LAMPIRAN I GREEK ALPHABET

LAMPIRAN I GREEK ALPHABET Α, α= Alpha Μ , µ = Mu Ψ, ψ = Psi Β , β= Beta Ν, ν = Nu Ω, ω = Omega. Γ , γ = Gamma Ξ , ξ= Xi ∆ , δ = Delta Ο,ο = Omicron Ε , ε= Epsilon Π , π= Pi Ζ , ζ = Zeta Ρ , ρ = Rho Η , η = Eta Σ , σ = Sigma Θ, θ = Theta Τ , τ = Tau Ι , ι = Iota ϒ, υ = Upsilon Κ , κ= Kappa Φ , φ= Phi Λ, λ = Lambda Χ , χ = Chi

LAMPIRAN II

Contoh penggunaan deret Fourier Bessel.

Misalkan f

( )

r =1 r− 2 untuk 0≤ r≤1 dengan menggunakan deret Fourier-Bessel :

( )

r =a J

(

r

)

=a₁J

( )

₁r +a₂J

( )

₂r +a₃J

( )

₃r +... f _{m n} α_{m n} α _n α _n α Dimana : m a =

∫

      + R m m n dr r R J r rf J R 2 0 0 1 2 ( ) ) ( 2 α α ,

(

r = dan x

)

m=1,2,3... dengan α₁ = 2.405, α₂ =5.520, α₃ =8.645 Dari (3.14) dan (3.15) didapatkan :

( )

[

rJ₁ αr

]

′ =αrJ₀

( )

αr dan

[

r2J₂

( )

αr

]

′ =r2J₁

( )

αr

( )

[

]

_∫

( )

∫

rJ r dr= rJ r dr dr d _{α α α} 0 1

∫

[

r J

( )

r

]

dr =

∫

rJ

( )

r dr dr d _{α α α} 1 2 2 2

( )

[

]

( )

∫

d rJ₁ αr =

∫

αrJ₀ αr dr

∫

d

[

r2J₂

( )

αr

]

=

∫

α2rJ₁

( )

αr dr

( )

r =

_∫

rJ

( )

r dr rJ1 α α 0 α r J

( )

αr =α

∫

rJ1

( )

αr dr 2 2 2

( )

( )

∫

rJ r dr= rJ αr α α 1 0 1

∫

rJ

( )

r dr= rJ

( )

αr α α 2 2 1 1

dan hubungan rekursif :

( )

( )

( )

α α α α 2 1 0 2 J J J + = →

( )

( )

α

( )

α α α 1 0 2 2 J J J = − Untuk n = 0, maka m a =

∫

(

−

)

(

)

+ 1 0 0 2 2 1 0 2 1 ) ( 2 dr r J r r J R α_m αm =

( )

∫

(

−

)

(

)

1 0 0 2 2 1 2 1 ) ( 1 2 dr r J r r J m m α α =

( )



(

−

)

1

(

) (

− −

)

2 2

(

)

10 2 2 1 1 2 1 1 2 r rJ r r rJ r J α_m α αm α αm =

( )

0

( )

2 1

( )

[ ]

0 2 2 2 2 1 −     _{− −} m m J J α α α

=

( )



( )

m  m J J12 α α2 2 α 2 2 =

( )

( )

m m m J J α α α 2 1 2 2 4 =

( )

( )

( )

m m m m m J J J α α α α α 1 1 2 0 1 2 4 _      − =

( )

( )

( )

m m m m m J J J α α α α α 2 1 2 0 1 8 − =

( )

( )

( )

m m m m J J J α α α α 2 1 3 0 1 8 −

Nilai J₁

( )

α_m dan J₀

( )

α_m diperoleh dari tabel fungsi Bessel pada lampiran III. Untuk α1 = 2.405

(

)

0025 . 0 ) 405 . 2 ( 5202 . 0 405 . 2 0 1 = = J J

(

) (

)

(

) (

3

)

2 1 5202 . 0 405 . 2 0025 . 0 5202 . 0 8 − = a =

₍

₎₍

₎

2706 . 0 91 . 13 1591 . 4 = 764 . 3 1591 . 4 = 1.1049 Untuk α₂ =5.520

(

)

