bab-v-ellips.pdf

(1)

5.1. DEFINISI

Ellips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap harganya.

F (titiknya tetap) merupakan berkas garis yang disebut direkstriks ,

a

c

disebut eksentrisitas (e).

e =



1 a

c

AB = 2a F1 + F2 P = 2c

AB = sumbu panjang (mayor)

CD = sumbu panjang (minor)

5.2. PERSAMAAN ELLIPS

Misalkan :         b CD a AB c F F 2 2 2 2 1 F1P +F2P = 2a F1P 2 2 ) 0 ( )) ( (      x c y 2 2 )) (xc  y  F1P + F2P = 2a 2 2 )) (xc y + (x_c))2_ y2 _2a





2 2 2 2 2 )) (xc  y  a xc Y (x + c)2 + y2 = 4a2 – 4a 2 2 )) (xc  y + (x - c2 + y2) x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a 2 2 )) (xc y + x2 – 2cx + c2 + y2 4cx = 4a2 ₍_x _c₎₎2 _y2   2 2 2 )) (x c y a a cx    







2 2



2 4 2 2 2 0 2a cx a a x y x c      F1(-c,0) F2(c,0)

yang berarti F1(-c, 0) dan F2(c, 0), b2 =a2 – c2 atau

(2)



2 2 2



2 4 2 2 2

2

2 a

cx

a

x

cx

c

y

x

c











2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2

2

2 a

cx

a

x

a

cx

a

c

a

y

x

c











0

2 2 4 2 2 2 2 2 2









a

x

a

y

a

c

x

c

2 2 4 2 2 2 2 2 2

c

a

y

a

x

c

x

a











2 2



2 2 2 2



2 2



c

a

y

a

x

a









2 2 2 2 2 2

b

a

y

a

x

b





1

2 2 2 2





b

y

a

x



Persamaan umum ellips dengan pusat (0, 0)

5.3. PERSAMAAN UMUM ELLIPS DENGAN PUSAT (α, β)

2a terletak dan sumbu pendek (sumbu minor) sumbu x dan sumbu y dengan analog jika pusat ellips adalah (



,



) simetrinya tetap sejajar dengan sumbu x dan sumbu y pusatnya adalah (



,



)

maka persamaan ellips tersebut adalah









a





,





A



a





,





B

C



x

,

b







F1



b

(

a

.



)



F2



c

(

a

.





Direktris dan eksentrisitas

1 )

(

)

(

2 2 2 2









b

y

a

x





F1





,



F2

c

a

x

g

2





c

a

x

f

2





2 2

:

a

b

(3)

p2 – q2 = (x + c)2 +y2 – (x – c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2 – (x2 – 2cx +c2 + y2) = x2 – x2 + 2cx + 2cx + c2 – c2 + y2 – y2 p2 – q2 = 4cx (p + q) (p – q) = 4cx 2a (p - q) = 4cx p – q =

a

cx

2

4

p – q =

a

cx

2

a q p 2 2p = 2a +

a

cx

2

p =

a

cx



p =

(

)

2

c

a

x

a

c



q =

c

a

x

a

c

2

(



) q =

_













c

a

x

a

c

2 h



x = -

c

a

2 g



x =

c

a

2 persamaan garis g1



x = -

c

a

2 g2



x =

c

a

2 Ingat : p + q = 2a

(4)

Artinya :

p

x

c

a

p

_















2

:

jarak dari titik P ke garis

c

a

x

f

2







p

x

c

a

q

_















2

:

jarak dari titik P kegaris g

c

a

x

g

2







Contoh 17 :

Jika eksentrisitas (e) suatu ellips





c



a



13

12

jarak antara dua fokus adalah 36. tentukan persamaan ellips.

Penyelesaian : e =

13

12

2c = 36 c = 18 e =

13

12 

13

12 

a

c

13

12

18 

a

12a = 243

5 ,

19

12

243 



a

2 2 2

c

a

b





 

2 2

18

12

243 















=

380 ,

25 

324

= 56,25 b = 7,5 persamaan ellips ₂ 2 2 2 2 2 2 2

5 ,

7

5 ,

19 y

x

b

y

a

x







(5)

5.4. Hubungan Garis dengan Ellips..

Berarti halnya pada ligkaran dan parabola, kedududkan garis terhadap ellips maka ada tiga kemungkinan :

1. Tidak memotong : D



0

2. Memotong : D



0

3. Menyinggung : D = 0

5.5. Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung pada ellips (0,0)

Misalkan : persamaan garis



y



mx



n

... (i)

Persamaan ellips

:

₂

1

2 2 2





b

y

a

x

... (ii)

Persamaan (ii) dirubah menjadi

b

2

x

2



a

2

y

2



a

2

b

2

Persamaan (i) dimasukan ke dalam persamaan (ii)





2 2 2 2 2 2

b

a

n

mx

a

x

b









2 2 2 2 2



2 2 2

2 mnx

n

a

b

x

m

a

x

b





0

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2







a

m

x

a

mnx

a

n

a

b

x

b



b

2

x

2



a

2

m

2



x

2



2 a

2

mnx



a

2

n

2



a

2

b

2



0

(6)

D = 0

0

4

2





ac

b



2 a

2

mn



2



4 

b

2



a

2

m

2



a

2

n

2



a

2

b

2





0

4

4 a

4

m

2

n

2



a

4

m

2

n

2



a

4

b

2

m

2



a

4

b

2

n

2



a

2

b

4



2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

4 :

0

4

4 a

b

m



a

b

n



a

b



a

b

0

2 2 2 2







n

b

m

a

2 2 2 2

b

m

a

n





2 2 2 2

b

m

a

n







n

mx

y













2 2 2

b

m

a

mx

y

Persamaan garis singung ellips dengan gradien m

Analog : untuk ellips







₂



1

2 2 2 2













b

y

a

x



Persamaan garis singgung dengan koefisien m yang berpusat





,





.









