5-1) ) =
∑
= 255 k
pk
2 . 21 =
∑
= 255 k
pk Æ
∑
= 25
5 k
pk = 42 jawabannya adalah D
Catatan :
∑
= 25
5 2 k
=14 24 4 34 kali n
2 ... 2 2
2+ + + + = 2 . 21 = 42
n = 25 – (5-1) = 21 kali EBTANAS2000
3. Suku keempat dan suku ketujuh barisan aritmetika berturut-turut adalah 17 dan 29. Suku ke 25 barisan tersebut adalah….
A. 97 B. 101 C. 105 D.109 E. 113
Jawab:
U4 = 17 = a + (n-1) b = a + 3b …(1) U7 = 29 = a + (n-1)b = a + 6b …(2) Dari (1) dan (2)
a + 3b = 17 a + 6b = 29 -
-3b = -12 b = 4 a + 3b = 17 a = 17 – 3b = 17 – 3.4 = 17 – 12 = 5 U25 = a + (25 – 1)b
= 5 + 24 . 4 = 5 + 96 = 101
jawabannya adalah B EBTANAS1990
4. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah 5 suku yang pertama = 35 dan jumlah 4 suku yang pertama = 24, suku yang ke 15 = ….
Jawab: S5 =
2
n
(2a +(n-1) b) = 2 5
(2a + 4b) = 5a+10b = 35….(1) S4 =
2 4
(2a + 3b) = 4a + 6b = 24 ….(2)
dari (1) dan (2)
5a+10b = 35 | x 4 | ⇒ 20a + 40b = 140
4a + 6b = 24 | x 5 | ⇒ 20a + 30b = 120 - 10b = 20
b = 2 5a + 10b = 35
5a = 35 – 10b 5a = 35 – 20 a = 15/5 = 3 U15 = a + (15 – 1)b
= 3 + 14 . 2 = 3 + 28 = 31 Jawabannya adalah C
UAN2007
5. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah…
A. 840 B. 660 C. 640 D. 630 E. 315 jawab:
U3 = a +(n-1) b = a + 2b = 36 …(1) U5 + U7 = a + 4 b + a + 6b = 144 = 2a + 10b = 144 = a + 5b = 72 ….(2) Dari (1) dan (2)
a + 2b = 36 a + 5b = 72 - -3b = -36 b = 12 a + 2b = 36 a = 36 – 2b = 36 – 24 = 12
S10 = 2 10
(2. 12 +(10-1) 12) = 5 (24 + 108)
= 5 . 132 = 660
Jawabannya adalah B
EBTANAS1993
6. Jumlah n suku pertama dari sebuah deret aritmetika adalah
Sn = 2 1
n (3n – 1 ). Beda dari barisan aritmetika itu adalah….
A. -3 B. -2 C. 3 D. 2 E. 4
jawab:
jumlah n suku pertama:
Sn = 2 1
n (3n – 1 ) S1 =
2 1
1 (3 – 1 ) = 1 S2 =
2 1
2 (6 – 1 ) = 5
Beda = Un- Un−1 = U2 - U1 U1 = S1 = 1
Un = Sn - Sn−1 U2 = S2 - S1 = 5 – 1 = 4 Beda = U2 - U1 = 4 – 1 = 3 Jawabannya adalah C
UAN2003
7. Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah ...
A . 48,5 tahun C . 49,5 tahun E . 50,5 tahun B . 49,0 tahun D . 50,0 tahun
Jawab:
U3 = a +(n-1) b = a + 2b = 7 …(1) U5 = a +(n-1) b = a + 4 b = 12 …(2) Dari (1) dan (2)
a + 2b = 7 a + 4 b = 12 - - 2 b = -5 Æ b =
2 5 a + 2 b = 7 a = 7 – 2b
= 7 – 2 . 2 5
www.matematika-sma.com - 3 jumlah n suku pertama:
Sn = 2
n
(2a +(n-1) b)
maka jumlah usia enam anak tersebut adalah:
S6 = 2 6
(2.2 +(6-1). 2 5
)
= 3. ( 4 + 2 25
) = 3 ( 2 33
) = 2 99
= 49 2 1
tahun
Jawabannya adalah C
UMPTN1998
8. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33,… disisipkan 4 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang berbentuk adalah…
A. 78 B. 81 C. 84 D. 87 E. 91 Jawab:
dari barisan 3, 18, 33,…
diketahui a = 3 b = 15 k = 4
beda barisan yang baru:
b'= 1
+
k b
= 1 4
15
+ = 3
Jumlah 7 suku pertama barisan yang terbentuk :
Sn '= { 2
'
n
(2a + (n'-1) b'}
S7 = 2 7
{2.3+(7-1).3} = 2 7
(6+18) = 84
Jawabannya adalah C
UAN2002
9. Banyak bilangan antara 450 dan 1001 yang habis dibagi 8 adalah…
A. 67 B. 68 C. 69 D. 182 E. 183
Jawab:
bilangan antara 450 dan 1001 yang habis dibagi 8 456, 464, 472, …, 1000
ditanya banyak bilangan (n) = ?