(

5.520

)

0.0069 3414 . 0 520 , 5 0 1 − = − = J J

(

) (

)

(

) (

3

)

2 2 3414 . 0 520 . 5 0069 . 0 3414 . 0 8 − − − − = a =

₍

₎₍

₎

01165 196 . 168 7243 , 2 − = 594 . 19 7243 . 2 − = - 0.1390 Untuk α₃ =8.645

(

)

(

8.645

)

0.0146 2728 . 0 645 . 8 0 1 = = J J

(

)

(

) (

3

)

2 3 2728 . 0 645 . 8 ) 0146 . 0 ( 2728 . 0 8 − = a =

₍

₎₍

₎

0744 . 0 092 . 640 1678 . 2 = 662 . 47 1678 . 2 = 0.0455 Maka didapatkan 1049 . 1 1 = a , a2 =−0.1390 , a3 =0.0455

Bila di tulis dalam bentuk deret:

( )

r =1.1049J₀

(

2.405r

)

−0.1390J₀

(

5.520r

)

+0.0455J₀

(

8.654r

)

−...+...

LAMPIRAN III

LAMPIRAN IV

Transformasi koordinat kartesian ke koordinat polar.

Hubungan koordinat kartesian dengan sistem koordinat polar :

x= cos θ r y=rsin θ r = x2 + y2 x y 1 tan− = θ

Dimisalkan dengan vektor kedudukan

( )

s : yj xi s = + r s = cos θ i + r sin θ j θ θ d s dr r s ds ∂ ∂ + ∂ ∂ =

ds = (cosθ i + sinθ j) dr + (- r sin θ i + r cos θ j) dθ ds = (cosθ dr - sinθ dθ ) i + ( r sin dr + r cos θ dθ ) j

ds2 = cos2θ −2rsinθ cosθ dr dθ + r2 sin2 θ dθ + sin2θ dθ dr2 + 2r sin θ cos θ dr dθ +r2

cos2θ dθ2 ds2 =

(

sin2θ +cos2θ

)

dr2 +r2

(

sin2θ +cos2θ

)

dθ2

ds2 = 2 2 θ2 d r dr + ds2 = 2 2 2 2 2 1 dr h dθ h + maka : 1 1 = h , h2 =r       ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ θ ψ ψ ψ 2 1 2 1 1 h r h = _            ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ θ ψ θ ψ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 h h h r h h h r h h = _            ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ θ ψ θ ψ r r r r r 1 1 = ₂ 2 2 2 2 1 1 θ ψ ψ ψ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r r r r

2 2 2 2 2 1 1 θ ψ ψ ψ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r r r r = 2 2 2 1 t v ∂ ∂ ψ atau

_      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 θ ψ ψ ψ ψ r r r r v t

LAMPIRAN V

Ekspansi deret Fungsi Bessel: Persamaan umum Fungsi Bessel :

0 ) ( 2 2 ' " 2 + + − = y n x xy y x ...(1) Jika y = x u

di substitusikan ke pers (1) maka dihasilkan :

0 4 1 1 ₂ 2 2 2 =             ₋ − + u x n dx u d ………..(2)

Jika 1 diganti menjadi a maka pers (2) menjadi : 2

4 0 1 2 2 2 2 2 =             ₋ − + u x n a dx u d ………..(3)

Pers (3) mempunyai solusi :

u = xJn(ax) ……….…….(4)

Pada sifat yang sama untuk:

v = xJ_n(bx) ……….……….(5) Yang memenuhi persamaan :

0 4 1 2 2 2 2 2 =             ₋ − + u x n b dx u d ……….…(6)

Kemudian pers(2) dikalikan dengan v dan pers (6) dikalikan dengan u, dan hasilnya dikurangkan : v x u x u n u a dx u d _×       = − − + 0 4 1 2 2 2 2 2 2 = 2 2 2 2 2 2 4 1 x uv x uv n uv a dx uv d + − + v x v x v n v a dx v d _×       = − − + 0 4 1 2 2 2 2 2 2 =

