PENAKSIR UNTUK RASIO POPULASI DENGAN VARIABEL BANTU YANG DITRANSFORMASI PADA METODE PASCA
STRATIFIKASI
Marthel Lock1∗, Arisman Adnan2, Haposan Sirait2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
2 Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya, Pekanbaru 28293
∗marx3390@outlook.co.id
ABSTRACT
This article discusses three estimators of ratio population (R) of the population mean of variable X and Y in post stratified sampling scheme, using transformed auxiliary variables X. The three estimators that discussed in this article are the estimator proposed by Onyeka et al.[Open Journal Statistics 5(2015): 1-9 ]. Bias and MSE of the three estimators show by approximation MacLaurin series. Furthermore, the suitable condition for an estimator is more efficient than another estimator discovered.
Keywords: Transformed auxiliary variable, ratio of population, post stratification method
ABSTRAK
Artikel ini membahas tiga penaksir untuk rasio populasi (R) dari rata-rata populasi variabel X dan Y pada metode sampling pasca stratifikasi dengan menggunakan variabel bantu X yang ditransformasi. Ketiga penaksir yang dibahas pada artikel ini merupakan penaksir yang diajukan oleh Onyeka et al. [2]. Bias dan MSE dari ketiga penaksir ditunjukkan melalui pendekatan deret MacLaurin. Selanjutnya di-tunjukkan kondisi yang sesuai untuk suatu penaksir agar relatif lebih efisien dari penaksir lainnya.
Kata kunci: Variabel bantu yang ditranformasi, rasio populasi, metode pasca strati-fikasi
1. PENDAHULUAN
Informasi tambahan dapat digunakan untuk memaksimalkan presisi suatu penaksir parameter populasi yang sedang diamati. Peneliti sering mendapatkan informasi tambahan tersebut saat sedang melakukan observasi pada unit sampel. Informasi
tambahan yang diperoleh bisa lebih dari satu variabel. Tetapi, artikel ini hanya menggunakan satu variabel bantu, yaitu X dan variabel yang sedang diamati adalah Y . Kedua variabel dapat digunakan untuk menentukan suatu rasio pada populasi. Rasio populasi yang dimaksud adalah rasio antara rata-rata populasi variabel Y dan rata-rata populasi variabel X.
Rasio populasi yang umum digunakan adalah R = XY¯¯. Nilai R dapat ditaksir
dengan ˆR = yx¯¯, merupakan penaksir untuk R yang diperoleh dari sampel [1]. Apabila nilai ˆR tidak sama dengan nilai R, maka ˆR digolongkan kedalam penaksir bias. Tetapi, terdapat cara untuk mengurangi bias yang dihasilkan oleh ˆR, yaitu dengan menggunakan variabel bantu yang ditransformasi. Penaksir untuk rasio dengan variabel bantu yang ditransformasi telah digunakan pada metode Sampling Acak Sederhana oleh Onyeka et al. [3]. Dalam artikel ini akan dibahas tiga penaksir untuk rasio populasi dengan variabel bantu yang ditransformasi dari sampel yang diperoleh berdasarkan metode Pasca Stratifikasi, yang dapat direview dari artikel Onyeka et al. [2]. Metode Pasca Stratifikasi dipilih untuk menentukan penaksir, karena metode ini menyajikan nilai variansi yang relatif lebih kecil dari metode sampling acak sederhana.
2. PENAKSIR UNTUK RASIO POPULASI
Sampel berukuran n diperoleh berdasarkan sampling acak sederhana, kemudian unit-unit sampel di tempatkan pada stratum yang sesuai, sehingga stratum h pada sampel memiliki ukuran nh dan PLh=1nh = n, dengan L menyatakan bayak
stra-tum. Unit yang terdapat di dalam stratum h dinotasikan dengan xih untuk unit
yang berkarakter X. Variabel bantu X yang ditransformasi berdasarkan metode pasca stratifikasi dinotasikan oleh X∗ yang unitnya dinyatakan dengan
x∗ih = N ¯X − nxih
N − n (1)
dengan i = 1, 2, ...Nh dan h = 1, 2, ...L.