Un = a + (n-1) b
Un = 1000 a = 456
b = 464 – 456 = 472 – 464 = 8
sehingga :
1000 = 456 + (n-1 ) . 8 = 456 + 8.n – 8 = 448 + 8n 8n = 1000 – 448 = 552
n = 8 552
= 69
jawabannya adalah C
SPMB2003
10. Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah…
A. 168 B. 567 C. 651 D. 667 E. 735
jawab:
1. bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 7, 14, 21, …, 98
a = 7 ; b = 7
Un = a + (n-1) b 98 = 7 + (n-1). 7 98 = 7 + 7n – 7 98 = 7n
n = 98/7 = 14
Sn = 2
n
(2a +(n-1) b)
S14 = 2 14
(2 . 7 + 13. 7)
= 7 (105) = 735
2. bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 dan juga habis dibagi 4 :
28, 56, 84
karena jumlah n sedikit kita langsung jumlah saja = S3 = 28 + 56 + 84 = 168
Kalau dengan rumus seperti berikut:
a = 28 ; b = 28 ; n = ?
Un = a + (n-1) b 84 = 28 + (n – 1).28 84 = 28 + 28n – 28 84 = 28n
n = 84/28 = 3
Sn = 2
n
(2a +(n-1) b) S3 =
2 3
(2.28 + 2 . 28)
= 2 3
( 112) = 168 ( hasilnya sama)
Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah :
hasil (1) – hasil (2) = 735 – 168 = 567
jawabannya adalah B
EBTANAS1999
11. Dari suatu barisan geometri diketahui suku ke 2 adalah 3 4 dan suku ke 5 adalah 36. Suku ke 6 barisan tersebut adalah….
A. 108 B.120 C.128 D. 240 E. 256
Jawab:
Un = arn−1
U2 = a r = 3 4 U5 = ar4 = 36
2 5 U U
=
ar ar4
= 3 / 4
36
r3 = 36 . 4 3
= 27
r = 3 27 = 3
a. r = 3
4 ⇒
a = 3
3 / 4
= 9 4
U6 = ar 5
= 9 4
. 35 =
9 4
. 243 = 108
Jawabannya adalah A
UN2006
12. Dari suatu deret geometri yang rasionya 2 diketahui jumlah 10 buah suku pertama sama dengan 3069. Hasil kali suku ke 4 dan ke 6 dari deret tersebut=….
A. 3069 B. 2304 C. 4236 D. 4476 E. 5675
jawab :
Diketahui :
r = 2
Sn =
1 ) 1 (
− −
r r
a n
karena r > 1
S10 =
1 2
) 1 2 ( 10
− −
a
= 3069
⇒ 1 1023 .
a
= 3069
⇒ a = 1023
. 3069
= 3
U4 = ar3 = 3 . 23 = 3 . 8 = 24 U6 = ar5 = 3 . 25 = 3 .32 = 96
U4 . U6 = 24 . 96 = 2304
jawabannya adalah B
UAN2007
13. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.80.000.000,- Setiap
tahun nilai jualnya menjadi 4 3
dari harga sebelumnya. Berapa
nilai jual setelah 3 tahun ?
A. Rp. 20.000.000,- D. Rp. 35.000.000,- B. Rp. 25.312.000,- E. Rp. 45.000.000,- C. Rp. 33.750.000,-
Jawab:
Diketahui harga awal = a = 80.000.000
r = 4 3
www.matematika-sma.com - 5 U3 = ar
1 − n
= 80.000.000 . ( 4 3
)2
= 80.000.000 16
9 = 45.000.000 Jawabannya adalah E EBTANAS1997
14. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri ditentukan oleh rumus Sn = 2
2 + n
- 4 . Rasio dari deret tersebut adalah…
A. 8 B. 4 C. 2 D. 2 1
E. 4 1
Jawab:
Jumlah n suku pertama = Sn = 2 2 + n
- 4 S1 = 2
3 - 4 = 4
S1 = U1 = a = 4 S2 = U1 + U2 = 2
2 2+
- 4 4 + U2 = 2
4 - 4 U2 = 16 – 4 – 4 = 8
U2 = a. r r =
a U2
= 4 8
= 2
Jawabannya adalah C UAN2005
15. Jumlah deret geometri tak hingga dari
8 + 3 16
+ 9 32
+ . . .
