Catatan Kuliah Metode Numerik BAB 3 Inte

(1)

BAB 3

Interpolasi

1. Beda Hingga

2. Interpolasi Linear dan Kuadrat

3. Interpolasi Beda-Maju dan Beda-Mundur

Newton

(2)

1. Beda Hingga

Misalkan diberikan suatu tabel nilai-nilai numeris f_j = f(x_j) dari suatu fungsi f pada titik-titik yang berjarak sama,

x₀, x₁ = x₀ + h, x₂ = x₀ + 2h, x₃ = x₀ + 3h, …

dengan h > 0 tetap.

Fungsi f(x_i) bisa berupa hasil suatu rumus atau nilai yang diperoleh secara empiris dari percobaan.

Beda-beda pertama dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiap Beda-beda pertama dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiap nilai fungsi f(x) untuk x berikutnya yang lebih besar dalam tabel.

Beda-beda kedua dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiap nilai beda pertama dari fungsi f(x) untuk x berikutnya yang lebih besar dalam tabel.

Seterusnya sehingga dalam tabel beda, setiap beda dimasukan ke dalam kolom yang sesuai, ditengah-tengah antara elemen-elemen kolom

(3)

Terdapat tiga notasi untuk beda-beda yang terjadi dalam suatu tabel beda.

A. Beda-beda Pusat

Bentuk tabel beda-beda pusat sebagai berikut:

1 2

x

− −

1 2

f

− −

2 1 2

3

f f

δ δ

− −

2 1 2

f f

δ

₋

2 1 3

f

δ ₋

2 1 0

x

2 1 0

f

2 3 2 1 2

f f

δ δ

1 2

0 f f

δ

2 1 3

2

f

δ

m m

m

f

=

₊

−

+ 1

2 1

δ

Secara umum diperoleh,

Indeks beda di kiri adalah rataan indeks beda di kanan

2 1 2

1 2

− +

−

=

m m

m

f

δ

(4)

B. Beda-beda Maju

Bentuk tabel beda-beda maju sebagai berikut:

1 0 1 2

x

− −

1 0 1 2

f

− −

0 1 2

f

∆

− −

2 1 2

2 2

f

∆

− −

1 3

2 3

− −

∆

f

2 1

x

2 1

f

1

f

∆

0

2

f

∆

f

−1

m m

m

f

=

−

∆

₊₁

Beda-beda dengan indeks yang sama terletak pada garis yang miring ke bawah atau maju pada tabel

m m

m

f

=

∆

−

∆

(5)

Algoritma Beda-beda maju

Diberikan x_j,

Untuk k = 1, 2, …, n lakukan

untuk m = 0, 1, …, n – k, lakukan

n

j

x

f

_j _j

(

_j

),

0

,

1

,

2

,

...,

0

=

∆

m k

f

=

∆

−1 ₊₁

−

∆

−1

∆

2 1 0 1 2

x

− −

2 1 0 1 2

f

− −

2 1 0 1

f

∇

₋

2 2

1 2

0 2

f f f

∇ ∇ ∇

2 3

1 3

f

(6)

m m

m

f

=

−

∇

₋₁

Beda-beda dengan indeks yang sama terletak pada garis yang miring ke atas atau mundur pada tabel

m m

m

f

=

∇

−

∇

2 ₋₁

Kaitan dari ke tiga notasi beda-beda di atas adalah :

2 2

n m n n

m n m

n

f

+ −

∇

=

∆

=

δ

Contoh 3.1 Contoh 3.1

Nilai dan beda dari f(x) = 1/x, x = 1 (0.2) 2, 4D

!

0 . 2

8 . 1

6 . 1

4 . 1

2 . 1

0 . 1

5000 . 0

5556 . 0

6250 . 0

7143 . 0

8333 . 0

0000 .

1

556 694 893 1190 1667

− − − − −

138 199 297 477

61 98 180

− − −

37 82

Catatan, bila ditetap-kan x₀ = 1.6, maka di-peroleh

-0.0893

2 1 − =

δ

_f

1

−

∆

=

f

0

f

(7)

2. Interpolasi linear dan Kuadrat

Diberikan tabel nilai suatu fungsi f(x), seringkali untuk mencari nilai-nilai

f(x) untuk nilai x diantara nilai-nilai x yang muncul dalam tabel tersebut.

Masalah untuk memperoleh nilai f(x) demikian disebut Interpolasi.

