Rumus Cepat Matematika Barisan Dan Deret

http://meetabied.wordpress.com

SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel

Setiap pria dan wanita sukses adalah

pemimpi-pemimpi besar. Mereka berimajinasi tentang masa

depan mereka, berbuat sebaik mungkin dalam

setiap hal, dan bekerja setiap hari menuju visi jauh

ke depan yang menjadi tujuan mereka (Brian Tracy)

[

RUMUS CEPAT MATEMATIKA

]

Barisan dan Deret

1. Uan 2004/P-7/No.13

Keterangan : n = banyaknya suku

angka tetap

= 5 (42) = 210

1

Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a = 12

1 Jumlah n suku pertama

deret aritmetika adalah

Keterangan : n = banyaknya suku

angka tetap

= 50(509)=25450

Awal = ganti n dengan 1 Akhir = ganti n dengan 100

Gunakan info :

1

å

å

å

1

Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a = 7

1 Jumlah n suku pertama

deret aritmetika adalah

3. Nilai dari (k 1) k ...

Keterangan : n = banyaknya suku

angka tetap

= 50 (204) = 10200

Awal = ganti n dengan 1 Akhir = ganti n dengan 100

Gunakan info smart :

1

å

å

1

Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a = 3

1 Jumlah n suku pertama

deret aritmetika adalah

4. Ebtanas 2000

Diketahui

ki

25

35

5 i

=

å

=

.Nilai

(

4

ki

)

....

35

5 i

=

+

å

= A. 190

B. 180 C. 150 D. 149 E. 145

Keterangan : k = bilangan asli n = bilangan asli > 1 p = penambahan dari bil. 1

Gunakan info smart :

Perhatikan i = 5 ,berarti p = 5-1 = 4

1

å

å

å

= =

=

+

=

+

35

5 i 35

5 i 35

5 i

ki

4

)

ki

4

(

= 4.35-4.4+ 25 = 140-16+ 25 = 140+ 9 = 149

Jawaban : D

1 Jumlah dari suatu

bilangan asli k

1 k kn

n

1 i

=

å

=

1 k kn kp

n

p 1 i

-=

å

5. Uan 2004/P-1/No.13

6. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah n 2 5 n

S_n

=

2

+

. Beda

dari deret aritmetika terseut adalah...

A. -5

Gunakan info smart :

1

n

7. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalahS_n

=

3n2

-

4n. Suku ke-n dari deret aritmetika terseut adalah...

A. 6n + 2 Jumlah koefisien : 3+ (-4) = -1

1

Pada pilihan dicari jumlah koefisiennya yang -1,

Gunakan info smart :

1

S_n

=

3n2

-

4n

1 Jumlah koefisien

variable untuk jumlah n suku pertama sama

dengan jumlah

8.. UAN 2003/P-1/No.10

Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah...

A. 48,5 tahun B. 49,0 tahun C. 49,5 tahun D. 50,0 tahun

E. 50,5 tahun

2

Gunakan info smart :

9. SPMB 2002/Reg-II/No.19

Suku ke-n suatu deret adalah Un = 4n + 1. Jumlah sepuluh suku

pertama adalah.... A. 250

B. 240 C. 230 D. 220 E. 210

U n = 4 n + 1

S n = 2 n + 3 n2

i n t e g r a l

j u m l a h 5

j u m l a h 5

S1 0 = 2 . 1 0 + 3 . 1 02

= 2 3 0

Sangat mudeh ....ya...

Jawaban : C

Gunakan info smart :

1

Un = 4n + 1

U1 = 4.1 + 1 = 5

U2 = 4.2 + 1 = 9

b = U2 –U1

= 9 – 5 = 4

1

Gunakan rumus :

230 46 . 5

) 36 10 ( 5

) 4 . 9 10 ( 5

) 4 ). 1 10 ( 5 . 2 ( 2 10 S

) b ). 1 n ( a 2 ( 2 n S

10 n

=

=

+

=

+

=

-+

=

-+

=

Jawaban : C

1

Jika Un = an + b, maka

n

a

b

an

10. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 20 m dan

memantul kembali dengan ketinggian 4 3

kali tinggi sebelumnya.

Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah....

A. 120 m B. 140 m C. 160 m D. 180 m E. 200 m

1

J =

.20 140 3

4 3 4 t a b

a

b

₌

-+

=

-+

Sangat mudeh ....ya...

Gunakan info smart :

b e rh e n ti 2 0 m

1

Deret untuk bola turun :

a = 20 dan r = 4 3

80

4 1 20

4 3 1

20 r 1

a

S

=

=

-=

-=

¥

1

Deret untuk bola naik :

a = 4 3

.20 = 15 dan r = 4 3

60

4 1 15

4 3 1

15 r 1

a

S

=

=

-=

-=

¥

1

Panjang seluruh lintasan : S = 80 + 60 = 140 m

Jawaban : B

@

Bola jatuh di ketinggian t, dan memantul sebesar

b a

kali tinggi

sebelumnya,dst….maka Jumlah seluruh lintasan bola sampai berhenti adalah :

J = t

a b

a b

11. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 2 m dan memantul

kembali dengan ketinggian 4 3

kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini

berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah lintasan bola tersebut dari pantulan ke-3 sampai ia berhenti adalah....

A. 3,38 m

1 Perhatikan gambar

AB = BC =

1 Padahal rasio

4 3

, dan lintasan

nya sepasang-sepasang (perhatikan angka 2 di rumus) mem bentuk deret geometri tak hingga, maka:

m

1 Tinggi t meter , panjang lintasan dari pantulan ke-k sampai berhenti, dengan rasio pantulan

q p

didapat :

32

panjang lintasan setelah pantulan ke-3

12. Seutas tali dipotong 5 bagian dengan panjang masing-masing bagian membentuk barisan aritmetika. Bila tali yang terpendek adalah 4 cm dan tali yang terpanjang adalah 108 cm, maka panjang tali semula adalah....

A. 160 cm

1 Perhatikan gambar

U1 = a = 4

@

Panjang tali semula, maksudnya

adalah S5

1 Konsep suku tengah deret aritmetik Jika : x ,y ,z deret aritmetik, maka :

panjang tali semula

13. SMPB 2002/No. 17

Agar deret geometri ,....

) 1 x ( x

1 , x 1 , x

1 x

jumlahnya mempunyai limit,

nilai x harus memenuhi.... A. x > 0

B. x < 1 C. 0 < x < 1 D. x > 2

E. x < 0 atau x > 2

Gunakan info :

1 Perhatikan Penyelesaiannya :

. ) 1 x ( x

1 , x 1 , x

1 x

-1 x

1 1 x

x . x 1 r

x 1 x

x 1

-= -= =

-1 Konvergen, maksudnya :

-1 < r < 1

-1 < 1 x

1 - < 1

-1 > x -1 > 1 , berarti : x – 1 < -1 (arah kiri) atau x -1 > 1 (arah kanan) Jadi : x < 0 atau x > 2

Jawaban : E

@

Jika U1,U2,U3,….. deret

geometri, maka :

Rasio : ....

U U U U r

2 3 1

2 _{= =}

=

@

Deret Konvergen , artinya deret

tersebut mempunyai limit jumlah. Syaratnya :

14.

Jika suku pertama dari deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 10,maka....

A. -10 < a < 0 B. -16 < a < 0 C. 0 < a < 0 D. 0 < a < 20 E. -8 < a < 20

Gunakan info :

1 Perhatikan Penyelesaiannya :

Suku pertama = U1 = a

S~ = 10

@

Rumus geometri tak hingga :

10 a 10 r

a 10 r 10

a r 10 10

r 1

a 10

r 1

a S

-=

-=

= - -=

-=

¥

@

Padahal deret tak hingga

konvergen , sehingga :

20 a 0

0 a 20

10 a 10 10

1 10

a 10 1

1 r 1

< <

< -<

-< -<

-< -<

-< <

-Jawaban : D

1 Perhatikan terobosannya :

0 < a < 2S 0 < a < 2.10 0 < a < 20

Mudeh….ya.?

