FUNGSI MEAN RESIDUAL LIFE
2.1 Sifat-Sifat Peluang 2.1.1 Identitas dasar
Pertama akan ditunjukkan sebuah hubungan dasar di antara fungsi survival dan momen dari distribusi. Untuk sebuah random variabel kontinu dengan ni-lai non-negatif dan mempunyai rata-rata yang berhingga, maka µ ≡ E(X) = R∞ 0 xf(x)dx= R∞ 0 S(x)dx(Klein, 2005). E(X) = ∞ Z 0
xf(x)dx menggunakan integral parsial denganu=x, du=dx, dv =f(x), v =−S(x)
= [−xS(x)]∞0 − ∞ Z 0 −S(x)dx = lim x→∞xS(x) + 0S(0) + ∞ Z 0 S(x)dx = 0 + 0 + ∞ Z 0 S(x)dx = ∞ Z 0 S(x)dx
dimana limit x menuju tak berhingga dari xS(x) adalah 0, karena diasumsikan rata-ratanya berhingga R∞
0 tf(t)dt <∞
dan fungsi distribusinya kontinu. Se-cara umum, fungsi distribusi hanya membutuhkan kontinu ke kanan dengan rata-rata berhingga untuk limit menuju 0. Argumen mengikuti: untuk sebuah fungsi distribusi kanan, fungsi distribusi didefinisikan sebagai S(x) = R∞
x f(t)dt ⇒
xS(x) = xR∞
x f(t)dt (perlu diingat bahwa integral tersebut dapat dengan
mu-dah dipecah menjadi sebuah penjumlahan dari integral-integral untuk distribusi-distribusi kontinu kanan yang mengandung sebuah lompatan dalam fungsi densi-ty). Denganxdanf(x) yang non-negatif, diperoleh 0 ≤xR∞
x f(t)dt≤
R∞
Mengaplikasikan limit untuk setiap bentuk, limx→∞0 ≤ limx→∞x R∞ x f(t)dt ≤ limx→∞ R∞ x tf(t)dt⇒0≤limx→∞x R∞
x f(t)dt≤0, maka dengan Teorema Squeeze
diperoleh limx→∞xS(x) = 0.
Momen kedua dapat juga ditulis sebagai sebuah fungsi dari fungsi survival. Mengasumsikan keberadaan dari momen ke-2, dapat ditulis
E(X2) = ∞ Z 0 x2f(x)dx = −x2S(x)∞ 0 − ∞ Z 0 −2xS(x)dx =− lim x→∞ x 2S(x) + 0S(0) + 2 ∞ Z 0 x(S(x))dx = 2 ∞ Z 0 xS(x)dx
Selanjutnya dengan mengasumsikan keberadaan dari momen kedua Z ∞
0
x2f(x)dx <∞
untuk fungsi distribusi kontinu (setidaknya kontinu ke kanan), dapat ditulis
x2S(x) = x2 Z ∞ x f(t)dt⇒0≤x2 Z ∞ x f(t)dt≤ Z ∞ x t2f(t)dt Dengan mengaplikasikan limit untuk setiap bentuk
lim x→∞0≤xlim→∞x 2 Z ∞ x f(t)dt ≤ lim x→∞ Z ∞ x t2f(t)dt⇒0≤ lim x→∞x 2 Z ∞ x f(t)dt ≤0 kemudian dengan menggunakan Teorema Squeeze, lim
x→∞x
2S(x) = 0.