Nilai-nilai f(x) yang ditabulasikan dan digunakan dalam proses ini disebut nilai-nilai pivotal.

Metode interpolasi biasanya didasarkan pada asumsi bahwa disekitar nilai

x yang dipertanyakan, fungsi f(x) dapat dihampiri oleh polinom p(x), yang

x yang dipertanyakan, fungsi f(x) dapat dihampiri oleh polinom p(x), yang nilainya pada x tersebut merupakan hampiran dari nilai fungsi f(x).

Interpolasi linear

"

# !$ % $ !$ & !

% ' % !

! & ₍

) ! ! * ₍ + % %

( (

%

% f (x) ≈ p1(x) = f0 + r( f1 − f0)

=

f

0

+

r

∆

f

0 ,

=

−

0

,

0

≤

r

≤

1

h

x

r

(8)

Interpolasi linear sering digunakan untuk menghitung tabel logaritma dan fungsi trigonometri.

Interpolasi linear akan memberikan hasil yang baik selama nilai-nilai x dalam tabel sedemikian dekatnya sehingga talibusur-talibusur

menyimpang dari kurva f(x) cukup kecil, katakanlah kurang dari ½ satuan angka terakhir dalam tabel untuk setiap x diantara x₀ dan x₁.

Galat untuk iterpolasi linear adalah

Taksiran galat tersebut adalah :

) ( )

( )

(x = p₁ x − f x = f₀ + r f₁ − f₀ − f x

ε

2 2 8 1

)

(x ≤ h M

ε

Dimana f(x) mempunyai turunan kedua pada dan f’’(x) terbatas

dengan

Interpolasi kuadrat

-1

0 x x

x ≤ ≤

2

) ( '

' x M

f ≤

!$ . ' ₍ * ₍ + %

! $ & ₍. ₍ . . . .

% ! & %

.

) 2

( 2

) 1 (

) (

) ( )

(x p₂ x f₀ r f₁ f₀ r r f₂ f₁ f₀

f ≈ = + − + − − +

0 2 0

0

2 ) 1 (

f r

r f

r

f + ∆ + − ∆

=

2 0

,

0 _≤ _≤

−

= _r

(9)

Contoh 3.2

Diketahui nilai ln 9.0 = 2.1972 dan nilai ln 9.5 = 2.2513. Tentukan nilai ln 9.2.

Jawab

Diperoleh r = 0.2 / 0.5 = 0.4, sehingga

ln 9.2 = ln 9.0 + 0.4 ( ln 9.5 – ln 9.0)

= 2.1972 + 0.4 ( 2.2513 – 2,1972)

= 2.2188 (eksak sampai 3D)

Contoh 3.3 Contoh 3.3

Diketahui nilai ln 9.0 = 2.1972, ln 9.5 = 2.2513 dan nilai ln 10.0 = 2.3026. Tentukan nilai ln 9.2.

Jawab

Diperoleh r = 0.2 / 0.5 = 0.4, sehingga

ln 9.2 = ln 9.0 + 0.4 ( ln 9.5 – ln 9.0)+ (1/2)(0.4)(-0,6)(ln 10.0-(2)(ln 9.5)+ln 9.0)

= 2.197 + 0.4 ( 2.251 – 2,197) +(-0.12)(2.3026 – (2)2.2513 + 2.1972)

= 2.2192 (eksak sampai 4D)

(10)

3. Interpolasi Beda Maju dan Beda Mundur Newton

Hampiran lebih teliti diperoleh bila menggunakan polinom yang derajatnya lebih tinggi.

Polinom p_n(x) berderajat n ditentukan secara tunggal oleh n+1 nilai x_i, i = 0, 1, 2, …, n, yang berlainan, sedemikian sehingga diperoleh,

p_n(x₀) = f₀ , p_n(x₁) = f₁, …, p_n(x_n) = f_n

dengan f(x₀) = f₀ , f(x₁) = f₁, …, f(x_n) = f_n

Polinom ini diberikan dalam rumus interpolasi beda-maju Newton: Polinom ini diberikan dalam rumus interpolasi beda-maju Newton:

(

, _r _n

h x x

r = − 0 , 0 ≤ ≤

0 0

2 0

0

!

) 1 )...(

1 ( ... !

2 ) 1 ( )

( )

( f

n

n r r

r f

r r f

r f x

p x

f ≈ _n = + ∆ + − ∆ + + − − + ∆n

0 0

f s

r _s

n

s

∆ =

=

!