1 Deret geometri tak

15. UN 2005/P-1/No.4

Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Jumlah

dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah... A. 3.250

1 Perhatikan Penyelesaiannya :

U3 = 13, maksudnya :

@

Rumus jumlah suku ke-n, adalah :

325

1 Perhatikan terobosannya :

4

@

Suku ke-n deret aritmetika :

Un = a + (n-1).b

@

Jumlah n suku pertama deret

aritmetika :

16.UMPTN 1996

Sn adalah jumlah n suku pertama deret aritmetik. Jika a adalah suku pertama dan b beda deret itu, maka nilai Sn+ 2 –Sn adalah...

1 Perhatikan Penyelesaiannya :

b

1 Perhatikan terobosannya :

Sn+ 2 = ½ (n + 2)(2a + (n + 1)b)

Sn = ½ n(2a + (n -1)b) - Sn+ 2-Sn = 2a + (2n + 1)b

Mudeh….aja !

@

Jumlah n suku pertama deret

aritmetika :

17. UMPTN 1996

Diketahui barisan aritmetik log 2, log 4, log 8,... Jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah.... A. 8 log 2

1 Perhatikan Penyelesaiannya :

log 2, log 4, log 8,... = log 2, log 22, log 23 .... = log 2, 2log 2, 3log 2,....

Yang terakhir ini jelas

memperlihatkan deret aritmeti ka dengan beda :

1 Perhatikan deret di atas :

Abaikan sementara log 2, didapat deret : 1, 2, 3,…..

1 Deret aritmetika adalah deret

yang mempunyai selisih dua suku berurutan nilainya tetap,

18. UMPTN 1997

Suku ke n barisan aritmetika adalah Un = 6n + 4 disetiap antara 2 sukunya disisipkan 2 suku yang baru, sehingga terbentuk deret aritmetika. Jumlah n suku pertama deret yang terjadi adalah.... A. Sn = n2 + 9n

1 Perhatikan Penyelesaiannya :

Un = 6n + 4

1 Perhatikan deret di atas :

Un = 6n + 4, jumlah koefisien: 6 + 4 = 10, maka uji pada pilihan A sampai E yang jumlah koefisiennya 10

E. n2 + 6n ð 1 + 6 = 7 (salah)

1 Beda setelah deret disisipi

dengan k suku ,adalah

19. UMPTN 1998

Kota Subur setiap tahun penduduknya bertambah dengan 10 % dari tahun sebelumnya, bila pada tahun 1987 penduduk kota tersebut berjumlah 4 juta, maka pada tahun 1990 jumlah penduduknya adalah....

A. 4,551 juta B. 5,269 juta C. 5,324 juta D. 5,610 juta E. 5,936 juta

Gunakan info :

1 Perhatikan Penyelesaiannya :

Periode 1987 – 1990 Bertambah 10% = 0,1 Tahun :

1987 Jumlah : 4 juta 1988 Jumlah : 4 + 4(0,1)

= 4,4 juta 1989 Jumlah : 4,4 + 4,4(0,1)

= 4,4 + 0,44 = 4,84 juta 1990 Jumlah : 4,84 + 4,84(0,1)

= 4,84 + 0,484 = 5,324 juta Jadi jumlah penduduk pada tahun 1990 sebesar 5,324 juta orang

Jawaban : C

1 Perhatikan terobosannya :

Periode 1987 – 1990, maka n = 4 dan prosentasi 10% tahun 1987 4 juta , berarti a = 4 berarti r = 1 + 10% = 1,1

1 Un arn 1

-=

324 , 5 ) 331 , 1 ( 4

) 1 , 1 ( 4 ) 1 , 1 ( 4

U₄ 4 1 3

= =

=

=

-Mudeh….aja !

