BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Kriptografi
Kriptografi merupakan gabungan dari dua kata Yunani yaitu “kriptos” ( ρυ ε oζ) yang berarti tersembuyi, dan “grafein” (γράφε ) yang berarti tulisan, jadi secara harfiah kriptografi dapat diartikan sebagai “tulisan rahasia” atau “tulisan tersembunyi” dan umumnya mengacu pada kegiatan penyandian dalam suatu sistem yang dibangun untuk pengiriman pesan rahasia (Batten, 2013).
Dalam ilmu pengetahuan modern, kriptografi didefninisikan sebagai ilmu yang mempelajari teknik-teknik matematis yang berhubungan dengan aspek-aspek pengamanan informasi, yaitu kerahasiaan (confidentiality), integritas data (data integrity), keabsahan (entity authentication), dan jaminan bahwa data berasal dari sumber yang sah (data origin authentication) (Menezes et al., 1996).
Tujuan dasar kriptografi dirangkum dalam keempat butir yang disebutkan sebelumnya sehingga dengan terpenuhinya keempat hal tersebut maka tindakan kecurangan dan berbagai tindakan lain yang tidak diinginkan dapat dideteksi dan dicegah. Keamanan informasi merupakan masalah yang akan diperhatikan dalam penelitian ini, di mana dengan memanfaatkan kriptografi pertukaran informasi melalui jalur transmisi yang tidak aman dapat dilakukan tanpa tanpa diketahui oleh pihak lain. Berikut disediakan beberapa istilah/terminologi dalam kriptografi (Schneier, 1996): 1. Pengirim dan Penerima
tersebut (dalam hal ini disebut penerima), yakni pihak kedua, dan sekalipun pesan tersebut jatuh ke pihak lain (eavesdropper), pesan tersebut tidak dapat dibaca karna pesan tersebut tidak dimaksudkan untuknya.
2. Pesan, Enkripsi dan Dekripsi
Pesan adalah teks asli (plain text), disimbolkan sebagai P atau M. Proses penguncian pesan untuk menyembunyikan isi pesan sehinga tidak dapat dibaca disebut proses enkripsi dan fungsi enkripsi disimbolkan sebagai E (). Pesan baru yang dihasilkan dari proses enkripsi (pesan yang telah terkunci) disebut cipher text dan disimbolkan sebagai
C.
E(P) = E(M) = C ... (1) Keterangan:
E(P) = E(M) = fungsi enkripsi pesan asli
C = teks hasil enkripsi (cipher text)
Proses pengembalian cipher text menjadi plain text disebut proses dekripsi, fungsi dekripsi disimbolkan sebagai D (C).
D (C) = P = M ... (2) Keterangan:
D (C) = fungsi dekripsi pesan terenkripsi
P = M = teks asli hasil dekripsi
Dari penjelasan di atas, ditemukan bahwa fungsi enkripsi merupakan invers dari fungsi dekripsi sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:
D (E (M)) = M ... (3) Keterangan:
D(E(M)) = fungsi dekripsi pesan terenkripsi
M = teks asli hasil dekripsi 3. Algoritma dan Kunci
Pada kriptografi modern kekuatan kriptografi diletakkan pada kerahasiaan kunci sesuai dengan prinsip Kerckhoff bahwa cipher text diasumsikantelah jatuh ke tangan musuh sehingga jika teknik kriptografi hanya bergantung pada kerahasiaan algoritma kemungkinan pesan untuk dipecahkan semakin besar karena ketika instrumen kriptografi jatuh ke tangan musuh algoritma enkripsi dapat diketahui maka pada saat itu juga pesan dapat dibaca, selanjutnya algoritma tersebut tidak dapat digunakan lagi sehingga harus melakukan riset lagi untuk menemukan algoritma baru sedangkan jika meletakkan tingkat keamanan pada kunci maka meskipun algoritma diketahui oleh pihak lain pesan tetap tidak dapat dibaca karena selain algoritma masih diperlukan kunci untuk mengembalikan cipher text menjadi pesan. Kunci yang dimaksudkan di sini adalah suatu angka (biasanya cukup besar) yang sama halnya dengan prinsip kunci gembok yaitu digunakan untuk mengunci pesan dengan algoritma sebagai pembangkit kunci sekaligus gembok yang mengunci pesan. Algoritma kriptografi modern dibagi menjadi 2 bagian besar yaitu algoritma kunci simetris dan algoritma kunci asimetris atau algoritma kunci publik.
