Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
19
(2007), 71–79
Quand seule la sous-somme vide est nulle
modulo
p
par
Jean-Marc DESHOUILLERS *
R´esum´e. Soit c > 1, p un nombre premier et A une partie de
Z/pZde cardinal sup´erieur `ac√ptelle que pour tout sous-ensem-ble non videB de A, on a Pb∈Bb 6= 0. On montre qu’il existes
premier `a ptel que l’ensemble s.A est tr`es concentr´e autour de l’origine et qu’il est presque enti`erement compos´e d’´el´ements de partie fractionnaire positive. Plus pr´ecis´ement, on a
X
a∈A
ksapk<1 +O(p−1/4lnp) et X a∈A,
{sa/p}≥1/2
ksapk=O(p−1/4lnp).
On montre ´egalement que les termes d’erreurs ne peuvent ˆetre remplac´es paro(p−1/2).
Abstract. Let c >1, pbe a prime number and A a subset of
Z/pZwith cardinality larger thanc√pand such that for any non empty subsetB of A, one has Pb∈Bb 6= 0. We show that there existsscoprime withpsuch that the sets.Ais very concentrated around the origin, and that it is almost exclusively composed of elements with a positive fractional part. More precisely, one has
X
a∈A
ksapk<1+O(p−1/4lnp) and X a∈A,
{sa/p}≥1/2
ksapk=O(p−1/4lnp).
We also show that the error terms cannot be replaced byo(p−1/2).
Jean-MarcDeshouillers
Institut de Cognitique
Universit´e Victor Segalen Bordeaux 2 33076 BORDEAUX Cedex (France) et
A2X, UMR 5465
Universit´e Bordeaux 1 et CNRS 33405 TALENCE Cedex (France)
E-mail:[email protected]
Manuscrit re¸cu le 15 janvier 2006.