1 Pertambahan penduduk suatu

20. EBTANAS 1999

Sebuah deret hitung diketahui U3 = 9, dan U5 + U7 = 36, maka beda

deret tersebut .... A. 1

B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Gunakan info :

1 Perhatikan Penyelesaiannya :

U3 = 9 , artinya a + 2b = 9 …(i)

U5+ U7 = 36 artinya :

a + 4b + a + 6b = 36 2a + 10b = 36 a + 5b = 18 …(ii)

dari (i) dan (ii) didapat : a + 2b = 9

a + 5b = 18 –

-3b = -9 maka b = 3

Jawaban : C

1 Perhatikan terobosannya :

U3 = 9, dan U5+ U7 = 36

3 6 18 ) 7 5 ( 3 . 2

36 9 . 2

) m m ( m 2

k k 2 b

3 2 1

2 1

= -= +

-=

+

-=

Mudeh….ya?

1 Pada deret aritmetika Jika :

Um1 = k1 , dan

Um2 + Um3= k2 , maka :

) m m ( m 2

k k 2 b

3 2 1

2 1

+

21. UMPTN 1992

Sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika sisi miringnya 40, maka siku-siku terpendek sama dengan....

A. 8 B. 20 C. 22 D. 24 E. 32

Gunakan info :

1 Perhatikan Penyelesaiannya :

Misalkan deret itu : a-b,a,a+ b Sisi miring 40

Maka : a + b = 40 a = 40 -b …(i)

1 Menurut dalil phytagoras :

402 = a2+ (a-b)2 402 = a2+ a2 -2ab + b2

2a2 -2ab+ b2 -1600 = 0

2(40-b)2-2(40-b)b+ b2 -1600 = 0

2(1600-80b+ b2)-80b+ 2b2+ b2

-1600= 0

3200 -160b+ 2b2-80b+ 2b2+ b2

-1600= 0

5b2-240b + 1600 = 0

b2 -48b + 320 = 0

(b -40)(b -8) = 0 berarti b = 8 Dari (i) : a = 40 –b = 40 -8 = 32

Jadi sisi terpendek a –b = 32 -8 = 24

Jawaban : D

1 Perhatikan terobosannya :

Sisi siku-siku yang membentuk deret aritmetika kelipatan : 3 ,4 ,5, yaitu 3x,4x dan 5x

1 Sisi miringnya : 5x = 40

x = 8 sisi terpendek : 3x = 3.8 = 24

Mudeh….ya?

1 Pada deret aritmetika untuk

22. UMPTN 1999

Diketahui p dan q adalah akar-akar pers. kuadrat 2x2 + x – a = 0.

Jika p ,q dan

2

pq

merupakan deret geometri,maka a sama dengan...

A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 E. -2

Gunakan info :

1 Perhatikan Penyelesaiannya :

2x2 + x – a = 0

2 1 a b q

p+ =- =- _ð p

2 1

q=-

-1 p, q,

2 pq

deret geometri, maka :

2 pq . p

q2 = _ð 2q –p2 = 0

2( p

2

1

-- )- p2 = 0

-1 -2p –p2 = 0 p2 + 2p + 1 = 0

(p + 1)(p + 1) = 0 _ð p = -1

Padahal p

2 1

q=- - =

2 1

1

2 a a c q .

p = =

--1. 2 a 2

1 ₌

-di dapat a = 1

Jawaban : B

1 Perhatikan terobosannya :

2x2 + x – a = 0

Coba ambil nilai a pada pilihan, yang sekiranya dapat difaktorkan, misal :

A. 2 ð 2x2 + x – 2 = 0

(tak bisa difaktorkan)

B. 1 ð2x2 + x – 1 = 0

(2x -1)(x + 1) = 0

Berarti x = 2 1

atau x = -1

Apakah benar : -1 2 1

,-4 1

deret

geometri ( ternyata benar) Jadi a = 1

1 Jika x , y , z membentuk deret geometri, maka berlaku :

z . x

y2 =

20. UMPTN 1999

Jika dari suatu deret geometri diketahui u

1

= 2 dan S

10

= 33

S

5

, maka U

6

=....

