Solusi Sistem
Persamaan Linear
Sistem persamaan linear:
n n nn 3 n3 2 n2 1 n1 3 n 3n 3 33 2 32 1 31 2 n 2n 3 23 2 22 1 21 1 n 1n 3 13 2 12 1 11
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
⋯
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
ija
b
i n buah persamaan dengan n buah unknown jx
dan diketahui i, j = 1, 2, …, n?
x
j=
Soal:
(3)
0
z
y
x
(2)
2
3z
2y
x
(1)
6
2z
3y
2x
=
−
+
=
−
+
−
−
=
+
−
Jawab:(3)
3
2z
2.5y
(2)
1
2z
0.5y
(1)
6
2z
3y
2x
=
−
−
=
−
−
=
+
−
1
2
2z
3y
6
x
2
0.5
2z
1
y
1
z
−
=
−
+
−
=
=
+
−
=
=
eliminasi x: pers. (2) + 0.5 pers. (1) pers. (3) – 0.5 pers. (1) substitusi mundur: pers. (3) mencari z pers. (2) mencari y pers. (1) mencari x(3)
8
8z
(2)
1
2z
0.5y
(1)
6
2z
3y
2x
=
−
=
−
−
=
+
−
eliminasi y: pers. (3) – 5 pers. (2) 3 persamaan dan 3 unknownDalam bentuk matriks: Soal: Jawab:
−
=
−
−
−
−
0
2
6
z
y
x
1
1
1
3
2
1
2
3
2
−
−
=
−
−
−
3
1
6
z
y
x
2
2.5
0
2
0.5
0
2
3
2
−
−
=
−
−
8
1
6
z
y
x
8
0
0
2
0.5
0
2
3
2
1
2
2z
3y
6
x
2
0.5
2z
1
y
1
z
−
=
−
+
−
=
=
+
−
=
=
Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss mencari solusi sebuah sistem persamaan linear dengan cara seperti ditunjukkan pada contoh sebelum ini:
=
n 3 2 1 n 3 2 1 nn n3 n2 n1 3n 33 32 31 2n 23 22 21 1n 13 12 11b
b
b
b
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
n)
...,
k,
j
n;
...,
1,
k
i
1;
n
...,
1,
(k
b
a
a
b
b
a
a
a
a
a
b
b
,
a
a
1) (k k 1) -(k kk 1) -(k ik 1) (k i (k) i 1) -(k kj 1) -(k kk 1) -(k ik 1) -(k ij (k) ij i (0) i ij (0) ij=
+
=
−
=
−
=
−
=
=
=
− −
=
1) -(n n (2) 3 (1) 2 (0) 1 n 3 2 1 1) -(n nn (2) 3n (2) 33 (1) 2n (1) 23 (1) 22 (0) 1n (0) 13 (0) 12 (0) 11b
b
b
b
x
x
x
x
a
0
0
0
a
a
0
0
a
a
a
0
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
halaman berikut i ij (m) i (m) ijb
a
b
a
,
≡
,
pada langkah ke m1)
n
...,
1,
(j
a
x
a
b
x
a
b
x
1) -j -(n j -n j, -n n 1 j -n k k 1) -j -(n k j, -n 1) -j -(n j -n j n 1) -(n nn 1) -(n n n−
=
−
=
=
∑
+ = −
=
1) -(n n (2) 3 (1) 2 (0) 1 n 3 2 1 1) -(n nn (2) 3n (2) 33 (1) 2n (1) 23 (1) 22 (0) 1n (0) 13 (0) 12 (0) 11b
b
b
b
x
x
x
x
a
0
0
0
a
a
0
0
a
a
a
0
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
Substitusi mundur:Jadi, metode Eliminasi Gauss terdiri dari dua tahap:
= =
1. triangulasi: mengubah matriks A menjadi matriks segitiga (matriks B dengan begitu juga berubah)
=
X B
A atau AX = B
2. substitusi mundur: menghitung x mengikuti urutan terbalik, dari yang terakhir ( ) sampai yang pertama ( )xn x1
Pada metode LU Decomposition, matriks A ditulis ulang sebagai perkalian matriks L dan U (matriks A diurai menjadi matriks L dan U). Matriks L dan U merupakan matriks segitiga. Matriks B tidak berubah, karena matriks A tidak berubah, melainkan hanya ditulis ulang.
= = = X B A atau AX = B
LU Decomposition
A X B L U X B= U
X Y
Langkah:
1. Cari matriks L dan U sehingga A = LU. Matriks B tetap.
A
L
U =
2. Definisikan sebuah matriks kolom baru, misalnya Y, yaitu Y = UX, sehingga LY = B. Lalu hitung y dengan substitusi maju (mulai dari sampai ).