4. Algoritma Simetris
Algoritma Kriptografi Simetris adalah algoritma yang menggunakan kunci yang sama untuk melakukan enkripsi dan dekripsi.
Proses enkripsi dan dekripsi disimbolkan sebagai berikut:
�(P) = C ... (4) �(C) = M ... (5) Keterangan:
�(P) = fungsi enkripsi pesan asli P dengan kunci K �(C) = fungsi dekripsi pesan terenkripsi dengan kunci K
C = pesan terenkripsi
M = pesan asli
5. Algoritma Kunci Publik (Algoritma Asimetris)
untuk dekripsi. Algoritma kriptografi kunci publik pertama kali diperkenalkan oleh Bailey Whitfield Diffie dan Martin Hellman pada tahun 1976 dalam sebuah paper berjudul “Diffie-Hellman Key Exchange” di mana dalam paper tersebut dikemukakan
suatu sistem untuk berkomunikasi secara aman semata-mata dengan memanfaatkan jalur transmisi umum. Dalam sistem kriptografi yang diajukan tersebut langkah pertama yang perlu dilakukan adalah pemilihan kunci EKdan kunci DK di mana DK tidak dapat dihitung dari EK atau secara teori dapat dihitung namun menghabiskan waktu dan sumber daya yang besar, pemilihan algoritma enkripsi E dan fungsi dekripsi D dengan fungsi E dan fungsi D merupakan invers terhadap satu sama lain dan masing-masing E
dan D dapat dihitung dengan mudah (feasible) untuk setiap pesan M, yang dilakukan oleh pihak pertama. Selanjutnya kunci EK didistribusikan kepada pihak (baik tunggal maupun jamak) yang akan mengirimkan pesan dan mencatat nama beserta alamat pemilik kunci EK tersebut. Selain menjamin keamanan pesan sistem kriptografi ini juga menawarkan fitur untuk menguji keabsahan tiap pesan yang diterima oleh pihak pertama yang disebut one-way authentication (Diffie & Helman, 1976).
Dari penjelasan di atas diketahui bahwa kelebihan algoritma kunci publik adalah kedua pihak yang hendak berkomunikasi secara aman tidak memerlukan jalur transmisi khusus atau bertemu secara langsung untuk melakukan pertukaran kunci karena pada skema algoritma kunci publik masing pihak memilih kunci rahasianya masing-masing dan hanya kunci publik yang dipertukarkan melalui jalur transmisi yang tidak aman dan kunci public diasumsikan tidak dapat secara langsung digunakan untuk membuka pesan yang terkunci. Algoritma kunci publik memiliki kekurangan yaitu untuk menjamin tingkat keamanan yang tinggi diperlukan kunci yang berukuran besar pula sehingga ukuran pesan terenkripsi menjadi sangat besar. Selain ukuran pesan terenkripsi yang besar, sumber daya yang besar juga diperlukan untuk melakukan perhitungan baik dalam proses pembangkitan kunci, proses enkripsi maupun proses dekripsi.
2.2 Kriptanalisis dan Kriptanalis
yang sama dengan nilai kompleksitas sebesar 2108 masih disebut usaha kriptanalisis (Schneier, 2000).