A.

12

B.

16

C.

32

D.

64

E.

66

1

S

10

= 33 S

5

à

1

)

1

(

33

1

)

1

(

10 5

-=

-r

r

a

r

r

a

(r

5

-1)(r

5

+1) = r

5

-1

r

5

_{= 32 , r = 2}

21. UMPTN 1999

Jumlah deret tak hingga :

1–tan230o+ tan430o–tan630o+ .... + (-1)n tan2n30o+ ... A. 1

B. ½ C. ¾ D. 3/2 E. 2

1

1–tan

2

30

o

+tan

4

30

o

–tan

6

30

o

+....

a = 1 , r = -tan

2

30

o

=-

3

1

4

3

3

/

4

1

1

1

1

3

1

=

=

+

=

-=

22. Prediksi SPMB

Jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis

dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 6 sama dengan....

A. 668

B. 736

C. 768

D. 868

E. 1200

1

Habis dibagi 4:

4 ,8 ,12,....96

à

n =

24

4 96

₌

J

1

=

24₂

(

4

+

96

)

=

1200

1

Habis dibagi 4 dan 6 :

12 ,24 ,36 ,..96

à

n =

₁₂96 =8

J

2

=

₂8

(

12

+

96

)

=

432

24. Prediksi UAN/SPMB

Suku tengah barisan aritmetika adalah 25. Jika beda dan

suku ke-5 adalah 4 dan 21,maka jumlah semua suku barisan

tersebut sama dengan....

A. 175

B. 225

C. 275

D. 295

E. 375

1

U

5

= a +4b

à

21 = a +4.4 didapat a = 5

S

n

= n.U

t

à

½ n(2a +(n-1)b) = n.U

t

2.5 +(n-1).4 = 2.25

4n -4 = 50 -10

n = 9

S

n

= 9.25 = 225

25. Prediksi SPMB

Ditentukan rasio deret geometri tak hingga adalah

7

_log(4x

-1). Jika deret ini mempunyai jumlah (konvergen),maka nilai x

yang memenuhi adalah....

A.

₂3 7 2_<x<

B.

₂3 <x<2

C.

x 2 7 2 _{< <}

D. ¼ < x < ½

E. ¼ < x < 2

1

r =

7

log(4x -1) ,Konvergen

à

-1 < r < 1

-1 <

7

log(4x -1) < 1

7

-1

< 4x -1 < 7

1

7

1

_{+1 < 4x < 7 +1}

_à

7

26. Prediksi SPMB

Jika (a +2) ,(a -1),(a -7),... membentuk barisan geometri,

maka rasionya sama dengan....

A.

-5

B.

-2

C.

– ½

D.

½

E.

2

1

(a -1)

2

= (a +2)(a -7) karena geometri

a

2

_{-2a +1 = a}

2

_{-5a -14}

3a = -15

à

a = -5

rasio =

2

3

6

2

1

₌

-=

+

27.

Ebtanas 2002 /No.9

1 n 2

Sn= +

adalah jumlah n buah suku pertama dari suatu deret,

dan U

n

adalah suku ke-n deret tersebut.Jadi U

n

=....

A.

2

n

B.

2

n-1

C.

3

n

D.

3

n-1

E.

3

n-2

1

U

n

S

n

S

n

2

n

2

n

2

n 1

1

=

-

=

-=

_- +

28. Ebtanas 2002 /No.10

Pada sebuah bidang datar terdapat 15 titik yang berbeda.

Melalui setiap dua titik yang berbeda dibuat sebuah garis

lurus. Jumlah garis lurus yang dapat dibuat adalah...

A.

210

B.

105

C.

90

D.

75

E.

65

1

2 titik 1 garis

3 titik 3 garis

4 titik 6 garis dst... U

n

= ½ n(n-1)