ABSTRAK
Untuk menemukan matching maksimum pada graph tak berarah dapat diformu-lasikan sebagai masalah rank matriks. Matriks Tutte dipopulerkan oleh Tutte sebagai gambaran sebuah graph tak berarah, yang memiliki rank sama untuk bi-langan maksimum verteks penutup oleh matching. Matriks Tutte sendiri memi-liki entri-entri indeterminan.
iv
ABSTRACT
Finding the maximum size of a matching in an undirected graph and in a directed graph can be formulated as matrix rank problems. The Tutte matrix, introduced by Tutte as a representation of an undirected graph, has rank equal to the maximum number of vertices covered by a matching in the associated graph. The Tutte matrix have indeterminate entries.
v
DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii PENGHARGAAN iii ABSTRAK iv ABSTRACT v DAFTAR ISI vi
DAFTAR GAMBAR viii
BAB
1. PENDAHULUAN 1
1.1. Latar Belakang Masalah 1
1.2. Perumusan Masalah 3 1.3. Tujuan Penelitian 3 1.4. Manfaat Penelitian 3 1.5. Metode Penelitian 3 2. LANDASAN TEORI 4 2.1. Matriks 4 2.2. Vektor 5 2.3. Kombinasi Linier 6
2.4. Vektor-Vektor Bebas Linier 7
2.5. Dekomposisi Matriks 17
vi
3. HASIL DAN PEMBAHASAN 26
3.1. Formulasi Matriks 26
4. KESIMPULAN DAN SARAN 29
4.1. Saran 29
DAFTAR PUSTAKA 29
vii
DAFTAR GAMBAR Gambar
2.1 Graph dengan 6 verteks dan 10 edge 23 2.2 Graph G1∪G2, Graph G1\G2, Graph G1∩G2 24
viii
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi saat ini, terkadang san-gatlah sulit untuk menyelesaikan suatu permasalahan yang timbul dengan meng-gunakan konsep-konsep yang sudah ada. Untuk itu graph yang merupakan salah satu bagian ilmu matematika yang dapat digunakan untuk mencari solusi yang diharapkan.
MatriksTutte dikenalkan oleh Tutte sebagai gambaran sebuah graph den-gan edge yang tidak berarah. Besarnya verteks yang tertutup oleh match-ing maksimum pada graph tak berarah adalah sama dengan rank dari matriks Tutte. Gambaran mengenai matriks ada hubungannya terhadap struktur graph dan akan digambarkan dalam bab berikutnya, diperlukan aljabar linier untuk pengembangannya. Entri pada matriks Tutte adalah indeterminan (tak tentu) dan metode umum untuk mengevaluasi bentuk tak tentu tadi digambarkan dalam masalah rank matriks sedemikian sehingga evaluasi matriks memiliki rank sama sebagai korespondensi matriks tak tentu akan ditunjukkan dalam skripsi ini.
Misalnya untuk permasalahan graph maupun directed graph untuk menye-lesaikan aplikasinya terkadang sulit disemenye-lesaikan langsung melalui definisi atau diselesaikan dengan menggunakan matriks dan sifat-sifatnya. Karena graph atau digraph dapat disajikan sebagai matriks dan menurut Kerry Web untuk menen-tukan ukuran atau besarnya maksimum dari matching pada suatu graph tak berarah dapat diformulasikan sebagai masalah rank matriks. Sedangkan be-sarnya rank matriks bergantung pada entri-entri dari matriks tersebut, sehingga
2 dalam hal ini penulis tertarik untuk membahas sifat-sifat dari rank matriks atau rank dari submatriks, sehingga penulis tertarik membuat judul”Masalah Rank Matriks dan Graph”.
1.2 Perumusan Masalah
Mencari besarnya rank dari suatu matriks dan menuliskannya ke dalam graph. 1.3 Tujuan Penelitian
Mengkaji tentang besarnya rank suatu matriks, khususnya matriks dari suatu graph
1.4 Manfaat Penelitian
Selain untuk memperkaya literatur dalam bidang graph dan hasil penelitian ini juga dapat menambah wawasan terutama tentang perluasan matriks.
1.5 Metode Penelitian
Tulisan ini dibuat berdasarkan studi literatur dan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut:
1. Memaparkan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan rank matriks .
2. Memaparkan beberapa definisi dari graph 3. Mencari besarnya rank dari matriks
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Matriks
Matriks adalah adalah suatu kumpulan elemen atau entri yang tersusun dalam suatu susunan persegi panjang atau bujur sangkar yang terdiri dari beberapa baris dan kolom, seperti bentuk
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . am1 am2 . . . amn
(2.1) atau disingkat dengan : (aij), i= 1,2,· · · , m j = 1,2,· · · , n (2.2) Matriks (2.1) disebut matriks tingkat m × n, atau disingkat matriks m × n, karena terdiri dari m baris dan n kolom. Setiap aij disebut entri(elemen) dari matriks itu, sedang indeksi dan j berturut-turut menyatakan baris dan kolom. Jadi elemenaij terdapat pada baris ke-i, kolom ke-j. Pasangan bilangan (m,n) disebut dimensi(ukuran atau bentuk) dari matriks itu.