Jika dilihat sekilas kegiatan kriptanalisis seperti ancaman bagi kriptografi karena jika ternyata teknik kriptografi berhasil dipecahkan yang berarti bahwa informasi gagal dirahasiakan maka teknik kriptografi tersebut tidak layak lagi untuk digunakan. Namun sebenarnya tujuan kegiatan kriptanalisis adalah justru untuk menemukan batasan suatu algoritma atau seaman apakah algoritma tersebut bila dibandingkan dengan metode dan teknologi yang ada. Dengan demikian kegiatan kriptanalisis merupakan usaha untuk mengembangkan teknik kriptografi yang sudah ada dengan jalan mencari kelemahan dari teknik kriptografi tersebut. Pihak yang melakukan kegiatan kriptanalisis disebut kriptanalis.
2.3 Faktor Pembagi Terbesar (Greatest Common Divisor/GCD)
Misalkan a dan b merupakan bilangan bulat positif dan bukan nol maka faktor pembagi terbesar dari a dan b adalah bilangan bulat positif terbesar m di mana m habis membagi masing-masing a dan b sehingga jika salah satu atau kedua bilangan a dan b adalah prima maka faktor pembagi terbesarnya adalah 1.
Misalkan diberi bilangan 21 dan 35 dan diketahui bahwa faktor pembagi 21 adalah (3, 7) sementara faktor pembagi dari 35 adalah (5, 7) maka faktor pembagi terbesar dari 21 dan 35 adalah 7.
Algoritma Euclid adalah algoritma dapat digunakan untuk menemukan gcd dua buah bilangan. Misal m dan n adalah dua buah bilangan bulat positif dan m > n. Jika m
dibagikan terhadap n maka diperoleh q (quotient) dan bersisa r (remainder) dengan q
dan r masing-masing merupakan bilangan bulat positif dan r < n dan dapat ditulis m = nq + r. Perlakuan tersebut dilakukan berulang-ulang dengan masing-masing nilai q pada perulangan ke-k digunakan sebagai m pada baris ke-(k-1) dan nilai r pada perulangan ke-k digunakan sebagai n pada baris ke-(k-1) hingga r = 0. Dengan demikian gcd kedua bilangan adalah nilai n pada perulangan terakhir (Kromodimoeljo, 2010).
Contoh:
Misal diberi bilangan m = 72 dan n = 56, maka: 72 = 1 × 56 + 16
Dari perhitungan yang dilakukan diperoleh bahwa gcd (72, 56) adalah 8.
2.4 Kelipatan Persekutuan Terkecil (Least Common Multiple/LCM)
Kelipatan Persekutuan Terkecil dari dua buah bilangan bulat positif a dan b (selanjutnya akan dinotasikan sebagai lcm (a, b)) adalah bilangan bulat positif terkecil d yang habis dibagi a dan b atau dapat ditulis a|d dan b|d. Kelipatan Persekutuan Terkecil dari dua buah bilangan dapat dihitung dengan: a·b / gcd (a, b) (Menezes et al., 1996)
Contoh:
Misal diberi 2 buah bilangan a = 72 dan b = 56. Kita mengetahui bahwa gcd (72, 56) = 8, maka lcm (72, 56) = 72*56 / lcm (72, 56) = 4032 / 8 = 504.
2.5 Bilangan Prima
Jika terdapat bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 yang tidak memiliki faktor bilangan bulat positif kecuali 1 dan dirinya sendiri maka bilangan tersebut adalah bilangan prima (Mollin, 2007).
2.6 Relatif Prima (Coprime)
Jika terdapat 2 buah bilangan m dan n yang hanya memiliki bilangan 1 sebagai faktor persekutuan terbesar (gcd (m, n) = 1) maka kedua bilangan tersebut adalah relatif prima satu terhadap yang lain (Mollin, 2007).
