OPTIMASI DENGAN METODE DAKIAN TERCURAM
Marwan
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Syiah Kuala, Jln. Syekh Abdur Rauf No. 3 Darussalam, Banda Aceh 23111
email: marwan.ramli@math-usk.org
ABSTRACT
Response surface methodology is one of the statistical and mathematical techniques is used to analyze case of some independent variables which influence dependent variables or responses, and aim to measure optimum value from the response. Method of the steepest ascent and descent is part of the response surface methodology in determining optimum response also central composite design to measure optimum value. In the first steps, if will be consider the first model and the second one. The case study of this research is an experiment of purify oxygen as response observed, temperature (T) and pressure ratio (R) as variable which are influence respond. At the beginning, the temperature T = - 220oC and pressure ratio R = 1.2 atm, by applying method of steepest ascent and descent will be figured out maximum area at the 6th sequence and minimum area at the 4th sequence. At the final process of determining optimum value with central composite design will be known maximum value at the temperature -190.3 oC and pressure ratio 1.417 atm with 87.82 purifying of oxygen response, however the minimum point un-appropriate with the minimum condition.
Keywords: method of steepest slope, optimization, maximum response
ABSTRAK
Metode permukaan respon merupakan suatu teknik statistik dan matematika yang digunakan untuk menganalisis permasalahan yang terkait dengan respon serta bertujuan untuk menentukan nilai optimum dari respon itu. Metode dakian tercuram merupakan bagian dari metode permukaan respon dalam menentukan daerah respon optimum serta rancangan komposit pusat untuk menentukan titik optimum. Pada tahap awal akan diduga model orde pertama dan model orde kedua. Contoh kasus pada penelitian ini adalah suatu percobaan pemurnian oksigen sebagai respon yang diamati, suhu (T) dan rasio tekanan (R) sebagai variabel-variabel yang mempengaruhi respon. Kondisi awal percobaan pada suhu T = -220 oC dan rasio tekanan R =1.2 atm, dengan menerapkan metode dakian tercuram diketahui daerah maksimum terjadi pada lintasan ke-6, pada proses akhir dalam penentuan titik optimum dengan rancangan komposit pusat dan diketahui titik maksimum berada pada suhu reaksi 190.3 oC dan rasio tekanan sebesar 1.417 atm dengan 87.82 dugaan respon pemurnian oksigen.
PENDAHULUAN
Salah satu usaha manusia untuk mengembangkan ilmu dan teknologi adalah melalui kegiatan penelitian. Kegiatan penelitian merupakan suatu proses belajar yang terarah mengenai suatu masalah dan dilakukan secara iteratif. Pada sistem nyata, sering terdapat 2 atau lebih elemen pembentuk sistem saling berhubungan. Hal ini disebabkan karena pada dasarnya suatu sistem terdiri dari elemen yang saling bergantung dan bekerja sama untuk mencapai suatu tujuan. Proses bekerjanya berbagai elemen dalam sistem sangat kompleks sehingga untuk melihat hal ini dalam keadaan sebenarnya sangat sulit dan hampir mustahil. Pada umumnya, pada suatu kegiatan penelitian permasalahan yang dikemukakan akan dikaji untuk dijadikan hipotesis. Biasanya, hipotesis berbentuk pernyataan yang dapat diuji dalam tingkatan lebih lanjut berbentuk model matematika. Model matematika ini senantiasa dianggap memenuhi taksiran tertentu yang dapat menyederhanakan permasalahan yang akan diteliti.