Pada umumnya matriks disingkat dan dinyatakan dengan huruf besar, sedang entri-entri matriks dengan huruf kecil. Untuk membedakan matriks dit-ulis dengan: A1, A2,· · ·, An atau A, B,· · · , X, Y, Z.
Kejadian khusus dari persamaan (2.1)
1. Jika m = 1, matriks hanya terdiri dari satu baris yang disebut matriks baris atau vektor baris, misalnya:
A= (a11, a12,· · · , a1n)
2. Jika n = 1, matriks hanya terdiri dari satu kolom yang disebut dengan matriks kolom atau vektor kolom, misalnya:
a11 a21 · · · am1
3. Jika m = n matriks disebut kuadrat n ×n atau tingkat n. Dalam hal ini entri-entri aii, i = 1,2,· · · , n disebut entri-entri pada diagonal pokok. Jumlah entri-entri pada diagonal suatu matriks disebutTracedari matriks itu yang disingkat dengan Tr(A), jadi:
n
X
i=1
, aii=a11+a22+· · ·+ann
4. Setiap entri dari suatu matriks dapat dipandang sebagai matriks 1×1. 5. Jika entri-entri suatu matriks semuanya sama dengan nol, maka disebut
matriks nol.
2.2 Vektor
Vektor dapatlah dipandang sebagai himpunan besaran-besaran dengan index yang jelas (untuk menunjukkan lokasinya dalam himpunan itu). Masing-masing besaran disebut elemen vektor tersebut. Misalnya, diberikan vektor ¯a. Elemen (pada lokasi) ke-i dari vektor ¯a dilambangkan oleh ai. Vektor ¯a dengan cacah elemen n buah ditulis lengkap sebagai deretan nilai ai, dengan i = 1,2, ..n, membentuk satu kolom seperti dibawah ini:
¯ a= a1 a2 · · · an
Vektor seperti itu disebut vektor-kolom. Jika elemen-elemen tersebut di-tulis berderet membentuk satu baris, maka vektor itu disebut vektor-baris. Ke-cuali disebut dengan jelas, vektor senantiasa dimengerti sebagai vektor-kolom.
6 Vektor tersebut diatas ditulis ¯a = a1 , i ≡ 1,2, ..., n, dengan simbul ≡ dapat dibaca sebagai didefinisikan dengan. Jadi jika misalnya ai ∈ R, yaitu bahwa ai bernilai real, maka secara ringkas dapat ditulis pula ¯a ∈Rn. Dalam konteks ini Rn adalah semesta angka real berdimensi n. Vektor ¯a dengan n = 1 tentulah sama dengan besaran biasa. Jika n = 2, maka vektor tersebut ada dalam R2, ruang real berdimensi dua, dan oleh karena itu juga diwakili oleh sebuah titik dalam salib sumbu Kartesian tersebut. Hal yang sama berlaku untuk vektor dengan n = 3,4,· · ·
2.3 Kombinasi Linier
Jika ¯a = (a1, a2, a3) dinotasikan dengan ¯a =a1¯i+a2¯j+a3k. Dalam hal ini kita¯ sebut bahwa vektor ¯a dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari tiga vektor ¯i,¯j, dan ¯k. Secara umum, misalkan diketahui vektor ¯u1,u2,¯ · · · ,uk¯ dan vektor
¯
a disebut dengan kombinasi linier dari vektor - vektor ¯u1,u2,¯ · · · ,uk¯ jika ada bilangan s1, s2,· · · , sk sehingga berlaku
¯
a=s1u1¯ +s2u2¯ +· · ·+skuk¯.
Definisi ini berlaku untuk vektor di bidang maupun di ruang.
Contoh :
Diketahui vektor ¯u1 = (2,−1,−3) dan ¯u2 = (−1,5,−2). Jika mungkin, tuliskan vektor ¯b= (4,7,5) sebagai kombinasi linier dari vektor ¯u1 dan ¯u2.
Jawab :
Untuk menuliskan vektor ¯b sebagai kombinasi linier dari vektor ¯u tersebut, kita cari x1 dan x2 sehingga
x1u1¯ +x2u2¯ = ¯b atau x1 " 2 −1 3 # +x2 "−1 5 −2 # = "4 6 5 #
Berdasarkan operasi vektor dan kesamaan vektor kita dapat membentuk sistem Universitas Sumatera Utara
persamaan linier berikut
( 2x1 − 1x2 = 4
−1x1 + 5x2 = 7 3x1 − 2x2 = 5 Matriks lengkap dari sistem persamaan linier ini adalah
" 2 −1 4
−1 5 7
3 −2 5
#
Dengan eliminasi Gauss, kita peroleh jawab sistem persamaan linier yaitux1 = 3 dan x2 = 2. Jadi vektor ¯b dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari vektor ¯u, yaitu ¯b= 3 ¯u1+ 2 ¯u2
2.4 Vektor-Vektor Bebas Linier
Diketahui vektor ¯u1,u2¯,· · ·,uk¯. Berhasil atau tidaknya suatu vektor ¯b ditulis sebagi kombinasi linier dari vektor ¯u berkaitan dengan konsistensi suatu sistem persamaan linier yang kolom dari matriks koefisiennya adalah vektor ¯u. Sekarang kita akan mencari syarat dari vektor ¯u1,u2,¯ · · ·,uk¯ sehingga penulisan ¯bsebagai kombinasi linier dari vektor ¯utersebut tunggal. Untuk itu kita misalkan ¯bdapat dituliskan sebagai
¯b=s1u1¯ +s2u2¯ +· · ·+skuk¯ dan ¯b=t1u1¯ +t2u2¯ +· · ·+tkuk¯ atau
0 = (s1 −t1) ¯u1+· · ·+ (sk −tk) ¯uk
Jika penulisan kombinasi linier tersebut tunggal, ini berarti bahwa persamaan terakhir ini hanya dipenuhi oleh s1 = t1, s2 = t2,· · · , sk = tk. Kumpulan vek-tor yang bersifat seperti ini disebut kumpulan yang bebas linier yang secara resmi didefinisikan sebagai berikut: Kumpulan vektor {u1, ,¯ u2,¯ · · ·,uk¯} disebut kumpulan bebas linier jika persamaan
s1u1¯ +s2u2¯ +· · ·+skuk¯ = 0
8 hanya dipenuhi oleh s1 = s2 = · · · =sk = 0 Sedangkan kumpulan vektor yang tidak bebas linier disebut kumpulan vektor yang bergantung linier.