2.7 Fungsi Euler (ϕ)
Fungsi Euler ϕ (n) adalah fungsi yang menunjukkan banyaknya bilangan bulat positif yang relatif prima terhadap n untuk n ≥ 1. Fungsi Euler dihitung dengan ketentuan
(Menezes et al., 1996):
(i) Jika p adalah bilangan prima maka ϕ(p) = p – 1
(ii) Jika gcd(m, n) = 1, maka ϕ(m, n) = ϕ(m) · ϕ(n)
(iii) Jika n = p1e1 p2e2 . . . pkek adalah faktorisasi prima terhadap n maka:
ϕ (n) = n 1 −
� 1 −� ... 1 −�
Contoh:
2. Misal n = 21. n dapat difaktorkan menjadi 7 dan 3 dan keduanya merupakan bilangan prima. Dengan menggunakan ketentuan ii, ϕ(21) dapat dihitung dengan ϕ(7, 3) = ϕ(7) · ϕ(3) = 6 × 2 = 12.
3. Misal n = 1800. n dapat difaktorkan menjadi 25, 9 dan 8 dan keduanya
merupakan perpangkatan dari bilangan prima yaitu: 25 = 52, 9 = 32 dan 8 = 23, maka dengan menggunakan ketentuan iii di atas ϕ (1800) dapat dihitung dengan: ϕ(1800) = 1800 1 −
5 1 − 1 − = 480.
2.8 Grup Siklik
Grup siklik G adalah suatu grup dengan n anggota (dengan n merupakan bilangan berhingga) yang dihasilkan oleh hasil operasi a terhadap pembangkit g dan elemen a
pada grup siklik tersebut disebut generator (Siang, 2002).
2.9 Kekongruenan
Bilangan a dan disebut kongruen terhadap b dalam modulo n, ditulis a≡ b (mod n), jika n habis membagi (a - b) (Menezes et al., 1996).
Contoh:
Misal a = 7 dan n = 4. Karena 7 mod 4 = 3 maka 7 kongruen dengan 3 dalam modulus 4, ditulisμ ι ≡ 3 (mod ι).
2.10 Ordo Modulo
Jika terdapat suatu bilangan bulat positif m dan bilangan asli n dan gcd (m, n) = 1 maka order dari modulo n adalah bilangan bulat terkecil e sedemikian sehingga ae ≡ 1 (mod n) (Mollin, 2007).
2.11 Perpangkatan Modulo
Perpangkatan modulo adalah operasi perpangkatan bilangan bulat yang dilakukan bersamaan dengan operasi modulo dan hasilnya ditulis dalam kekongruenan (Menezes
2.12 Akar Primitif
Jika m merupakan bilangan bulat dan n merupakan bilangan asli dan ordn (m) = ϕ(n), maka m adalah elemen primitif modulo n. Misal terdapat suatu bilangan bulat m, dan dua buah bilangan e dan n masing-masing merupakan anggota bilangan asli dengan gcd (m, n) = 1 maka ordm (me) = ordn (m) jika dan hanya jika gcd (e, ordn(m)) = 1.
Algoritma Gauss dapat digunakan untuk menghitung akar primitif dari fungsi perpangkatan modulo p dengan cara sebagai berikut (Mollin, 2007):
1. Misal m merupakan suatu bilangan asli sedemikian sehingga 1 < m < p, hitung mt
untuk t = 1, 2, … hingga mt = 1 (mod p). Dengan kata lain melakukan operasi perpangkatan modulo hingga ordp (m). Jika t = ordp(m) = p– 1 maka m merupakan akar primitif dan proses pencarian dihentikan. Sebaliknya, jika kondisi tersebut tidak tercapai maka lanjutkan ke langkah ke-2.
2. Pilih suatu bilangan asli b dalam rentang 1 < b < p dan b ≢mj (mod p) untuk setiap
j= 1, 2, …, t. Hitung u = ordp (b). Jika u ≠ p –1 maka hitung v = factor persekutuan terkecil t dan u. Oleh karena itu v = a·c di mana a|t dan c|u dengan a relatif prima terhadap c. Inisiasi masing-masing m1 dan b1 sebagai sisa bagi terkecil dari mt/adan
bu/cmodulo p. Dengan demikian g = m1·b1 berorder ac = v dalam modulo p. Jika v =
p – 1 maka g merupakan akar primitif dan pencarian dihentikan. Sebaliknya jika kondisi tersebut tidak terpenuhi maka lanjutkan ke langkah ke-3.