= U X
Y =
L Y B
3. Hitung x dengan substitusi mundur (mulai dari sampai ). 1 y yn n x x1 = L U X B
Jelas bahwa metode LU Decomposition pada prinsipnya sama dengan metode Eliminasi Gauss: matriks U
merupakan hasil triangulasi matriks A, yang juga mengakibatkan B berubah menjadi Y.
Mencari matriks L dan U:
nn n3 n2 n1 33 32 31 22 21 11l
l
l
l
0
l
l
l
0
0
l
l
0
0
0
l
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
1
0
0
0
u
1
0
0
u
u
1
0
u
u
u
1
3n 2n 23 1n 13 12⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
nn n3 n2 n1 3n 33 32 31 2n 23 22 21 1n 13 12 11a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
= Diperoleh:…
n)
...,
4,
(j
l
u
l
u
l
a
u
u
l
u
l
u
l
a
n)
...,
3,
(i
u
l
u
l
a
l
l
u
l
u
l
a
n)
...,
3,
(j
l
u
l
a
u
u
l
u
l
a
n)
...,
2,
(i
u
l
a
l
l
u
l
a
n)
...,
2,
(j
l
a
u
u
l
a
n)
...,
1,
(i
a
l
l
a
33 2j 32 1j 31 3j 3j 3j 33 2j 32 1j 31 3j 23 i2 13 i1 i3 i3 i3 23 i2 13 i1 i3 22 1j 21 2j 2j 2j 22 1j 21 2j 12 i1 i2 i2 i2 12 i1 i2 11 1j 1j 1j 11 1j i1 i1 i1 i1=
−
−
=
→
+
+
=
=
−
−
=
→
+
+
=
=
−
=
→
+
=
=
−
=
→
+
=
=
=
→
=
=
=
→
=
Jadi, elemen matriks L dan U dicari menurut:
1)
-n
...,
2,
i
n;
...,
1,
i
(j
l
u
l
a
u
n)
...,
2,
j
n;
...,
j,
(i
u
l
a
l
n)
...,
2,
(j
l
a
u
n)
...,
1,
(i
a
l
ii 1 i 1 k kj ik ij ij 1 j 1 k kj ik ij ij 11 1j 1j i1 i1=
+
=
−
=
=
=
−
=
=
=
=
=
∑
∑
− = − = secara bergantian:1. matriks L kolom 1, matriks U baris 1 2. matriks L kolom 2, matriks U baris 2 3. …
4. matriks L kolom (n-1), matriks U baris (n-1) 5. matriks L kolom n
Substitusi maju untuk menghitung y:
n)
...,
2,
(i
l
y
l
b
y
l
b
y
ii 1 i 1 j j ij i i 11 1 1=
−
=
=
∑
− =
=
n 3 2 1 n 3 2 1 nn n3 n2 n1 33 32 31 22 21 11b
b
b
b
y
y
y
y
l
l
l
l
0
l
l
l
0
0
l
l
0
0
0
l
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
=
n 3 2 1 n 3 2 1 3n 2n 23 1n 13 12y
y
y
y
x
x
x
x
1
0
0
0
u
1
0
0
u
u
1
0
u
u
u
1
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
Substitusi mundur untuk menghitung x:
1)
n
...,
,
(i
x
u
y
x
y
x
n 1 i n j j j i, n i n i -n n n−
=
−
=
=
∑
+ − = − −1
Kembali ke soal Jawab:
−
=
−
−
−
−
=
0
2
6
B
,
1
1
1
3
2
1
2
3
2
A
LU
A =
−
−
=
−
=
1
0
0
4
1
0
1
1.5
1
U
,
8
2.5
1
0
0.5
1
0
0
2
L
B
LY
UX,
Y
=
=
−
−
=
1
2
3
Y
Y
UX =
−
=
1
2
1
X
B
AX =
, dengan .=
X B
A
Pada kasus yang lebih umum bisa saja terdapat beberapa sistem
persamaan linear dengan nilai B yang berlainan, namun memiliki nilai A yang sama.
Dalam bentuk matriks sistem seperti ini dituliskan sebagai:
AX = B
Kasus Beberapa Sistem Persamaan Linear
atau
Keterangan: • A matriks n x n, X dan B matriks n x m, dengan m = jumlah sistem persamaan linear, n = jumlah persamaan / unknown dalam tiap sistem persamaan tersebut
• Tiap kolom matriks X merupakan solusi untuk kolom yang sama pada matriks B.