2.4.1 Rank Matriks dan Matriks Nonsingular.
Rank dari sebuah matriks dapat didefinisikan dalam beberapa cara. Kita meng-gunakan definisi ini di mana dapat diuraikan ekuivalensi antara rank dengan baris atau kolom yang bebas linier. Rank matriks A adalah bilangan maksi-mum kolom-kolom bebas linier di A. Hal sama juga berlaku, yakni rank dari sebuah matriks adalah bilangan maksimum dari baris-baris bebas linier. Ma-triks A dikatakan mempunyai rank m jika ada suatu submatriks M(m × m) dari A sedemikian sehingga determinan dari M tidak berharga nol dan setiap determinan dari submatriks r×r (di mana r ≥ m+ 1) dari A berharga nol, misalnya A = 2 −3 1 4 −1 0 −2 3 1 −1 1 −1 !
Dengan menghilangkan kolom ke-4 diperoleh submatriks A =
2 −3 1 −1 0 −2 1 −1 1 ! 2 −3 1 −1 0 −2 1 −1 1 = 0
Tetapi jika kolom pertama dariA dihilangkan, maka diperoleh submatriks:
−3 1 4 0 −2 3 −1 1 −1 ! −→ −3 1 4 0 −2 3 −1 1 −1 =−8 6= 0
Karena submatriks yang determinannya tidak nol ini berdimensi 3, maka rank dari A, ditulisr(A) = 3.
C= 2 0 0 0 3 0 0 0 4 ! ; −→r(C) = 3 D = 1 3 3 1 4 3 1 3 4 ! ; −→r(D) = 3
Matriks persegi yang determinannya tidak dengan nol dikatakan mempu-nyai rank atau matriks nonsingular. r(C) danr(D) mempunyai rank penuh atau
nonsingular.
Suatu matriks dikatakan singular jika nilai nilai determinannya sama den-gan nol. Jika suatu matriks bujur sangkar mempunyai determinan yang tidak nol, matriks tersebut disebut matriks nonsingular. Ketika suatu matriks sin-gular, maka berarti tidak semua baris atau tidak semua kolom matriks bebas antara satu dengan lainnya. Ketika matriks digunakan untuk merepresentasikan sekumpulan persamaan aljabar, kesin-gularan matriks berarti bahwa persamaan ini tidak bebas antara satu dengan lainnya.
Andaikan A = (aij) adalah sebuah matriks ukuran n ×m dengan baris R dan kolom C, jika X ⊆R lalu A[X;Y] menunjukkan submatriks A di mana menggunakan barisX dan kolom Y, komplemen dariX, R\X dinotasikan den-ganX danY =C\Y. Submatriks nonsingular A[X;Y] dikatakan maksimaljika untuk setiapx∈R dan y ∈Y submatriks terbesar A[X ∪x;Y ∪y] singular.
Pilihlah X ⊆R dan Y ⊆C sedemikian sehingga A[X;Y] adalah nonsin-gular. Sebagai contoh pilih X = Y = ∅. Ketika terdapat x ∈ X dan y ∈ Y sedemikian sehingga A[X ∪x;Y ∪ y] nonsingular , maka gantikan X dengan X∪ {x}dan Y dengan Y ∪ {y}.
Teorema 2.1 . Besar dari submatriks nonsingular maksimal A adalah sama dengan rankA
Bukti. Andaikan A[X;Y] menjadi submatriks nonsingular maksimal A. Jika X = R atau Y = C maka teorema jelas, jadi asumsikan X ⊂ R dan Y ⊂ C. Andaikan x∈ X y∈ Y, karena A[X ∪x;Y ∪y] adalah singular, baris x adalah ruang baris dari A[X;Y ∪y]. Ini benar untuk semua x ∈ X dan juga dengan mengambil perkalian yang cocok dari barisX, semua entri yang ada diA[X;Y∪y] dapat dieliminasi. Jika ˜A=(aij) menunjukkan matriks˜ Asetelah eliminasi Gauss
10 dari A[X;Y ∪y], lalu karena eliminasi Gauss tidak mempengaruhi rank, maka rank ˜A = rank A. Ada eksistensii ∈X dan j ∈ Y sedemikian sehingga(aij)˜ 6= 0, lalu
det ˜A[X ∪i;Y ∪j] = ±˜aij det A[X;Y]6= 0 ˜
A[X∪i;Y ∪j] adalah nonsingular, di mana ini adalah sebuah kontradiksi, sehingga (aij˜) = 0 untuk setiapi∈X, j ∈Y¯ dan rank A = rank A[X;Y].