Metode dakian tercuram merupakan suatu prosedur untuk mencari daerah respon maksimum. Sebaliknya, untuk mencari daerah respon minimum disebut metode turunan tercuram. Pada tulisan akan dipresentasikan pemanfataan metode dakian tercuram pada proses pemurnian oksigen. Dalam hal ini, respon dipengaruhi oleh beberapa faktor, di antaranya adalah suhu(oC) dan rasio tekanan (atm)
(Montgomery, 2001). Oleh karena itu, diasumsikan bahwa respon pada kasus ini, respon hanya dipengaruhi oleh 2 faktor sehingga model matematika orde satu dapat dituliskan sebagai
, (1)
dengan , dan adalah konstanta yang akan ditentukan dan dan berturut-turut menyatakan variabel yang mempengaruhi respon. Di sini, prediksi faktor yang menghasilkan nilai respon yang optimum dihitung dengan menggunakan metode permukaan respon (Amago, 2001). Diketahui bahwa metode ini merupakan suatu teknik untuk menganalisis permasalahan respon, yang dipengaruhi beberapa variabel bebas, dengan tujuan mendapatkan nilai optimum respon (Mendenhall, 1996). Akan tetapi, apabila model tersebut tidak cocok, yang ditandai dengan terdapatnya lengkungan dalam sistem, maka analisis dilanjutkan dengan menentukan model respon orde dua, yang dapat duliskan sebagai berikut (Khuri, 2003)
∑ ∑ ∑ ∑ . (2)
METODE PENELITIAN
Data
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder (Montgomerry, 2001). Respon yang akan diamati merupakan pemurnian oksigen yang dipengaruhi oleh 2 faktor, yaitu suhu (oC) dan rasio tekanan (atm). Data ini merupakan data suatu industri kimia yang memproduksi oksigen dengan cara mencairkan udara dan membaginya ke dalam komponen-komponen gasnya, dengan destilasi fraksinasi (destilasi bertingkat). Pemurnian oksigen merupakan fungsi dari perbandingan suhu kondensor dan rasio tekanan antara kolom teratas dan kolom terbawah. Kondisi arus operasi pada suhu T = -220 oC dan rasio tekanan R =1,2 atm. Data dimaksud disajikan pada Tabel 1 berikut ini.
Tabel 1 Data Percobaan Pemurnian Oksigen
Metode Dakian Tercuram
Metode dakian tercuram adalah prosedur yang berisi rangkaian percobaan secara serial sepanjang lintasan terjadinya peningkatan maksimum nilai respon. Metode ini digunakan untuk menentukan daerah percobaan yang memuat nilai maksimum dari respon (Gaspersz, 1992; Khuri, 2001; Montgomery, 2001; Myers, 1971).
Prosedur
Metode dakian tercuram digunakan untuk menentukan model matematika yang menyatakan hubungan faktor dengan respon. Prosedur yang digunakan dalam menentukan daerah optimum pada awalnya akan diduga model orde pertama dan orde kedua (Aunuddin, 2005).
Untuk membangun model orde pertama, terlebih dahulu ditetapkan daaerah eksplorasi pada titik-titik sekitar daerah operasi saat ini, yaitu daerah percobaan awal pada taraf suhu 225 oC sampai
dengan 215oC dan taraf faktor rasio tekanan reaksi 1,1 atm sampai dengan 1,3 atm. Data
dikumpulkan dengan menggunakan percobaan faktorial 2x2 atau 22 yang diperluas dengan 4 titik
pusat, di mana sebagai titik pusatnya adalah pada taraf suhu reaksi T = -220 o
C dan taraf rasio tekanan reaksi 1,2 atm. Dengan demikian, titik pusat adalah T = -220 oC dan 1,2 atm, yang dalam variabel kode berturut-turut dituliskan 0 dan 0. Pengulangan pengamatan pada titik pusat dimaksudkan untuk menduga galat percobaan serta memeriksa ketepatan model orde pertama (Gaspersz, 1992). Selanjutnya, untuk menduga parameter model orde pertama akan dilakukan transformasi variabel dan ke dalam variabel kode dan yang saling orthogonal dalam bentuk
(3)
, , (4)
Dengan menggunakan (3) dan (4), diperoleh nilai kode dan sebagaimana disajikan pada Tabel 2. Suhu Rasio tekanan
atm Pemurnian -225 1.1 82.8 -225 1.3 83.5 -215 1.1 84.7 -215 1.3 85.0 -220 1.2 84.1 -220 1.2 84.5 -220 1.2 83.9 -220 1.2 84.3
Tabel 2 Data Hasil Transformasi x1 x2 Y -1 -1 82.8 -1 1 83.5 1 -1 84.7 1 1 85.0 0 0 84.1 0 0 84.5 0 0 83.9 0 0 84.3
HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis Model Orde Satu
Pada percobaan pemurnian oksigen ini, diketahui 2 faktor yang mempengaruhi model, yaitu suhu dan rasio tekanan. Dalam mengkaji hubungan antar faktor dan model, digunakan metode kuadrat terkecil. Untuk kondisi awal akan diduga model orde satu.