Secara umum, jika rth momen ada untuk sebuah random variabel kontinu
X maka berlaku: E(Xr) =r ∞ Z 0 xr−1S(x)dx (2.1) Bentuk ini sangat menarik karena dengan menetapkan formula inversnya maka diperoleh sebuah langkah untuk memperoleh momen dari fungsi MRL. Dengan
demikian dapat ditentukan pula variansi dari fungsi survivalnya yaitu sebagai berikut: V ar(X) =E(X2)−E2(X) = 2 ∞ Z 0 xS(x)dx− ∞ Z 0 S(x)dx 2
Telah didefinisikan MRL sebagai ekspektasi dari sisa hidup sampai waktu x. Diperoleh bentuk untuk fungsi MRL dari fungsi survival dengan bentuk berikut (London , 1988): m(x) =E(X −x|X > x) = Z ∞ x (t−x)dP(X ≤t|X > x) = Z ∞ x (t−x)d F(t)−F(x) 1−F(x) = Z ∞ x (t−x)d −S(t) +S(x) S(x) = Z ∞ x (t−x) d −S(t) S(x) +d[1] = Z ∞ x (t−x) −S0(t)dt S(x) = (t−x)S(t)| ∞ x + R∞ x S(t)dt S(x) = limx→∞(t−x)S(t)−(x−x)S(x) + R∞ x S(t)dt S(x) = R∞ x S(t)dt S(x)
dimana limit pertama di langkah terakhir mengarah ke 0 karena diasumsikan bahwa momen pertama ada, dan limit kedua mengarah ke 0 karena F(∞) = 1. Maka dapat dengan mudah dilihat bahwa momen pertama ekuivalen dengan fungsi MRL dengan x= 0. m(0) = R∞ x (t−0)f(t)dt S(0) = R∞ 0 tf(t)dt 1 =µ (2.2)
2.1.2 Batas untuk fungsi MRL
Pertama diketahui bahwa m(x) + x(i)=E(X|X > x), yang mengarah ke (m(x) +x)S(x)(ii)=E(X·1(X>x))
(iii)
= µ−E(X·1(X≤x)). Juga benar bahwa E(X ·
1(X>x)) (iv)
≤ T S(x)(v)≤µ, danE(X·1(X>x)) (vi)
≤ (E(Xr))1r S(x)1−1r, untukr >1. Juga,
E(X·1(X≤x) (vii) ≤ xF(x), dan E(X·1(X≤x)) (viii) ≤ (E(Xr))1 rF(x)1− 1 r, untukr >1.
Sekarang telah siap untuk menentukan batasan-batasan untuk fungsi MRL. JikaF adalah bukan menurun dengan MRL,m(x), rata-rata,µ, danνr ≡E(Xr)≤
(a) m(x) ≤ (T −x)+ untuk semua x, dengan persamaan jika dan hanya jika
F(x) =F(T−) atau 1, (perlu diingatT− bahwa kita mendekati T dari kiri)
(b) m(x) ≤ µ
S(x) −x untuk semua x dengan persamaan jika dan hanya jika F(x) = 0 (c) m(x)< νr S(x) 1r
−x untuk semua xdan r >1
(d) m(x) ≥ (µ−x)
+
S(x) untuk x < T dengan persamaan jika dan hanya jika F(x) = 0 (e) m(x)> µ−F(x) νr F(x) 1r S(x) −x untukx < T dan r >1
(f) m(x) ≥ (µ−x)+ untuk setiap x, dengan persamaan jika dan hanya jika
F(x) = 0 atau 1
Jika F disusutkan pada µ, m(x) = (µ−x)+, untuk semua x.