2.4.2 Submodular.
Submodular adalah himpunan dari semua himpunan bagian pada himpunan berhingga X (disebut dengan 2X). Fungsi f : 2X → A dikatakan submodu-lar jika memenuhi pertidaksamaan :
f(A) +f(B)≥f(A∩B) +f(A∪B) di mana untuk setiap A, B,⊆ X
Teorema 2.2 . Rank pada himpunan kolom-kolom sebuah matriks adalah sub-modular.
Bukti. Andaikan M sebuah matriks dengan baris dan kolom masing-masing X dan Y dan A, B ⊆ Y. Andaikan Z sebuah himpunan maksimal dari kolom-kolom bebas linier diM[X;A∩B] dan berkisar dari Z ke ˜Z, di mana ˜Z adalah himpunan maksimal dari kolom-kolom bebas linier diM[X;A∪B]. Maka
rank (A∪B) = |Z˜| = |Z˜∩A|+|Z˜∩B| − |Z˜∩(A∩B)| = |Z˜∩A|+|Z˜∩B| − |Z˜| - |Z˜∩A|+|Z˜∩B|- rank (A∩B) (2.1) ˜
Z∩A dan ˜Z∩B adalah bebas linier, oleh karena itu
|Z˜∩A|+|Z˜∩B| ≤rankA+ rankB (2.2) Submodular mengikuti aturan (2.1) dan (2.2)
Himpunan semua matriks F ditunjukkan oleh MF. Fungsi f : MF → A
adalah submodular jika memenuhi pertidaksamaan:
f(A[X1;Y1]+f(A[X2;Y2])≥f(A[X1∩X2;Y1∪Y2])+f(A[X1∪X2;Y1∩Y2]) berlaku untuk setiap A ∈ MF dan semua himpunan bagian baris-baris X1, X2
dari A dan semua himpunan bagian kolom-kolomY1, Y2 dari A.
Teorema 2.3 . Rank adalah submodular.
Bukti. Andaikan A = (aij) ∈ MF, di mana F adalah daerahnya. Andaikan
X dan Y baris dan kolom dari A dan asumsikan X1, X2 ⊆ X dan Y1, Y2 ⊆ Y. Anggap
B =
I |A
di mana I adalah matriks identitas, dan X adalah indeks baris dan kolom I. Untuk setiapX0 ⊆X dan Y0⊆Y sehingga menjadikan persamaan :
rankA[X0;Y0] = rank B[X;Y0∪X0] di dalam partikular
rank A[X1;Y1] = rank B[X;Y1∪X1]−[ ¯X1] rank A[X2;Y2] = rank B[X;Y2∪X2]−[ ¯X2]
rank A[X1∩X2;Y1 ∪Y2] = rank B[X; (Y1∪Y2)∪(X1 ∪X2)]− |X1∪X2| rank A[X1∪X2;Y1 ∩Y2] = rank B[X; (Y1∩Y2)∪(X1 ∩X2)]− |X1∩X2|
(2.3)
Dari teorema 2.2, ini berarti bahwa
rank B[X;Y1 ∪X1]+ rank B[X;Y2 ∪X2] ≥ rank B[X; (Y1 ∪X1)∪(Y2 ∪X2)] (2.4)
|X1|+|X2|=|X1∩X2|+|X1∪X2|dan (Y1∩Y2)∪(X1∪X2)⊆(Y1∪X1)∩(Y2∪X2)
Dengan teorema 2.3 dapat dibuktikan bahwa submatriks yang terbentuk oleh pertemuan himpunan maksimal baris-baris bebas linier dengan himpunan maksimal kolom-kolom bebas linier adalah nonsingular.
12 Corollary 2.4 . JikaX adalah himpunan maksimal baris-baris bebas linier pada sebuah matriks A, dan Y adalah himpunan maksimal kolom-kolom bebas linier di A, maka A[X;Y] adalah nonsingular.
Bukti. AndaikanR menjadi himpunan untuk baris-baris diA danC himpunan kolom-kolomnya. Dengan submodular :
rankA[X;Y] + rankA≥rankA[X;C] + rankA[R;Y] Karena X dan Y adalah himpunan bebas linier maksimal,
rankA[R;Y] = rankA[X;C] = rankA
Sehingga A[X;Y] memiliki rank yang penuh.
2.4.3 Matriks Simetris.
Matriks simetris adalah matriksA n×ndi mana matriksnya sama dengan trans-pose nya: A=AT. Matriks simetris miring(skew-symmetric) adalah negatif dari transposenya: A=−AT.
Jika A adalah matriks dengan baris dan kolom di V, dan X ⊆ V, ma-ka A[X;X] adalah submatriks principal dari A. Submatriks principal A[X;X] dinotasikan denganA[X].
