Penentuan Portofolio Investasi Optimal Dengan Menggunakan Persamaan Diferensial Stokastik

BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas mengenai teori-teori dasar yang berhubungan dengan investasi, persamaan diferensial stokastik dan simulasi yang menjadi landasan berpikir untuk mempermudah dalam pembahasan pada bab berikutnya.

2.1 Investasi

Investasi pada dasarnya adalah komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya lainnya yang dilakukan pada saat ini, dengan tujuan memperoleh sejumlah keuntungan di masa yang akan datang (E. Tandelilin, 2001). Pihak-pihak yang melakukan investasi disebut investor. Hampir semua investasi mengandung unsur ketidakpastian dan mempunyai risiko mengalami kerugian pada waktu melakukan investasi. Tujuan investor dalam berinvestasi adalah memaksimalkan return dengan meminimalkan risiko investasi yang diterimanya.

2.2 Return dan Risiko

Suatu investasi yang mempunyai risiko yang tinggi seharusnya memberikan return (tingkat pengembalian) yang diharapkan juga lebih tinggi. Return merupakan suatu faktor yang membuat investor berinvestasi dan menerima nilai pengembalian/ imbal-hasil atas investasi yang dilakukan.

Menurut Fabozzi (1995), risiko merupakan kerugian yang dihadapi oleh para investor. Risiko dapat juga didefinisikan sebagai kemungkinan perbedaan antara return yang diterima dengan return yang diharapkan. Semakin besar kemungkinan perbedaannya, berarti semakin besar risiko investasi tersebut (E. Tandelilin, 2001).

diperoleh yang dapat diukur. Risiko berbeda dengan ketidakpastian yang tidak dapat diukur seperti tingkat kepuasan terhadap suatu benda, jasa maupun pelayanan (Anaroga dan Pakarti, 2006).

2.3 Portofolio

Portofolio umumnya diartikan sebagai kumpulan sejumlah investasi yang dimiliki perseorangan atau perusahaan. Aspek pokok teori portofolio adalah konsep risiko yang terkait pada aset yang berada dalam suatu portofolio (E. Tandelilin, 2001).

Harry M. Markowitz (1952), seorang yang pertama kali mengembangkan teori pemilihan portofolio menyatakan bahwa sebagian besar investor termasuk dalam risk averter (menghindari risiko). Hal ini berarti investor akan selalu berusaha untuk menghindari risiko sehingga investor mencoba mengalokasikan kekayaannya ke berbagai portofolio untuk menghasilkan keuntungan yang optimal selama jangka waktu tertentu (holding period). Setelah itu investor akan menjual investasinya pada akhir masa tertentu.

Salah satu cara menurunkan risiko dalam investasi adalah dengan melakukan diversifikasi. Diversifikasi adalah kegiatan membentuk dan memasukkan semua kelas aset ke dalam portofolio sedemikian sehingga risiko dapat diminimalkan tanpa mengurangi return yang diharapkan. Umumnya aset-aset keuangan dibentuk menjadi satu portofolio yang dinamakan portofolio investasi. Portofolio investasi merupakan kumpulan investasi yang dibentuk untuk memenuhi suatu sasaran umum investasi dimana fokus utama untuk menentukan portofolio optimal (Zamli Zubir, 2011).

Ada tiga konsep dasar yang perlu diketahui sebagai untuk memahami pembentukan portofolio optimal, yaitu:

1. Portofolio efisien dan portofolio optimal

Pada dasarnya manajemen portofolio terdiri dari 3 aktifitas utama, yaitu: pembuatan keputusan alokasi asset, penentuan proporsi dana yang akan diinvestasikan pada masing-masing kelas asset, dan pemilihan asset-asset dari setiap kelas yang telah dipilih. Dalam membentuk portofolio, investor selalu ingin memaksimalkan return yang diharapkan dengan tingkat risiko tertentu yang bersedia ditanggungnya atau mencari portofolio yang menawarkan risiko terendah dengan tingkat return tertentu.

Portofolio efisien adalah portofolio yang menyediakan return maksimal bagi investor dengan tingkat resiko tertentu atau portofolio yang menawarkan resiko terendah dengan tingkat return tertentu. Sedangkan portofolio optimal adalah portofolio yang dipilih investor dari sekian banyak pilihan yang ada pada portofolio efisien. Pemilihan portofolio optimal didasarkan pada preferensi investor terhadap return yang diharapkan dari resiko.

2. Aset berisiko dan aset tak berisiko

Investasi berdasarkan sifat aset yang ditanamkan digolongkan ke dalam dua jenis yaitu investasi pada aset berisiko dan investasi pada aset tidak berisiko. Aset berisiko adalah aset-aset yang tingkat return di masa depannya masih mengandung ketidakpastian sedangkan aset tidak berisiko adalah aset yang tingkat return di masa depannya umumnya sudah bisa dipastikan saat ini. Pada tulisan ini, investasi pada aset berisiko adalah menanamkan uang di saham dan investasi pada aset tidak berisiko adalah menabung uang di bank.

3. Fungsi utilitas

Secara umum, utilitas mengukur besarnya kepuasan yang dirasakan dari sebuah objek. Ukuran ini dinyatakan dalam indeks utilitas (utility index). Jadi dapat disimpulkan bahwa penentuan indeks utilitas dipengaruhi oleh karakteristik individu.

Pemilihan portofolio untuk model utilitas yang diharapkan dilakukan dengan menganalisis utilitas dari setiap hasil yang mungkin diperoleh investor. Objek yang dijadikan bahan pembahasan dari fungsi utilitas yang diharapkan adalah kekayaan (wealth) sehingga fungsi utilitas merupakan fungsi kekayaan yang dilambangkan dengan U(w).

Pilihan investasi pada aset berisiko didorong oleh adanya premium yang dinilai sebanding dengan risiko yang dihadapi. Investor hanya mempertimbangkan terhadap pilihan investasi di bebas risiko dan investasi yang memiliki risk premium positif. Risk premium adalah selisih antara rata-rata return investasi berisiko dengan rata-rata-rata-rata return investasi tidak berisiko sehingga fungsi utilitas merupakan fungsi keuntungan pada portofolio. Pada kasus investor yang selalu berusaha menghindari risiko terdapat berbagai macam fungsi utilitas yaitu:

(a) Utilitas Kuadratik (Quadratic Utility) (b) Utilitas Eksponensial (Eksponensial Utility) (c) Utilitas Pangkat (Power Utility)

2.4 Turunan

Definisi 2.4.1. Turunan fungsi f dari x atau f(x) adalah f'( )x f x h( ) f x( ) h  

 .

Selanjutnya jika U dan V adalah fungsi-fungsi dari x yang dapat didiferensialkan maka d (UV) UdV VdU

Teorema 2.4.2 (Verbeg, Purcell dan Rigdon, 2010)

Misalkan y = f(u) dan u = g(x). Jika g terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi komposit f g,yang didefinisikan oleh

(

f

g

)( )

x



f g x

( ( ))

, akan didiferensialkan di x sehingga





Definisi 2.4.3. Turunan Parsial

( , )

Z f x y suatu fungsi dengan variabel x dan y dikatakan turunan pasial 1. Jika x berubah tetapi y tetap maka turunan parsial terhadap x adalah

0

2. Jika y berubah tetapi x tetap maka turunan parsial terhadap y adalah

. . . (2.4)

AndaikanZ f x y( , ) fungsi kontinu pada variabel x dan y dengan turunan parsial

terhadap x adalah Z x



 dan turunan parsial ke y adalah Z

y



 (Kartono, 1994). Jika x,

y merupakan fungsi yang dapat didiferensialkan dengan x g t( ),yh t( ) pada suatu variabel t maka Z merupakan fungsi dari t dan Z

t 

 disebut turunan total

dari Z dengan memperhatikan

Z Z x Z y

t x t y t

 _  _ 

     . . . . (2.5)

2.5 Integral

Integral merupakan kebalikan dari diferensial atau anti diferensial. Integral ada dua jenis yaitu

Definisi 2.5.1. Fungsi F disebut anti turunan dari fungsi f dinotasikan dengan A(f) atau



F x dx( ) bila

F x

'

( )



f x

( )

. Lebih lengkap dituliskan sebagai berikut: Jika d F x c



( ) 



dF x( )F x'( ) maka



F x dx'( ) 



dF x( )F x c( ) , dimana

   

c

.

2. Integral tentu yang diambil pada suatu daerah atau interval tertentu.

Definisi 2.5.2. Suatu fungsi f(x) yang kontinu pada interval a x b _maka

1

Definisi 2.5.3. Jika F(x) = U(x).V(x) fungsi yang kontinu pada interval [a, b] maka b _{( ) ( )} b _{( )} b _{( ) ( )}

Integral parsial yang sering juga dikenal dengan integral by part memiliki sifat umum sebagai berikut

a. Peranan dalam memilih dVdiutamakan yang lebih mudah diintegralkan. b.



VdUsebaiknya tidak lebih sulit dari pada



UdV.

2.6 Pendiferensialan Integral

Teorema 2.6.1 (Verbeg, Purcell dan Rigdon, 2010)

Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan jika x adalah variabel yang

x

Bukti. Misalkan ( ) ( )

Bentuk pendiferensialan integral dapat dirumuskan sebagai berikut

0

2.7 Persamaan Diferensial Linier

2.7.1 Permulaan Persamaan Diferensial

, ,...,

y y' '' yn_{= turunan-turunan y terhadap x.}

Suatu derivatif atau turunan tertinggi yang terdapat dalam suatu persamaan diferensial merupakan orde dari suatu persamaan diferensial sedangkan degree (derajat) suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan tertinggi yang terdapat dalam suatu persamaan diferensial.

Penyelesaian umum dari suatu persamaan diferensial adalah suatu penyelesaian yang didalamnya terdapat konstanta sebarang, ditulis dengan

F x y c( , , )0 ; c adalah konstanta

Penyelesaian khusus (particulir solution) adalah suatu penyelesaian yang didalamnya sudah ditentukan konstanta sebarang menjadi konstanta absolut ditulis dengan F x y c( , , _o)0. Jika terdapat variabel bebas yang tunggal, turunan merupakan turunan biasa maka persamaannya disebut persamaan diferensial biasa sedangkan jika terdapat dua atau lebih variabel bebas dan turunannya adalah turunan parsial maka persamannya disebut persamaan diferensial parsial (Kartono, 1994).

2.7.2 Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Persamaan diferensial linier orde satu ditulis dalam bentuk F x y y



, , '



0 _atau

( , )

y'F x y . Penyelesaian umumnya adalah y ( , )x c

di mana penyelesaiannya mengandung suatu konstanta c. Bila diberikan syarat awal xx₀ dan yy₀ maka konstanta c dapat dicari misalnya cc₀. Penyelesaian atau jawaban untuk

0

cc dinamakan jawaban khusus dalam bentuk y ( ,x c₀) (Kartono, 1994).

2.7.3 Persamaan Diferensial Linier Orde – n

Bentuk umum persamaan diferensial linier orde n adalah

1 1

0 1 2

...

n n n

n

di mana 0 0

P  dan Q0 1, 2,..., n

P P P adalah konstanta. Q adalah fungsi.

Untuk menyederhanakan dan memudahkan perhitungan persamaan diferensial tersebut dapat digunakan operator D dimana D d

dx

 selanjutnya dapat ditulis

menjadi

(

P D

₀ n



P D

₁ n1



P D

₂ n1

 

...

P y Q

_n

)



.

Suatu persamaan differensial linier orde n dengan keofisien konstan disebut homogen apabila Q = 0 sehingga bentuknya menjadi

(

P D

₀ n



P D

₁ n1



P D

₂ n1

 

...

P y

_n

)



0

. . . (2.13) dapat juga ditulis

1 1

0 1 2

...

0

n n n

n

P D



P D





P D



  

P

. . . (2.14) dapat juga difaktorkan menjadi (D m ₁)(D m ₂)...(D m _n1)(D m _n)0dimana

1, 2... n1, n

m m m m merupakan akar karakteristik dari persamaan (2.13) (Kartono, 1994).

2.8 Probabilitas

2.9 Sifat-sifat Probabilitas

Definisi 2.9.1 Misalkan Ω adalah ruang sampel dan A adalah suatu kejadian pada ruang sampel Ω.

(1) Jika A = ∅ maka P(A) =0.

(2) Nilai probabilitas kejadian A, yaitu P(A) berkisar dari 0 sampai 1



0P A( ) 1 .



(3) Jumlah nilai probabilitas semua hasil dari suatu percobaan atau P(Ω)=1.