3. Ulangi langkah ke-2 dengan menggantikan nilai t dengan nilai v dan nilai m
digantikan oleh nilai m1·b1. Contoh:
Diketahui m = 13 dan ditanyakan α yang memenuhi sedemikian sehingga setiap elemen bilangan bulat dalam 1 ≤ r ≤ m-1 dapat dituliskan sebagai fungsi αi = r (mod 13) untuk 1 ≤ i ≤ m-1.
Untuk α = 3 diperolehμ 31≡ 3 (mod 13) 32≡ 9 (mod 13) 33≡ 1 (mod 13) 34≡ 3 (mod 13)
Untuk α = 4 diperoleh:
Dari perhitungan yang telah dilakukan ditemukan bahwa untuk α = 5 fungsi αi(mod 13) dapat mendistribusikan setiap nilai rdalam 1 ≤ r≤ 12 sebagai produknya sehingga dapat
disimpulkan bahwa 6 merupakan akar primtif dari m = 13.
2.13 Pengujian Miller-Selfridge-Rabin
Pengujian Miller-Rabin adalah algoritma pengujian primalitas yang merupakan pengembangan dari Fermat’s Little Theorem, di mana untuk setiap bilangan bulat
Misal terdapat suatu bilangan asli n yang akan diuji apakah merupakan bilangan ganjil atau bilangan komposit dengan n– 1 = 2t · m dengan m dan t masing-masing merupakan anggota bilangan asli dan m harus merupakan bilangan ganjil, maka pengujian Miller-Selfridge-Rabin terhadap n dilakukan dengan serangkaian tahap berikut:
1. Memilih sembarang bilangan bulat a dengan batasan 2 ≤ a < n –2 2. Menyelesaikan persamaan kongruensi modulo x ≡ am(mod n)
Jika x ≡ ± 1 (mod n) maka p mungkin merupakan bilangan prima.
Jika t = 1, akhiri algoritma dengan output “pmerupakan bilangan komposit”
Jika tidak memenuhi salah satu dari kedua kondisi tersebut maka inisialisasi variabel j
= 1 dan lanjutkan ke tahap ke-3. 3. Menghitung nilai x ≡ �(mod n)
Jika x ≡ 1 (mod n), akhiri algoritma dengan output “nmerupakan bilangan komposit”
Jika tidak memenuhi salah satu dari kedua kondisi tersebut maka ubah nilai j menjadi j + 1 dan lanjutkan ke tahap ke-4.
4. Jika j = t –1, maka lanjutkan ke tahap ke-5. Sebaliknya jika tidak memenuhi kondisi tersebut kembali ke tahap ke-3
5. Hitung x = − · (mod n)
Jika x ≢ -1 (mod n), maka akhiri algoritma dengan output “n merupakan bilangan komposit”
Jika x ≡ -1 (mod n), maka akhiri algoritma dengan output “n mungkin merupakan bilangan prima” (Mollin, 2005).
2.14 Algoritma ElGamal
Algoritma ElGamal merupakan algoritma kunci publik yang ditemukan oleh Taher ElGamal pada tahun 1984 sebagai pengembangan skema kriptografi kunci publik yang diperkenalkan oleh Whitfield Diffie dan Martin Hellman pada tahun 1976 dimana sejak saat itu berbagai usaha dilakukan untuk menemukan cara agar skema kriptografi kunci publik dapat diterapkan (ElGamal, 1985).
Algoritma ElGamal merupakan algoritma yang bersifat one-way-function dan mengandalkan kesulitan dalam memecahkan masalah logaritma diskrit pada grup perpangkatan bilangan bulat modulo prima Zp* dalam finite field yang besar di mana perpangkatan bilangan bulat dimodulokan terhadap bilangan prima yang besar n dapat dilakukan dalam waktu yang dapat diabaikannamun untuk menemukan pangkat yang digunakan dalam perpangkatan akar primitif dianggap tidak dapat dihitung dalam waktu yang masuk akal.