2.1.3 Sifat dari MRL (formula invers)
Sifat berikut adalah dasar dari pengembangan untuk teorema karakterisasi untuk fungsi MRL, yaitu (Hall dan Wallner, 1981):
(a) m(x) non negatif dan kontinu ke kanan, dan m(0) =µ >0 (b) v(x)≡m(x) +x tidak menurun
(c) m(x−)> 0 untuk x ∈ (0, T); jika T < ∞, m(T−) = 0, dan m kontinu saat
T m(t−)≡ lim x→t−m(x) (d) S(x) = m(0) m(x)exp − x R 0 1 m(t)dt
, untuk semua x < T (Formula Invers)
(e) x R 0 1 m(t)dt→ ∞ dengan x→T
Sifat (d) diketahui sebagai Formula Invers. Dan dibuktikan sebagai berikut:
Pembuktian Formula Invers (Hall dan Wallner, 1981): Didefinisikan fungsi k(x)≡ R∞ x S(t)dt=m(x)S(x). Diperolehk0(x) =f(x)m(x)−S(x)m0(x), dengan m0(x) = S 2(x) +f(x)Rx 0 S(t)dt S2(x) = 1 + f(x)m(x)
S(x) , dan dengan demikian k
0(x) = −S(x). Sekarang diperlihatkan x Z 0 1 m(t)dt=− x Z 0 −S(t) S(t) 1 m(t)dt =− x Z 0 k0(t) k(t)dt=−[log(k(x))−log(k(0))] =−log k(x) k(0) =−log S(x)m(x) S(0)m(0) =−log S(x)m(x) m(0) ⇒exp − x Z 0 1 m(t)dt =exp log S(x)m(x) m(0) ⇔exp − x Z 0 1 m(t)dt = S(x)m(x) m(0) ⇔S(x) = m(0) m(x)exp − x Z 0 1 m(t)dt (2.3)
Disimpulkan ringkasan dari sifat untuk fungsi MRL dengan sebuah hasil utama bahwa syarat perlu dan cukup yang mana sebuah fungsi adalah fungsi MRL untuk sebuah distribusi survival, dan dengan demikian merupakan karakter dari fungsi MRL.
Teorema Karakterisasi (Hall dan Wallner, 1981): Diketahui sebuah fungsi m(x) dengan pemetaan R+ → R+ dari (a) m(x) adalah kontinu ke kanan dan m(0) >0; (b) v(x)≡m(x) +xtidak menurun; (c) jika m(x−) = 0 untuk
bebera-pax=x0, maka m(x) = 0 untukx∈[x0,∞); (d) jikam(x−)>0 untuk semuax,
maka R∞
0
1
m(t)dt=∞. Diberikan T ≡inf{x:m(x−) = 0} ≤ ∞, dan didefinisikan S(x) oleh (2.3) untuk x < T dan S(x)≡ 0 untukx ≥T. MakaF(x)≡1−S(x) adalah sebuah fungsi distribusi atasR+dengan F(0) = 0, T
F =T, batas rata-rata
2.2 Fungsi MRL untuk Distribusi Spesifik
2.2.1 Linier MRL
Jika fungsi MRL adalah linier, m(x) = Ax +B(A > −1, B > 0), maka dengan menggunakan formula invers, fungsi Survival menjadi berbentuk:
S(x) = B Ax+B A1+1 + (2.4)
ditunjukkan bentuk asal Survival ketika A6= 0 berikut : S(x) = B Ax+B exp − Z x 0 1 At+Bdt = B Ax+B exp −A1 ln(At+B) x 0 = B Ax+B exp h ln(Ax+B)−1 A i exphln(B)−1 A i = B Ax+B B Ax+B A1 = B Ax+B A1+1 +
Dimana bagian positif diperlukan untuk memenuhi bagian nonnegatif dari fungsi Survival (Oakes dan Dasu, 2003). UntukA >0 fungsi Survival adalah merupakan distribusi Pareto. Bentuk fungsi Survival dari distribusi Pareto untuk variabel acak Z adalah S(z) = β z α
untukβ >0 (scale),α >0 (shape), dan z ∈[β,+∞]
jika dipilih transformasiZ =Ax+BdimanaB =βdan A1+1 =α, maka diperoleh Z ∼ P areto(α, β). Untuk lebih jelas diketahuiβ >0 didapat dari B =β dengan B > 0. Juga diketahui bahwa parameter shape diperoleh α > 1 dari 1
A+ 1 = α
dan 1
A >0. Perlu diingat bahwa moment pertama hanya berlaku untuk distribusi
MRL linier denganA, B >0. Misalkan diberikanz ∈[β,+∞] dimanaz=Ax+B dan Ax > 0. Akhirnya, karenaZ ≥β >0⇒ βz >0 fungsi survival selalu positif, maka tidak diperlukan penyesuaian untuk membuat fungsi bernilai positif.
