ESTIMASI HARGA EUROPEAN CALL OPTION PADA MODEL BACHELIER MENGGUNAKAN

(1)

METODE EXTENDED KALMAN FILTER TUGAS AKHIR SM 1330

ESTIMASI HARGA EUROPEAN CALL OPTION

PADA MODEL BACHELIER MENGGUNAKAN

METODE EXTENDED KALMAN FILTER

VANITA HANDANI

NRP 1202 100 008 Dosen Pembimbing

Endah Rokhmati M.P., SSi, MT Dr. Erna Apriliani, MSi

JURUSAN MATEMATIKA

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember

(2)

LEMBAR PENGESAHAN

ESTIMASI HARGA EUROPEAN CALL OPTION PADA MODEL BACHELIER MENGGUNAKAN EXTENDED

KALMAN FILTER

TUGAS AKHIR

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

pada

Bidang Minat Riset Operasi dan Simulasi Program Studi S-1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Oleh :

VANITA HANDANI

Nrp. 1202 100 008

Disetujui oleh Pembimbing Tugas Akhir :

1. Endah Rokhmati M.P., SSi, MT (...)

2. Dr. Erna Apriliani, MSi (...)

(3)

ESTIMASI HARGA EUROPEAN CALL OPTION

PADA MODEL BACHELIER MENGGUNAKAN

METODE EXTENDED KALMAN FILTER

Nama Mahasiswa : Vanita Handani

NRP : 1202 100 008

Jurusan : Matematika FMIPA-ITS Dosen Pembimbing: Endah Rokhmati M.P., SSi, MT : Dr. Erna Apriliani, MSi

Abstrak

Option adalah kontrak keuangan yang memberikan hak kepada pemegang kontrak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga tertentu dalam jangka waktu tertentu.

Terdapat dua buah model untuk mendapatkan harga call option yang dikenal dengan model Bachelier dan model Black-Scholes. Baik model Bachelier maupun model Black-Scholes tidak bisa langsung digunakan, sebab diperlukan nilai volatilitas yang tidak dapat diamati secara langsung, oleh karena itu terlebih dahulu harus dilakukan estimasi volatilitas.

Estimasi volatilitas dilakukan dengan menggunakan metode Historical Data yaitu GARCH (1,1). Hasil estimasi volatilitas tersebut, kemudian digunakan untuk mengestimasi European call option pada model Bachelier dan model Black-Scholes dengan metode Extended Kalman Filter. Setelah melakukan estimasi European call option, maka dilakukan perbandingan antara kedua model tersebut, sehingga diperoleh bahwa model Black-Scholes lebih baik daripada model Bachelier pada objek penelitian ini.

Kata kunci: Call option, volatilitas, model Black-Scholes, model

Bachelier, GARCH (1,1), Extended Kalman Filter.

(4)

EUROPEAN CALL OPTION ESTIMATION AT THE

BACHELIER MODEL USING EXTENDED KALMAN

FILTER METHOD

Name : Vanita Handani NRP : 1202 100 008

Department of : Mathematics FMIPA-ITS Supervisor : Endah Rokhmati M.P., SSi, MT

: Dr. Erna Apriliani, MSi Abstract

An option is a finance contract that gives the holder the right to buy or sell the underlying asset by a certain date for a certain price.

There are two kinds of model in the pricing of options what have known as the Bachelier model and the Black-Scholes model. The Bachelier and Black-Scholes model cannot be used directly, because there is a volatility. where the market cannot gives the value of volatility. So the first step is to calculate the volatility.

In estimating volatility, Historical Data method is used which one of them known as GARCH (1,1). The result from the previous step is used to estimate the European call option in the Bachelier and the Black-Scholes model through an Extended Kalman Filter method. To get a good model for estimating European call option, therefor we have to compare the option price. It is found that the Black-Scholes model is the better model for option-pricing than the Bachelier model.

Keywords: Call option, volatilitas, model Black-Scholes, model Bachelier, GARCH (1,1), Extended Kalman Filter.

(5)

KATA PENGANTAR

Dengan Syukur kepada Allah SWT yang telah memberikan karunia dan petunjuk sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir dengan judul:

“Estimasi Harga European Call Option pada Model Bachelier Menggunakan Extended Kalman Filter “

Adapun tujuan dari penulisan laporan Tugas Akhir ini adalah sebagai sarana guna meningkatkan ilmu pengetahuan, teknologi, wawasan serta keterampilan agar mampu mempertanggungjawabkan apa yang telah kita kerjakan berdasar pada kepentingan dan kebutuhan dengan didukung berbagai analisa, teori pada banyak bidang secara utuh sehingga nantinya dapat memberikan kontribusi pemikiran tentang aplikasi matematika pada lembaga/masyarakat yang bersangkutan.

Akhir kata, penulis menyadari sepenuhnya bahwa dalam penyusunan laporan Tugas Akhir ini masih banyak terdapat kekurangan. Oleh karena itu penulis akan berterima kasih apabila ada saran dan kritik yang membangun dari berbagai pihak demi perkembangan Matematika yang lebih baik di kemudian hari.

