Handout Barisan dan Deret

1 |

BARISAN DAN DERET

A. POLA BILANGAN

Berbagai jenis bilangan yang sering kita pergunakan mempunyai

pola tertentu. Pola ini sering digunakan dalam menentukan urutan / letak

bilangan dari sekumpulan bilangan yang ditentukan, contoh bilangan ganjil

ke-5 dari bilangan : 1, 3, 5, 7,… yaitu 9.

B. BARISAN BILANGAN

Barisan adalah himpunan sembarang unsur-unsur yang ditulis secara berurutan. Barisan bilangan adalah bilangan yang disusun menurut

suatu aturan tertentu.

Contoh :

a. 1, 3, 5, ⋯

b. 10, 9, 8, 7, ⋯

Contoh Soal

1. Carilah 4 suku pertama dari barisan berikut, jika :

a. 𝑈_𝑛= 𝑛 2

𝑛 + 1

b. 𝑈_𝑛= 𝑛 + 1 𝑛2 _{− 2𝑛 + 1}

c. 𝑈_𝑛= 1 (4𝑛−3)(2𝑛−1)

2. Tuliskan tiga suku berikutnya dari setiap barisan berikut ini dan tentukan

2 | a. −8, −4, 0, ⋯

b. 1, √2, 2, ⋯

c. 4, 2, 1, ⋯

3. Tentukan rumus sederhana suku ke-n dari barisan berkut.

a. −1,

−

1 2

,

−

1 4

, −

1 2

, ⋯

b. 1 1 × 2

,

1 3 × 4

,

1 5 × 8

,

1 7 × 16

, ⋯

c. 1 2,

1 2

√

2 ,

1 2

√

3,

1

2

√

4,

⋯

d. √5 − √2, √7 − √4, √9 − √6,

⋯

e. 1 √2 + 1,

1 √3 − √2,

1 2 + √3,

1 √5 − 2

,

⋯

4. Rumus umum suku ke-n suatu barisan adalah 𝑈_𝑛= 𝑎𝑛2+ 𝑏𝑛. Suku ke-2

dan suku ke-7 barisan tersebut masing-masing 8 dan 63.

a. Hitunglah

𝑎

dan

𝑏

serta rumus umum suku ke-n

b. Tentukan suku ke-10

5. Suku ke-n sebuah barisan ditentukan dengan rumus :

𝑈𝑛= (−1)𝑛 𝑛 3 _{− 1}

𝑛2_{+ 𝑛 + 1}

a. Tentukan suku ke-5, suku ke-10 dan suku ke-15

b. Suku ke berapakah yang nilainya ₋₂₄

C. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET

3 |

Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan Aritmetika dan barisan Geometri.

1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG)

1.1 BARISAN ARITMETIKA

Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b.

Contoh-contoh barisan Aritmetika :

1) 1,3,5,.... bedanya b = ...

2) 0,5,10,... bedanya b = ...

3) 100,97,94,... bedanya b = ...

4)

3 2

,

7 2

,

11 2

,... bedanya b = ... .

Suku ke-n barisan aritmetika

Jika suku pertama =

U

₁ = a dan beda = b, maka :

U

_n



a + (n – 1) b

U

_n : suku ke-n barisan aritmetika

a : suku pertama

n : banyak suku

b : beda/selisih

b =

U

_n



U

_n1

Contoh 1 : Tentukan beda dari :

a) 1, 5, 9 b) 10,

8

1

2

,7,...

4 | Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ... !

Jawab : ………

Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 !

Jawab : …………..

Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... !

Jawab : ……….

Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui

U

5



21

dan

U

10



41

. Tentukan

U

₁₅ !

Jawab : ……….

LATIHAN SOAL

1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut !

a) 3.5.7,... c) 20,17,14,...

b) 1,

1

1

2

,2,... d)

5 2

,

4 2

,

3 2

,...

2. Tentukan suku yang diminta ! a) 4,10,16,... suku ke-25

b)

20 3

,

18 3

,

16 3

,... suku ke-40

3. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut : a) b = 4,

U

6



21

, a = ...

b) a = -5,

U

20



33

, b = ...

c) a = 9, b = -2,

U

n

 

19

, n = ...

d)

U

₄



1

,

U

₇

 

8

, a = ... , b = ...

e)

U

₃

7

1

2

5 |

4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 280, maka tentukan ketiga bilangan itu !

5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika !

6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali menabung Rp.25.000. Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak diperhitungkan !

1.2DERET ARITMETIKA

Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.

Jumlah n suku pertama deret aritmetika

a

b

a

b

a

b

U

b

U

U

S

U

b

U

b

U

b

a

b

a

a

S

U

U

U

U

U

S

n n n n n n n n n n n

























































_

)

(

)

2

(

...

)

2

(

)

(

)

(

)

2

(

...

)

2

(

)

(

...

1 3 2 1 +

)

(

2

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

2

n n n n n n n n n

U

a

n

S

U

a

U

a

U

a

U

a

U

a

U

a

S































S

n



n a



U

n

1

2

(

)

, karena

U

n

 

a

(

n



1

)

b

, maka :

[

2

(

1

)

]

2

1

b

n

a

n

S

_n







S

n : jumlah n suku pertama

U

_n



S

_n



S

_n1

Contoh 1: Hitunglah jumlahnya !

a) 1+3+5+...sampai 50 suku b) 2+5+8+...+272

6 | b) ……….

Contoh 2: Tentukan

𝑥

jika 5+7+9+……+ x = 192

Jawab : ………

Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 sampai 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 !

Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ……….. + 100 =

S

₁=……..

Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100 =

S

₂ = ……

Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 =

1

S

-

S

₂ = ……..

Contoh 4: Tentukan

U

10 jika

S

n



n

2

Jawab : …………

LATIHAN SOAL

1. Tentukan jumlah dari :

a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku c) -7-3+1+ ... + 53

d) 25+21+17 + ... + 1

2. Tentukan x jika ;

a) 1+3+5+ ... + x = 441 b) 1+5+9+ ... + x = 561

3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut : a) a = 2,

S

₂₂



737

,

b



...

b) b=5,

U

₁₀



46

,

S

₁₅



...

c)

U

₄



9

,

U

₇



18

,

S

₁₀



...

7 | 6. Tentukan

U

8 jika

S

n



n



n

2

2

2.BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR)

2.1 BARISAN GEOMETRI

Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r.

Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,...

Jawab : …………

Suku ke-n barisan geometri

Jika suku pertama

u

₁



a

dan rasio = r, maka :



n1

n

ar

U

Dimana

1





n n

U

U

r

Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,....

Jawab : ……….

Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,...

8 |

Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U3



4

dan

U

5



16

. Tentukan

U

8 !

Jawab : ……….

Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27, tentukan ketiga bilangan itu !

Jawab : Misal ketiga bilangan itu

x

xr

r

x

,

,

maka

3

27

27

.

.

x

xr





x

3





x



r

x

Jadi

9

,

3

,

1

3

1

,

3

,

9

3

1

0

)

3

)(

1

3

(

0

3

10

3

13

3

3

3

2

a

bilanganny

r

a

bilanganny

r

r

r

r

r

r

x

r

r































Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri !

Jawab : ………..

LATIHAN SOAL

1. Tentukan suku yang diminta dari barisan : a) 1,3,9,... suku ke-7

b) 3,6,12,....suku ke-8 c) 16,8,4, ... suku ke-10

2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan :

a)

1

9 | b)

2 2 2 4

,

, ,....

3. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut : a)

a



4

,

U

₄



32

,

U

₆



...

b)

b



1

U



a



3

,

5

3

,

...

c)

U

₃



8

,

U

₆

 

64

,

U

₅



...

d) U₃



1

,

U

₅



25

,

U

₂



...

4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 216, tentukan ketiga bilangan itu !

5. Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri !

6. Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap bakteri membelah menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul 21.20 !

2.2 DERET GEOMETRI

Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri.

Jumlah n suku pertama deret geometri

_{n n n}

n

n n

n n

ar

ar

ar

ar

ar

ar

rS

r

x

ar

ar

ar

ar

ar

a

S





























 

 



1 2

3 2

1 2

3 2

...

...

....

...

-

n n

n

rS

a

ar

S







1

,

1

)

1

(

1

)

1

(















r

r

r

a

r

r

a

S

n n

10 | Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+....

Jawab : ………

Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243

Jawab : ………

Contoh 3: Tentukan n jika

1 2

    

2

2

....

2

n

255

Jawab : ………

LATIHAN SOAL

1. Tentukan jumlah dari :

a)

1

4

1

2

1

10

  

....

S



...

b) 36+18+9+....

S

₆



...

c)

2

 

2

2 2



...

S

8



...