Gambar 2.1 (kiri)Linier MRL untuk X dengan A= 4 (slope) dan B = 1 (inter-cept). (kanan) fungsi survival yang berhubungan dari X
Untuk−1 < A <0 fungsi survival adalah berasal dari distribusi beta. pdf dari sebuah distribusi beta diberikan dengan
f(z;a, b, p, q) = (z−a)
p−1(b−z)q−1
B(p, q)(b−a)p+q+1
dimana a ≥ z ≥ b, p, q > 0, dan B(., .) adalah fungsi beta yang didefinisikan B(p, q) = R1
0 tp−1(1−t)q−1dt. Dimulai dengan bentuk fungsi survival dari MRL
linier untuk memperoleh pdf. Pdf akan mengumumkan model apa dari bentuk hasil reparameter dari rescaled beta dengan S(x) = B
Ax+B
A1+1
+ . Perlu diingat
bagian positif adalah diperloleh ketika −Ax ≤ B → x ≤ −B/A, maka ketika F(x) = 1− B Ax+B A1+1 diperoleh f(x) =− 1 A + 1 B Ax+B A1 AB (Ay+B)2 =− 1 A+ 1 ABA1+1 (Ax+B)(A1+1)+1 =−A(Ax+B) −(1 A+1)+1 1 A+ 1 −1 B−(A1+1) , diberikanZ =−AX ⇒ dx dz =− 1 A ⇒f(z) = +A A(B−z) −(1 A+1)−1 1 A+ 1 −1 B−(A1+1) (denganq=−(1 A+1)) = (B−y) q−1 −1 q B−q
Sekarang dapat diperlihatkan perlu untuk B = b, a = 0, p = 1. Ketika p = 1 ⇒ B(p = 1, q) =R1
0 (1−t) q−1
dt =−1qdimiliki f(x) = (zB(1,q)(b−0)1−1−(b0)−q+1−1z)q−1,0≤z ≤b.
Kemudian pdf dan fungsi survival diberikan dengan,
F(z) = z Z 0 (t−0)1−1(b−t)q−1 B(1, q)(b−0)q+1−1dt = z R 0 (b−t)q−1dt B(1, q)bq = − 1 q[(b−z) q−bq] −1 q bq = [(b−z)q−bq] bq = b−z b q −1 ⇒S(z) = b−z b q = b b−z −q
adalah meneliti transformasi fungsi survival
Gambar 2.2 (kiri) Linier MRL untuk X dengan A = −0.2 (slope) dan B = 1 (intercept). (kanan) fungsi survival yang berhubungan dengan X
untukA = 0, fungsi survival adalah eksponensial : S(x) = B B exp − Z x 0 1 Bdt =e−B1x
Gambar 2.1, 2.2 dan 2.3 memperlihatkan antara kedua fungsi MRL dan aki-bat fungsi survival yang digunakan oleh sebuah nilai dari slope parameter (A) dari setiap tiga daerah yang menyimggung sebelumnya. Memotong pada B = 1 untuk semua ketiga bentuk membuat garis dari slope parameter lebih nyata. Perhatikan bahwa disamping dari fungsi survival eksponensial, dimana tidak ada transfor-masi yang memaksa, kedua fungsi MRL dan fungsi survival adalah fungsi survival awal waktu Xlebih baik dari transformasi waktu survival yang mana diharapkan
Gambar 2.3 (kiri) Linier MRL untuk X dengan A = 0 (slope) dan B = 1 (intercept). (kanan) fungsi survival yang berhubungan dengan X
mengikuti distribusi yang baik (Pareto dan diskala ulang beta). Sekarang kembali ke daerah asaldari fungsi survival, dikatakan diatas bahwa untuk A≤ 0X dapat diambil nilai dari 0 damapai tak hingga, dimana untuk −1 < A < 0X berasal dari 0 untuk −B/A. Didalam contoh, daerah asal untuk fungsi survival ketika A = −0.2 dan B = 1 adalah [0.5]. dapat dilihat dengan besarnya kenaikan dari A didaerah asal dapat sangat kecil.