2 2 2 2 2 2 4 1 x vu x vu n vu a dx vu d + − + 0 4 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =       + + + −       + + + x uv x vu n vu b dx vu d x uv x uv n uv a dx uv d

(

a2 −b2

)

uv=u"v−v"u ………..………(7) Pers (7) diintegtralkan dari 0 sampai x :

(

−

)

_∫

x =

_∫

x

(

−

)

o uv u v v u b a 0 2 2 " " Dimana :

(

b −a

)

=

_∫

xuvdx 0 2 2 = x

(

uv vu

)

dx

(

vu vu

)

x dx d 0 0 '− ' = '− '

∫

………..……..(8) Menjadi :

(

−

)

_∫

x

( ) ( )

n n ax J bx xJ a b 0 2 2 = x

[

Jn

( )

bx Jn ax bJn ax Jn

( )

bx

]

' ' ) ( ) ( − …………(9)

Sekarang jika pers (8) didiferensialkan terhadap b dan mengatur b = a maka didapatkan :

( )

[

( )

( )

( )

( )

( )

]

2 '2 ' " 0 2 ax J ax axJ ax J ax J ax axJ x dx ax xJ a

∫

x _n = _n − _{n n} − _{n n} ………(10)

Dari pers (9) di dapat :

(

b a

)

xxJ_n

( ) ( )

ax J_n bxdx aJ_n b J_n'

( )

a bJ_n

( ) ( )

a J_n' b 0 2 2 ) ( − = −

_∫

Suku kedua dihilangkan, maka a dan b diakarkan :

( )

α =0

n

J ……….…...(11) a dan b positif nol dari Jn

( )

x , maka didapatkan :

(

−

)

_∫

x

( ) ( )

n n ax J bx xJ a b 0 2 2 dx= 0 Karena a ≠ b maka didapatkan :

( ) ( )

∫

₀xxJn ax Jn bx dx=0 ………...(12)

Jika F(x) adalah fungsi berubah-ubah pada interval x = 0 sampai x =1 maka deretnya menjadi :

( )

_∑

=∝

( )

= =s s s n pJ x A x F 1 α ………...(13)

Dimana α adalah akar positif berturut-turut (11). Untuk mendapatkan koefisien _s umum A_pdari ekspansi ini, maka dikalikan kedua suku dari (13) dengan xJ_n

( )

α_kx dan diintegralkan dari x = 0 ke x = 1. Didapatkan dari sifat (12):

( )

x F x dx A xJ

( )

x dx xJ α_{k p}

∫

_n α_k

∫

= 1 0 2 1 0 ( ) ……… (14)

Pada pers (14) integral yang tidak bergantung pada x dapat dievalusi dengan mengartikan pers(9) yang bernilai :

( )

k n

( )

k n x J xJ α 2₁ α 1 0 2 2 1 + =

∫

Maka :

( )

xJ

( )

x F x dx J A _{n s} s n p ( ) 2 1 0 2 1 α α

∫

+ =

LAMPIRAN V

Metode Pemisahan Variabel

Metode pemisahan variabel dapat dipakai untuk mencari solusi persamaan diferensial, sebagai contoh persamaan diferensial parsial yang dapat diambil dari sebuah

persamaan gelombang.

Untuk menetukan fungsi gelombang ψ diperlukan persamaan : ψ(x,t) = X(x) T(t) ₂ 2 2 2 2 1 t V x ∂ ∂ = ∂ ∂ ψ ψ

1.Untuk 1 (satu) dimensi

Fungsi gelombang ψ melalui persamaan ψ(x,t) = X(x) T(t) maka di dapat :

₂ 2 2 2 x X T x ∂ ∂ = ∂ ∂ ψ ₂ 2 2 2 t T X t ∂ ∂ = ∂ ∂ ψ ...(1) Jadi, persamaan (1) tersebut dibagi dengan XT :

XT t T X V x X T _÷      ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 → ₂ 2 2 2 2 1 1 t T V T V x X X ∂ = ∂ ∂ Catatan :