2.10 Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas 2.10.1 Variabel Acak

Untuk menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik secara lebih sederhana, maka digunakan variabel acak. Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan. Nilai numerik tersebut bersifat diskrit (hasil hitungan) dan bersifat kontinu (hasil pengukuran, oleh karenanya variabel acak dapat dikelompokkan menjadi:

1. Variabel Acak Diskrit

Variabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu yang terpisah, yang umumnya dihasilkan dari penghitungan suatu objek. Syarat yang harus dipenuhi untuk fungsi probabilitas diskrit:

(i) P x( ) 0 atau 0 P x( ) 1

(ii)



P x( _i)1

n

i

Definisi 2.10.1 Nilai harapan (expected value) variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang seluruh kemungkinan hasil di mana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil (outcome). Ekspektasi atau nilai harapan dapat dirumuskan dengan

( ) _{x i}. ( )_i E X 







x P x

n

i =1

atau E X( )_x x P x₁. ( )₁ x P x₂. ( ) ...₂  x P x_n. ( )_n

di mana

xi= nilai ke-i dari variabel acak X ( )_i

P x = probabilitas terjadinya x_i

Varians dari Variabel Acak diskrit X yang dinotasikan dengan _x2 atau Var[x] ditentukan dengan rumus:

2 2 2

[ ]

[ - ( )]

( ) -[ ( )]

Var x



E x E x



E x

E x

. . . (2.16)

2. Variabel Acak Kontinu

Jika mengukur sesuatu seperti lebar ruangan, tinggi badan, atau berat badan seseorang, maka variabel yang dihasilkan adalah variabel acak kontinu. Hasil pengukuran tersebut mungkin akan berbeda-beda tergantung pada siapa yang melakukan pengukuran dan tingkat ketelitian yang digunakan.

Oleh karena hasil pengukuran tidak bisa seakurat hasil perhitungan, maka nilai hasil pengukuran bisa bervariasi dalam suatu selang nilai tertentu. Misalnya jarak antara Medan dan Pematang Siantar dapat 127 km, 127,6 km, 128 km dan seterusnya tergantung pada ketelitian alat ukur atau si pengukur.

Berikut diberikan beberapa contoh variabel kontinu dari suatu percobaan.

Contoh 2.10.2. Variabel Kontinu

Percobaan Variabel Acak Kemungkinan Nilai-nilai Variabel Acak Isi botol minuman jadi

(maximum = 600 ml) Jumlah milliliter 0  x  600 Penimbangan 20 paket

kemasan (maximum = 2 kg)

Berat sebuah paket

2.10.2 Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinu

Distribusi probabilitas variabel acak kontinu dinyatakan dengan fungsi f(x) dan sering disebut fungsi kepadatan (density function) atau fungsi kepadatan probabilitas. Nilai f(x) bisa lebih besar dari 1. Syarat yang harus dipenuhi oleh fungsi kepadatan probabilitas :

(i) f(x)  0

Definisi 2.10.3. Beberapa definisi mengenai variabel acak kontinu 1. Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak Kontinu :

( ) ( ) ( )

F x P X x f x dx





  

_

. . . (2.17)

Nilai-nilai x dalam rumus ini harus kontinu atau dalam suatu interval.

2. Ekspektasi atau mean untuk variabel acak kontinu X ditentukan dengan Var[x] ditentukan dengan rumus:

2 2 2

[ ] [ - ( )] ( ) -[ ( )]

2.11 Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang paling penting dalam bidang statistik karena dapat mewakili kumpulan data observasi yang terjadi dalam alam semesta, industri, maupun penelitian. Distribusi normal sering dikenal sebagai distribusi Gauss.

Variabel acak x yang mempresentasikan distribusi normal disebut variabel acak normal, yang distribusinya bergantung pada dua parameter, yaitu mean () x = variabel kontinu

2.12 Model Stokastik

2.12.1 Proses Stokastik

2 3 1, , ,...,

t t t tn

X X X X independen. Proses dikatakan mempunyai kenaikan stasioner jika X_{(t s )}X_t mempunyai distribusi yang sama untuk semua t.

Contoh 2.12.2 X_t  p  qt dengan p dan q adalah masing-masing variabel acak maka X_t yang merupakan jumlahan p dan q adalah kumpulan variabel acak sehingga Xt merupakan proses stokastik.