8.14.1.Pembangkitan kunci
Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa algoritma ElGamal menggunakan sepasang kunci yaitu kunci publik dan kunci privat di mana kunci publik akan dipublikasikan sedangkan kunci privat akan dirahasiakan. Pembangkitan kunci algoritma ElGamal dilakukan oleh pihak penerima pesan (dalam kasus ini Bob sebagai penerima) dengan tahapan sebagai berikut:
1. Membangkitkan bilangan prima p dengan p merupakan bilangan prima yang cukup besar dan generator α yang merupakan pembangkit grup Zp* dengan fungsi pembangkit yang digunakan adalah fungsi eksponensial modulo G = αx (mod p).
2. Memilih A secara acak di mana 1 ≤ A≤ p - 2 dan A merupakan kunci privat sehingga akan dirahasiakan.
3. Menghitung kunci publik αA mod p. Kunci publik algoritma ElGamal yang akan dipublikasikan adalah triplet (p, α, αA).
4. Mempublikasi kunci publik.
8.14.2.Proses enkripsi
Proses penguncian pesan dilakukan oleh Alice sebagai pengirim dan pihak pengirim harus terlebih dahulu memperoleh kunci publik yang telah dipublikasi sebelum Alice dapat melakukan penguncian pesan.
1. Memperoleh triplet kunci publik (p, α, αA) dari Bob selaku pihak yang akan menerima pesan.
2. Mengubah pesan M menjadi himpunan bilangan bulat (m1, m2, …, mn) di mana
n ≤ p – 1.
3. Memilih k secara acak di mana k terdapat dalam rentang 1 ≤ k ≤ p - 2 dan k
merupakan kunci privat yang akan dirahasiakan oleh pihak pengirim. Keacakan kunci k dan penggunaan k yang tidak tetap untuk setiap mi sangat dianjurkan agar tiap potongan pesan yang akan dienkripsi pada tahap berikutnya tidak dapat dipecahkan jika salah satu k berhasil ditemukan oleh pihak ketiga.
5. Mengenkripsi blok-blok pesan asli (m1, m2, …, mi) dengan fungsi enkripsi ci =
mi(αA)k sehingga pesan terenkripsi C yang akan dikirimmerupakan himpunan (c1, c2, …, ci)
8.14.3.Proses dekripsi
Untuk mengembalikan pesan terenkripsi C menjadi pesan asli M maka Alice harus melakukan:
1. Menghitung (αk)p -1-A= (αk)-A = α-Ak
2. Mengembalikan setiap cimenjadi midengan menghitung mi= (αk)-A ci (mod p). Setelah setiap mi berhasil dihitung maka setiap mi disusun sedemikian rupa untuk memeroleh pesan asli M (Meier, 2005).
2.15 Metode Index Calculus
Misalkan n dan b merupakan bilangan asli dan n relatif prima terhadap n maka akan terdapat suatu nilai edalam rentang 0 ≤ e≤ ϕ(n)-1 yang menghasilkan b≡ me(mod n). Nilai e mod ϕ (n) merupakan Index b dalam factor base m mod n, dinotasikan � atau
Lm(b). Misal m = 23 dan n = 5, maka � 5 (15) = 17, karena 517≡ 15 (mod 23).
