BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Defenisi Beban Dinamik
Menurut Widodo (2001), Beban dinamik merupakan beban yang berubah-ubah menurut waktu (time varying) sehingga beban dinamik merupakan fungsi dari waktu.
Menurut Clough dan Penzien (1993), “Dynamic load is any load of which its
magnitude, direction, and/or position varies with time” yang dapat diartikan beban dinamik
merupakan beban yang mempunyai magnitud, arah atau tempat yang berubah dengan waktu. Beban dinamik adalah berupa getaran-getaran yang dihasilkan oleh sumber getaran. Getaran-getaran tersebut dapat berupa getaran yang diakibatkan oleh mesin yang beroperasi, kereta api yang melintas di atas rel, gempa bumi dan lain-lain. Pada pembahasan tugas akhir ini adalah mengenai beban dinamik yang disebabkan oleh gempa bumi.
Gempa bumi, walaupun tidak termasuk kejadian sehari-hari juga merupakan salah satu sumber getaran dan menimbulkan getaran. Energi mekanik akibat rusaknya struktur batuan pada peristiwa gempa bumi selanjutnya akan diubah menjadi energi gelombang yang menggetarkan batuan di sekelilingnya. Getaran batuan akibat gempa bumi selanjutnya diteruskan oleh media tanah sampai pada permukaan tanah. Tanah yang bergetar akibat gempa akan mengakibatkan bangunan yang berada di atas tanah akan ikut bergetar. Kerusakan pada bangunan sering terjadi akibat peristiwa gempa bumi tersebut khususnya pada daerah-daerah rawan gempa. Kerusakan pada struktur akan terjadi apabila getaran tanah yang terjadi cukup besar, berulang-ulang dan terjadi dalam waktu yang relatif lama.
2.2. Perbedaan Antara Beban Statik dan Beban Dinamik
Pada ilmu statika keseimbangan gaya-gaya didasarkan atas kondisi statik, dimana gaya-gaya tersebut tetap intensitasnya, tetap tempatnya, dan tetap arah/garis kerjanya. Gaya-gaya tersebut dikategorikan sebagai beban statik. Menurut Widodo (2001), kondisi tersebut akan berbeda dengan beban dinamik dengan pokok-pokok perbedaan sebagai berikut :
1. Beban dinamik merupakan beban yang berubah-ubah menurut waktu dan merupakan fungsi dari waktu.
2. Beban dinamik umumnya hanya bekerja pada rentang waktu tertentu. Untuk beban gempa bumi maka rentang waktu tersebut kadang-kadang hanya beberapa detik. Walaupun hanya beberapa detik namun dapat merusak stuktur dengan kerugian yang sangat besar.
3. Beban dinamik dapat menyebabkan timbulnya gaya inersia pada pusat massa yang arahnya berlawanan dengan arah gerakan. Tumpukan barang yang terguling kebelakang ketika kendaraan dijalankan dan terguling ke depan ketika direm merupakan salah satu contoh adanya gaya inersia pada pembebanan dinamik.
4. Beban dinamik lebih kompleks dibandingkan dengan beban statik, baik dari bentuk fungsi bebannya maupun akibat yang ditimbulkan. Asumsi-asumsi kadang-kadang perlu diambil untuk mengatasi ketidakpastian yang mungkin ada pada beban dinamik. 5. Karena beban dinamik berubah-ubah intensitasnya menurut waktu, maka
pengaruhnya terhadap struktur juga akan berubah-ubah menurut waktu, oleh karena itu penyelesaian problem dinamik harus dilakukan secara berulang-ulang menyertai sejarah pembebanan yang ada. Berbeda dengan penyelesaian problem statik yang bersifat penyelesaian tunggal (single solution), maka penyelesaian problem dinamik bersifat penyelesaian berulang-ulang (multiple solutions).
2.3. Pengaruh Beban Gempa Terhadap Struktur
Peristiwa gempa merupakan salah satu aspek yang sangat menentukan dalam merencanakan struktur. Struktur yang direncanakan harus mempunyai ketahanan terhadap gempa dengan tingkat keamanan yang dapat diterima. Aspek penting dari pengaruh gerakan tanah akibat gempa bumi adalah tegangan dan deformasi atau banyaknya kerusakan yang akan terjadi. Hal tersebut bergantung kepada kekuatan gempa bumi.
Kekuatan dari gerakan tanah yang ditinjau pada beberapa tempat disebut intensitas gempa. Tiga komponen dari gerakan tanah yang dicatat oleh alat pencatat gempa accelerograph untuk respon struktur adalah amplitudo, frekuensi dan durasi.
Selama terjadinya gempa, terdapat satu atau lebih puncak gerakan. Puncak ini menunjukkan efek maksimum dari gempa. Pengaruh kritis dari gempa terhadap struktur adalah gerakan tanah pada lokasi struktur. Selama terjadinya gempa, struktur akan mengalami gerakan vertikal dan gerakan horisontal. Gaya gempa, baik dalam arah vertikal maupun horisontal akan timbul di node-node pada massa struktur. Dari kedua gaya ini, gaya dalam arah vertikal hanya sedikit mengubah gaya gravitasi yang bekerja pada struktur, sedangkan struktur biasanya dirancang terhadap gaya vertikal dengan faktor keamanan yang mencukupi.
Sebaliknya gaya gempa horisontal bekerja pada node-node lemah pada struktur yang kekuatannya tidak mencukupi dan akan menyebabkan keruntuhan (failure). Dikarenakan keadaan tersebut, prinsip utama dalam perancangan tahan gempa (earthquake resistant
design) adalah meningkatkan kekuatan struktur terhadap gaya horisontal yang umumnya
tidak mencukupi. Gerakan permukaan bumi menimbulkan gaya inersia pada struktur bangunan karena adanya kecenderungan massa bangunan (struktur) untuk mempertahankan dirinya. Besar gaya inersia mendatar F tergantung dari massa bangunan m, percepatan
(acceleration) permukaan a dan sifat struktur. Apabila bangunan dan pondasinya kaku (stiff), maka menurut rumus Newton; F= M.A.