Surabaya, Februari 2007 Penulis

(6)

Spesial thanks...

Ucapan terima kasih pada semua pihak yang telah membantu selama

penyusunan Tugas Akhir dan selama masa studi di Matematika:

Ibu Endah Rokhmati M.P., SSi, MT dan Ibu Dr. Erna

Apriliani, MSi selaku dosen pembimbing atas motivasi, waktu,

pemikiran, dan bimbingan yang telah diberikan di sela-sela

waktu yang amat padat.

Bapak Drs. Nurul Hidayat, M.Kom dan Ibu Valeriana

Lukitosari, Ssi, MT selaku doses penguji atas bantuan,

masukan, serta tambahan wawasan yang telah diberikan.

Keluarga Dr. Ir. Josep prijotomo, M.Arch atas perhatian,

support dan memfasilitasi selama pengerjaan Tugas Akhir ini.

Keluarga ua’ Ir. S.A Ferdinandus dan ua’ Ir. Ida Ferdinandus,

yang dukungan dan pemikirannya menyemangati nita.

Keluarga besar R-10, Ibu Sunjoyo selaku ibu yang sabar dan

tekun membimbing nita. Mbak Rum, Dadek dan teman-teman

kos: mbak Lisa Septy, Jutex, Dita, Anvi yang selalu hangat

supportnya.

Mbak Dewi Puji Utami yang selalu sabar berbagi ilmu dan

sarannya saat stresss selama pengerjaan Tugas Akhir ini.

Achie, Hana, Lidya, Ummu, Dessy, Dina, Popot, Ima, Tatik,

Yeni, Dwi Pus, thanks for help and being a nice friends serta

keluarga besar Matematika ’02 terima kasih telah berbagi

semangat, kebersamaan dan kenangan yang tak terlupakan.

Keluarga Pakde Dr. Palgunadi dan Bude Drg Sri Windarti,

keluarga Pakde Dr. Bangun Astarto dan Bude Sufiyani selaku

orang tua yang kasih sayangnya membantu nita berkembang dan

siap untuk berbakti.

Mas Cokro...thanks for everythings serta kesabaran

mendampingi nita walau jarak memisahkan.

Ibunda Estelita dan Adik Suryo Adi Prasojo atas doa, kasih

sayang, pengertian, motivasi, kesabaran dan semangat yang tak

pernah henti, Ayahanda tercinta atas doa yang tulus.

(7)

DAFTAR ISI

Halaman JUDUL... HALAMAN ENGESAHAN... ABSTRAK... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... DAFTAR SIMBOL... BAB I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang……… 1.2. Perumusan Masalah……… 1.3. Batasan Masalah……….. 1.4. Asumsi………. 1.5. Tujuan dan Manfaat……… 1.6. Sistematika Penulisan………..

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Option………. 2.1.1. Contoh Mekanisme Option………... 2.1.2. Diagram Pay-off………... 2.1.3. Keuntungan Perdagangan Option………. 2.1.4. Komponen dalam Kontrak Option………... 2.1.5. Option Berdasarkan Nilai Intrinsik………... 2.2. Model Bachelier……….. 2.2.1. Formula Bachelier……… 2.3. Formula Black-Scholes………... 2.4. Estimasi Volatilitas dengan Metode Historical Data

2.4.1. Pola berbobot………... 2.4.2. Model GARCH………. 2.4.3. GARCH (1,1)………... 2.5. Metode Maximum Likelihood...

i ii iii v vii x xi xii 1 2 2 3 3 3 5 6 9 11 12 13 14 15 16 16 17 18 19 19

(8)

2.6.Filter Kalman ... 2.6.1. Algoritma Filter Kalman... 2.7. Extended Kalman Filter... 2.7.1. Algoritma Extended Kalman Filter... 2.8. Uji Normalitas Data...

BAB III. METODE PENELITIAN

3.1. Objek Penelitian... 3.2. Pendugaan dan pengujian data... 3.3. Analisis Penaksiran parameter volatilitas... 3.4. Estimasi Nilai European Call Option dengan

Metode Extended Kalman Filter... ... 3.5. Menentukan error dari Model Bachelier dan Model

Black-Scholes... 3.6. Penarikan Kesimpulan... 3.7. Diagram Alir Penelitian...

BAB IV. PEMBAHASAN DAN SIMULASI

4.1. Model Bachelier... 4.2. Penggunaan Extended Filter Kalman pada Model

Bachelier... 4.2.1. Algoritma EKF pada Estimasi Call Option... 4.3. Penggunaan Extended Filter Kalman pada Model

Black-Scholes...