Teorema 2.5 . JikaA adalah matriks skew-symmetric danX adalah himpunan maksimal baris-baris bebas linier A, maka A[X] adalah nonsingular.
Bukti. Dengan simetris, X juga adalah sebuah himpunan maksimal kolom-kolom bebas A. Teorema kemudian megikuti Corollary 2.4
Dengan catatan bahwa teorema 2.5 tidak dapat dijadikan pegangan pada saat A tidak simetris, hal ini ditunjukkan oleh baris pertama pada (0 1
0 2).
Corollary 2.6 . Submatriks nonsingular terbesar pada matriks simetris atau matriks skew-symmetric sama dengan rank dari matriks.
Bukti. Andaikan A sebuah matriks simetris atau skew-symmetric. Rank A adalah batas atas pada ukuran submatriks nonsingular. Dari teorema 2.5, ada sumatriks yang ukurannya sama untuk rank A.
Dua hal yang menjadi determinannya adalah detA[X]= detA[X]T dan det (−A[X])= (−1)|X|det A[X].
Corollary 2.7 . Matriks skew-symmetric memiliki rank genap.
Bukti. Jika A adalah skew-symmetric, maka A[X] = −A[X]T. Dari perny-ataan di atas determinannya memenuhi bahwa submatriks principal nonsingular A harus memiliki ukuran lengkap. Hasilnya kemudian mengikuti aturan pada
corollary 2.6.
2.4.4 Nonsingular dari Jumlah Dua Matriks.
Andaikan A dan B matriks n×n, setiap kolom diA kecuali untuk satu adalah sama korespondensinya di kolom B. Andaikan C matriks n×n dengan kolom sama keA dan B, dan pada satu kolom terdapat perbedaan A dan B. Kolom korespondensi C adalah sama dengan jumlah kolom di A dan kolom di B. Se-bagai contoh, jika A= (v1 v2 a3 v4) dan B = (v1 v2 a3+b3 v4). Persamaan untuk
fungsi determinannya adalah
detA+ detB = detC
Indeks dari baris dan kolomAdanB adalahV ⊂Zdan untukX ={x1, ..., xk} ⊆
V dan Y ={y1, ..., yk} ⊆V, didefinisikan sign(X, Y) menjadi (−1) ki=1(xi+yi)
14 Teorema 2.8 . Jika A= (aij) dan B = (bij), di mana i, j ∈V, maka
det(A+B) = X
Y ⊆V
X Y ⊆V
|Y|=|X|
sign(X, Y)detA[X;Y]detB[X;Y]
Bukti. UntukX ⊆V, definiisiCX = (Cij) keV ×V matriks, di mana cij =
aij,jikai∈X bij,jikai∈X
CX[X;V] = A[X;V] dan CX[ ¯X;V] = B[ ¯X;V]. Sedangkan penggunaan deter-minan pada barisA+B sebagai berikut:
det (A+B) = P
X⊆V
detCX (2.5)
UntukX, Y ⊆V, definisi DX,Y = (dij) menjadiV ×V matriks, di mana
dij =
( aij, jikai∈X; danj ∈Y;
bij, jikai∈X; danj ∈Y; 0, untuk yang lainnya.
MakaDX,Y[X;Y] = A[X;Y] danDX,Y[X;Y] =B[X;Y]. semua entri-entri yang lain dari DX,Y adalah nol, sehingga DX,Y adalah singular dan |X| 6=|Y|
penggunaan ulang dari determinan pada kolom CX diberikan sebagai berikut : detCX = X Y ⊆V |X|=|Y| detDX,Y (2.6) Pada saat|X|=|Y|, maka
det DX,Y =±detA[X;Y]detB[X;Y]
(2.7)
2.4.5 Pfaffians.
AndaikanX himpunan terbatas dan andaikan himpunan bagian X1, ..., Xk ⊆ X
adalah disjoint dan tidak kosong. Jika X gabungan himpunan Xi, maka Π = X1, ..., Xk adalah partisi dariX. UntukX ={1, ...,2n}, andaikan P(2n) adalah himpunan partisiX yang saling berpasangan. Sebagai contoh,
P(4) ={{(1,2),(3,4)},{(1,3),(2,4)},{(1,4),(2,3)}}
Untuk Π ={(i1, j1), ...(in, jn)} ∈ P(2n), definisi σΠ menurut permutasi : σΠ =
1 2 . . . 2n−1 2n i1 j1 . . . in jn
Tanda dari σΠ ditulis sign(Π). Permutasi 1 2 3 4 i1 j1 i2 j2 dan 1 2 3 4 i2 j2 i1 j1 memiliki sign yang sama. Menukar perintah/aturan dalam matriks akan mempengaruhi fungsi sign oleh faktor -1: sign 1 2
i1 j1 = -sign 1 2 i1 j1 .
AndaikanA= (aij) matriks skew simetri 2n×2ndan andaikan Π∈ P(2n), definisi dari
aΠ= sign(Π)ai1j1. . . ainjn
Faktor -1 yang terjadi pada saat penukaran Π dalam pasangan (ik, jk) di cancel dengan -1 yang datang dari ajkik =−aikjk, sehingga aΠ terdefinisi dengan baik.