2.12.2 Data Deret Waktu

Data deret waktu merupakan sekumpulan observasi yang terurut dalam waktu dengan jarak interval sama (Box dan Jenkins, 1970). Data deret waktu disebut proses stokastik dikarenakan data saling berkaitan dalam rentang waktu yang sama (Wei, 2006). Saat ini data deret waktu keuangan (financial prices) dapat diperoleh dengan mudah, misalnya harga saham dan nilai kurs sehingga dapat dibangun model peluang terbaik yang dapat digunakan untuk memprediksi harga/nilai di masa yang akan datang. Data dari harga aset menghasilkan deret waktu. Deret waktu adalah proses stokastik yang menggunakan waktu integer didalam prosesnya.

Pemodelan portofolio dapat dimulai dengan mendefinisikan imbal hasil (return) dan volatilitas (volatility) sebagai statistik. Distribusi return dan volatilitas yang tepat dapat memberi gambaran perilaku data deret waktu. Pemodelan return pada dasarnya adalah pemodelan volatilitas. Proses atau model stokastik untuk harga tidak dapat dibangun dengan mudah.

a. Model Stokastik Return

1 probabilitas yang ditentukan oleh vektor parameter . Model stokastik untuk return dapat dituliskan sebagai berikut:

t

 : Volatilitas harga

t

 : Proses wiener berdistribusi normal

Sedangkan Rate of Return adalah tingkat pengembalian atau tingkat bunga yang diterima investor atas investasi tanpa amortisasi untuk menghitung tingkat pengembalian atas investasi.

Tinggi rendahnya tingkat keuntungan yang diterima portofolio dipengaruhi oleh tingkat keuntungan investasi tidak berisiko (risk free rate) dan risk premiun dari investasi berisiko dengan tujuan utuk mengurangi risiko pada aset portofolio yang dapat ditulis dalam persamaan sebagai berikut:

R_pR_f Risk Premium . . . (2.23) di mana

Rp: Rate of Return.

Rf : Risk Free Rate.

(John Hull, 2003) b. Model Stokastik Volatilitas

interval positif yaitu antara 0 sampai dengan tak terhingga 0   . Nilai volatilitas yang tinggi menunjukkan bahwa nilai aset berubah dengan sangat cepat. Salah satu metode untuk mengestimasi volatilitas adalah analisis yang berdasarkan nilai-nilai aset masa lalu kemudian diperoleh sejumlah return (tingkat keuntungan yang diperoleh dari akibat melakukan investasi) yang dimajemukkan secara kontinu dan diperoleh estimasi variansnya sebagai berikut:

1 1

ln 1

n

t

R_t r n

 



 

 _  _





_{ } . . . (2.24)

Di mana R_tadalah return majemuk secara kontinu dan r menotasikan rata-rata dari log return (John Hull, 2003).

2.12.3 Sifat Markov

Definisi 2.12.3 Sifat Markov adalah sifat nilai harapan suatu variabel random ke-I dari suatu proses stokastik X_i dengan syarat semua nilai variabel random yang sebelumnya diketahui hanya bergantung pada nilai variabel random ke- i-1 atau X_{i 1} tetapi nilai harapan tersebut tidak harus sama dengan nilai variabel random ke- i-1. Sifat Markov dinotasikan dengan

E( Xi | X1, X 2,..., Xi 1)  E( Xi | Xi 1) . . . . (2.25)

2.13 Proses Wiener (Gerak brown Baku)

2.13.1 Sejarah Gerak Brown

acak. Brown menemukan faktor-faktor penting yang mempengaruhi gerakan partikel tersebut, tetapi tidak mengerti penyebab partikel-partikel berkelakuan seperti itu. Oleh karenanya, gerakan partikel yang acak ini dinamai sebagai gerak Brown untuk menghargai kontribusi Brown.