F m
a
Gambar 2.1. Gaya Inersia
Dalam kenyataannya hal tersebut tidaklah demikian, semua struktur tidaklah benar-benar sebagai massa yang kaku melainkan fleksibel. Suatu bangunan bertingkat banyak (multi storey building) dapat bergetar dengan berbagai bentuk karena gaya gempa yang dapat menyebabkan lantai pada berbagai tingkat mempunyai percepatan dalam arah yang berbeda-beda.
Salah satu hal penting pengaruh gempa pada struktur adalah periode alami getar struktur. Gedung yang sangat kaku pada umumnya mengalami gaya gempa yang lebih kecil apabila gerakan tanah yang mempunyai periode getaran yang panjang dibandingkan dengan gedung yang fleksibel, begitu pula sebaliknya.
Pergerakan gempa menyebabkan terjadinya osilasi pada struktur. Osilasi struktur dapat mempunyai periode alami yang panjang atau pendek disebabkan adanya mekanisme redaman di dalam struktur. Mekanisme redaman yang menyerap sebagian energi gempa ada di dalam semua struktur. Struktur disebut mempunyai periode alami getaran yang relatif
panjang apabila mengalami osilasi (gerak bolak-balik) dalam waktu yang relatif lama, dan sebaliknya.
Untuk itu maka diperlukan analisis dinamik untuk menentukan pembagian gaya geser tingkat akibat gerakan tanah oleh gempa dapat dilakukan dengan cara analisis respon spektrum. Cara ini adalah menggantikan gaya geser yang didapat sebagaimana analisis beban statik ekivalen untuk bangunan-bangunan yang tidak memerlukan analisis dinamik.
Modal analisis pada umumnya dapat digunakan dalam analisis respon spektrum untuk menentukan respon elastis pada struktur-struktur dengan banyak derajat kebebasan (MDOF) yang didasarkan kepada kenyataan bahwa respon sesuatu struktur merupakan superposisi dari respon masing-masing ragam getaran. Masing-masing ragam memberikan respon dengan sifat-sifatnya tersendiri, seperti yang ditentukan oleh bentuk lenturan, frekuensi getaran dari redaman yang bersangkutan. Karena itu, respon dari sesuatu struktur yang dimodelkan sebagai pendulum majemuk, dapat dianggap sebagai superposisi dari sejumlah pendulum sederhana (pendulum oscillator) dengan satu derajat kebebasan (SDOF).
Menurut G.G. Penelus at.al. (1977) dan E.F. Cruz at.al. (1986), sistem SDOF untuk menjelaskan respon dari masing-masing ragam spektrum, merupakan pendekatan yang cukup sesuai untuk menentukan respon elastis dari struktur terbatas dari gerakan tanah akibat gempa bumi. Gabungan respon dari semua ragam yang berperan untuk mendapatkan respon struktur secara keseluruhan dapat ditentukan dengan mengambil akar pangkat dua dari jumlah kuadrat spektrum masing-masing ragam ( square root of the sum square ).
2.4. Derajat Kebebasan (Degree of Freedom, DOF)
Apabila suatu struktur sebagai contoh portal sederhana dibebani secara dinamik maka massa struktur akan bergoyang baik ke kanan (simpangan bernilai positif) atau ke kiri (simpangan bernilai negatif). Sesungguhnya goyangan akan terjadi secara 3 dimensi, yaitu
apabila terdapat deformasi aksial kolom ataupun adanya puntiran. Menurut Widodo (2001), Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang diperlukan untuk menyatakan suatu posisi suatu sistim pada setiap saat. Apabila suatu titik yang ditinjau mengalami perpindahan tempat secara horisontal, vertikal dan ke samping, maka sistim tersebut mempunyai 3 derajat kebebasan. Hal ini terjadi karena titik yang bersangkutan dapat berpindah secara bebas dalam 3 arah.
Namun demikian, dari persoalan tersebut dapat dilakukan penyederhanaan dimana dapat dianggap hanya terjadi dalam satu bidang saja (tanpa puntiran). Hal ini dimaksudkan agar penyelesaian persoalan menjadi sedikit berkurang baik secara kualitas maupun kuantitas. Penyelesaian yang dahulunya sangat banyak menjadi berkurang banyak. Hal ini terjadi karena penyelesaian dinamik merupakan penyelesaian berulang-ulang dalam ratusan bahkan ribuan kali.
Pada permasalahan dinamik, setiap titik atau massa umumnya hanya diperhitungkan berpindah dalam satu arah saja yaitu horisontal. Kemudian karena simpangan yang terjadi hanya terjadi dalam satu bidang (2 dimensi) maka simpangan suatu massa pada setiap saat hanya mempunyai posisi/ordinat tertentu baik bertanda positif maupun negatif. Pada kondisi 2 dimensi tersebut simpangan suatu massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu y(t). struktur tersebut dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal (single degree of freedom, SDOF) dan struktur yang mempunyai n-tingkat akan mempunyai n-derajat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak (multi degree of freedom,
MDOF). Maka dapat disimpulkan bahwa, jumlah derajat kebebasan adalah jumlah koordinat
2.5. Prinsip Bangunan Geser (Shear Building)
Pada analisis dinamika struktur pola goyangan pertamalah yang umumnya diadopsi, dimana struktur dianggap cukup fleksibel dengan lantai-lantai tingkat yang relatif kaku. Untuk sampai pada anggapan hanya terdapat satu derajat kebebasan pada setiap tingkat, maka terdapat beberapa penyederhanaan/anggapan-anggapan. Anggapan-anggapan tersebut adalah :
1. Massa struktur dianggap terkonsentrasi pada setiap lantai tingkat. Massa yang dimaksud adalah massa struktur akibat berat sendiri, beban berguna, beban hidup dan berat kolom pada ½ tingkat dibawah dan diatas tingkat yang bersangkutan. Massa itu semua kemudian dianggap terkonsentrasi pada satu titik (lumped mass) pada elevasi tingkat yang bersangkutan. Hal ini bertujuan agar struktur yang terdiri atas derajat kebebasan tak terhingga berkurang menjadi hanya satu derajat kebebasan.