84.1 + 0.85 + 0.25 (5)
Pengujian model (5) sebagai penduga yang cukup baik akan digunakan uji untuk simpangan (lack of fit). Uji ini bertujuan untuk menguji keberadaan lengkungan dalam model (Walpole, 1995).
Tabel 3 Analisis Ragam Model Orde Satu Sumber db JK KT Fhit Regresi 2 3.14 1.570 24.53 Residual Error 5 0.32 0.064 Lack of Fit 2 0.12 0.060 0.90 Pure Error 3 0.20 0.067 Total 7 3.46
Berdasarkan Tabel 3, terlihat bahwa nilai uji simpangan = 0,90 < . ; , = 9,55. Ini artinya bahwa tidak terdapat lengkungan dalam model. Selain itu, terlihat pula bahwa nilai = 24,53 . ; ; =5,79. Ini memberikan makna bahwa minimal terdapat satu variabel yang mempengaruhi respon. Berdasarkan hasil uji secara individu, diketahui bahwa variabel tidak memberikan pengaruh terhadap respon. Namun demikian, secara umum model (5) dapat digunakan untuk menentukan lintasan dakian tercuram.
Lintasan Dakian Tercuram
Penentuan arah lintasan dakian dan turunan tercuram diawali dengan pergerakan titik pusat , 0,0 . Dari model 5 , diketahui bahwa arah dan bersifat positif (naik), dengan besarnya koefisien masing-masing adalah 0.85 dan 0.25. Dengan demikian, akan terbentuk lintasan dakian dan turunan tercuram, dengan gerakan sebesar 0.85 unit pada arah untuk setiap 0.25 unit pada arah .
Pada kasus ini, digunakan jarak (interval) antara taraf variabel sebagai ukuran langkah dasar. Penetapan 5 dari suhu adalah ekivalen dengan langkah sebesar ∆ 1. Jadi, langkah-langkah sepanjang lintasan dakian dan turunan tercuram adalah ∆ 1 unit dan ∆ 0.294 unit. Selanjutnya, dihitung titik-titik sepanjang lintasan serta mengamati hasil pada titik tersebut sampai ditemukan penurunan dalam respon apabila percobaan terus dilakukan (Gaspersz, 1992).
Daerah Dakian Tercuram
Hasil eksplorasi sepanjang lintasan dakian tercuram dengan menggunakan ∆ 1 dan ∆ 0.294 disajikan pada Tabel 4.
Tabel 4 Percobaan Dakian Tercuram Langkah-langkah x1 x2 T R Respon yang diamati (Y) Basis 0.000 0.000 -220 1.2 - ∆(baca:delta) 1.000 0.294 5 0.029 - Basis+∆ 1.000 0.294 -215 1.229 78.593 Basis+2∆ 2.000 0.588 210 1.259 - 79.202 Basis+3∆ 3.000 0.882 205 1.288 - 80.072 Basis+4∆ 4.000 1.176 200 1.318 - 82.462 Basis+5∆ 5.000 1.470 -195 1.347 87.442 Basis+6∆ 6.000 1.764 190 1.376 - 87.767 Basis+7∆ 7.000 2.058 -185 1.406 84.369
Berdasarkan percobaan dakian tercuram yang disajikan pada Tabel 4, terlihat bahwa peningkatan respon Y terjadi hingga pada lintasan ke-6 dan terjadi penurunan pada lintasan ke-7. Hasil percobaan respon Y menunjukkan bahwa dalam rentang respon antara 75 dan 90, respon maksimum terjadi di sekitar titik 6 dan 1.764 atau pada suhu 190 dan rasio tekanan 1.376 atm.