Penjelasan gerak acak atau gerak Brown ini secara matematis pertama kali berhasil dirumuskan oleh Thorvald Thiele pada tahun 1880. Kemudian pada tahun 1900 matematikawan Prancis bernama Louis Bachelier menulis tesis doktornya

yang berjudul “Teori Spekulasi”, yang merupakan analisis matematis pertama terhadap pasar saham. Di sisi lain, Bachelier juga menyinggung persoalan gerak Brown yang dikaitkan dengan pemodelan pasar, yang sama-sama tampak acak. Sedangkan masalah pada saat itu adalah, para ilmuwan masih tidak bisa menemukan keterkaitan antara rumusan matematis dari konsep keteracakan dengan sumber penyebab gerak Brown, karena sumber gerak Brown itu sendiri masih tidak diketahui.

Permasalahan ini akhirnya dipecahkan oleh Albert Einstein pada 1905 di dalam 3 makalahnya. Hasil penelitian Einstein ini bersama dengan penelitian lainnya pada tahun 1906 oleh ilmuwan Polandia bernama Marian Smoluchowski menjadi solusi penjelasan terhadap gerak Brown yang dapat diterima hingga saat ini. Penelitian terhadap gerak Brown ini menjadi salah satu tonggak dimulainya pengembangan konsep matematis untuk keteracakan serta teori probabilitas.

2.13.2. Symmetric Random Walk

Sebuah koin dilempar atau di-toss berkali-kali dan hasilnya merupakan variabel acak X_j dengan j1, 2,... untuk

 . Hasil pelemparan antara koin pertama dengan pelemparan koin selanjutnya adalah saling bebas sehingga dapat diasumsikan bahwa X X₁, ₂,...saling bebas dan ( ) ( ) 1

2

P M P B  _{. Oleh definisi,}

variabel acak X_j memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1. [ ] 1. ( ) ( 1). (T) 1.1 ( 1).1 0

2 2

2. var[ ] 12 ( ) ( 1)2 (T) 1.1 1.1 1

 akan disebut sebagai symmetric random walk. Symmetric random walk

 

Mk _{k 0}



 memiliki beberapa sifat sebagai berikut:

1.

 

2.13.3 Scaled Symmetric Random Walk

Misalkan n adalah bilangan bulat positif dengan t k n ke distribusi normal dengan mean 0 dan varians t.

Bukti. Fungsi pembangkit momen untuk ( ) 1

Ini adalah fungsi pembangkit momen dari variabel acak yang berdistribusi normal

dengan mean 0 dan varians t. ■

Untuk n, proses W( )n ( )t akan konvergen menjadi proses W t( )yang

memenuhi beberapa sifat-sifat. Selanjutnya proses ini akan dinotasikan dengan W_t yang sering sebagai proses Wiener.

Definisi 2.13.5 Proses Wiener adalah suatu proses stokastik variabel acak kontinu (continuous-time stochastic process) W_t,



<

x

 

yang memenuhi sifat-sifat berikut :

(1) W₀ 0

(2) W_t berdistribusi normal N(0,1) artinya memiliki mean 0 dan Varians _t2. (3)

2 1

,

3 2

,...,

( )n (n1)

t t t t t t

W



W W



W

W



W

_ saling indenpenden untuk t₁   t₂ t₃ ... t_n

2.14 Persamaan Diferensial Stokastik

Persamaan Diferensial Stokastik (PDS) adalah suatu persamaan diferensial yang salah satu atau lebih nilai-nilai parameternya adalah proses stokastik (stochastic processes) dan menghasilkan solusi stokastik berupa sebuah model. Persamaan ini merupakan modifikasi dari Persamaan Diferensial Biasa yang variabel atau parameternya acak dan tidak pasti (Oksendal, 2003).

Persamaan Diferensial Stokastik dituliskan dalam bentuk sebagai berikut

, X₀x₀ . . . (2.29) di mana

: proses Stokastik

: proses Wiener baku (berdistribusi N(0,1)) t : jangka waktu investasi

: suku determinisik atau sering disebut koefisien drift

Pada bentuk (2.29), koefisien drift berfungsi untuk memodelkan kecenderungan dominan pada grafik solusi suatu PDS atau sebagai penentu arah dari solusi suatu PDS sedangkan koefisien diffusion merepresentasikan fluktuasi dari kurva dan proses Wiener merepresentasikan noise / gangguan pada sistem.