X dan T harus dimisalkan dengan suatu konstanta pangkat dua dengan tanda (-) Jadi di peroleh : ₂ 2 2 1 x k x X X ∂ =− ∂ ; 1 ₂ 2 0 2 = + ∂ ∂ x k x X X ₂ 2 0 2 = + ∂ ∂ X k x X x (persamaan karakterisitik)

Untuk mendapatkan hasil persamaan karakterisitik maka selalu pemisahan dinyatakan dengan bentuk eksponensial :

Misal : X = mx e ; mx me dx dX = ; m emx dx X d 2 2 2 = Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi :

₂ 2 0 2 = + ∂ X k dx X x Maka : m2emx +k_x2emx =0 mx

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh :

m2 +k_x2 =0 ; m= −k_y2 ; m_1,2 =±ik_y

Maka di dapat nilai X yaitu : X = A₁eikx +A₂e−ikx Selanjutnya : 2 2 2 2 1 t k t T T V ∂ =− ∂ ; 1 ₂ 2 0 2 2 ∂ + = ∂ t k t T T V 0 2 2 2 2 = + ∂ ∂ T k V t T t (persamaan karaketristik) ...(2) Dimisalkan Vk_t =ω, 2 2 =ω2 t k V ₂ 2 0 2 = + ∂ ∂ T t T _ω Misal : T = mt e ; memt dt dT = ; m emt dt T d 2 2 2 = Substitusi ke (2) dan suku e dihilangkan maka : mt

0 2 2 mt + mt = e e m ω ; m= −ω2 ; m1,2 =±iω Maka : T =B₁eiω⋅t +B₂e−iω⋅t

Fungsi gelombang untuk 1 dimensi: ψ = X⋅T

2. Untuk 2 (dua) dimensi : ₂ 2 2 2 2 2 2 1 t V y x ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ψ ψ ψ ...(3)

Fungsi gelombang ψ melalui persamaan ψ

(

x,y,t

)

= X(x)Y(y)T(t)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t T XY t y Y XT y x X YT x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ψ ψ ψ Substitusi ke pers (3) : XYT t T XY y Y XT x X YT _÷      = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 → ₂ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 t T T V y Y Y x X X ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂

a. Untuk mencari nilai X

₂ 2 2 1 x k x X X ∂ =− ∂ ; 1 ₂ 2 0 2 = + ∂ ∂ x k x X X ₂ 2 0 2 = + ∂ ∂ X k x X x (persamaan karakteristik) Misal : X = emx mx me dx dX = ; mx e m dx X d 2 2 2 =

Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi :

₂ 2 0 2 = + ∂ X k dx X x Maka : m2emx +k_x2emx =0

mx

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh :

0 2 2 + = x k m ; m= −ky2 ; m1,2 =±iky

Maka di dapat nilai X yaitu :

X = A1eikx +A2e−ikx

b. Untuk mencari nilai Y

2 2 2 1 y k y Y Y ∂ =− ∂ ; 1 ₂ 2 0 2 = + ∂ ∂ y k y Y Y Misal : Y = my e ; my me dy dY = ; my e m dy Y d 2 2 2 = Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi : ₂ 2 0 2 = + ∂ Y k dy Y y Maka : 2 + y2 my =0 my e k e m my

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh :

0 2 2 + = y k m ; m= −k_y2 ; m_1,2 =±ik_y

Maka di dapat nilai Y yaitu : Y = B₁eiky⋅y +B₂e−iky⋅y

c. Untuk mencari nilai T

2 2 2 2 1 t k t T T V ∂ =− ∂ ; 1 ₂ 2 0 2 2 ∂ + = ∂ t k t T T V ; 0 2 2 2 2 = + ∂ ∂ T k V t T t Dimisalkan Vk_t =ω, V2k_t2 =ω2

₂ 2 0 2 = + ∂ ∂ T t T _ω Misal : T = e ; mt memt dt dT = ; m emt dt T d 2 2 2 = Substitusi ke (2) dan suku e dihilangkan maka : mt