Gambar 1 menyajikan grafik respon berdasarkan data pada Tabel 4. Selanjutnya akan ditentukan daerah yang berada di sekitar kondisi operasi yang optimum guna membantu dalam merancang percobaan selanjutnya.
Gambar 1 Grafik Respon Dakian Tercuram Berdasarkan Data pada Tabel 4
Kondisi Operasi Maksimum
Pada bagian ini, akan ditentukan operasi optimum pada proses percobaan pemurnian oksigen (Y) yang dipengaruhi oleh suhu (T) dan rasio tekanan (R). Berdasarkan percobaan dakian tercuram di sepanjang lintasan (Tabel 4) diketahui bahwa daerah operasi maksimum terjadi di sekitar titik x1 = 6
dan x2 = 1.764 atau berada pada suhu T = -190oC dan R = 1.376 atm. Dari informasi ini, akan dibangun
data percobaan lebih lanjut dengan mengambil titik pusat pada suhu -190oC dan rasio tekanan 1.376
atm agar ditemukan kondisi operasi maksimum. Pada tahap ini, akan dibangun model orde dua dengan menggunakan rancangan komposit pusat untuk mengumpulkan data percobaan baru tersebut.
Diketahui bahwa terdapat 2 variabel diujikan pada percobaan pemurnian oksigen, yaitu x1
yang mewakili suhu pemurnian (T) dan x2 yang mewakili rasio tekanan (R) sehingga ditetapkan besaran α = 2 = 1.4141 (Montgomery, 2001). Selanjutnya, agar model orde kedua yang dibangun dapat diperiksa ketetapan modelnya, maka perlu melakukan pengulangan pengamatan, yang dilakukan sebanyak 4 kali pada titik pusat (x1 = 0 dan x2 = 0).
Dengan demikian, percobaan menggunakan rancangan komposit pusat akan dilakukan pada titik-titik percobaan yang telah didefinisikan di mana pada titik pusat akan dilakukan ulangan, sedangkan pada titik-titik lainnya tidak dilakukan pengulangan pengamatan. Pada kasus pemurnian oksigen ini, titik-titik pusat bersesuaian dengan T = -190oC dan R = 1.376 atm untuk daerah maksimum. Pada percobaan awal (Tabel 3), ditetapkan titik pusat T = 220 dan R =1.2 atm, maka bentuk hubungan x1 dengan serta x2 dengan R dapat dimodifikasi ke dalam persamaan berikut
,
(6).
.
.
(7)Berdasarkan sifat dari rancangan komposit pusat dan pengulangan pengamatan yang dilakukan pada titik pusat, maka dapat dirancang suatu percobaan dengan mengambil titik-titik dan
atau titik-titik dan yang bersesuaian. Percobaan dilakukan kembali sehingga memperoleh data seperti Tabel 5.
Tabel 5 Percobaan untuk Daerah Maksimum
Untuk memudahkan proses komputasi dalam membangun model orde kedua, data pada Tabel 5 disusun kembali sebagaimana disajikan pada Tabel 6.
Tabel 6 Dugaan Model Orde Dua Daerah Maksimum
x1 x2 x12 x22 x1 x2 Y -1 -1 1 1 1 86.2768 -1 1 1 1 -1 87.1249 1 -1 1 1 -1 87.567 1 1 1 1 1 86.3998 0 0 0 0 0 87.7321 0 0 0 0 0 87.1454 0 0 0 0 0 88.2779 0 0 0 0 0 88.2319 -1.414 0 1.999 0 0 86.0129 1.414 0 1.999 0 0 86.19 0 -1.414 0 1.999 0 87.6819 0 1.414 0 1.999 0 87.2976
Selanjutnya, akan dilakukan pendugaan parameter model orde kedua dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Hasil perhitungan dengan menggunakan software Minitab disajikan pada Tabel 7.
Variabel Kode Variabel Asli
Respon (Y) x1 x2 T R -1 -1 -195 1.276 86.2768 -1 1 -195 1.476 87.1249 1 -1 -185 1.276 87.5670 1 1 -185 1.476 86.3998 0 0 -190 1.376 87.7321 0 0 -190 1.376 87.1454 0 0 -190 1.376 88.2779 0 0 -190 1.376 88.2319 -1.414 0 -197.07 1.376 86.0129 1.414 0 -182.93 1.376 86.1900 0 -1.414 -190 1.235 87.6819 0 1.414 -190 1.517 87.2976
Tabel 7 Analisis Ragam Model Orde Dua Sumber db JK KT F P Regresi 5 5.57 1.11 4.93 0.04 Linear 2 4.04 2.02 8.94 0.02 Kuadrat 2 1.52 0.76 3.37 0.1 Interaksi 1 0.01 0.01 0.04 0.84 Ressidual Error 6 1.36 0.23 Lack of Fit 3 0.09 0.03 0.07 0.97 Pure Error 3 1.26 0.42 Total 6 6.93
Gambar 2 Permukaan Respon Maksimum
Berdasarkan output diketahui bahwa model orde kedua kasus di atas dapat dituliskan sebagai
87,8 0,102 0,108 0,861 0,167 0,504 . (8)
Pengujian koefisien regresi secara parsial untuk model (8) dapat dilihat pada Tabel 7. Terlihat bahwa nilai P value dengan derajat kepercayaan α = 5% uji koefisien regresi signifikan untuk dan x1x2. Hal ini berarti bahwa kedua suku tersebut berpengaruh pada model. Selanjutnya, akan ditentukan
titik-titik x1 dan x2 yang memaksimumkan model (8), dengan menerapkan kondisi optimasi.
Berdasarkan model (8), diperoleh matriks Hessian yang dituliskan sebagai (Stewart, 2003) 1.722 0504
0.504 0.344
Dapat ditunjukkan bahwa 0.321 merupakan nilai ekstrim yang bersifat definit negatif. Dengan demikian, model orde dua (8) memenuhi syarat cukup untuk kondisi maksimum. Akibatnya, titik stasioner x1 = -0.06 dan 0.41 adalah titik maksimum. Substitusi dan pada model (8)
memberikan nilai dugaan respon maksimum 87.8. Grafik permukan respon maksimum disajikan pada Gambar 2 dan kontur plotnya pada Gambar 3. x1 = -0.06
Gambar 3 Kontur Respon Maksimum
Jelas bahwa pada suhu -190.3 dan rasio tekanan sebesar 1.417 atm adalah kondisi pemurnian oksigen yang maksimum sebesar 87.8.
Uji Orde Model dengan Nilai Duga Galat
Pada tahap ini, akan ditinjau nilai galat model orde satu (5) dan model orde dua (8) untuk percobaan yang diduga mengandung titik maksimum. Nilai duga galat model dapat dilihat pada Tabel 8 dan Tabel 9, yaitu nilai galat model orde satu dan galat model orde dua , yang menunjukkan adanya nilai galat yang besar pada titik tertentu untuk model orde kedua (8).
Tabel 8 Galat Model Orde Satu
₁ ₂ Ŷ -1 -1 82.8 83 -0.2 0.04 -1 1 83.5 83.5 0 0 1 -1 84.7 84.7 0 0 1 1 85 85.2 -0.2 0.04 0 0 84.1 84.1 0 0 0 0 84.5 84.1 0.4 0.16 0 0 83.9 84.1 -0.2 0.04 0 0 84.3 84.1 0.2 0.04 Jumlah 0.32
Sesuai dengan data pada Tabel 9, apabila koefisien dan variabel yang tidak signifikan dihilangkan dari model karena diduga menjadi penyebab nilai galat yang besar diperoleh
87.8 0.828 0.504 (9)
Tabel 9 Galat Model Orde Dua ₁ ₂ Ŷ -1 -1 86.276 86.320 -0.0438 0.0019 -1 1 87.124 87.112 0.0123 0.0002 1 -1 87.56 87.532 0.0348 0.0012 1 1 86.399 86.308 0.091 0.0083 0 0 87.732 87.846 -0.1147 0.0132 0 0 87.145 87.846 -0.701 0.492 0 0 88.277 87.846 0.431 0.186 0 0 88.231 87.846 0.385 0.1483 -1.4 0 86.012 85.980 0.032 0.001 1.4 0 86.19 86.269 -0.079 0.006 0 -1.4 87.681 87.665 0.016 0.0003 0 1.4 87.297 87.360 -0.063 0.0039 Jumlah 0.862
Tabel 10 Analisis Ragam Model (9) Sumber db JK KT Fhit Regresi 2 2.58 2.79 20.65 Residual Error 9 1.22 0.14 Lack of Fit 1 0.01 0.01 0.08 Pure Error 8 1.20 0.15 Total 11 6.8
Dari model (9) dihitung nilai galat baru pada Tabel 11 yang menunjukkan bahwa nilai ragam galat yang diperoleh lebih besar dari dan .
Tabel 11 Nilai Galat Baru
₁ ₂ Ŷ -1 -1 86.276 86.381 -0.104 0.0109 -1 1 87.124 87.389 -0.264 0.0698 1 -1 87.567 87.389 0.177 0.0316 1 1 86.399 86.381 0.018 0.0003 0 0 87.732 87.713 0.018 0.0003 0 0 87.145 87.713 -0.568 0.3226 0 0 88.277 87.713 0.564 0.3187 0 0 88.231 87.713 0.518 0.2688 -1.4 0 86.012 86.058 -0.045 0.0020 1.4 0 86.19 86.058 0.131 0.0173 0 -1.4 87.681 87.713 -0.031 0.0009 0 1.4 87.297 87.713 -0.415 0.1728 Jumlah 1.2165
Dengan demikian, secara umum model orde dua (9) lebih baik untuk menduga hasil percobaan pemurnian oksigen dibandingkan dengan model orde satu (5) dan model (8). Hal ini juga dapat dilihat pada Gambar 4. Gambar ini menyajikan grafik galat untuk ketiga model. Terlihat bahwa secara umum galat untuk model (9) lebih kecil dibandingkan dengan model (5) dan model (8).
Gambar 4 Nilai Galat Model
PENUTUP
Telah diuraikan penggunaan metode dakian tercuram untuk menentukan nilai optimum. Sebagai studi kasus, diambil data hasil percobaan pemurnian oksigen di suatu industri kimia. Pemurnian dilakukan pada suhu (T) dan rasio tekanan (R) tertentu, dengan kondisi awal percobaan pada suhu T = - 220 oC dan rasio tekanan R =1.2 atm. Berdasarkan hasil perhitungan, diperoleh bahwa
daerah maksimum terjadi pada lintasan ke-6, pada proses akhir dalam penentuan titik optimum dengan rancangan komposit pusat, dan diketahui titik maksimum berada pada suhu reaksi 190.3oC dan rasio
tekanan sebesar 1.417 atm dengan 87.82 dugaan respon pemurnian oksigen.
DAFTAR PUSTAKA
Amago, T. (2001). Sizing optimization using respond surface method in FOA. Research Report, Japan: Research Domain 14.
Aunuddin. (2005). Statistika, rancangan, dan analisis data, Bogor: IPB Press.
Gaspersz, V. (1992). Teknik analisis dalam penelitian percobaanm, Bandung: Tarsito.
Khuri, A.I. (2003). Advanced calculus with applications in statistics, Canada: Wiley Interscience. Mendenhall, W. (1996). Statistics for management and economics, Boston: Duxbury Press.
Montgomery, D.C. (2001). Design and analysis of experiments, 5th ed., New York: John Wiley &
Sons, Inc.
Myers, R.H. (1971). Response surface methodology, Boston: Allyn & Bacon, Inc. Stewart, J. (2003). Kalkulus, edisi keempat, jilid kedua, Jakarta: Erlangga.
Walpole, R.E., and Myers, R.H. (1995). Ilmu peluang dan statistika untuk insinyur dan ilmuan, Bandung: Institut Teknologi Bandung.
‐0.8 ‐0.6 ‐0.4 ‐0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ε₁ ε₂ ε₃