2. Tentukan jumlah dari : a) 1/3+1+3=....+81 b) 32+16+8+....+1/8

3. Tentukan n jika :

a)

3 3

    

2

3

3

...

3

n

363

b)

2



2

2

  

2

3

...

2

n1



1022

11 | b)

a



1

,

r



3

,

S

n



29524

,

n



...

c)

S

8

15

r

a

5

6

1

2



,



,



...

5. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah 27 tahun jumlah penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk semula !

2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA

S

a

r

r

a

r

r

r

n

n n















(

1

)

1

1

1

Untuk

n

 

maka :





S





n

Lim

)

1

1

(

r

r

r

a

n







Untuk –1 < r < 1 maka :





S

r

r

a







1

0

1

sehingga

S





r

a



1

syarat –1 < r < 1

Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1

Contoh 1: Hitung

....

4

1

2

1

1







Jawab : ………

Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !)

12 |

Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama

dengan 9, maka tentukan rasionya !

Jawab : ……….

LATIHAN SOAL

1. Hitunglah jumlahnya dari :

a. 32+16+8+…. e. 0,1+0,01+0,001+….

b. 125+5+1+…. f. 8+2+1/2+….

c. 12+8+16/3+…. g. 1+1+1+….

d. 1/2+1/3+2/9+…. h.

2



2



1



....

2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut : a. r = -2/5,

S

_



15 maka a = ….

b. a = 2,

8

1

3



U

maka

S





….

c.

27

1

,

9

₇ 2



U



U

maka

S

_



….

d.

8

1

,

2

9

5 3

1



U



U



U

maka

S





….

3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi semula. Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti

4.

Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di samping 8 cm, maka tentukan jumlah luas

13 | 5. NOTASI SIGMA

Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat

keteraturan digunakan notasi sigma yang dilambangkan dengan

"



"



b

a i

i

x

dimana I sebagai indeks dengan batas bawah a dan batas atas b sedangkan

i

x

adalag rumus sigma sesuai dengan indeks yang digunakan. Indeks

menggunakan huruf kecil.





b

a i

x

1 dibaca “sigma dari

x

i untuk harga i dari a sampai b”.

Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari







5

1

)

1

2

(

k

k

Jawab :







5

1

)

1

2

(

k

k

= ……… = …………

Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. + 28

Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = …………..

Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus sigma sifatnya tidak unik.







  



k c

c n

c n k

n

n

x

14 | Contoh 3 : Ubahlah







5 0

)

3

4

(

k

k

menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 !

Jawab :







   













12 7 7 5 7 5 0

)

25

4

(

3

)

7

(

4

)

3

4

(

k k k

k

k

k

LATIHAN SOAL

1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari :











    







n k k n k ki i k

x

e

n

n

d

k

c

i

b

k

a

1 6 0 10 1 7 3 2 7 1

2

.

2

.

3

)

1

(

.

.

)

4

5

(

.

2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut :

144

...

9

4

1

.

56

...

6

4

2

.

256

...

4

2

1

.

20

21

...

3

4

2

3

2

.

101

...

26

17

10

.

41

...

9

5

1

.

74

...

8

5

2

.





























































g

f

e

d

c

b

a

15 |









   









n

i x

x n k

i

i

d

c

n

b

k

a

0 10

7 10

3 8

0

2

1

.

2

.

)

2

10

(

.

)

4

3

(

.

6. INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus dalam matematika dengan menggunakan pola bilangan asli.

Misalkan Pn suatu pernyataan dan nAsli sedemikian sehingga : 1.

P

n benar untuk n = 1

2. Misal

P

k benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n

sehingga menyebabkan

P

k1 benar pula, maka

P

n benar untuk n

Asli.

Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan jarak yang sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan jatuh pula.

Contoh 1 : Buktikan

(

1

)

2

...

3

2

1









n



n

n



dengan menggunakan

induksi matematika !

Jawab : Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 =

(

1

1

)

2

1



benar.

Misal untuk sembarang n = k maka

(

1

)

2

...

3

2

1









k



k

k



benar.

16 |

)

2

(

2

1

2

)

1

(

2

)

1

(

2

)

1

(

)

1

(

2

)

1

(

...

3

2

1









k



k





k

k





k





k

k





k





k



k



benar.

Jadi

(

1

)

2

...

3

2

1









n



n

n



benar untuk nAsli.

LATIHAN SOAL

Buktikan dengan induksi matematika !