Pfaffian A didefinisikan sebagai :
pfA= X Π∈ P(2n) aΠ Sebagai contoh, pf
0 a12 a13 a14
−a12 0 a23 a24
−a13 −a23 0 a34
−a14 −a24 −a34 0
=a12a34−a13a24+a14a23
JikaAadalahm×mdanmganjil, makaP(m) adalah kosong dan pfAidentitas 0. Menurut dua teorema hubungan Pfaffian A dengan determinan A akan di gambarkan sebagai berikut :
Teorema 2.9 (Cayley). Jika A adalah matriks skew-simetri, maka det A = (pf A)2
16 Teorema 2.10 . Jika A = (aij) adalah matriks skew-symmetric dengan baris dan kolom X, maka
n
X
i=2
(−1)1+ia1ipf A[X\(1∪i)]
2.5 Dekomposisi Matriks
Matriks dari M = (mij) dikatakan avoidable jika Baris atau kolomnya dapat dihilangkan tanpa merubah rank matriks M tersebut. Artinya baris avoidable merupakan kombinasi linier dengan baris lain diM.
Anggap baris dan kolom masing-masing X dan Y, di mana X dan Y adalah disjoint. Jika U ⊆X dan V ⊆Y, maka M\(U ∪V) merupakan matriks M dengan baris U dihilangkan dan kolom V dihilangkan adalah M\(U ∪V) = M[X\U;Y\V]. Jika y ∈ U ∪V dan y tidak avoidable, maka y unavoidable dan rank M\y = rank M −1. Ada dua kemungkinan berkenaan dengan him-punan avoidable M\y dibandingkan dengan himpunan di avoidable M: Baris atau kolom yang avoidable sebelumy dihilangkan akan masih avoidable setelah penghapusan y, dan oleh karena itu himpunan avoidable tidak berkurang, tetapi baris ataupun kolom yang unvoidable diM boleh menjadi avoidable di M\y.
Menurut dekomposisi matriksM dari Geelen : D(M) ={x∈X ∪Y : rankM\x= rankM}
A(M) ={x∈X ∪Y :D(M\x) =D(M)}
C(M) = (X ∪Y)\(D(M)∪A(M))
Baris-baris avoidable M dinotasikan dengan DR(M), dan DC(M) merupakan kolom-kolom avoidable. Sama halnya dengan,
AR(M) =A(M)∩X AC(M) =A(M)∩X CR(M) =C(M)∩X CC(M) =C(M)∩Y
D, C dan A digunakan masing-masing untuk D(M), C(M) dan A(M). Rank
18 matriks M = 0 0 1 1 0 0 −1 −1 0 0 2 3 1 5 0 −1 (3.1) memiliki dekomposisi
Teorema 2.11 . Jika W adalah himpunan baris dan kolom dalam matriks M, maka
rankM ≤rank M\W +|W|
Lemma 2.12 . Jika x unavoidable di M, maka D(M) ⊆ D(M\x), lebih khususnya
(i) jika x∈A(M), maka D(M\x) =D(M)
(ii) jika x∈CR(M), maka DR(M) =DR(M\x)dan DC(M)⊂DC(M\x)
(iii)∀x∈CR(M), terdapapat z∈CC(M)sedemikian sehingga z ∈DC(M\x)dan x∈ DR(M\z)
Bukti.(i) Ini adalah uraian dari definisiA.(ii) Andaikan x∈CR(M). Karena x unavoidable, penghilangan xtidak mengurangi himpunan avoidable. Lebih lan-jut, karenaxtidak diA, himpunan avoidable bertambah. Penghilangan baris un-avoidable tidak mempengaruhi baris un-avoidable, sehingga elemen baru un-avoidable menjadi sebuah kolom. (iii) Andaikan x ∈CR(M) dan z ∈ DC(M\x)\DC(M). Jikax∈AC(M) makaxmenjadi unavoidable diM\z, dan rankM\{x, z}= rank M −2. Ini kontradiksi, karena z ∈ D(M\x) menyatakan rank M\{x, z}=rank M\x=rank M −1, sehingga z ∈CC(M).
Teorema 2.13 (Geelen). Jika x∈A(M) maka D(M) =D(M\x)
C(M) =C(M\x), A(M\x=A(M\x)
Bukti. Lagi, himpunan avoidable tidaklah menukar definisi. Andaikan x ∈
A(M) dan andaikan y ∈ C(M). Oleh Lemma(iii) di atas terdapat z ∈ C(M) sedemikian sehingga z ∈ D(M\y) dan karena itu z ∈ D(M\(y ∪ x)). Oleh Lemma (i),z 6∈D(M\x) dan sehingga himpunan avoidable dariM\xtidak sama dengan himpunan avoidable dariM\{x, z}. Menggunakan (ii),y ∈C(M\x) dan sehingga pada saatx∈A(M), C(M)⊆M\x). Anggap keberadaanu∈A(M)\x sedemikian sehingga u 6∈ A(M\x). Oleh Lemma (i), u adalah unavoidable di M\x dan oleh karena itu u∈C(M\x) dan
rankM\{x, u}= rankM\x−1 = rankM −2
(3.2) Oleh Lemma 3.2(iii),u ∈C(M\x) menunjukkan adanyav∈C(M\x) sedemikian sehingga v berada dalam himpunan avoidable M\{x, y}. Ini berarti
rankM\{x, v}= rank M\x−1 = rankM −2
(3.3)
rankM\{x, v, u}= rankM\{x, u}= rankM −2
(3.4) Lebih lanjutnya, v∈C(M\x) berarti v6∈ D(M) dan karena D(M\u) =D(M), mengikutiv6∈D(M\u). Oleh karena itu
rankM\{u, v}= rank M\u−1 = rankM −2
20 (3.5) Dua dari x, u, v harus di kedua kolom dan baris, tetapi semua pilihan untuk pasangan yang berada pada baris dan kolom yang sama adalah kontradiksi. Sebagai contoh, anggap x dan v kedua-duanya baris. Dari persamaan (3.5), v adalah unavoidable diM\u, dan dari persamaan (3.4),v avoidable diM\{u, x}. Ini kontradiksi Lemma 3.2, dan oleh karena itu A(M)\x⊆A(M\x).