Rata-rata untuk x∗ih pada metode pasca stratifikasi dinyatakan dengan ¯
x∗ps = (1 + π) ¯X − π ¯xps (2)
dengan ¯xps =
PL
h=1Whx¯h adalah rata-rata sampel untuk xih dan π = N −nn . Nilai
π dapat diasumsikan akan mendekati nol apabila ukuran populasi besar. Dengan menggunakan rata-rata sampel untuk variabel X, Y , dan X∗ pada metode pasca stratifikasi, maka akan dikenalkan tiga penaksir untuk rasio, sebagai berikut
ˆ R1 = ¯ ypsx¯∗ps ¯ xpsX¯ (3) ˆ R2 = ¯ ypsX¯ ¯ xpsx¯∗ps (4) ˆ R3 = ¯ yps ¯ x∗ ps (5)
3. SIFAT-SIFAT PENAKSIR RASIO
Metode pasca stratifikasi memiliki sedikit perbedaan dengan metode sampling acak stratifikasi. Variansi rata - rata sampel berdasarkan sampling acak stratifikasi dinyatakan oleh V0(¯yst) = L X h=1 Wh2Syh2 1 nh − 1 Nh . (6)
Menurut Cochran [1], variansi rata-rata sampel berdasarkan metode pasca strat-ifikasi adalah rata-rata keseluruhan variansi pada persamaan (6), karena bervari-asinya nilai nh. Untuk memperoleh variansi sebenarnya ¯yps ditentukan dari
ekpek-tasi persamaan (6), yaitu
V (¯yps) = E ((V0y¯ps)) V (¯yps) = L X h=1 Wh2Syh2 E 1 nh − 1 N L X h=1 WhSyh2 . (7)
Untuk menyelesaikan persamaan (7), maka akan diikuti nilai dari E(n1
h) yang
digu-nakan oleh Cochran [2] untuk nh 6= 0. yaitu
E 1 nh ≈ 1 nWh + 1 − Wh n2W2 h . (8)
Selanjutnya, substitusikan hasil persamaan (8) ke persamaan (7), sehingga diperoleh
V (¯yps) ≈ 1 n − 1 N L X h=1 WhSyh2 + 1 n2 L X h=1 (1 − Wh)Syh2 . (9)
Nilai variansi pada persamaan (9) dapat didekati untuk ukuran sampel yang relatif besar [4], menjadi V (¯yps) ≈ 1 n − 1 N L X h=1 WhSyh2 . (10)
Serupa untuk mendapatkan V (¯yps varriansi dari ¯xps dinyatakan dengan
V (¯xps) ≈ 1 n − 1 N L X h=1 WhSxh2 . (11)
Diperlukan juga nilai kovariansi antara ¯xps dan ¯yps yang dinyatakan dengan
Cov(¯xps, ¯yps) = 1 n − 1 N L X h=1 WhSxyh. (12)
Untuk memudahkan dalam menentukan besar bias dan MSE, maka akan digunakan rasio error, yaitu
e0 = ¯ yps− ¯Y ¯ Y (13) e1 = ¯ xps− ¯X ¯ X . (14)
Dengan asumsi yang menggunakan persamaan (13) dan (14), adalah
E(e0) = E(e1) = 0 (15) E(e20) = N − n N n 1 ¯ Y2 L X h=1 WhSyh2 (16) E(e21) = N − n N n 1 ¯ X2 L X h=1 WhSxh2 (17) E(e0e1) = 1 ¯ X ¯Y N − n N n L X h=1 WhSxyh. (18)
Untuk menentukan bias dan MSE dari masing-masing penaksir, tiap-tiap penaksir akan dinyatakan dalam bentuk rasio error dari persamaan (13) dan (14), dan melakukan pendekatan melalui Deret Maclaurin. Bias dan MSE dari masing-masing penaksir sebagai berikut
B( ˆR1) ≈ 1 ¯ X2 1 n − 1 N [(1 + π)RMx− (1 + π)Mxy] (19) B( ˆR2) ≈ 1 ¯ X2 1 n − 1 N [1 − π + π2)RMx− (1 − π)Mxy] (20) B( ˆR3) ≈ 1 ¯ X2 1 n − 1 N [π2RMx+ πMxy] (21) M SE( ˆR1) ≈ 1 ¯ X2 1 n − 1 N [My+ (1 + π)2Mx− 2R(1 + π)Mxy] (22) M SE( ˆR2) ≈ 1 ¯ X2 1 n − 1 N [My+ (π − 1)2R2Mx− 2R(1 − π)Mxy] (23) M SE( ˆR3) ≈ 1 ¯ X2 1 n − 1 N [My+ π2R2Mx+ 2πRMxy]. (24) 4. EFISIENSI PENAKSIR
Berdasarkan hasil MSE masing-masing penaksir yang ditunjukkan oleh persamaan (22), (23), dan (24), akan ditentukan penaksir yang relatif efisien terhadap penaksir
lain, melalui selisih MSE. Selisih MSE antar penaksir diberikan pada persamaan berikut, M SE( ˆR1) − M SE( ˆR2) ≈ 1 ¯ X2 1 n − 1 N 4π)R[RMx− Mxy], (25) M SE( ˆR1) − M SE( ˆR3) ≈ 1 ¯ X2 1 n − 1 N (1 + 2π)R[RMx− 2Mxy], (26) M SE( ˆR2) − M SE( ˆR3) ≈ 1 ¯ X2 1 n − 1 N R[(1 − 2π)RMx− 2Mxy]. (27)
Hasil yang ditunjukkan oleh persamaan (25), (26), (27) dapat bernilai positif atau negatif, yang masing-masing ditentukan dari suku terakhir masing-masing selisih, maka diperoleh hasil efisiensi antar penaksir sebagai berikut,
1. Apabila nilai kovariansi antara variabel X dan Y bernilai negatif, maka pe-naksir ˆR2 dan ˆR3 merupakan penaksir yang lebih efisien daripada ˆR1.
2. Dengan kovariansi bernilai negatif dan n < 13N , penaksir ˆR3relatif lebih efisien
daripada ˆR2
3. Apabila nilai kovariansi antara variabel X dan Y bernilai positif, maka pe-naksir ˆR1 merupakan penaksir yang relatif lebih efisien daripada kedua
pe-naksir lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Cochran, W. G. 1977. Teknik Penarikan Sampel. Edisi ketiga. Terjemahan dari Sampling Techniques, oleh Rudiansyah & E. R. Osman. UI Press, Jakarta. [2] Onyeka, A. C., C. H. Izunobi & I. S. Iwueze. 2015. Estimation of Population
Ratio in Post Stratified Sampling Using Variable Transformation. Open Journal Statistics, 5: 1-9.
[3] Onyeka, A. C., A. C. Nlebedim & C. H. Izunobi. 2013. Estimation of Popula-tion Ratio in Simple Random Sampling Using Variable TransformaPopula-tion. Global Journal of Science Frontier Research, 13: 57-65.
[4] Singh. S. 2003. Advance Sampling with Theory and Application. Springer, New York.