) 1 )...(

2 )(

1 (

s

s r r

r r s

r − − − +

(11)

Bukti.

Akan ditunjukkan bahwa p_n(x_k) = f_k untuk k = 0, 1, 2, …, n.

Tetapkan terlebih dahulu r = k, sehingga diperoleh x = x₀ + rh = x₀ + kh = x_k.

dan

0 .

1 * ( * . % * (

0 0

2 0

0 ...

2 k f

k f k f k f

f_k = + ∆ + ∆ + + ∆k

0 0 f s k _s k s ∆ = = ) ( _k n

k p x

f =

1 * ( ₍ * ₍. % * (

2 * 3. &

4 * 3 +

+ = − + s q s q s q 1 1

. ! & $ %

0 0 2 0 0 ... 2 1

0 q f

q f q f q f q

f_q = + ∆ + ∆ + + ∆q

q q

q f f

f ₊₁ = +∆

0 0 2 0 0 ... 2 1

0 q f

q f q f q f q _q ∆ + + ∆ + ∆ + = 0 1 0 3 0 2 0 ... 2 1

0 q f

q f q f q f

q _q₊

∆ + + ∆ + ∆ + ∆ + 0 f s ∆ 0 1 0 2 0 0 1 1 1 ... 2 1 1 1 0 1 f q q f q f q f q

f_q+ ∆q+

(12)

Galat yang terlibat dalam interpolasi maju Newton adalah

Dengan adalah turunan ke-(n+1) dari fungsi f dan t terletak dalam

interval yang titik-titik ujungnya adalah nilai terkecil dan terbesar dari nilai-nilai x₀, x₁, …, x_n, x.

) 1 (n+

f

) ( )

)...( (

)! 1 (

1 )

( )

( x x₀ x x f ( 1) t

n x

f x

p

x _n − − _n n+

+ =

− =

ε

Algoritma Rumus Interpolasi Beda-maju Newton

Diberikan x_j_j = x₀₀ + jh, j = 0, 1, 2, … dan nilai-nilai fungsi yang berpadanan

yaitu . Juga diberikan nilai

Tetapkan

Hitung

Untuk k = 0, 1, 2, …, sampai penghentian, lakukan

Periksa untuk penghentian

) (

0

j j

j f f x

f = =

∆ _xˆ

0 0

(

x

ˆ

)

f

p

=

h x x

r = ˆ − 0

0 1 1

1 )

ˆ ( )

ˆ

( f

k r x

p x

p_k₊ _k ∆k+

+ +

(13)

Contoh 3.4

Memakai nilai-nilai dari tabel berikut

x_i 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

f(x_i) 1.414214 1.449138 1.483240 1.516575 1.549193

Terapkan rumus interpolasi beda maju Newton untuk mencari f(2.05) dan f(2.15).

Jawab

a. Untuk x = 2.05, tetapkan x₀= 2.0 sehingga r = 0.05 / 0.1 = 0.5

) 2 )( 1 ( ) 1 ( − + − − − + + − − + − + =

≈ r r r r r

b. Untuk x = 2.15, tetapkan x₀ = 2.1 sehingga r = 0.05 / 0.1 = 0.5

431782 . 1 ) 4 6 4 ( ! 4 ) 3 )( 2 )( 1 ( ) 3 3 ( ! 3 ) 2 )( 1 ( ) 2 ( ! 2 ) 1 ( ) ( ) 05 . 2 ( ) 05 . 2 ( 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 0 1 0 4 = + − + − − − − + − + − − − + + − − + − + = ≈ f f f f f r r r r f f f f r r r f f f r r f f r f p f 466268 . 1 ) 3 3 ( ! 3 ) 2 )( 1 ( ) 2 ( ! 2 ) 1 ( ) ( ) 15 . 2 ( ) 15 . 2

( ₃ ₀ ₁ ₀ ₂ ₁ ₀ ₃ ₂ ₁ ₀

= − + − − − + + − − + − + =

≈ p f r f f r r f f f r r r f f f f

(14)

Sedangkan rumus untuk interpolasi beda mundur Newton adalah:

, _r _n

h x x

r = − 0 , 0 ≤ ≤

0 0

2 0

0

!

) 1 )...(

1 ( ... !