Persamaan Diferensial Stokastik juga merupakan persamaan integral stokastik yang terdiri dari integral biasa (integral Riemann-Steljess) dan integral stokastik (integral Ito). Persamaan Diferensial Stokastik biasanya digunakan untuk model fenomena yang beragam seperti fluktuasi harga saham (Hartanto, 2013)

2.15 Lemma Ito

Lemma Ito adalah metode yang digunakan untuk mencari solusi integral stokastik. Lemma Ito adalah analogi dari aturan rantai yang ditemui dalam turunan biasa pada persamaan diferensial biasa. Untuk memahami aturan rantai pada fungsi stokastik terlebih dahulu dipahami mengenai aturan rantai untuk fungsi deterministik yang telah dibahas pada bagian 2.4.

Misalkan f dan g fungsi deterministik yang diferensiabel di x maka aturan rantai untuk diferensiasinya adalah



f g x( ( ))



'  f g x'( ( )) g x'( ) . . . (2.30) Persamaan (2.30) ditulis dalam bentuk diferensial menjadi d f g( ( ))f g dg'( ) _yang

mana fungsi tersebut juga diferensiabel dalam t biasa ditulis sebagai uraian Taylor





1





2 orde yang lebih tinggi dari ekspansi taylor ini dapat diabaikan untuk dt yang kecil.

Uraian taylor (2.31) diterapkan untuk kasus yang lebih umum. Misalkan ( , _t)

f t X memiliki turunan parsial yang kontinu paling sedikit orde dua maka uraian taylor (2.31) menjadi

di mana _{1 2}

Persamaan (2.31) dapat ditulis menjadi

2

Misalkan persamaan diferensial stokastik berbentuk

. . . (2.36) Dengan mensubtitusikan (2.35) ke persamaan (2.36) dapat diperoleh

2

atau dapat ditulis menjadi





2 2

Misalkan X_t memenuhi persamaan diferensial stokastik pada persamaan (2.35) dan f t X( , _t) adalah suatu fungsi yang memiliki turunan parsial yang kontinu paling sedikit orde dua dan dapat diturunkan sebanyak dua kali maka





2 2

2.16 Solusi Persamaan Diferensial Stokastik

Persamaan (2.28) dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan integral sebagai

berikut 0









subbab 2.14. Berikut diberikan contoh untuk menentukan persamaan diferensial stokastik.

Contoh 2.16.1 Suatu model dari investasi dari penanaman suatu saham adalah

t t t t

Dengan dX_t adalah perubahan harga saham, X_t adalah jumlah uang yang diperoleh investasi pada saham,  adalah rata-rata rate of return (RoR) dan  adalah volatilitas harga saham.

Rate of return dihitung dengan rumus

1 1 0

Dengan menggunakan Lemma 2.14.1 diperoleh

2 2

Dengan mengintegralkan persamaan (2.46) diperoleh 2 2

Dari persamaan (2.47) dapat diperoleh hasil sebagai berikut 2 Sehingga solusi dari persamaan diferensial stokastik model investasi pada saham untuk contoh 2.16.1 adalah

2.17 Teori Kontrol Optimal

Teori kontrol optimal untuk sistem yang berbentuk stokastik dengan keadaan sistemnya berbentuk persamaan diferensial stokastik seperti persamaan (2.28) dengan memuat suatu parameter yang mengatur sistem atau kontrol u yang meminimumkan atau memaksimumkan fungsi keuntungan (index performance)

( , , ) ( , , ) ( , x)

T

t

J t x u E_ F s x u K T _





 . . . (2.52)

Index performance merupakan ekspektasi sebuah fungsi karena dalam sistem yang berbentuk stokastik maka hanya dapat diambil ekspektasi dari suatu nilai.

Dalam teori kontrol optimal ini terdapat nilai minimum (min) atau nilai maksimum (max) yang disebut dengan value function yang dilambangkan dengan

( , )

V t x . Value function tersebut harus harus memenuhi persamaan

Hamilton-Jacobi-Bellman yaitu suatu persamaan yang memberikan nilai optimal (value function) pada suatu sistem dinamik dengan fungsi keuntungan (index performance) sebagai berikut





( , ) min ( , , ) 0

V t x  J t x u  atau V t x( , ) max ( , , )



J t x u



0 . . . (2.53) Berdasarkan persamaan diferensial stokastik seperti pada persamaan (2.28) dengan fungsi keuntungan pada persamaan (2.52), nilai optimal pada persamaan (2.53) dapat ditulis menjadi