2. Lantai-lantai tingkat dianggap sangat kaku dibanding dengan kolom-kolomnya karena balok-balok portal disatukan secara monolit oleh plat lantai. Hal ini berarti bahwa beam column joint dianggap tidak berotasi sehingga lantai tingkat tetap horisontal sebelum dan sesudah terjadi penggoyangan.
3. Simpangan massa dianggap tidak dipengaruhi oleh beban aksial kolom atau deformasi aksial kolom diabaikan. Disamping itu pengaruh P-delta terhadap momen kolom juga diabaikan. Oleh karena itu dengan anggapan ini dan anggapan sebelumnya lantai tingkat tetap pada elevasinya dan tetap horisontal baik sebelum maupun setelah terjadi penggoyangan.
Dengan anggapan-anggapan tersebut maka portal seolah-olah menjadi bangunan yang bergoyang akibat lintang saja (lentur balok dianggap tidak ada) atau bangunan yang pola goyangannya didominasi oleh geser (shear mode). Bangunan dengan anggapan-anggapan atau berperilaku seperti diatas disebut shear building. Dengan berperilaku shear building, maka pada setiap tingkat hanya akan mempunyai satu derajat kebebasan. Portal bangunan yang mempunyai n-tingkat berarti akan mempunyai n-derajat kebebasan.
2.6. Persamaan Diferensial Pada Struktur SDOF
Dengan anggapan struktur berderajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang ditinjau.
P(t)
q(t/m’)
c k
m
a. Struktur SDOF b. Model fisik struktur SDOF
P(t) m c k Fs Fd Fi P(t)
c) model matematik d) free body diagram
Pada gambar diatas dapat dilihat bahwa P(t) merupakan beban dinamik yaitu beban yang intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Notasi m, c, dan k berturut-turut adalah massa, redaman, dan kekakuan kolom. Apabila beban dinamik P(t) bekerja ke arah kanan, maka akan terdapat perlawanan pegas, damper dan gaya inersia. Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat diperoleh hubungan,
𝐹𝐼+ 𝐹𝐷+ 𝐹𝑠 = 𝑃(𝑡) (2.1)
dimana,
𝐹𝐼 = 𝑚. ӱ
𝐹𝐷 = 𝑐. ẏ (2.2) 𝐹𝑠 = 𝑘. 𝑦
FI, FD, FS adalah gaya inersia, gaya redam, dan gaya pegas, sedangkan ӱ, ẏ, y adalah percepatan, kecepatan, dan simpangan.
Apabila persamaan 2.2) disubstitusikan pada persamaan 2.1) maka akan diperoleh,
𝑚. ӱ + 𝑐. ẏ + 𝑘. 𝑦 = 𝑃(𝑡) (2.3)
atau,
𝑚.𝑑𝑑𝑡22ӱ+ 𝑐.𝑑.ẏ𝑑𝑡 + 𝑘. 𝑦 = 𝑃(𝑡) (2.4) Persamaan 2.3) atau persamaan 2.4) merupakan persamaan diferensial gerakan massa suatu struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik P(t). Pada permasalahan
dinamik, hal penting yang perlu untuk diketahui adalah simpangan horisontal tingkat atau dalam persamaan tersebut adalah y(t). simpangan horisontal tingkat akan berpengaruh secara langsung terhadap momen kolom maupun momen balok pada gambar 2.5.
Gambar 2.3. Momen Kolom akibat Simpangan y(t)
Gambar 2.5 merupakan simpangan horisontal suatu ujung kolom sebesar y(t). berdasarkan prinsip mekanika maka pada ujung-ujung kolom tersebut akan timbul momen lentur sebesar,
𝑀𝑐 =6𝐸𝐼ℎ2 . 𝑦(𝑡) (2.5)
Dengan Mc adalah momen ujung kolom, E adalah modulus elastik bahan, I adalah momen inersia potongan, h adalah panjang kolom dan y(t) adalah simpangan horisontal. Berdasarkan persamaan 2.5) maka tampak bahwa semakin besar simpangan horisontal y(t) maka momen lentur yang terjadi pada ujung-ujung kolom akan semakin besar. Oleh karena itu penyelesaian persamaan 2.3) atau 2.4) yang terpenting adalah mencari simpangan horisontal y(t). penyelesaian yang lain yaitu kecepatan dan percepatan masa hanya penting pada
permasalahan yang lain misalnya pada permasalahan respon lapisan-lapisan tanah akibat gempa.
Simpangan horisontal tingkat yang terjadi selanjutnya akan berpengaruh terhadap momen balok. Semakin besar simpangan horisontal tingkat maka semakin besar momen pada ujung kolom dan ujung balok. Pada desain bangunan yang memakai prinsip strong column and weak beam, terjadinya simpangan tingkat yang melebihi batas tertentu akan mengakibatkan terjadinya sendi plastik pada ujung-ujung balok. Hal seperti itu diperbolehkan karena kolom masih cukup kuat menahan beban.