A. 48 B .24 C. 19.2 D. 18 E. 16.9 Jawab:
r = 8
3 16
= 3 2
Æ |r| < 1 , maka S∞ =
r a
−
1 mempunyai nilai (konvergen)
S∞ =
r a
−
1 = 3 2 1
8
−
=
3 1 8
= 24
Jawabannya adalah B SPMB2002
15. Agar deret bilangan ,...
) 1 (
1 , 1 , 1
− −
x x x x x
jumlahnya mempunyai limit, nilai x harus memenuhi… A. x > 0 C. 0<x< 1 atau x >1 E. 0<x< 1 atau x >2 B. x < 1 D. x >2
Jawab:
Deret bilangan ,... ) 1 (
1 , 1 , 1
− −
x x x x x
Mempunyai r = x x
x 1 1
− = x
1 .
1
−
x x
= 1 1
−
x
Mempunyai limit (konvergen)
jika |r| < 1 atau -1 <r < 1
-1 < 1 1
−
x < 1
(1 ) 1 1
−
x > -1
1 > -x +1 x -1 + 1 > 0 x > 0
(2) 1 1
−
x < 1
1 < x - 1 x – 1 > 1 x > 2
gabungan dari (1) dan (2) didapat nilai x > 2 jawabannya adalah D
catatan:
UAN2005
16. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25m dan memantul kembali dengan ketinggian
5 4
kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga boleh berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah.. A. 100m B. 125m C. 200m D. 225m E. 250m
Jawab:
Menjawab soal ini dengan membayangkan pergerakan bola pingpong tersebut yang digambarkan dengan sketsa
gambarnya sbb:
25 m
20 20 16 16
terlihat pada gambar 20m dan 16m dan selanjutnya nya terdiri dari dua kejadian: pantulan
5 4
dari tinggi sebelumnya naik ke atas dan dengan jarak yang sama turunnya.
Sehingga terjadi 2 kejadian deret yaitu naik dan turun a = 20 (bukan 25, deret terjadi awalnya pada 20) r =
5 4
deret adalah tak terhingga karena sukunya tidak terbatas.
S∞ =
r a
−
1 = 5 4 1
20
−
=
5 1 20
= 100
Jumlah seluruh lintasan = 25m + S∞ naik + S∞ turun = 25m + 100m + 100m = 225m
www.belajar-matematika.com - 2
Rumus-rumus :
1. Suku ke n barisan aritmetika (Un) ditulis sbb: Un= a + (n-1) b
2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika (Sn) ditulis sbb:
Sn = U1 + U2 + U3+ . . . + Un= 2
n
(a + Un)
= 2
n
(2a +(n-1) b)
hubungan Undan Snadalah:
Un = Sn - Sn−1
3. Jika n ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika (Ut) ditulis sbb:
Ut = 2 1
(a + Un)
Sisipan:
Suatu barisan aritmetika :
a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b
apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan aritmetika yang baru adalah sbb:
a , (a+ b'), (a+2 b'),…,(a+k b'),{a+(k+1) b'},…
k buah bilangan sisipan
U1 barisan lama U2 barisan lama
dengan b'= beda baru setelah ada k bilangan sisipan
1. Beda barisan baru (b')
hubungan barisan baru dan lama : a +b = a+(k+1) b'
b = (k+1) b'
b'= 1
+
k b
b = beda deret lama b'= beda deret baru
k = banyaknya bilangan yang disisipkan
2. Menentukan banyaknya suku baru (n') Barisan lama : U1, U2, U3,…, Un−1, Un
Barisan baru: U1, …,U2,…, U3,…, U4,… Un
k suku k suku k suku k suku dari barisan baru dapat dilihat bahwa Un ' = Un
a. jika banyaknya suku =2 U1, …,U2
k suku
banyaknya suku baru: n'= 2 + k = 2 +(2-1)k
b. jika banyaknya suku =3 U1, …,U2,…, U3
k suku k suku
banyaknya suku baru: n'= 3 +2 k = 3 +(3-1)k
c. . jika banyaknya suku =4 U1, …,U2,…, U3,…, U4
k suku k suku k suku
banyaknya suku baru: n'= 4 +3 k = 3 +(4-1)k