Dengan definisi, D(M) =D(M\x)∀x ∈ A(M), sehingga jika C(M)\x ⊆
C(M\x) dan A(M)\x =A(M\x).
Dengan adanya Teorema 3.3, dekomposisi dari matriks dapat dihubungkan kepa-da ranknya.
Teorema 2.14 (Geelen). Jika M adalah matriks dengan dekomposisi D,C,A, maka
rank M =|A|+|CR|+rank M[DR;DC ∪CC]
Bukti. Dari lemma 3.3, elemenA yang dihilangkan dari M, dekomposisi yang tertinggal adalah sama. Oleh sebab itu pada saat elemen dari A dihilangkan, rank berkurang.
rankM =|A|+ rankM[DR∪CR;DC ∪CC]
(3.6) HimpunanC dan D untuk M[DR∪CR;DC ∪CC] adalah sama sebagai C dan D untukM, dan rank berkurang. Oleh Lemma 3.2(ii), penghilangan baris dari C tidak mempengaruhi baris bergantung linier, sehingga
rankM[DR∪CR;DC ∪CC] = |CR|+ rankM[DR;DC ∪CC]
(3.7) Kombinasi persamaan (3.6) dan (3.7) terangkum dalam teorema 3.4
Corollary 2.15 . Setiap baris dan kolom M[DR;DC ∪CC] adalah avoidable.
Bukti. Anggap M[DR;DC ∪CC] mempunyai kolom y. Karena semua kolom dari A telah dihilangkan, y∈ C(M[DR;DC ∪CC]). Dari Lemma 3.2, ada baris di C(M[DR;DC ∪ CC]). Akan tetapi, oleh Teorema 3.3, semua baris pada M[DR;DC ∪CC] avoidable, sehingga M[DR;DC ∪CC] tidak memiliki kolom
unavoidable.
22 Satu metode untuk menemukan evaluasi yang optimal adalah dengan menggunakan evaluasi acak, di mana indeterminan dipilih dari himpunan terbe-sar. dimulai dengan evaluasi arbitrasi, dan menggantikan harga indeterminan. Jika evaluasi tidak optimal, maka penukaran yang bertambah atau meningkat adalah sebuah perbaikan. Sebagai contoh biparti graph G memiliki matching sempurna. Dari Corollary 2.14, biparti matriks Tutte untukGadalah nonsingu-lar, tetapi evaluasi pada (4.12) adalah nonsingular
T =
zea zeb zec 0 zf a 0 0 zf d zga 0 0 zgd 0 zhb zhc zhc , 2.6 Graph
Suatu graph G adalah suatu objek yang terdiri atas dua himpunan, yakni 1. Himpunan berhingga tak kosong V. Unsur dari V disebut verteks dari G. 2. HimpunanEyang merupakan himpunan bagian dari pasangan tak berurut
dari unsur-unsur diV. Unsur dari E disebut edge dari G.
Graph G dengan himpunan verteks V dan himpunan edge E dinotasikan den-gan G(V, E). Andaikan vi dan vj adalah dua verteks pada G. Suatu edge
{vi, vj} atau juga dapat dinotasikan dengan vi − vj adalah suatu edge di G yang menghubungkan vi dan vj. Untuk selanjutnya akan dipergunakan notasi vi−vj. Dua buah verteksvi danvj dikatakanadjacentjikavi−vj adalah sebuah edge e di G dan verteks vi dan vj incedent dengan edge e. Degree dari suatu verteksvi adalah banyaknya edge yang incedent dengan verteks vi tersebut dan dinotasikan dengand(vi)
Contoh 1 : Himpunan verteks V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} bersama dengan him-punan edge E ={v1−v2, v1−v3, v2−v3, v2−v5, v2−v4, v3−v5, v4−v5, v4−v6, v5−v6, v6−v6} adalah suatu graph dengan 6 verteks dan 10 edge.
