Transformasi Fourier

Aplikasi Transformasi Fourier

– Koefisien serapan

– Resolusi spektral

– Analisis profil garis

– Pola antena

– Studi derau (

noise

)

Teorema konvolusi dipergunakan dalam melakukan

perkalian dua fungsi secara efisien

Referensi

:

Transformasi Fourier 3

Definisi

Tranformasi Fourier

suatu fungsi:

Spesifikasi

amplitudo-amplitudo dan

fase-fase sinusoidal yang

jika dijumlahkan

bersama

menghasilkan fungsi

baru



  



F

x

i

x

dx

f

(



)

(

)

exp(

2





)

Tinjau fungsi F(x), maka

Transformasi Fourier dari F(x):

x, : pasangan variabel Fourier

Transformasi invers:



  





f





ix



d



x

F

(

)

(

)

exp(

2

)

Rumus Euler untuk

F

(

x

):

sehingga

(

)

(

)

(

)

sin

cos

)

exp(

x

F

x

F

x

F

x

i

x

ix

I R

















                F x x dx i F x x dx i F x x dx F x x dx f () _R( )cos2  _I( )cos2  _R( )sin2  _I( )sin2 

Fungsi sinus dengan periode 1/ kompleks Fungsi : ) ( ) ( ) ( f_R  f_I  f   real imajiner

5

Kasus F(x) real

Contoh: Spektrum fluks bintang





     









dx

x

x

F

i

dx

x

x

F

f

x

F

R R I











)

(

)

cos

2

(

)

sin

2

(

sehingga

,

0

)

(

: f(σ) Tetap merupakan fungsi kompleks



  







dx

x

x

F

f

x

F

x

F

x

F

R R R R







)

(

)

cos

2

(

maka

)],

(

)

(

[

genap

fungsi

:

)

(

Sifat genap F_R(x) bersama sifat ganjil sin 2πσx  suku imajiner = 0

Bilangan kompleks:





fase sudut : , ) ( ) ( tan Amplitudo : ) ( ) ( ) ( ) exp( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 / 1 2 2             R I I R I R f f f f f i f if f f       Transformasi Fourier

Kasus

σ

= 0





     







F

x

dx

F

f



d



f

(

0

)

(

)

(

0

)

(

)

Luas daerah di bawah

fungsi semula

Aplikasi:

Dlm transformasi

Fourier garis

spektrum,

σ

= 0 berarti

absorpsi garis total

Transformasi Fourier 7

Transformasi umum

















































W

W

W

W

i

i

iW

iW

i

i

ix

dx

ix

dx

ix

x

B

b

W

x

W

W

x

W

x

B

W W W W

sin

]

[sin

2

2

)

exp(

)

exp(

2

1

2

)

2

exp(

)

2

exp(

)

2

exp(

)

(

)

(

2

2

,

1

2

2

,

0

)

(

2 / 2 / 2 / 2 /

































   







Fungsi delta (Fungsi )

Arti fisis : Pulsa,



  



1

)

(

x

dx



Sifat-sifat:

1. (pulsa terjadi pada x=0) 2. (pulsa terjadi pada x=x₁) 3. Perkalian fungsi dengan fungsi delta

0

,

0

)

(

x



x





  ) (x x₁



) ( ) ( ) ( ) (x x₁ F x 



x x₁ F x₁







     









)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

x

₁

F

x

dx

F

x

₁



x

x

₁

dx

F

x

₁



9 Transformasi Fourier



(

x



x

₁

)





           ) 2 exp( ) ( ) 2 exp( ) 2 exp( ) ( ) ( 1 1 1          ix dx x x ix dx ix x x f  Amplitudo f(σ) tidak

tergantung pada σ tapi pada suku fase linier 2πix₁σ

Fungsi delta dapat dipergunakan untuk transformasi fungsi kosinus dan sinus Tinjau: ) 2 sin( 2 ) ( ) ( ) ( ( ) 2 cos( 2 ) 2 exp( ) 2 exp( ) 2 exp( ) ( ) 2 exp( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                     x i f x x x x x F x x x dx x i x x dx x i x x f x x x x x F                   