Jadi, jika banyaknya suku adalah n buah maka banyaknya suku baru adalah:
n'= n + (n-1) k
3. Jumlah n suku setelah sisipan (Sn ')
Sn '
= 2
'
n
(a + Un '
) atau Sn '
= { 2
'
n
(2a + (n'-1) b'}
Un '
= Un maka,
Sn '
= 2
'
n
(a + Un)
contoh soal sisipan :
jawab:
banyaknya suku awal = 2 Æn deret setelah sisipan 60+ … + 110
10 bilangan
Banyaknya suku baru: n'= n+(n-1)k
= 2+(2-1)10 = 12 Jumlah deret yang terbentuk :
Sn '
= 2
'
n
(a + Un)
= 2 12
(60+110)
= 1020
2. Diantara dua suku berurutan pada barisan 5, 15, 25,… disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru . Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan yang terbentuk
Jawab:
dari barisan 5, 15, 25,… diketahui a = 5
b = 10 k = 4
beda barisan yang baru:
b'= 1
+
k b
= 1 4
10
+ = 2
Jumlah 10 suku pertama barisan yang terbentuk :
Sn '
= { 2
'
n
(2a + (n'-1) b'}
S10 = 2 10
{2.5+(10-1)2} = 5(10+18) = 140
Barisan dan Deret Geometri (Deret Hitung):
Suatu barisan U1, U2, U3,…, Un−1, Un disebut barisan geometri jika perbandingan antara dua suku
sebelum dan sesudahnya selalu tetap, perbandingan dua suku tersebut disebut pembanding atau rasio (r).
Jadi r = 1 2 U U
= 2 3 U U
= . . .= 1
−
n n U
U
Bentuk umum barisan geometri: a, ar, ar2, ar3, . . . , arn−1, arn
Bentuk umum deret geometri:
a + ar + ar2+ ar3+ . . . + arn−1 + arn
a = suku pertama n = banyaknya suku r = rasio
Rumus-rumus:
1. Suku ke n barisan geometri (Un) ditulis sbb:
Un = ar 1
−
n
2. Jumlah n suku pertama deret geometri (Sn) ditulis sbb:
Sn =
1 ) 1 (
− −
r r a n
untuk r >1
Sn =
r r
a n
− −
1 ) 1 (
untuk r <1
Hubungan Un dan Sn
Un = Sn - Sn−1
3. Untuk n ganjil, maka suku tengah barisan geometri (Ut) adalah :
Ut= a.Un
Sisipan:
Suatu barisan geometri:
www.belajar-matematika.com - 4 apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka
barisan geometri yang baru adalah sbb:
a, ar', a(r')2, a(r')3,…, a(r')k
, a(r')k+1 ,…
k buah bilangan sisipan
U1 barisan lama U2 barisan lama
r' = rasio baru setelah ada k bilangan sisipan
1. Banyaknya suku baru:
n'= n + (n-1) k
2. Rasio baru (r') :
hubungan rasio lama dan baru
ar = a(r')k+1
r = (r')k+1
r'= k+1 r
r = rasio lama ; k = banyaknya suku baru yang disisipkan
3. Jumlah n suku setelah sisipan (Sn '
):
Jumlah n suku pertama setelah sisipan :
Sn '
=
1 ] 1 ) [(
' ' ' '
− −
r r
a n
; r'> 1 atau
Sn '
= '
' '
1
] ) ( 1
[ '
r r
a n
− −
; r'< 1
Contoh soal sisipan:
Diantara bilangan 48 dan 768 disisipkan 3 buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan jumlah barisan setelah sisipan.
Jawab:
Barisan baru : 48, sisipan1, sisipan2, sisipan3, 768
3 sisipan
Banyaknya suku barisan lama n = 2 banyaknya suku barisan baru : n'= n + (n-1) k = 2 +(2-1)3= 5
rasio barisan lama , r = 48 768
= 16
Rasio barisan baru, r'= k+1 r
= 3+116 = 4 24 = 2
Barisan geometri tak hingga:
Deret geometri yang banyak suku-sukunya tak terbatas /tak hingga dinamakan deret geometri tak hingga.
Deret : a + ar + ar2+ ar3+ . . . + arn−1 + arn
disebut deret terhingga dengan n suku.