4.3.1. Algoritma EKF pada Estimasi Call Option...

4.4. Pengujian Asumsi... 4.5. Estimasi Volatilitas dengan GARCH (1,1)...

4.5.1. Menentukan Nilai return... 4.5.2. Estimasi parameter MLE... 4.5.3. Estimasi Volatilitas dengan GARCH (1,1)... 4.6. Estimasi European Call Option pada Model

Black-Scholes dengan EKF………... 4.7. Estimasi European Call Option pada Model

Bachelier dengan EKF……… 4.8. Perbandingan Error pada Model Black-Scholes dan

22 29 30 31 33 35 35 36 36 37 37 37 41 44 45 49 50 51 52 52 53 54 55 56

(9)

BAB V. PENUTUP 5.1. Kesimpulan... 5.2. Saran... DAFTAR PUSTAKA... LAMPIRAN... 58 61 61 63 64

(10)

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 2.1 Diagram Hak dan Kewajiban Penulis dan

Pengambil Call Option………... 6 Gambar 2.2 Contoh Skenario yang Mungkin Terjadi pada

Call Option………... 7

Gambar 2.3 Diagram Hak dan Kewajiban Penulis dan

Pengambil Put Option………... 8 Gambar 2.4 Contoh Skenario yang Mungkin Terjadi pada

Put Option... 8 Gambar 2.5 Profit pada Long dan Short Call Option (Naked

Position)……… 10

Gambar 2.6 Gambar 2.7 Gambar 2.8

Profit pada Long dan Short Put Option (Naked

Position)………

Perbandingan Keuntungan Membeli Option dan Saham... Ilustrasi Filter Kalman...

10 12 30 Gambar 3.1 Flowchart Estimasi volatilitas dengan GARCH

(1,1)………... 38 Gambar 3.2 Flowchart Estimasi Call Option pada Bachelier

model dengan Extended Kalman Filter... 39 Gambar 3.3 Flowchart Estimasi Call Option pada

Black-Scholes model dengan Extended Kalman Filter. 40 Gambar 4.1 Hasil Uji Kolmogorov-Smirnov... 51 Gambar 4.2 Data Saham dan Nilai Return... 53 Gambar 4.3 Hasil Estimasi Volatilitas saham Apple

Computer Inc……… 55

Gambar 4.4 Hasil Varian Prediksi dan Koreksi pada Model Black-Scholes... 56 Gambar 4.5 Hasil Varian Prediksi dan Koreksi pada Model

Bachelier... 57 Gambar 4.6 Hasil perbandingan dari Model Bachelier dan

(11)

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 4.1 Tabel Hasil Estimasi Parameter saham Apple

Computer Inc………... 54 Tabel 4.2 Tabel hasil Average Relatif Price Error………… 59

(12)

DAFTAR SIMBOL

Simbol Pemakaian Pertama Kali pada Halaman

ST Harga saham pada saat jatuh tempo 9

X Harga strike 9

S Harga Saham/underlying asset 13

T Maturity date 15

σ Volatilitas 15

c Call option (premi) 15

r Suku bunga bebas resiko 16

N(.) CDF (Cumulative Distribution Fuction)

normal standar 16

uk Vektor masukan deterministik yang

merupakan stock return pada waktu ke-k 16

V _{long average volatility} ₁₈

ω _{Parameter GARCH (1,1)} ₁₉

α _{Parameter GARCH (1,1)} ₁₉

β Parameter GARCH (1,1) 19

xk Variabel keadaan pada waktu ke-k 23

wk Noise model sistem pada waktu ke-k 23

zk Vektor pengukuran pada waktu ke-k 23

vk Noise model pengukuran pada waktu ke-k 23

Q Kovarian dari wk 23

R Kovarian dari vk 23

k

x

Mean variabel keadaan (variabel keadaan

stasioner) pada waktu ke-k 24

k

x~ Deviasi antara keadaan sebenarnya dengan

keadaan stasioner 24

k

x

P

Kovariansi error dari xk 24

k

z

(13)



k kx

z

P

Cross kovarinsi antara xk dan zk 25

Kk Kalman gain pada waktu ke-k 27

) ( ˆ_k 

x _{Estimasi priori (sebelum pengukuran)} ₂₉

) (

k

Ρ _{Kovarinsi error estimasi priori} ₂₉

k

xˆ

Estimasi posterior (setelah pengukuran) 29 k

Ρ Kovarinsi error estimasi posterior 29



x tk tk

h ( ), Matrik yang mempengaruhi pengukuran pada

waktu ke-k 30

Hk Matrik Jacobian dari h



x(t_k),t_k



32

F0(x) CDF yang dihipotesiskan 33

S(x) _{CDF sampel} ₃₃

D _{jarak vertikal terjauh antara S(x) dan F}₀_{(x) 34}

ck Market optin price pada waktu ke-k 39



CDF normal standar 41



PDF (Density Function) normal standar 41

Wt Brownian motion (Wiener proses) 41

 _{Contingent claim} ₄₁

2

k

 Variable keadaan (variance) pada waktu ke-k 44

B ( 2)

k

 Model call option persamaan Bachelier 45

BS( 2)

k