BARISAN DAN DERET, NOTASI SIGMA, DAN INDUKSI MATEMATIKA

BARISAN DAN DERET, NOTASI SIGMA, DAN INDUKSI MATEMATIKA

PENGERTIAN BARISAN DAN DERET

Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan bilangan asli yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret. Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan Aritmetika dan barisan

Geometri.

1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG)

1.1 BARISAN ARITMETIKA

Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b.

Contoh-contoh barisan Aritmetika :

1) 1,3,5,.... bedanya b = ... 2) 0,5,10,... bedanya b = ... 3) 100,97,94,... bedanya b = ... 4) 3 2 ,7 2,11 2 ,... bedanya b = ... . Suku ke-n barisan aritmetika

Jika suku pertama = U_{1 = a dan beda = b, maka :}

Un  a + (n – 1) b Un : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama

n : banyak suku b : beda/selisih b = Un Un1

Contoh 1 : Tentukan beda dari :

a) 1,5,9 b) 10,81 2 ,7,...

Jawab : a) ………….

b) ………….

Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ... !

Jawab : ………

Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 !

Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... !

Jawab : ……….

Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui U₅ 21 dan U10 41. Tentukan U15 !

Jawab : ……….

LATIHAN SOAL

1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut !

a) 3.5.7,... c) 20,17,14,...

b) 1,11

2 ,2,... d) 5 2,4 2 ,3 2 ,...

2. Tentukan suku yang diminta ! a) 4,10,16,... suku ke-25

b) 20 3,18 3,16 3,... suku ke-40

3. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut : a) b = 4, U₆ 21, a = ... tentukan ketiga bilangan itu !

5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika !

6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali menabung Rp.25.000. Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak diperhitungkan !

1.2DERET ARITMETIKA

Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.

Jumlah n suku pertama deret aritmetika

S_n  1n aU_n

2 ( ) , karena Un a(n1)b, maka :

[2 ( 1) ] 2

1_{n a n b}

S_n    Sn : jumlah n suku pertama

U_n S_n S_n1

Contoh 1: Hitunglah jumlahnya ! a) 1+3+5+...sampai 50 suku b) 2+5+8+...+272

Jawab : a) ………..

b) ……….

Contoh 2: Tentukan x jika 5+7+9+……+ x = 192

Jawab : ………

Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 - 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 !

Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ……….. + 100 = S1=……..

Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100 = S2 = ……

Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 = S1 - S2 = ……..

Contoh 4: Tentukan U_{10 jika Sn n}2

Jawab : …………

LATIHAN SOAL

1. Tentukan jumlah dari : a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku c) -7-3+1+ ... + 53

d) 25+21+17 + ... + 1

2. Tentukan x jika ; a) 1+3+5+ ... + x = 441 b) 1+5+9+ ... + x = 561

3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut : a) a = 2, S22 737,b...

4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 3

5. Tentukan U_{8 jika} S_n n22n

2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR)

2.1 BARISAN GEOMETRI

Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r.

Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,...

Jawab : …………..

Suku ke-n barisan geometri

Jika suku pertama u₁ adan rasio = r, maka :

1

 n

n ar

U

Dimana

1 



n n

U U r

Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,....

Jawab : ……….

Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,...

Jawab : ………

Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U₃ 4 dan U5 16. Tentukan U8 !

Jawab : ……….

Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27, tentukan ketiga bilangan itu !

Jawab : Misal ketiga bilangan itu x xr r x

,

, _maka . . 27 3 27 3

   

 x x

xr x r x

Jadi

9 , 3 , 1 3

1 , 3 , 9 3

1

0 ) 3 )( 1 3 ( 0 3 10 3 13

3 3

3 2

a bilanganny r

a bilanganny r

r r r

r r

x r

r

 

 

       

  

Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri !

1. Tentukan suku yang diminta dari barisan : a) 1,3,9,... suku ke-7

b) 3,6,12,....suku ke-8 c) 16,8,4, ... suku ke-10

2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan : a) 1₄,1₂, ,....1

b) 2 2, 2 4, ,....

3. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut : a) a 4,U4 32,U6 ...

b) b  1 U  a 

3, 5 3, ...

c) U3 8,U6  64,U5 ... d) U₃ 1,U₅ 25,U₂ ...

4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 216, tentukan ketiga bilangan itu !

5. Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri !

6. Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap bakteri membelah menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul 21.20 !

2.2 DERET GEOMETRI

Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri.

Jumlah n suku pertama deret geometri

n n n

n

n n

n n

ar ar

ar ar

ar ar rS

r x ar

ar ar

ar ar a S

 

 

  

 

 

  

 

 



1 2

3 2

1 2

3 2

... ...

.... ...

-n

n

n rS a ar

S   

1 ,

1 ) 1 ( 1

) 1 (

 

 

 

 r

r r a r

r a S

n n

n dimana Un Sn Sn1

Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+....

Jawab : ………

Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243

Jawab : ………

Contoh 3: Tentukan n jika 1 2 22 2 255

  .... n 

LATIHAN SOAL

1. Tentukan jumlah dari : a) 1₄ 1₂ 1 ....S10 ...

b) 36+18+9+.... S₆ ... c) 222 2...S8 ...

2. Tentukan jumlah dari : a) 1/3+1+3=....+81 b) 32+16+8+....+1/8

3. Tentukan n jika :

a) 3 32 33 3 363

   ... n 

b) 2 22 23 2 1 1022

   ... n 

4. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut : a) U₁ 50,U₃  200,S₅ ...

b) a 1,r 3,S_n 29524,n... c) S₈ 155 r a

6 1 2

 ,  , ...

5. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah 27 tahun jumlah penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk semula !

2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA

S a r

r

a r

r r

n

n n

 

     (1 )

1 1 1

Untuk n  maka :





S

 

n Lim

) 1 1

(

r r r

a n

  

Untuk –1 < r < 1 maka :





S

r r

a

 

 1

0

1 sehingga S  r a 

1 syarat –1 < r < 1

Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1

Contoh 1: Hitung .... 4 1 2 1

1  

Jawab : ………

Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !)

Jawab : ……….

LATIHAN SOAL

1. Hitunglah jumlahnya dari :

a. 32+16+8+…. e. 0,1+0,01+0,001+….

b. 125+5+1+…. f. 8+2+1/2+….

c. 12+8+16/3+…. g. 1+1+1+….

d. 1/2+1/3+2/9+…. h. 2 21....

2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut : a. r = -2/5, S 15 maka a = ….

b. a = 2, U3 ₈1 maka S ….

c. U₂ 9,U₇ ₂₇1 maka S ….

d. , ₈1

2 9

5 3

1U  U 

U _maka S ….

3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi semula. Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti

4. Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di samping 8 cm, maka tentukan jumlah luas keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga tak terhingga jumlahya.

3. NOTASI SIGMA

Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan digunakan

notasi sigma yang dilambangkan dengan

"

" _



b

a

i i

x dimana I sebagai

indeks dengan batas bawah a dan batas atas b sedangkan xi adalag rumus sigma sesuai dengan

indeks yang digunakan. Indeks menggunakan huruf kecil.





b

a i

x₁ dibaca “sigma dari xi untuk harga i dari a sampai b”.

Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari

_





5

1

) 1 2 (

k

k

Jawab :

_





5

1

) 1 2 (

k

k _{= ……… = …………}

Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. + 28

Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = …………..

Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus sigma sifatnya tidak unik.





 

c k

c n k

n x

Contoh 3 : Ubahlah

_

k _{menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 !}

Jawab :

_

_

_

LATIHAN SOAL

1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari :



2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut :

144

3. Ubahlah bentuk sigma berikut dengan batas bawah = 5



Misalkan Pn suatu pernyataan dan n



Asli sedemikian sehingga : 1. Pn benar untuk n = 1

2. Misal Pk benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n sehingga menyebabkan

1 

k

P _{benar pula, maka} Pn benar untuk n



Asli.

Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan jarak yang sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan jatuh pula.

Contoh 1 : Buktikan ( 1)

LATIHAN SOAL

Buktikan dengan induksi matematika !