2 ) 1 ( )

( )

( f

n

n r r

r f

r r f

r f x

p x

f ≈ _n = + ∇ + − ∇ + + − − + ∇n

0 0

f s

r _s

n

s

∇ =

=

) 1 )...(

2 )(

1

(r r r s

r

r − − − +

= % $ $ $ !

!

s

s = % $ $ $ !

Rumus interpolasi lain yang menggunakan beda hingga adalah rumus Everett

Rumus ini melibatkan beda-beda hingga tingkat genap. Rumus Everett yang paling sederhana adalah:

1 2 0

2 1

0

! 3

) 1 ( ) 1 (

! 3

) )( 1

)( 2

( )

1 ( )

(x r f rf r r r f r r r f

f ≈ − + + − − − δ + + − δ

, ₌ − 0 _, ₀ _≤ _≤₁

r h

(15)

Untuk membuat penerapannya mudah, tabel-tabel fungsi biasanya menyerta-kan beda-beda kedua yang diperlumenyerta-kan. Galatnya adalah

dimana x₀ – h < t < x₀ + 2h

Contoh 3.5

Memakai nilai-nilai dari tabel berikut x_i f(x_i)

1.2 3.3201 333 1.3 3.6693 367

i

f

2

δ

) ( 4

1 )

( )

(x = p_n x − f x = −h4 r + f (4) t

ε

1.3 3.6693 367

Terapkan rumus Everett untuk mencari f(1.24).

Jawab

Untuk x = 1.24, tetapkan x₀= 1.2 sehingga r = 0.04 / 0.1 = 0.4

4556 .

3

0021 .

0 0021 .

0 4598 .

3

) 0367 .

0 ( 6

) 6 . 0 )( 4 . 0 )( 4 . 1 (

) 0333 .

0 ( 6

) 4 . 0 )( 6 . 0 )( 6 . 1 ( ) 6693 .

3 )( 4 . 0 ( ) 3201 .

3 )( 6 . 0 ( ) 24 . 1 (

=

− −

=

− +

+ ≈

(16)

4. Polinom Interpolasi Beda terbagi Newton

Misalkan diberikan x₀, x₁, x₂ ,…, x_n dengan jarak sembarang.

Polinom p_n(x) berderajat n melalui titik-titik (x₀, f₀), (x₁, f₁), …, (x_n, f_n) dengan f_j = f(x_j) diberikan oleh rumus interpolasi beda terbagi Newton:

]

,...,

,

[

)

)...(

(

...

]

,

[

)

)(

(

]

,

[

)

(

)

(

)

(

1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 n n n

x

f

x

f

x

f

x

f

x

p

x

f

−

+

−

+

−

+

=

≈

Melibatkan beda-beda terbagi, yang secara iteratif didefinisikan sebagai,

0 1 0 1 1 0 ) ( ) ( ] , [ x x x f x f x x f − − = 0 2 1 0 2 1 2 1 0 ] , [ ] , [ ] , , [ x x x x f x x f x x x f − − = 0 1 1 0 2 1 1 0 ] ,..., , [ ] ,..., , [ ] ,..., , [ x x x x x f x x x f x x x f k k k k − − = − ... ...

5 * ₍ + % .

(17)

Algoritma Polinom Beda terbagi Newton.

Masukan : n, x_i, i = 0, 1, .., n ; f(x_i), i = 0, 1, .., n

x, Epsilon

Langkah-langkah :

) ( ₀

0 f x

b ←

1 ;

0 ←

←_b _faktor p_bagi

lakukan n

i

Untuk ←1, 2, ..., ,

) (x f b ←

(. . .8 &

( . 9 (. :. 9 (. . :

"

) ( _i

i f x

b ←

lakukan i

i j

Untuk ← −1, −2, ..., 0,

j i

j j

j

x x

b b

b

− − ← +1

) .( − ₋₁ ← _faktor _x _x_i

faktor

faktor b

suku ← ₀.

suku p

p_bagi ← _bagi +

Selesai maka

Epsilon suku

(18)

Contoh 3.6

Diberikan pasangan nilai x₀ = 1, f(x₀) = 0; x₁ = 4, f(x₁) = 1.3862944; x₂ = 6, f(x₂) = 1.7917595; x₃ = 5, f(x₃) = 1.6094379;

a. Buat tabel beda terbagi dari data tersebut.

b. Gunakan tabel beda terbagi di atas dalam menerapkan rumus interpolasi beda terbagi Newton dengan x = 2

Jawab

a. Tabel beda terbaginya adalah

9 . : 9. .: 9. . .:

b.