Jika n merupakan anggota bilangan asli dan m merupakan akar primitif modulo n, maka untuk setiap bilangan bulat positif c dan d berlaku:
1. � (cd) ≡ � (c) + � (d) (mod ϕ(n))
2. Untuk setiap bilangan asli t, � (ct) ≡ t·� (c) (mod ϕ(n)) 3. � (1) = 0
4. � (m) = 1
5. � (-1) = ϕ(n)/2 untuk n >2
6. � (n - c) ≡ � (-c) ≡ ϕ(n)/2 + � (c) (modϕ(n)). (Mollin, 2007)
Misal diberi suatu Grup Siklik dengan α sebagai pembangkit, yaitu akar primitif dari grup, dengan αk ≡ (mod m) sebagai fungsi pembangkit dan disediakan suatu nilai x yang merupakan hasil pemetaan dari daerah asal dengan x merupakan sembarang bilangan yang tidak diketahui nilainya ke daerah hasil maka untuk memperoleh nilai x
dapat dilakukan dengan menggunakan metode Index Calculus dengan langkah sebagai berikut:
seyogianya disesuaikan dengan nilai m yang merupakan basis perpangkatan modulo.
2. Menghitung logaritma diskrit dari bilangan-bilangan dalam factor base dengan menghitung αk. Nilai k oleh berupa beberapa bilangan acak atau dapat menggunakan α1, α2, … ,αn. Langkah ini akan menghasilkan persamaan linier
� � = ∑ � �� − 1
�= dan dengan menggunakan persamaan linier yang ada kemudian dihitung masing-masing nilai Lm(pi) (mod (m-1)) dalam
factor base.
3. Menghitung logaritma diskrit dari elemen menggunakan logaritma dari elemen-elemen dalam factor base yang telah diketahui.
3.1. Menghitung nilai k sedemikian sehingga αr = ∏ � � �
3.2.Setelah nilai k dan a ditemukan maka kita akan memperoleh bentuk Lα(b αr)
= Lα(∏ � �) (mod (p-1)), sehingga Lα(b) =-r + ∑ ��� � − 1
Contoh:
Misal diberikan m = 113 dan akar primitif α = 5 dan ditanyakan x yang memenuhi untuk
≡ 5x ≡ 107(mod 113).
Dengan menentukan batas factor base B ≤ 10, sehingga B = {2, 3, 5, 7}. Misal kita memberi pangkat acak 1 ≤ k≤ 20 dan 19 untuk fungsi αk (mod 112) diperoleh beberapa persamaan linier yang menghasilkan beberapa nilai unik sebagai berikut:
51 ≡ 5(mod 113), sehingga 1 = L5 (5) (mod 112)
53 ≡ 12(mod 113), sehingga 3 = 2·L5 (2) + L5 (3) (mod 112) 54 ≡ 60(mod 113), sehingga 4 = L3 (2) + L3 (3) + L5(5) (mod 112) 57 ≡ 42(mod 113), sehingga 7 = L5 (2) + L3 (3) + L5(7) (mod 112) 515 ≡ 6(mod 113), sehingga 6 = L3 (3) + L5 (5) (mod 112)
Dengan menyelesaikan persamaan linier yang ada diperoleh L5 (3) = 27, L5(5) = 1, L5(7) = 104. Setelah nilai logaritma diskrit dalam factor base telah diketahui maka selanjutnya menghitung nilai 107·531≡ 3 · 5 · 7 (mod 113), sehingga L3 (107) ≡-31 + L3 (2) + L3 (3) + L3 (5) + L3 (7) (mod 112) = 110. Dengan metode Index Calculus diperoleh bahwa
2.15 Penelitian yang relevan
Berikut beberapa penelitian yang berkaitan dengan judul penelitian penulis pada saat ini:
1. Gunalan Anggirasa (2015) dalam tugas akhir yang berjudul “Teknik Pemecahan Kunci ElGamal dengan Metode Baby-step Giant-step” menyatakan bahwa Metode
Baby-step Giant-step dapat memecahkan kunci publik ElGamal dengan running time selama 172817 ms untuk memecahkan algoritma ElGamal dengan panjang kunci 10 digit. Pemecahan kunci lebih dari 10 digit semakin tidak efisien karena memakan waktu hingga lebih dari 1 jam.
2. B. A. LaMacchia dan A. M. Odlyzko (1992) dalam jurnal berjudul “Computation of Discrete Logarithms in Prime Fields” menyatakan bahwa algoritma kriptografi