0 2 2 mt + mt = e e m ω ; m= −ω2 ; m_1,2 =±iω Maka : T =C₁eiω⋅t +C₂e−iω⋅t

Fungsi gelombang untuk 2 dimensi : ψ = X⋅Y⋅T

ψ =(A₁eikx⋅x +A₂e−ikx⋅x)(B₁eiky⋅y +B₂e−iky⋅y)(C₁eiwt +C₂e−iwt)

3. Untuk 3 Dimensi ₂ 2 2 2 1 t V ∂ ∂ = ∇ ψ ψ _      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ z k y j x i z k y j x i 2 Maka ₂ 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ψ ψ ψ = ₂ 2 2 1 t V ∂ ∂ ψ ...(4)

Fungsi gelombang ψ melalui persamaan ψ

(

x,y,z,t

)

= X(x)Y(y)Z(z)T(t)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t T XYZ t z Z XYT z y Y XZT y X X YZT x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ψ ψ ψ ψ

Substitusi ke (4) ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t T XYZ V z Z XYT y Y XZT x X YZT ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ₂ 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 t T T V z Z Z y Y Y x X X ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

a. Untuk mencari nilai X

2 2 2 1 x k x X X ∂ =− ∂ ; 1 ₂ 2 0 2 = + ∂ ∂ x k x X X ₂ 2 0 2 = + ∂ ∂ X k x X x (persamaan karakteristik) Misal : X = emx memx dx dX = ; m emx dx X d 2 2 2 =

Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi :

₂ 2 0 2 = + ∂ X k dx X x Maka : 2 + x2 mx =0 mx e k e m mx

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh :

0 2 2 + = x k m ; m= −k_y2 ; m_1,2 =±ik_y

Maka di dapat nilai X yaitu :

X = A1eikx +A2e−ikx

2 2 2 1 y k y Y Y ∂ =− ∂ ; 1 ₂ 2 0 2 = + ∂ ∂ y k y Y Y Misal : Y = emy ; memy dy dY = ; m emy dy Y d 2 2 2 = Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi : ₂ 2 0 2 = + ∂ Y k dy Y y Maka : m2emy +k_y2emy =0 my

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh :

0 2 2 + = y k m ; m= −ky2 ; m1,2 =±iky

Maka di dapat nilai Y yaitu : Y = ikyy ikyy

e B e

B1 ⋅ + 2 − ⋅

c. Untuk mencari nilai Z

2 2 2 1 z k z Z Z ∂ =− ∂ ; 1 ₂ 2 0 2 = + ∂ ∂ z k z Z Z Misal : Z = emx ; memz dz dZ = ; m emz dz Z d 2 2 2 =

Jadi, Persamaan karakteristik dapat di ubah menjadi : ₂ 2 0 2 = + ∂ Z k dz Z z Maka : m2emz +k_z2emz =0 mz

e diantara kedua suku dihilangkan maka diperoleh :

0 2 2 + = z k m ; m= −k_z2 ; m1,2 =±ik_z

Maka di dapat nilai Z yaitu : Z = Ceikz⋅z +C e−ikz⋅z

d. Untuk mencari nilai T 2 2 2 2 1 t k t T T V ∂ =− ∂ ; 1 ₂ 2 0 2 2 ∂ + = ∂ t k t T T V ; 0 2 2 2 2 = + ∂ ∂ T k V t T t Dimisalkan Vk_t =ω, V2k_t2 =ω2 ₂ 2 0 2 = + ∂ ∂ T t T _ω Misal : T = e ; mt memt dt dT = ; m emt dt T d 2 2 2 = Substitusi ke (2) dan suku e dihilangkan maka : mt

0 2 2 mt + mt = e e m ω ; = −ω2 m ; m_1,2 =±iω Maka : T =D1eiω⋅t +D2e−iω⋅t

Fungsi gelombang untuk 3 dimensi : ψ = X⋅Y⋅Z⋅T

( ₁ ikxx ₂ ikxx)( ₁ ikyy ₂ ikyy)( ₁ ikzz ₂ ikzz)( ₁ iwt ₂ iwt)

e D e D e C e C e B e B e A e A ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ + − = ψ