-9 . : 9. .: 9. . .:

3 2 1 0

5 6 4 1

6094379 .

1

7917595 .

1

3862944 .

1

0

1823216 .

0

2027326 .

0

4620981 .

0

0204109 .

0

0518731 .

0

− −

007865 .

0

5658444 .

0 ) 0518731 .

0 )( 4 2 )( 1 2 ( ) 4620981 .

0 )( 1 2 ( 0 ) 2 ( )

2

( ≈ p₂ = + − + − − − =

f

6287687 .

0 ) 007865 .

0 )( 6 2 )( 4 2 )( 1 2 ( ) 2 ( )

2 ( )

2

( ≈ p₃ = p₂ + − − − =

(19)

5. Polinom Interpolasi Lagrange

Metode interpolasi lain dalam kasus nilai pivotal x₀ini didasarkan kepada

rumus interpolasi Lagrange n + 1 titik,

dengan,

i n

i _i _i

i

n

f

x

l

x

l

x

L

x

f

=

≈

0

(

)

(

)

(

)

(

) )...(

)( (

)

( ₁ ₂

0 x x x x x x xn

l = − − −

) )...(

)( (

)

( ₀ ₂

1 x x x x x x xn

l = − − −

) )...(

)( )...(

)( (

)

(x x x x x x x x x x x

l = − − − − −

... ...

Dalam hal ini terlihat bahwa untuk x = x_i, maka

Rumus Interpolasi Lagrange dapat juga ditulis dalam bentuk

dengan

/

) )...(

)( )...(

)( (

)

( ₀ ₁ _i ₁ _i ₁ _n

i x x x x x x x x x x x

l = − − − ₋ − ₊ −

... ...

) )...(

)( (

)

( = − ₀ − ₁ − _n₋₁

n x x x x x x x

l

i i

n

i

L

x

f

x

f

(

)

≈

(

)

=

i n

i

n

x

l

x

f

L

x

f

=

≈

0

)

,

(

)

(

)

(

−

∏

=

≠

j i

j

i j i

x

(20)

Algoritma Polinom Interpolasi Lagrange

Masukan : n, x_i, i = 0, 1, .., n ; f(x_i), i = 0, 1, .., n ; x

Langkah-langkah :

lakukan n

i

Untuk ←1, 2, ..., ,

lakukan n

j

Untuk ← 0, 1, ..., , 0

← plag

1

←

faktor

− _x x

Contoh 3.7

Diberikan pasangan nilai x dan f(x) berikut:

Gunakan Interpolasi Lagrange untuk menghitung f(9.2).

(

) ( . f x_i faktor

plag

plag ← +

− − ←

≠

j i

j

x x

x x faktor faktor

maka i

j

Jika .

X 9.0 9.5 10.0 11.0

(21)

Jawab

Dalam hal ini diperoleh,

Sehingga ) 0 . 11 )( 0 . 10 )( 5 . 9 ( ) (

0 x = x − x − x −

l ) 0 . 11 )( 0 . 10 )( 0 . 9 ( ) (

1 x = x− x − x −

l ) 0 . 11 )( 5 . 9 )( 0 . 9 ( ) (

2 x = x − x− x −

l ) 0 . 10 )( 5 . 9 )( 0 . 9 ( ) (

3 x = x− x − x −

l i i f x l l L

f ≈ =

3 3 ) ( ) 2 . 9 ( ) 2 . 9 ( ) 2 . 9 ( _i

i=0 li(xi)

(22)

Masalah pencarian x untuk f(x) yang diberikan dikenal sebagai interpolasi balikan / invers.

Jika fungsi f terdiferensialkan dan df/dx tidak nol dekat titik dimana

interpolasi balikan harus diperhitungkan, balikan x = F(y) dan y = f(x) ada secara lokal didekat nilai f yang diberikan dan mungkin terjadi bahwa F dapat dihampiri dalam lingkungan itu dengan suatu polinom yang

derajatnya agak rendah. Kemudian jalankan interpolasi balikan dengan membuat tabulasi F sebagai suatu fungsi y dan menerapkan metode-metode interpolasi yang langsung pada F.

Jika df/dx = 0 dekat atau pada titik yang diinginkan, kemungkinan berguna untuk memecahkan p(x) = f dengan iterasi. Dalam hal ini, p(x) adalah