2.6.1. Persamaan Diferensial Pada Tiap Tipe Getaran
Secara umum gerakan massa suatu struktur dapat disebabkan baik oleh adanya gangguan luar maupun adanya suatu nilai awal (initial conditions). Sebagai contoh, massa yang berada diujung atas tiang bendera yang ditarik sedemikian rupa sehingga mempunyai simpangan awal sebesar yo dan apabila gaya tarik tersebut dilepas maka tiang bendera akan bergoyang/bergetar ke kanan dan ke kiri. Peristiwa gerakan massa akibat adanya simpangan awal yo (dapat juga kecepatan awal) seperti itu biasa disebut dengan getaran bebas (free
vibration systems). Sebaliknya apabila goyangan suatu struktur disebabkan oleh gangguan
luar, maka peristiwa seperti itu biasanya disebut getaran dipaksa (forced vibration systems). 1. Persamaan diferensial pada getaran bebas
Pada tipe getaran ini, getaran bukan disebabkan oleh beban luar atau gerakan tanah akibat gempa tetapi adanya nilai awal (initial conditions), misalnya simpangan awal yo atau kecepatan awal yo. Pada tipe getaran ini maka yo, P(t) = 0, maka persamaan diferensial untuk free vibration systems adalah :
Pada getaran bebas tanpa redaman ini, maka nilai c = 0, sehingga persamaan diferensial gerakan massa akan menjadi,
𝑚. ӱ + 𝑘. 𝑦 = 0 (2.6)
b. Getaran bebas yang diredam (damped free vibrations)
Pada getaran bebas yang diredam, maka struktur yang bersangkutan mempunyai sistim peredam energi, atau koefisien redaman (c) ≠ 0, sehingga persamaan diferensialnya menjadi,
𝑚. ӱ + 𝑐. ẏ + 𝑘. 𝑦 = 0 (2.7) 2. Persamaan diferensial pada getaran dipaksa
Getaran dipaksa adalah suatu getaran yang diakibatkan oleh adanya gaya luar ataupun adanya getaran tanah akibat gempa. Dalam hal ini nilai P(t) ≠ 0. Getaran dipaksa dapat dikategorikan dalam dua golongan yaitu :
a. Getaran dipaksa yang tidak diredam (undamped forced vibration). Persamaan diferensial untuk getaran dipaksa yang tidak diredam adalah,
𝑚. ӱ + 𝑘. 𝑦 = 𝑃(𝑡) (2.8)
b. Getaran dipaksa yang diredam (damped forced vibration) Persamaan diferensial untuk jenis ini adalah,
𝑚. ӱ + 𝑐. ẏ + 𝑘. 𝑦 = 𝑃(𝑡) (2.9)
2.6.2. Periode Getar (T), Frekuensi Sudut (ω), dan Frekuensi Alami (f)
Pada kondisi getaran bebas tanpa redaman (undamped free vibration systems) maka persamaan diferensial gerakannya adalah,
Persamaan 2.10) merupakan persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan yang ditunjukkan oleh konstanta m dan k. disebut persamaan homogen karena suku sebelah kanan sama dengan nol. Persamaan tersebut juga akan menghasilkan gerakan yang periodik dan harmonik. Berdasarkan respon tersebut maka penyelesaian persamaan 2.10) dinyatakan dalam bentuk,
𝑦 = 𝐴. sin (𝜔. 𝑡) (2.11)
A merupakan suatu amplitude atau koefisien yang nilainya bergantung pada kondisi awal (initial value). Dari persamaan tersebut dapat diperoleh,
ẏ = −𝜔. 𝐴. cos (𝜔. 𝑡) (2.12)
ӱ = −𝜔2. 𝐴. sin (𝜔. 𝑡) (2.13) Persamaan 2.13) kemudian disubstitusi ke dalam persamaan 2.10) akan didapat,
{𝑘 − 𝜔2. 𝑚}. 𝐴. sin(𝜔. 𝑡) = 0 (2.14) Nilai A dan sin(𝜔𝑡) tidak selalu sama dengan nol, maka nilai yang sama dengan nol adalah,
{𝑘 − 𝜔2. 𝑚} = 0 (2.15) Maka akan diperoleh,
𝜔 = �𝑚𝑘 (2.16)
𝑇 =2𝜋𝜔 (2.17)
𝑓 =𝑇1 (2.18)
Dimana 𝜔 adalah frekuensi sudut (angular frequency) dalam rad/s, T adalah periode getar struktur dalam sekon, dan f adalah natural frequency dalam cps (cycles per second) atau Hertz.
2.7. Dinamik Karakteristik Struktur Bangunan
Pada persamaan diferensial struktur berderajat tunggal (SDOF) melibatkan tiga properti utama suatu struktur yaitu, massa, kekakuan, dan redaman. Ketiga properti struktur tersebut disebut dinamik karakteristik struktur. Properti-properti tersebut sangat penting dalam penyelesaian analisa dinamik.
2.7.1. Massa
Terdapat dua pendekatan yang secara umum digunakan untuk mendeskripsikan massa struktur yaitu :
1. Model Lumped Mass
Pada pemodelan ini, massa dianggap menggumpal pada tempat-tempat join atau tempat-tempat tertentu. Dalam hal ini gerakan/degree of freedom suatu join sudah ditentukan yaitu simpangan horisontal. Kondisi tersebut merupakan prinsip bangunan geser (shear building). Titik nodal hanya akan mempunyai satu derajat kebebasan/satu translasi yang menyebabkan elemen atau struktur yang bersangkutan akan mempunyai matriks yang isinya hanya bagian diagonal saja. Pada bangunan gedung bertingkat yang massanya terkonsentrasi pada tiap-tiap tingkat bangunan, maka penggunaan model ini masih cukup akurat dan akan mempermudah proses perhitungan.
2. Model Consistent Mass Matrix
Pada pemodelan ini, elemen struktur akan berdeformasi menurut bentuk fungsi (shape
function) tertentu. Pemodelan massa seperti ini akan sangat bermanfaat pada struktur
yang distribusi massanya adalah kontinu, seperti balok yang membentang cukup panjang, struktur cerobong dan sejenisnya. Pada prinsip ini, diperhitungkan tiga
derajat kebebasan (horisontal, vertikal, dan rotasi) pada setiap node, yang nantinya akan menghasilkan full populated consistent matrix artinya suatu matriks yang diagonal matriksnya tidak sama dengan nol. Melalui pendekatan finite element, maka untuk setiap elemen balok lurus dan degree of freedom yang ditinjau akan menghasilkan konsisten matriks yang sudah standar.