Sesuai dengan namanya, suatu graph biasanya direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks pada graph tersebut direpresentasikan sebagai suatu titik atau lingkaran kecil dan setiap edgevi−vj yang terdapat dalam graph itu direpresentasikan sebagai suatu garis atau kurva dari vi kevj. Representasi grafis graph pada Contoh 1 diperlihatkan pada gambar berikut ini.
t v1 t v2 t v5 t v3 @ @ @ @ t v4 tv6 @ @ @ @ &% '$
Gambar 2.1 : Graph dengan 6 verteks dan 10 edge
Andaikan G1(V1, E1) danG2(V2, E2) adalah suatu graph. Gabungan dari dua buah graph G1 dan G2 adalah gabungan dari himpunan verteks V1 dan V2, dan juga gabungan himpunan edge di E1 dan E2, dan dinotasikan dengan G1∪G2 = (V1∪V2, E1∪E2). Irisan dari dua buah graphG1 dan G2 adalah irisan dari himpunan verteksV1 danV2, dan juga irisan himpunan edge diE1 dan E2, dan dinotasikan denganG1∩G2 = (V1∩V2, E1∩E2). Selisih dari graph G1 dan G2 dinotasikan denganG1−G2 atauG1\G2 diperoleh dengan membuang semua verteks di V1 ∩V2 dan edge yang incedent dengan verteks tersebut. Berikut ini diberikan contoh dari gabungan, irisan, dan selisih dari dua buah graph.
Contoh 2 : Andaikan graph G1 adalah graph dengan himpunan verteks V1 =
{v1, v2, v3, v4, v5}dan himpunan edgeE1 ={v1−v2, v2−v3, v2−v4, v3−v5, v4−v5}, dan graph G2 adalah graph dengan himpunan verteks V2 = {v3, v4, v5, v6} dan himpunan edge E2 ={v3−v4, v3−v5, v4−v6, v5−v6}. Graph G1 ∪G2 adalah graph dengan himpunan verteks V1 ∪V2 = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} dan himpunan edgeE1∪E2 ={v1−v2, v2−v3, v2−v4, v3−v5, v4−v5, v3−v4, v4−v6, v5−v6}. Graph G1 ∩G2 adalah graph dengan himpunan verteksV1 ∩V2 = {v3, v4, v5,}
24 dan himpunan edge E1∩E2 = {v3 −v5}. Graph G1 \G2 adalah graph dengan himpunan verteks V1 \V2 = {v1, v2} dan himpunan edge E1 \E2 = {v1 −v2}. Berikut ini diberikan representasi dari graph pada Contoh 2.
t t t t t t t t t H H H H v1 v2 v3 v5 v4 G1 \ \ v4 v6 v5 v3 G2 t t t t t t H H H H @ @ v1 v2 v3 v5 v4 v6 G1∪G2 t t H H H H v1 v2 G1\G2 t t tv4 v5 v3 G1∩G2 Gambar 2.2 : Graph G1∪G2, Graph G1 \G2, Graph G1∩G2
Andaikan u,v ∈ V. Suatu walk dari u ke v dinotasikan dengan uv-walk atau wuv (untuk selanjutnya dipakai notasi wuv) adalah barisan verteks-verteks, u=v0, v1, . . . , vj−1, vj =vdan edge yang berhubungan,u−v1, v1−v2, . . . , vn−1−v yang disusun secara berselang-seling yang diawali dengan verteksudan diakhiri dengan verteks v. Secara umum suatu walk dari verteks u ke v dinotasikan sebagai
u=v0−v1−v2− · · · −vj−1−vj =v
Jika verteks u 6= v maka walk dikatakan terbuka dan jika u = v maka walk dikatakan tertutup. Panjang dari suatu walk wuv adalah banyaknya edge yang menyusun walk tersebut dan dinotasikan dengan `(wuv). Suatu walk dengan edge yang berbeda-beda disebut trail. Suatu path puv adalah suatu walk wuv tanpa ada perulangan verteks kecuali mungkin verteks awal dan verteks akhir dan panjangnya dinotasikan dengan `(puv). Suatu cycle adalah path dengan verteks awal sama dengan verteks akhir atau dengan kata laincycleadalah path tertutup. Suatu cycle yang panjangnya 1 disebut loop.
Perhatikan graph pada Gambar 2.1 . Berikut ini diperlihatkan contoh dari walk, trail, path, cycle dan juga loop.
1. Barisan v1 −v2 −v3 −v5 − v2 −v4 −v5 −v2 adalah walk wv1v2 dengan
panjang 7. Walk ini bukan suatu trail karena ada edge yang sama yaitu edge v5−v2.
2. Barisan v1 −v2 −v5 −v3 −v2 −v4 −v6 adalah suatu v1v6-trail dengan panjang 6. Trail ini bukan suatu path karena ada verteks yang berulang yaitu verteksv2.
3. Barisan v1−v2−v5−v4 adalah suatu path pv1v4 dengan panjang 3.
4. Barisan v1−v3−v5−v2−v1 adalah suatu cycle dengan panjang 5. 5. Barisan v6−v6 adalah suatu loop.
Selanjutnya akan diberikan suatu teorema yang menjamin bahwa setiap walk mengandung suatu path.
Teorema 2.16 Andaikan G adalah sebuah graph. Setiap walk wuv di G men-gandung suatu pathpuv.
Bukti : Andaikan W adalah suatu walk wuv dalam bentuk
u=v0−v1− · · · −vi−vi+1· · · −vj−vj+1− · · · −vk−vk+1− · · · −vm =v Jika walk W tidak ada menggunakan suatu verteks lebih dari sekali maka walk ini adalah suatu path.