2

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.41) ke persamaan (2.56) dan mengabaikan suku dengan orde yang lebih tinggi diperoleh









t  sehingga diperoleh









Persamaan (2.60) dapat ditulis ke dalam bentuk







Dengan membagi persamaan (2.60) dengan dt dan menyelesaikan integral dengan teorema nilai rata-rata maka diperoleh













2

Misalkan L merupakan operator linier yang berbentuk













2

Maka persamaan (2.63) menjadi





( , ) max (t, , ) ( , )

2.18 Simulasi

Simulasi adalah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan menggunakan model dari suatu sistem nyata (P. Siagian, 1987). Menurut Hasan (2002), simulasi merupakan suatu model pengambilan keputusan dengan mencontoh atau mempergunakan gambaran sebenarnya dari suatu sistem kehidupan dunia nyata tanpa harus mengalaminya pada keadaan yang sesungguhnya. Khosnevis (1994) mendefinisikan simulasi sebagai pendekatan eksperimental. Keterbatasan metode analistis dalam mengatasi sistem dinamis yang kompleks membuat simulasi sebagai salah satu alternatif yang baik untuk digunakan.

Model analitik sangat berguna bagi kehidupan sehari-hari, akan tetapi terdapat beberapa keterbatasan antara lain, yaitu :

1. Model analitik tidak mampu menggambarkan suatu sistem pada masa lalu dan masa mendatang melalui pembagian waktu. Model analitik hanya memberikan penyelesaian secara menyeluruh, suatu jawab yang mungkin tunggal dan optimal tetapi tidak menggambarkan suatu prosedur operasional untuk masa lebih singkat dari masa perencanaan. Misalnya, penyelesaian persoalan program linier dengan masa perencanaan satu tahun, tidak menggambarkan prosedur operasional untuk masa bulan demi bulan, minggu demi minggu, atau hari demi hari.

2. Model matematika yang konvensional sering tidak mampu menyajikan sistem nyata yang lebih besar dan rumit (kompleks). Sehingga sukar untuk membangun model analitik untuk sistem nyata yang demikian.

3. Model analitik terbatas pemakaiannya dalam hal – hal yang tidak pasti dan aspek dinamis (faktor waktu) dari persoalan manajemen.

Berdasarkan hal di atas, maka konsep simulasi dan penggunaan model simulasi merupakan solusi terhadap ketidakmampuan dari model analitik. Beberapa kelebihan simulasi adalah sebagai berikut :

3. Dalam banyak hal, simulasi lebih murah dari percobaannya sendiri.

4. Untuk sejumlah proses dimensi, simulasi memberikan penyelidikan yang langsung dan terperinci dalam periode waktu khusus.

5. Simulasi dapat digunakan untuk maksud pendidikan.

Model simulasi juga memiliki beberapa kekurangan antara lain yaitu : 1. Simulasi bukanlah presisi dan juga bukan suatu proses optimisasi.

Simulasi tidak menghasilkan solusi, tetapi ia menghasilkan cara untuk menilai solusi termasuk solusi optimal.

2. Model simulasi yang baik dan efektif sangat mahal dan membutuhkan waktu yang lama dibandingkan dengan model analitik.

3. Tidak semua situasi dapat dinilai melalui simulasi kecuali situasi yang memuat ketidakpastian (P. Siagian, 1987).

Model-model simulasi dapat diklasifikasikan dengan beberapa cara. Salah satu pengelompokannya adalah :

1. Model simulasi statis adalah representasi sistem pada waktu-waktu tertentu atau model yang digunakan untuk mempresentasikan sistem dimana waktu tidak mempunyai peranan. Model simulasi dinamis adalah representasi sistem sepanjang pergantian waktu ke waktu. Contohnya simulasi Monte Carlo.

2. Model simulasi deterministik adalah model simulasi yang tidak mengandung komponen yang sifatnya probabilistik (random) dan output telah dapat ditentukan ketika sejumlah input dalam hubungan tertentu dimasukkan. Model simulasi stokastik adalah model simulasi yang mengandung input-input probabilistik (random) dan output yang dihasilkan pun sifatnya random. Contohnya simulasi persamaan diferensial stokastik. 3. Model simulasi kontinu adalah model simulasi dimana state (status) dari