2.7.2. Kekakuan
Kekakuan adalah salah satu dinamik karakteristik struktur bangunan yang sangat penting disamping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan struktur akan mempunyai hubungan yang unik yang umumnya disebut karakteristik diri atau eigenproblem. Hubungan tersebut akan menentukan nilai frekuensi sudut, periode getar struktur. Pada prinsip bangunan geser (shear building) balok pada lantai tingkat dianggap tetap horisontal baik sebeum maupun sesudah terjadi penggoyangan. Adanya plat lantai yang menyatu secara kaku dengan balok diharapkan dapat membantu kekakuan balok. Pada prinsip disain bangunan tahan gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat dibandingkan dengan balok, namun rasio tersebut tidak selalu linear dengan kekakuannya. Dengan prinsip shear building maka dimungkinkan pemakaian lumped mass model. Pada prinsip ini, kekakuan setiap kolom dapat dihitung berdasarkan rumus standar.
Gambar 2.4 Kekakuan Kolom Jepit-jepit dan Jepit-sendi
Menurut prinsip mekanika, suatu kolom jepit-jepit panjang h dengan kekakuan lentur (flextural rigidity) EI yang salah satu ujungnya mengalami perpindahan tempat sebesar y, maka pada ujung-ujung elemen tersebut akan timbul momen sebesar,
𝑀1 =6𝐸𝐼ℎ2 𝑦 , dan 𝑀2 = 6𝐸𝐼ℎ2 𝑦 (2.19)
Karena elemen tersebut mempunyai potongan yang prismatik maka M1, akan sama dengan M2. Adanya momen akan menimbulkan gaya geser yang bekerja pada masing-masing join sebesar,
𝐻1 = 𝑀ℎ1+𝑀ℎ2 = �6𝐸𝐼ℎ3 +6𝐸𝐼ℎ3� 𝑦 = 12𝐸𝐼ℎ3 𝑦 (2.20)
Pada hakikatnya gaya horisontal yang bekerja pada join atas P = H1 = H2, maka kekakuan kolom dapat dihitung dengan,
𝐾 =𝑃𝑦 =12𝐸𝐼ℎ2 ℎ
𝑦 𝑦 =
12𝐸𝐼
ℎ3 (2.21)
Persamaan 2.21) adalah kekakuan kolom prismatik jepit-jepit dengan mengabaikan efek P-delta. Untuk kolom jepit-sendi maka kekakuannya dapat dicari dengan cara yang sama dan dapat dihitung dengan,
Gambar 2.5 Pegas Paralel dan Pegas Seri
Struktur yang umumnya didukung oleh beberapa kolom, kolom tersebut memiliki fungsi utama menahan beban baik beban vertikal maupun beban horisontal. Kolom-kolom tersebut akan memperkuat satu sama lain dalam hal menahan beban. Pemodelan kekakuan kolom dimodelkan sebagai serangkaian pegas paralel yang bekerja secara bersama-sama. Kolom-kolom/pegas-pegas tersebut akan berhubungan dengan massa secara bersamaan. Pegas yang tersusun secara paralel menganut prinsip persamaan regangan artinya seluruh pegas memiliki regangan yang sama, sehingga kekakuan total yang merupakan kekakuan ekivalen dihitung dengan rumus,
𝐾𝑒𝑞= ∑𝑛𝑖=1𝐾𝑖 (2.23)
Dimana i = 1, 2, 3,…n adalah jumlah kolom, Ki adalah kekakuan kolom i menurut persamaan 2.21) atau persamaan 2.22).
Pada rangkaian pegas seri, kondisinya sedikit berbeda. Pada rangkaian ini sebelum bertemu dengan massa, maka pegas yang satu saling bertemu/berhubungan dengan pegas lain. Oleh karena itu pegas-pegas tersebut tidak saling memperkuat sebagaimana rangkaian paralel tetapi justru saling memperlemah. Pembebanan vertikal pada lapisan-lapisan tanah yang mana tiap-tiap lapis mempunyai kekakuan masing-masing adalah salah satu contoh dari
pemodelan kekakuan tanah dengan pegas seri. Pada rangkaian tersebut perpendekan pegas merupakan jumlah dari perpendekan masing-masing pegas dan menganut prinsip persamaan tegangan/beban sepanjang pegas sehingga,
𝑦1 =𝐾𝑃1, 𝑦2 =𝐾𝑃2, 𝑦3 = 𝐾𝑃3 (2.24) Dimana y adalah perpendekan yang dialami oleh masing-masing pegas.
Total perpendekan yang dialami pegas seri adalah jumlah dari perpendekan yang dialami oleh masing-masing pegas sehingga,
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2+ 𝑦3 =𝐾𝑃1+𝐾𝑃2+𝐾𝑃3= 𝑃 �𝐾11+𝐾12+𝐾13� = 𝑃 �𝐾1𝑒𝑞� (2.25) Dengan demikian kekakuan ekivalen rangkaian pegas seri dapat dihitung dengan rumus,
1 𝐾𝑒𝑞= ∑ � 1 𝐾𝑖� 𝑛 𝑖=1 (2.26) 2.7.3. Redaman
Redaman merupakan peristiwa pelepasan energi (energy dissipation) oleh struktur akibat adanya berbagai macam sebab. Beberapa penyebab itu diantaranya adalah pelepasan energi oleh adanya gerakan antar molekul di dalam material, pelepasan energi oleh gesekan alat penyambung maupun sistim dukungan, pelepasan energi akibat gesekan dengan udara dan pada respon inelastik pelepasan energi juga terjadi akibat adanya rotasi sendi plastik. Karena redaman berfungsi melepaskan energi maka hal tersebut akan mengurangi respon struktur.
1. Damping Klasik (Classical Damping)
Apabila di dalam struktur memakai bahan yang sama bahannya akan mempunyai rasio redaman (damping ratio) yang relatif kecil dan struktur damping dijepit didasarnya maka sistim struktur tersebut mempunyai damping yang bersifat klasik (classical damping). Damping dengan sistim ini akan memenuhi kaidah kondisi ortogonal (orthogonal condition).
2. Damping Non-klasik (Non Classical Damping)
Damping dengan sistim in akan terbentuk pada suatu sistim struktur yang memakai bahan yang berlainan yangmana bahan-bahan yang bersangkutan mempunyai rasio redaman yang berbeda secara signifikan. Sebagai contohnya suatu struktur bangunan yang bagian bawahnya dipakai struktur beton bertulang sedangkan bagian atasnya memakai struktur baja. Antara keduanya mempunyai kemampuan disipasi energi yang berbeda sehingga keduanya tidak bisa membangun redaman yang klasik. Adanya interaksi antara tanah dengan struktur juga kan membentuk sistim redaman yang non-klasik, karena tanah mempunyai redaman yang cukup besar misalnya antara 10 – 25 %, sedangkan struktur atasnya mempunyai rasio redaman yang relatif kecil, misalnya 4 – 7 %.
2.8. Persamaan Diferensial Gerakan Struktur MDOF
Secara umum struktur bangunan gedung tidaklah selalu dapat dinyatakan di dalam suatu sistim yang mempunyai derajat kebebasan tunggal (SDOF). Struktur bangunan gedung banyak yang mempunyai derajat kebebasan banyak (multi degree of freedom, MDOF). Pada struktur bangunan gedung bertingkat banyak umumnya massa struktur dapat digumpalkan pada tempat-tempat tertentu (lumped mass) yang umumnya pada tiap-tiap lantai tingkat.
Dengan anggapan berprilaku sebagai shear building maka struktur yang semula mempunyai derajat kebebasan tidak terhingga akan menjadi struktur dengan derajat kebebasan terbatas.
2.8.1. Matriks Massa, Matriks Kekakuan, dan Matriks Redaman
Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan derajat kebebasan banya maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada struktur dengan derajat kebebasan tunggal. Anggapan seperti prinsip shear building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak (MDOF). Untuk memperoleh persamaan diferensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau.
Gambar 2.6 Struktur 3-DOF, Model Matematik dan Free Body Diagram
Struktur bangunan gedung bertingkat 3 pada gambar tersebut akan mempunyai 3 derajat kebebasan. Persamaan diferensial disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut first
mode atau mode pertama. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram
maka akan diperoleh,
𝑚1. ӱ1+ 𝑘1. 𝑦1+ 𝑐1. ẏ1− 𝑘2(𝑦2− 𝑦1) − 𝑐2�ẏ2− ẏ1� − 𝐹1(𝑡) = 0 (2.27) a) Struktur dengan 3 DOF c) Free body diagram
𝑚2. ӱ2 + 𝑘2(𝑦2− 𝑦1) + 𝑐2�ẏ2− ẏ1� − 𝑘3(𝑦3− 𝑦2) − 𝑐3�ẏ3− ẏ2� − 𝐹2(𝑡) = 0 (2.28) 𝑚3. ӱ3 + 𝑘3(𝑦3− 𝑦2) + 𝑐3(ẏ3− ẏ2) − 𝐹1(𝑡) = 0 (2.29) Pada persamaan-persamaan tersebut tampak bahwa keseimbangan dinamik suatu massa yang ditinjau dipengaruhi oleh kekakuan, redaman dan simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat-sifat seperti itu umumnya disebut coupled equation karena persamaan-persamaan tersebut akan bergantungan satu sama lain. Penyelesaian persamaan coupled harus dilakukan secara simultan artinya dengan melibatkan semua persamaan yang ada. Pada struktur dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial gerakannya merupakan persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan yang lain.
Dengan menyusun persamaan-persamaan tersebut menurut parameter yang sama (percepatan, kecepatan, dan simangan) selanjutnya akan diperoleh,
𝑚1. ӱ1+ (𝑐1+ 𝑐2)ẏ1− 𝑐2. ẏ2+ (𝑘1 + 𝑘2)𝑦1− 𝑘2. 𝑦2 = 𝐹1(𝑡) (2.30) 𝑚2. ӱ2− 𝑐2. ẏ1+ (𝑐2+ 𝑐3)ẏ2− 𝑐3. ẏ3− 𝑘2. 𝑦1+ (𝑘2+ 𝑘3)𝑦2− 𝑘3. 𝑦3 = 𝐹2(𝑡) (2.31) 𝑚3. ӱ3 − 𝑐3. ẏ2+ 𝑐3. ẏ3− 𝑘3. 𝑦2+ 𝑘3. 𝑦3 = 𝐹3(𝑡) (2.32) Persamaan-persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut,
�𝑚01 𝑚02 00 0 0 𝑚3 � � ӱ1 ӱ2 ӱ3� + � 𝑐1+ 𝑐2 −𝑐2 0 −𝑐2 𝑐2+ 𝑐3 −𝑐3 0 −𝑐3 𝑐3 � � ẏ1 ẏ2 ẏ3� + �𝑘1−𝑘+ 𝑘2 2 𝑘2−𝑘+ 𝑘2 3 −𝑘03 0 −𝑘3 𝑘3 � �𝑦𝑦12 𝑦3 � = �𝐹𝐹12(𝑡)(𝑡) 𝐹3(𝑡) � (2.33)
[𝑚]{ӱ} + [𝑐]{ẏ} + [𝑘]{𝑦} = {𝐹(𝑡)} (2.34) Dimana [m], [c] dan [k] berturut-turut adalah matriks massa, matriks redaman, dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,
[𝑚] = �𝑚01 𝑚02 00 0 0 𝑚3 � , [𝑐] = �𝑐1−𝑐+ 𝑐22 𝑐2−𝑐+ 𝑐23 −𝑐03 0 −𝑐3 𝑐3 � , [𝑘] = �𝑘1−𝑘+ 𝑘2 2 𝑘2−𝑘+ 𝑘2 3 −𝑘03 0 −𝑘3 𝑘3 � (2.35)
Sedangkan {ӱ}, { ẏ}, {y} dan {F(t)} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan, dan vektor beban atau,
{ӱ} = � ӱ1 ӱ2 ӱ3� , {ẏ} = � ẏ1 ẏ2 ẏ3� , {𝑦} = � 𝑦1 𝑦2 𝑦3 � dan {𝐹(𝑡)} = �𝐹𝐹12(𝑡)(𝑡) 𝐹3(𝑡) � (2.36)
2.9. Getaran Bebas Pada Struktur MDOF 2.9.1. Nilai Karakteristik
Pada kenyataannya getaran bebas (free vibration system) jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi dengan menganalisis jenis getaran ini akan diperoleh suatu besaran/karakteristik dari struktur yang akan berguna berupa frekuensi sudut (ω), periode getar (T), frekuensi alami (f) dan normal modes.
Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF), maka matriks persamaan diferensial gerakannya adalah,
Pada struktur dengan redaman, frekuensi sudut yang dihasilkan hampir sama dengan frekuensi sudut pada struktur yang dianggap tanpa redaman. Hal ini akaan diperoleh apabila nilai rasio redaman relatif kecil. Apabila prinsip ini digunakan untuk struktur dengan derajat kebebasan banyak, maka nilai C = 0, persamaan 2.37) akan menjadi,
[𝑚]{ӱ} + [𝑘]{𝑦} = 0 (2.38)
Karena persamaan 2.38) adalah persamaan diferensial pada struktur MDOF yang dianggap tidak mempunyai redaman, maka penyelesaian persamaan diferensial tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk,
𝑦 = {∅}𝑖 sin (𝜔𝑡)
ẏ = −𝜔 {∅}𝑖 cos (𝜔𝑡)
ӱ = −𝜔2 {∅}
𝑖 sin (𝜔𝑡) (2.39)
dimana, {Ø}i adalah suatu ordinat massa pada mode yang ke-i. persamaan 2.39) disubstitusikan ke dalam persamaan 2.38) maka akan diperoleh,
−𝜔2[𝑚]{∅}
𝑖sin(𝜔𝑡) + [𝑘]{∅}𝑖 sin(𝜔𝑡) = 0 (2.40) {[𝑘] − 𝜔2[𝑚]}{∅}
𝑖 = 0 (2.41)
Persamaan 2.41) merupakan persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan
eigenproblem atau karakteristik problem atau eigenvalue problem. Persamaan 2.41) tersebut
adalah persamaan simultan yang harus dicari penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat dipakai adalah dengan memakai dalil Cramer (1704-1752). Gabriel Cramer adalah salah satu ahli matematika dari Swiss. Dalil tersebut menyatakan bahwa penyelesaian persamaan
simultan yang homogen akan ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari vektor {Ø}i adalah nol, sehingga,
�[𝑘] − 𝜔2[𝑚]� = 0 (2.42)
Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat dihubungkan dengan jumlah massa. Mode adalah jenis/pola/ragam getaran/goyangan suatu struktur bangunan. Mode merupakan fungsi dari properti dinamik struktur yang bersangkutan (dalam hal ini hanya massa dan kekakuan) dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi getaran. Dengan adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan yang mempunyai 5-tingkat akan mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan mempunyai 5 jenis “mode” gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang berhubungan langsung dengan jenis/nomor modenya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka persamaan 2.42) akan menghasilkan suatu polinomial pangkat n yang selanjutnya akan menghasilkan 𝜔𝑖2 untuk i = 1, 2, 3, …n. selanjutnya substitusi masing-masing frekuensi ωi ke dalam persamaan 2.41) akan diperoleh nilai Ø1, Ø2, …Øn.
2.9.2. Frekuensi Sudut (ω) dan Normal Modes
Pada struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF) dalam menghitung frekuensi sudut, diambil suatu anggapan bahwa struktur tersebut dianggap tidak mempunyai redaman atau C = 0. Dalam menghitung dan menggambarkan normal modes, maka diambil suatu model struktur seperti pada gambar berikut.
Gambar 2.7 Bangunan 2-DOF dan Model Matematik
Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami goyangan, untuk struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang bersangkutan akan mempunyai banyak ragam/pola goyangan. Normal modes adalah suatu istilah yang dipakai pada problem dinamika struktur, yang diterjemahkan sebagai ragam/pola goyangan.
Suatu persamaan diferensial gerakan dapat diperoleh dengan memperhatikan free
body diagram pada gambar 2.9 dan diperoleh,
𝑚1. ӱ1+ 𝑘1. 𝑦1 − 𝑘2(𝑦2− 𝑦1) = 0
𝑚2. ӱ2 + 𝑘2(𝑦2− 𝑦1) = 0 (2.43) Persamaan 2.43) dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu,
a) Struktur dengan 2 DOF c) Free body diagram b) Model Matematik
𝑚1. ӱ1+ (𝑘1 + 𝑘2)𝑦1− 𝑘2. 𝑦2 = 0
𝑚2. 𝑦2− 𝑘2. 𝑦1 + 𝑘2. 𝑦2 = 0 (2.44) Persamaan 2.44) dapat ditulis ke dalam bentuk matriks yaitu,
�𝑚01 𝑚0 2� � ӱ1 ӱ2� + �(𝑘1−𝑘+ 𝑘2 2) −𝑘𝑘22� � 𝑦1 𝑦2� = �00� (2.45) Selanjutnya persamaan eigenproblem pada persamaan 2.45) adalah,
�(𝑘1+ 𝑘2) − 𝜔2. 𝑚1 −𝑘2
−𝑘2 𝑘2− 𝜔2. 𝑚2� �∅ 1
∅2� = �00� (2.46) Dengan Øi adalah suatu nilai/ordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragam/pola goyangan massa ke-i. persamaan 2.46) akan mempunyai penyelesaian apabila dipenuhi nilai determinan,
�(𝑘1+ 𝑘2) − 𝜔2. 𝑚1 −𝑘2
−𝑘2 𝑘2− 𝜔2. 𝑚2� = 0
(2.47)
Apabila persamaan 2.47) tersebut diteruskan maka nilai determinannya adalah,
𝑚1. 𝑚2. 𝜔4− {(𝑘1+𝑘2)𝑚2− 𝑘2. 𝑚1}𝜔2+ (𝑘1+ 𝑘2)𝑘2− 𝑘22 = 0 (2.48) Agar pembahasan tersebut memiliki nilai, maka perlu diberikan nilai m1, m2, k1, dan k2. Misalnya nilai-nilai tersebut diberikan (menurut unitnya masing-masing) m1 = 2, m2 = 1, k1 = k2 = 1, maka diperoleh,
2𝜔4− 4𝜔2+ 1 = 0 (2.49)
Nilai yang akan dicari adalah nilai-nilai percepatan sudut ω. Dengan memakai rumus abc, maka nilai-nilai tersebut adalah,
𝜔1;22 = 4 ± √16 − 84 = 4 ± 2,82844
�𝜔𝜔12� = �0,54121,3065� 𝑟𝑎𝑑/𝑑𝑒𝑡2 (2.50) Persamaan 2.50) umumnya disebut eigenvalue dari eigenproblem persamaan 2.42). Berdasarkan pada persamaan 2.50), maka dapat dimengerti bahwa struktur yang mempunyai dua tingkat atau struktur degan 2-derajat kebebasan akan mempunyai 2 nilai frekuensi sudut. Frekuensi sudut ω1 adalah frekuensi sudut untuk mode ke-1 atau untuk pola/ragam goyangan ke-1, sedangkan ω2 adalah frekuensi sudut untuk mode ke-2.
Substitusi nilai ω1 ke dalam persamaan 2.46), misalnya substitusi baris pertama persamaan tersebut (dengan catatan bahwa Ø1 menjadi Ø11 dan Ø2 menjadi Ø21) maka akan diperoleh,
𝜔1 = 0,5412𝑟𝑎𝑑𝑑𝑒𝑡 →{(+1) − 0,54122}∅11− 1. ∅21 = 0
1,4144 ∅11= ∅21 maka ∅∅2111= 1,4144 (2.51) Secara umum nilai-nilai penyelesaian persamaan simultan homogen tidak akan memberikan suatu nilai yang pasti/tetap tetapi nilai-nilai tersebut hanya akan sebanding antara satu dengan yang lain (persamaan 2.51). dengan memperhatikan sifat tersebut maka umumnya diambil nilai Ø11=1, maka akan diperoleh,
{∅}11 = 1 , maka {∅}21 = 1,4144 (2.52) Nilai/koordinat yang berhubungan dengan suatu massa pada setiap pola goyangan umumnya dapat ditulis dalam bentuk baku,
∅𝑖𝑗 (2.53) Dimana indeks i menunjukkan massa dan indeks j menunjukkan nomor ragam/pola goyangan. Dengan demikian Øij adalah suatu koordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragam/pola goyangan ke-j.
Nilai-nilai koordinat yang berhubungan dengan massa struktur untuk pola goyangan ke-1 seperti persamaan 2.53) dapat ditulis menjadi,
{∅}1 = �1,00001,4144� (2.54)
Persamaan 2.54) umumnya disebut sebagai eigenvector untuk ragam/pola goyangan atau mode shape untuk mode ke-1. Nilai-nilai koordinat untuk ragam/pola goyangan ke-2 dapat diperoleh dengan substitusi nilai ω2 ke dalam persamaan 2.47), misalnya disubstitusikan pada baris pertama persamaan tersbut (dengan catatan Ø1 menjadi Ø12 dan Ø2 menjadi Ø22) maka akan diperoleh,
𝜔2 = 1,3065𝑟𝑎𝑑𝑑𝑒𝑡 , → {(1 + 1) − 1,30652. 2}∅12− 1. ∅22 = 0 −1,4142 ∅12= ∅22
∅22
∅12= −1,4142 (2.55)
Apabila ∅12 = 1 , maka ∅22= −1,4142
Sesuai dengan persamaan 2.54), maka nilai-nilai koordinat yang berhubungan dengan massa struktur untuk ragam/pola goyangan/mode ke-2 dapat ditulis menjadi,
Sesuai dengan persamaan 2.54) maka persamaan 2.56) juga disebut dengan
eigenvector untuk ragam/pola goyangan mode ke-2. Dengan mengingat persamaan 2.50),
persamaan 2.54) dan persamaan 2.56) maka dapat dipahami bahwa struktur dengan n-derajat kebebasan akan mempunyai n-frekuensi sudut dan n-modes.
Antara persamaan 2.54) dan persamaan 2.56) dapat ditulis menjadi suatu matriks yang umumnya disebut modal matrix yaitu,
[𝛷] = �1,0000 1,00001,4144 −1,4142� (2.57) Dengan diperolehnya nilai-nilai frekuensi sudut untuk tiap-tiap mode seperti pada persamaan 2.50), maka akan diperoleh juga nilai periode getar T tiap-tiap mode yaitu,
𝑇1 =2𝜋𝜔1 dan 𝑇2 = 𝜔2𝜋2 (2.58) Nilai T1 umumnya disebut periode getar dasar atau undamped fundamental period of
vibrations. Selanjutnya nilai periode getar akan berpengaruh terhadap koefisien gempa dasar
C seperti yang tercantum pada spektrum respon. Nilai ordinat mode shape pada tiap-tiap massa untuk semua ragam/pola goyangan digambar seperti berikut,
Gambar 2.8 Normal Modes
Nilai-nilai ordinat mode shapes pada gambar 2.10) tidak tergantung pada beban luar, melainkan hanya tergantung pada properti fisik struktur, misalnya massa mi dan kekakuan ki. Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar yang dicari adalah merupakan undamped free vibration periods. Nilai-nilai mode shapes tidak dipengaruhi oleh waktu, artinya nilai-nilai tersebut akan tetap jika nilai-nilai massa dan kekakuan tidak berubah. Karena nilai kekauan ki tidak berubah-ubah maka mode shapes merupakan nilai untuk struktur yang bersifat elastik, atau hanya struktur yang elastiklah yang mempunyai nilai
mode shapes. Nilai mode shapes juga tidak dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan
demikian menurut Widodo (2001), dapat disimpulkan bahwa nilai-nilai mode shapes adalah :
1. Bebas dari pengaruh redaman, 2. Bebas dari pengaruh waktu
3. Bebas dari pengaruh frekuensi beban 4. Hanya untuk struktur yang elastik