      Transformasi Fourier

Untuk sejumlah n buah fungsi delta (n) dengan selang Δx

Fungsi Shah (III)

Transformasi III: sejumlah  fungsi delta,



  







n

n

x

n

x

x

III

(

)



(

),

:

bilangan

bulat



 _  ( ) ) ( x n III







Selang antar puncak pada

Cuplik & jendela data

Penggunaan III(x): Perkalian dg suatu fungsi kontinu yg hasilnya sama dengan apabila fungsi dicuplik (sampled) pada titik-titik x=nΔx

)

(

)

(

)

(



III



F



D



Profil garis yang

diukur

Fungsi garis spektrum

Jendela data : Fungsi kotak (B) yang

merepresentasikan rentang pengambilan data (t, λ,x,..)







Transformasi Fourier 13

Konvolusi

 Transformasi Fourier dari suatu perkalian fungsi

)

(

)

(

x

G

x

F

Perkalian fungsi

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

_{1 1}

















g

f

K

d

g

f

K















 

Arti konvolusi: K(σ) dievaluasi titik demi titik, integrasi dilakukan thd

σ₁ dengan σ tetap. Fungsi g(σ- σ₁) digeser sebesar σ thd f(σ) ke arah kiri. Perkalian f(σ) dan g(σ- σ₁) dibentuk dan luas daerah perkalian = K(σ). Perubahan σ pergeseran g(σ- σ₁) ke posisi baru

Transformasi Fourier 15

Konvolusi fungsi



Transformasi fungsi  terhadap seluruh σ  nilai =1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1 1

F

x

x

x

x

x

F

x

F

x

x

F

















 F(x) berpindah sejauh posisi fungsi 

Konvolusi fungsi gaussian dan profil dispersi



     

 1 exp( )exp(2 ) exp( ) ) ( ₂ 2 2 2 2          x ix g

Dua gaussian yang dikalikan:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ), exp( ) exp( ) exp( ) ( ) ( b a c c b a b a g g                      _{Konvolusi 2 gaussian}

menghasilkan gaussian lain

Konvolusi 2 profil dispersi (a dan b) menghasilkan profil dispersi baru dengan lebar paro

b a

c





Konvolusi gaussian dan profil dispersi  Fungsi Voigt

)

2

exp(

)

(

1

)

(

)

exp(

)

(

)

exp(

1

)

(

2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1















































f

x

x

F

g

x

x

G

)

2

exp(

)

exp(

)

(









₁2



2





₂



v

Transformasi Fourier 17

Aplikasi astronomi: Deteksi obyek

Lihat:

Adinugroho, A.S. 2005, TA, Dep. Astronomi, FMIPA, ITB

Teorema resolusi

Keterbatasan instrumen  waktu, lebar pita, jendela pengukuran, dll Tinjau :

Data D(x) diukur dari fungsi masukan F(x) via daerah W (didefinisikan oleh kotak satuan B(x)

W

W

W

b

f

b

d

x

F

x

B

x

D













sin

)

(

dan

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(











Transformasi Fourier 19

Bagi b(σ) ciri yang tajam dalam f(σ) merupakan pulsa  konvolusi menyebabkan musnah.