Langkah dan rumus pada metode Eliminasi Gauss dan LU Decomposition berlaku sama untuk kasus ini. Hanya saja, di sini matriks X dan B terdiri dari beberapa kolom, bukan hanya satu.
Contoh dua sistem persamaan linear yang memiliki nilai A sama tapi B berbeda.
=
n1 31 21 11 n1 31 21 11 nn n3 n2 n1 3n 33 32 31 2n 23 22 21 1n 13 12 11b
b
b
b
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
=
n2 32 22 12 n2 32 22 12 nn n3 n2 n1 3n 33 32 31 2n 23 22 21 1n 13 12 11b
b
b
b
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
=
n2 n1 32 31 22 21 12 11 n2 n1 32 31 22 21 12 11 nn n3 n2 n1 3n 33 32 31 2n 23 22 21 1n 13 12 11b
b
b
b
b
b
b
b
x
x
x
x
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋮
⋮
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
Metode Eliminasi Gauss:
m)
...,
1,
r
n;
...,
k,
j
b
a
a
b
b
n;
...,
1,
k
i
1;
n
...,
1,
(k
a
a
a
a
a
m)
...,
1,
r
n;
...,
1,
j
(i,
b
b
,
a
a
1) (k kr 1) -(k kk 1) -(k ik 1) (k ir (k) ir 1) -(k kj 1) -(k kk 1) -(k ik 1) -(k ij (k) ij ir (0) ir ij (0) ij=
=
−
=
+
=
−
=
−
=
=
=
=
=
− − ir ij (m) ir (m) ijb
a
b
a
,
≡
,
pada langkah ke m • rumus triangulasi:• rumus substitusi mundur:
m)
...,
1,
r
1;
n
...,
1,
(j
a
x
a
b
x
m)
...,
1,
(r
a
b
x
1) -j -(n j -n j, -n n 1 j -n k kr 1) -j -(n k j, -n 1) -j -(n r j, -n r j, n 1) -(n nn 1) -(n nr nr=
−
=
−
=
=
=
∑
+ = −Metode LU Decomposition:
• rumus substitusi maju untuk menghitung y (kini Y matriks n x m):
• rumus substitusi mundur untuk menghitung x:
m)
...,
1,
r
n;
...,
2,
(i
l
y
l
b
y
m)
...,
1,
(r
l
b
y
ii 1 i 1 j jr ij ir ir 11 1r 1r=
=
−
=
=
=
∑
− =m)
...,
1,
r
1;
n
...,
,
(i
x
u
y
x
m)
...,
1,
(r
y
x
n 1 i n j jr j i, n r i, n r i, -n nr nr=
−
=
−
=
=
=
∑
+ − = − −1
Perhatikan metode LU Decomposition, anggap matriks L dan U telah diperoleh. Jika kemudian terdapat lagi sistem persamaan linear dengan A sama dan B berbeda, maka matriks L dan U yang telah diperoleh itu bisa langsung dipakai untuk sistem persamaan yang baru tersebut.
Kini perhatikan metode Eliminasi Gauss, anggap triangulasi matriks A sudah dikerjakan. Jika kemudian terdapat lagi
sistem persamaan linear dengan A sama dan B berbeda, maka hasil triangulasi matriks A yang sudah diperoleh tidak dapat dipakai untuk sistem persamaan yang baru. Untuk sistem yang baru tersebut proses triangulasi matriks A harus dilakukan lagi dari awal.
Hal ini disebabkan, matriks B harus berubah mengikuti proses triangulasi matriks A, sementara proses penguraian matriks A menjadi matriks L dan U tidak melibatkan matriks B.
Catatan:
Dalam rumus-rumus baik pada metode Eliminasi Gauss
maupun LU Decomposition terdapat pembagian oleh elemen diagonal matriks yaitu, oleh elemen diagonal matriks A pada metode Eliminasi Gauss, dan elemen diagonal matriks L pada metode LU Decomposition.
Jika secara kebetulan elemen diagonal itu nol, maka akan timbul error.
Karena itu, pada setiap langkah dalam proses triangulasi
matriks A (metode Eliminasi Gauss) atau pencarian matriks L dan U (metode LU Decomposition) perlu dilakukan
pemeriksaan, apakah elemen matriks A atau L yang bersangkutan sama dengan nol.
Jika bernilai nol, maka baris berisi elemen diagonal nol itu harus ditukar dengan salah satu baris setelahnya, sehingga elemen diagonal menjadi bukan nol. Perubahan baris pada matriks A (metode Eliminasi Gauss) harus disertai
perubahan baris yang sama pada matriks B. Perubahan baris pada matriks L (metode LU Decomposition) harus disertai perubahan baris yang sama pada matriks A dan B.
Soal: Jawab:
