Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II

Fourier Analysis & Its Applications in PDEs

Hendra Gunawan

http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/ Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology

Bandung, INDONESIA

Outline

1 Tiga Operator Integral Penting

Operator Maksimal

Operator Integral Fraksional Iα:= (−∆)−α/2

Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2

2 _{Persamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola} Solusi Persamaan Gelombang

Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola

Materi ini disadur dari buku E.M. Stein (1970), “Singular integrals and Differentiability Properties of Functions”.

Menurut Teorema Dasar Lebesgue (yang merupakan perumuman dari Teorema Dasar Kalkulus), kita mempunyai

lim r→0 1 m(B(x, r)) Z B(x,r) f (y) dy = f (x)

hampir di mana-mana, asalkan f terintegralkan lokal pada Rd. (Di sini, f adalah fungsi dari Rdke R.) Hasil ini mengatakan bahwa turunan dari integral f sama dengan f itu sendiri, hampir di mana-mana.

Teorema Dasar Lebesgue merupakan akibat dari keterbatasan

operator maksimal Hardy-Littlewood MHL, yang memetakan f

ke MHLf (x) := sup r>0 1 m(B(x, r)) Z B(x,r) |f (y)| dy. Dengan substitusi peubah, kita dapat menuliskan

MHLf (x) = sup r>0 1 m(B(0, 1)) Z B(0,1) |f (x − ry)| dy.

Perhatikan bahwa jika f merupakan fungsi yang terbatas (oleh

bilangan K), maka MHLf juga terbatas (oleh bilangan K yang

Berkenaan dengan operator maksimal MHL, kita mempunyai:

Teorema. Untuk 1 < p ≤ ∞, kita mempunyai kM_HLf kp ≤ Cpkf kp,

yakni, MHL merupakan operator terbatas di Lp(Rd).

Catatan. Di sini Lp(Rd) merupakan ruang norm dengan norm kf kp=

 R

Rd|f (x)|

p_dx1/p_{. Operator T : L}p_(Rd_{) → L}p_(Rd₎

dikatakan terbatas apabila terdapat konstanta Cp sehingga

Pada pembahasan transformasi Fourier di R, kita telah membahas ‘identitas hampiran’, yaitu keluarga fungsi φr(x) = 1_rφ x_r
, dengan

φ ≥ 0 danR

Rφ(x) dx = 1. Konsep ini dapat diperluas ke R

d_,

dengan mengganti definisi φr menjadi

φr(x) = 1 rdφ x r

(dan menghapus asumsi φ ≥ 0). Selanjutnya, jika ψ(x) := sup

|y|≥|x|

|φ(y)| terintegralkan, maka

sup

r>0

|(φ_r∗ f )(x)| ≤ C M_HLf (x)

Lebih jauh, kita mempunyai

kφr∗ f − f kp → 0, r → 0,

untuk f ∈ Lp(Rd), 1 ≤ p < ∞, dan lim

r→0(φr∗ f )(x) = f (x)

hampir di mana-mana, untuk f ∈ Lp(Rd), 1 ≤ p ≤ ∞.

Perhatikan bahwa Teorema Dasar Lebesgue merupakan kasus khusus, dengan mengambil φ =_m(B(0,1))1 χ_B(0,1).

(MHLf = sup

r>0

Ingat bahwa solusi Persamaan Panas ut= uxx pada R, dengan

syarat awal u(x, 0) = f (x), mempunyai solusi u(x, t) = Ht∗ f (x) dengan H(x) = √1 4πe −x2_/4 dan Ht(x) = √1_tH √x_t
(Kernel Panas).

Pada Rd, Persamaan Panas berbentuk ut= ∆xu dengan

∆x := ∂ 2 ∂x2 1 + · · · + _∂x∂22 d

(operator Laplace). Solusinya adalah u(x, t) = Ht∗ f (x) dengan H(x) = _(4π)1d/2e −|x|2_/4 dan Ht(x) = _td/21 H x √ t
.

Karena Ht(x) merupakan identitas hampiran, maka hasil-hasil tadi

Demikian pula halnya solusi Persamaan Laplace ∆xu + uyy= 0

(x ∈ Rd, y > 0) dengan syarat awal u(x, 0) = f (x), dapat dinyatakan sebagai u(x, y) = Py∗ f (x) dengan P (x) = cd (|x|2₊₁₎(d+1)/2 dan Py(x) = 1 ydP x y
(Kernel Poisson). Di sini cd= Γ((d+1)/2)_π(d+1)/2 , sehingga R RdP (x) dx = 1.

Perihal Persamaan Gelombang, akan kita bahas secara khusus nanti pada bagian terakhir.

Selain operator maksimal, terdapat banyak operator penting lainnya yang dipelajari. Salah satu operator yang akan kita bahas sekarang adalah operator integral fraksional Iα yang diberikan

oleh rumus Iαf (x) = | · |α−d∗ f (x) = Z Rd f (y) |x − y|d−αdy,

dengan 0 < α < d. Perhatikan bahwa Iαf terdefinisi setidaknya

untuk fungsi f yang terbatas dan mempunyai tumpuan kompak (compact support) — Soal Latihan 2.

Dengan menghitung transformasi Fouriernya, kita mempunyai d

Iαf (ξ) = cα|ξ|−αf (ξ).b Untuk k ∈ N, jelas bahwa

\

(−∆)k_{f (ξ) = (2π|ξ|)}2k

b f (ξ).

Karena itu Iα∼ (−∆)−α/2. Khususnya, untuk α = 2 < d, fungsi

u = I2f merupakan solusi (lemah) dari Persamaan Poisson

Teorema berikut menyatakan bahwa Iα merupakan operator yang

terbatas dari Lp(Rd) ke Lq(Rd) untuk suatu q > p. Persisnya, kita mempunyai:

Teorema. Untuk 1 < p < _αd, kita mempunyai kIαf kq≤ Cp,qkf kp,

dengan 1_q = 1_p −α_d.

Ketaksamaan di atas dibuktikan dengan mendekomposisi integral Iαf (x) menjadi dua bagian: yang pertama adalah integral di

sekitar x, yang kedua jauh dari x. Yang pertama dikontrol oleh fungsi maksimal Hardy-Littlewood, yang kedua oleh norm f .

Salah satu aplikasi dari teorema di atas adalah dalam menaksir solusi Persamaan Poisson:

kukq ≤ Cpkf kp,

dengan q = pd/(d − 2p).

Pembahasan lebih lanjut tentang operator integral fraksional Iα

akan disampaikan oleh Dr. Idha Sihwaningrum pada seminar besok. (Dr. Eridani akan membahas operator integral lainnya.)

Operator berikutnya yang akan kita bahas di sini adalah operator integral singular Iu yang juga merupakan operator konvolusi, yang

diberikan oleh rumus

Iuf (x) = Ku∗ f (x)

dengan Ku(x) = C(u)|x|iu−d. Di sini C(u) adalah konstanta yang

bergantung hanya pada u sedemikian sehingga bKu(ξ) = |ξ|−iu.

Perhatikan bahwa d

Karena ||x|iu| = |eiu ln |x|_{| = 1 untuk tiap x 6= 0, kita mempunyai}

kI_uf k2= kdIuf k2 = k bf k2 = kf k2,

yakni, Iu merupakan isometri pada L2(Rd).

Dengan menaksir |Ku(x)| secara teliti, dapat ditunjukkan bahwa

kI_uf kp ≤ Cp(1 + |u|)d/2kf kp,

Dari kedua ketaksamaan tadi, kita dapat memperoleh ketaksamaan berikut via interpolasi ala Marcinkiewicz:

kIuf kp ≤ Cp(1 + |u|)|d/p−d/2|kf kp.

Ketaksamaan ini kelak dapat dipakai untuk membuktikan keterbatasan operator maksimal permukaan bola, yang akan kita bahas pada bagian berikutnya.

Persamaan Gelombang pada R: utt = uxx,

mempunyai solusi u = u(x, t) dengan b

u(ξ, t) = A(ξ) cos(2π|ξ|t) + B(ξ) sin(2π|ξ|t), dengan A(ξ) dan B(ξ) konstanta (bergantung pada ξ saja). Jika u memenuhi syarat awal

u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = g(x),

maka

b

Dari sini kita peroleh A(ξ) = bf (ξ), 2π|ξ|B(ξ) =_bg(ξ). Dengan demikian, b u(ξ, t) = bf (ξ) cos(2π|ξ|t) +bg(ξ) sin(2π|ξ|t) 2π|ξ| .

Ambil inversnya, kita dapatkan u(x, t) = Z R h b f (ξ) cos(2π|ξ|t) +bg(ξ) sin(2π|ξ|t) 2π|ξ| i e2πixξdξ. Dengan Kesamaan Plancherel dapat ditunjukkan bahwa energi total E(t) =R

R(|ut(x, t)| 2_{+ |u}

x(x, t)|2) dx konstan (tidak

Catatan: Semua perhitungan di atas juga berlaku untuk

Persamaan Gelombang pada Rd

utt = ∆xu,

Untuk d = 1, solusi Persamaan Gelombang utt= uxx pada [0, L]

dengan syarat awal u(x, 0) = f (x) dan ut(x, 0) = g(x) mempunyai

rumus eksplisit u(x, t) = 1 2  f (x + t) + f (x − t) + Z x+t x−t g(y) dy, dengan f dan g telah diperluas ke seluruh R menjadi fungsi ganjil dan periodik dengan periode 2L.

Rumus ini juga berlaku untuk Persamaan Gelombang pada R dengan data awal f dan g di S(R). (Anda tinggal menghitung transformasi Fouriernya dan membandingkan hasilnya dengan rumus sebelumnya.)

Perhatikan bahwa rumus di atas terdiri dari dua nilai ‘rata-rata’. Yang pertama adalah nilai rata-rata f di kedua titik ujung interval [x − t, x + t]. Yang kedua adalah t kali nilai rata-rata integral g pada interval [x − t, x + t], yakni _2t1 Rx+t

x−t g(y) dy. Rumus di atas

dapat ditulis ulang sebagai

u(x, t) = ∂

∂t(tMtf (x)) + tMtg(x), dengan Mtf (x) = MtHLf (x) = 2t1χ[−t,t]∗ f .

Untuk d = 3, kita ternyata mempunyai rumus yang serupa, tapi dengan rumus nilai rata-rata Mtf yang berbeda.

Misalkan S2 menyatakan permukaan bola satuan di R3. Kita definisikan nilai rata-rata f pada permukaan bola yang berpusat di x dan berjari-jari t sebagai

Mtf (x) = MtSf (x) = 1 4π Z S2 f (x − tγ)dσ(γ),

dengan dσ(γ) menyatakan elemen luas permukaan pada S2_.

Karena luas permukaan bola satuan adalah 4π, maka M_tSf

merupakan nilai rata-rata integral f pada permukaan bola yang berpusat di x dan berjari-jari t.

Dapat diperiksa bahwa untuk f ∈ S(R3), maka M_tSf ∈ S(R3) juga. Lebih jauh, M_tSf dapat diturunkan tak hingga kali terhadap t, dan para turunannya juga merupakan fungsi di S(R3).

M_t f merupakan konvolusi f dengan µ = _4πσ yang merupakan ukuran ternormalisasi pada permukaan bola S2, yakni

M_tSf (x) = µt∗ f (x).

Lebih jauh kita mempunyai [

MS

t f (ξ) = bf (ξ)

sin(2π|ξ|t)

2π|ξ|t .

Cata bahwa, untuk t = 1, sin(2π|ξ|)_2π|ξ| merupakan transformasi Fourier dari µ, dalam arti

1 4π Z S2 e−2πiξ·γdσ(γ) = sin(2π|ξ|) 2π|ξ|

Akibatnya, untuk d = 3, kita mempunyai teorema berikut: Teorema. Solusi Persamaan Gelombang

utt = ∆xu

dengan syarat awal

u(x, 0) = f (x) dan ut(x, 0) = g(x)

adalah

u(x, t) = ∂

∂t(tMtf (x)) + tMtg(x), dengan Mtf = MtSf .

Bukti. Solusi persamaan gelombang utt = ∆xu dengan syarat

awal u(x, 0) = 0 dan ut(x, 0) = g(x) adalah

u1(x, t) = Z R3 h b g(ξ)sin(2π|ξ|t) 2π|ξ| i e2πix·ξdξ = tM_tSg(x).

Sementara itu, solusi persamaan gelombang utt = ∆xu dengan

syarat awal u(x, 0) = f (x) dan ut(x, 0) = 0 adalah

u2(x, t) = Z R3 h b f (ξ) cos(2π|ξ|t) i e2πix·ξdξ = ∂ ∂t(tM S t f (x)).

Kasus d = 2 tidak sesederhana seperti kasus d = 1 atau d = 3. Namun, solusi Persamaan Gelombang dengan syarat awal u(x, 0) = f (x) dan ut(x, 0) = g(x) mempunyai rumus yang

serupa, yakni

u(x, t) = ∂

∂t(tMtf (x)) + tMtg(x), dengan Mtf (x) := _2π1

R

|y|≤1f (x − ty)(1 − |y|2)

−1/2_dy.

Perhatikan bahwa secara umum Prinsip Huygen berlaku: untuk setiap x dan t, nilai u(x, t) ditentukan oleh nilai data awal pada B(x, t).

Serupa (tapi tak sama) dengan fungsi maksimal Hardy-Littlewood, kita mempunyai fungsi maksimal permukaan bola

MSf (x) := sup t>0

|M_tSf (x)|.

Pada tahun 1976, E.M. Stein membuktikan keterbatasan operator MS pada Lp(Rd) sebagai berikut:

Teorema. Untuk d ≥ 3, berlaku

kM_Sf kp≤ Cpkf kp

asalkan p > _d−1d .

Teorema di atas dapat dibuktikan dengan menuliskan µ(x) = P (x) +

Z

R

A(u)Ku(x) du,

dengan A(u) = O(1 + |u|)−d/2. Dari sini kita peroleh µt(x) = Pt(x) +

Z

R

A(u)Ku(x)t−iudu,

(µt∗ f )(x) = (Pt∗ f )(x) +

Z

R

A(u)Iuf (x)t−iudu.

Akibatnya,

MSf (x) ≤ C MHLf (x) +

Z

R

|A(u)||Iuf (x)| du.

Kita ingat bahwa u(x, t) = tM_tSf (x) merupakan solusi dari

Persamaan Gelombang utt = ∆xu pada R3 dengan syarat awal

u(x, 0) = 0 dan ut(x, 0) = f (x). Berdasarkan teorema di atas, kita

mempunyai sup t>0    u(·, t) t    p ≤ Cpkf kp untuk p > 3₂.