Deret : a + ar + ar2+ ar3+ . . .
disebut deret tak hingga (n nya tak hingga)
Jumlah n suku pertama deret geometri tak hingga :
1. Bila |r| < 1 atau -1 < r < 1
S∞ =
r a
−
1 ; dinamakan konvergen (mempunyai nilai) 2. Bila |r| > 1
S∞ = ∞ ; dinamakan divergen (tidak mempunyai nilai)
Contoh deret tah hingga:
1. Diketahui deret geometri : 2 1
+ 8 1
+ 32
1 + . . .
Berapakan jumlah deret tsb?
Diketahui : a = 2 1
; r = 2 1
8 1
= 4 1
r = 4 1
memenuhi syarat |r| < 1 atau -1 < r < 1, maka
konvergen.
S∞=
r a
−
1 = 4 1 1
2 1
− =
4 3
2 1
= 6 4
= 3 2
2. Apabila suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 10 dengan suku pertamanya adalah 5. Berapa rasio dan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut ?
jawab:
diketahui S∞ = 10 ; a = 5
karena S∞= 10 maka deret tak hingga ini adalah konvergen.
S∞ =
r a
−
1 10 =
r
−
1 5
; 1 - r = 10
5
1 – r = 2 1
; r = 1 - 2 1
= 2 1
Jadi rasionya: r = 2 1
jumlah 5 suku pertamanya:
Karena r <1 maka
Sn =
r r
a n
− −
1 ) 1 (
=
r a
−
1 ( 1 - r n
) = S∞( 1 - rn )
S5 = 10 [1 – ( 2 1
)5 ] = 10 ( 1 - 32
1 )
= 10 . 32 31
= 32 310
= 9 32 22
Induksi Matematika:
Induksi matematika adalah suatu cara pembuktian suatu pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap bilangan asli.
Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika adalah:
1. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = 1 2. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = k
3. Buktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k+1
contoh induksi matematika:
1. Buktikan
2 + 4 + 6 + …+2n = n (1+n)
langkah 1 :
untuk n = 1
masukkan nilai n =1 2n = n (1+n)
2.1 = 1 (1+1) 2 = 2 Æ terbukti
langkah 2 :
untuk n = k
misalkan rumus berlaku untuk n = k maka rumus menjadi
2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k)
langkah 3 :
untuk n = k+1
berdasarkan langkah 2
2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k)
jika n = k +1 didapat :
2 + 4 + 6 + …+2k+ 2(k+1) = k (1+k) + 2 (k+1)
k(1+k)
Catatan:
www.belajar-matematika.com - 6 ruas kanan dijabarkan
k (1+k) + 2 (k+1) = k + k2+ 2k +2
= k2 + 3k +2
= (k+1)(k+2) Æ terbukti
2. Buktikan
∑
= +
n
m1m(m 1) 1 = 1 + n n jawab:
Nilai m dimasukkan menjadi
2 1 + 6 1 + 12 1 + . . . + ) 1 ( 1 + n
n = n+1
n
langkah 1 :
Untuk n = 1
masukkan n=1 ruas kiri dan kanan
) 1 ( 1 + n
n = n+1
n ) 1 1 ( 1 1
+ = 1 1 1 + 2 1 = 2 1
Æ terbukti
Langkah 2:
Untuk n = k
Misalkan rumus berlaku untuk n=k rumus menjadi
2 1 + 6 1 + 12 1 + . . . + ) 1 ( 1 + k
k = k+1
k
Langkah 3 :
Untuk n = k+1
Berdasarkan langkah 2 :
2 1 + 6 1 + 12 1 + . . . + ) 1 ( 1 + k
k = k+1
k
jika n = k +1 didapat :
2 1 + 6 1 + 12 1 + . . . + ) 1 ( 1 + k
k +( 1)( 2)
1 + + k k 1 + k k = 1 + k k + ) 2 )( 1 ( 1 + + k k Catatan:
Rumus kanan awal : 1
+
n n
, kita masukkan n = k+1
Menjadi 1 1 1 + + + k k = 2 1 + + k k
Æ ini yang akan dibuktikan
ruas kanan dijabarkan :
1 + k k + ) 2 )( 1 ( 1 + + k
k = ( 1)( 2)
1
+ + k
k + ( 1)( 2)
1 + + k k = ) 2 )( 1 ( ) 2 ( + + + k k k k + ) 2 )( 1 ( 1 + + k k = ) 2 )( 1 ( 1 ) 2 ( + + + + k k k k = ) 2 )( 1 ( 1 2 2 + + + + k k k k = ) 2 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( + + + + k k k k = 2 1 + + k k
Æ terbukti