Untuk memisahkan ciri tajam dalam f(σ) : lebar W  1/W < lebar ciri tajam

Keterbatasan bentang (span) pengukuran ril: Komponen frekuensi tinggi akan ‘hilang’ oleh transformasi Fourier  frekuensi yang meliputi d(σ) dengan x < W yang eksis

Tinjau

Anggap B(x) sangat lebar  b(σ)  impuls, sehingga

Jarak antara fungsi-fungsi  dalam III(σ) = 1/Δx Konvolusi f(σ) dan III(σ):

Sampling dan aliasing

)

(

)

(

)

(

)

(



b



III



f



d







)

(

)

(

)

(



III



f



d



) ( ) ( 5 . 0 utk 0 ) (  f  III  x f       Menghasilkan f(σ) yg terpisah-pisah Δx

Transformasi Fourier 21

Parameter Frekuensi pancung (Nyquist frequency)

Mengatasi aliasing

D(x): Besaran yang diukur, d(σ) dihitung amplitudo f(σ) pada σ σ_N tdk dapat diketahui.

Secara umum f(σ) << utk σ >>

1. f(σ)0, σ σ_N : Hitung d(σ), konstruksi kembali F(x) dg mengambil invers d(σ) untuk σ_Nσσ_N

2. Kasus ‘tumpang tindih’  tidak ada solusi unik

x N    0.5  Ulangi pengukuran dg selang data (Δx) diperkecil

Metode numerik transformasi Fourier

Referensi:

1. Press et al. 1993 “Numerical recipes: The art of scientific computing”, Cambridge Univ. Press

2. Gray 1992 “The Observation and analysis of stellar photosphere”, Cambridge Univ. Press

3. Bloomfield 1976 “Fourier analysis of time series: An introduction”, John Wiley & Sons

4. Brault & White 1971 Astron. & Astrophys. 13, pp. 169-189

 Awal perhitungan numerik: Formula kuadratur untuk memecahkan integral f(σ) dan F(x)

Transformasi Fourier 23

Kebutuhan algoritma Cooley-Tukey:

1. Titik-titk sepanjang kurva fungsi yang akan ditransformasikan

N=pangkat 2 bilangan bulat. N=2n_{, n}=1,2,….

2. Titik-titik tersebar dengan interval absis yang seragam

Tinjau data utk ), 1 ( 0 : interval, : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( N j N j x j D x j D x D F III B D              













          1 0 ) ( 2 exp ) ( 2 exp ) ( ) ( N j j x x j i j D x ix x D d     

Nyatakan σ=kΔσ, Δσ: selang titik-titik pada d(σ), k: bilangan bulat



      1 0 ) 2 exp( ) ( ) ( ) ( N x x ijk j D k d d







Frekuensi tertinggi yang dapat diharapkan untuk memperoleh informasi:

Asumsi: Jika terdapat N titik yang mendefinisikan D(x)  N nilai dari d(σ) dihitung

Implikasi: Jika d(σ) membentang simetri dlm σ  ada N/2 titik di sekitar 0: x N  _ 2 1  N x xN N N 1 1 2 /          













1 0

/

2

exp

)

(

)

(

N

x

N

ijk

j

D

k

d

_{Teknik transformasi (& invers}

Transformasi Fourier 25

Rambatan derau antar domain dlm

transformasi Fourier

Nyatakan E(x): galat pengukuran F(x), sehingga

Teorema

:

( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( 0 0    f e f x E x F x F     





     



e



d



dx

x

E

2

(

)

2

(

)

Pengukuran dilakukan dalam rentang terbatas : L  rentang nilai σ transformasi: ±l



 



  L x x d e dx x E 0 0 2 / 2 / 2 2 ) ( ) (    

x₀ : harga awal. Dapat ditulis

L

e

L

E

2



2 Relasi fundamental

Data yang ditransformasikan biasanya berbentuk numerik. Jika digunakan transformasi Fourier cepat (FFT), untuk N data yang berselang sama Δx, maka (*) menjadi

Definisikan simpangan baku x

xN L e x x E N N N j j        







 5 . 0 2 , ) ( ) ( 1 0 1 0 2 2    

L

s

L

s

N

e

s

N

x

E

s

x N j N j x

































































 



2 2 2 / 1 1 0 2 2 / 1 1 0 2

1

(

)

(

;

)

1

(

)

(