2 2 2

b

m

a

x

m

y

















Contoh 18 :

Tentukan persamaan garis singgung pada ellips

x

2



2 y

2



8

yang tegak lurus garis

x



2 y



9

Penyelsaian :

8 :

8

2

2 2





y

x

1

4

8

2 2





y

x

Berarti :

a

2



8

4

2



b

9

2 



y

x

b

a

m

₁



(7)

2

1 



2

1 .

1







S S

m

2 2 2

b

m

a

mx

y







4

4 .

8

2 





x

6

2 



x

Garis Singgung di Titik P(x1,y1) Pada Ellips

P



x

1

,

y

1



pada 2

1

2 2 2





b

y

a

x

1

2 2 2 2







b

y

a

x

... (1)



x

2

,

y

2



pada 2

1

2 2 2





b

y

a

x

c

b

y

a

x

1

2 2 2 2 2 2







... (2) (2) – (1)







₂



0

2 1 2 2 2 2 1 2 2











b

y

a

x





2 2 1 2 2

a

y



=



2 1



₂ 2 1



b

x





2 2 1 2 2 2 1 2 1 2

y

x

b

x

y









Persamaan Garis Lurus di Titik P(x1,y1)



1



1 2 1 2 1

x

y







Persamaan Garis Lurus di Titik Q(x2,y2)

Sb. X

Q(x

2

,y

2

)

P(x

1

,y

1

)

(8)



2



1 2 1 2 1

x

y







 

Q mendekati P (berimpit)







2



1 2 1 2 2 2 1

x

y

x

a

b

y















































1 :

2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2































ay

x

b

x

b

y

a

x

b

x

b

y

a

y

a

x

b

y

a

x

b

y

a

x

b

y

a

x

b

y

a

2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2

:

2

2 b

a

b

a

y

a

x

b

y

b

x

b

y

a

x

b

x

b

y

a

x

b

y

a













1

2 1 2 1





b

y

a

x

persamaan garis singgung di titik R



x

1

,

y

1



pada ellips 2

1

2 2 2





b

y

a

x

Contoh 19 :

Tentukan persamaan garis singgung pada ellips

2 x

2



4 y

2



16

di

 

6 ,

1

Penyelesaian : 16 : 2 2

16

4

2 x



y



1

4

8

2 2





y

x

4

8

2 2



b

a

5.6. Titik dan Garis Polar

Jika sebuah titik P



x

₁

,

y

₁



diluar suatu ellips ditarik dua buah garis singgung (PQ dan PR) maka garis penghubung antara kedua titik singungnya (garis PQ) disebut garis polar.

Titik P disebut titik polar. P(x1,y1) R(x3,y3) Q(x2,y2) A _F₁ _F₂ Garis polar Sb. Y Sb. X

1

2 1 2 1

_

_

b

y

a

x

1

4

8

6 



y

x

(9)

Persamaan garis singgung di titik Q 2₂

1

2 2







b

y

a

x

... (1)

Persamaan garis singgung di titik R 3₂

1

2 3

_

_



b

y

a

x

... (2)

Karena titik P terletak pada persamaan (1), maka:

1

2 2 1 2 2 1





b

y

a

x

... (3)

Karena titik P



x

₁

,

y

₁



terletak pada persamaan (2) maka :

1

2 3 1 2 3 1





b

y

a

x

... (4)

Berhubung persamaan (2) dan persamaan (4) titik Q dan R terletak

1

2 1 2 1





b

y

a

x

Berarti persamaan (5) ditentukan oleh titik P



x

₁

,

y

₁



terhadap ellips

1

2 2 2 2





b

y

a

x

adalah : 1₂

1

2 1





b

y

a

x

5.7. Garis Tengah Sekawan pada Ellips

F2 F1 O k1 k2 k3 k4 k5 _k₆ Sb. Y Sb. X T1

(10)

Deffinisi : dua garis tengah sekawan pada ellips adalah titik-titik tengah dari tli busur yang sejajar. Misalkan : garis k



mx



n

... (1) Persamaan ellips ₂

1

2 2 2







b

y

a

x

2 2 2 2 2 2

b

a

y

a

x

b





... (2)

Persamaan (1) subsitusikan ke persamaan (2) :





2 2 2 2 2 2

b

a

n

mx

a

x

b













2

0

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

















b

a

n

a

nx

m

x

m

a

b

a

n

a

nx

m

x

m

a

x

b

a

n

mnx

x

m

a

x

b

T

_















2 ,

2

2 1 2 1 1

y

x

a

b

x

2

2 1













2 2 2



2 2 1

2

1 m

a

b

mn

a

x









2 2 2 2

m

a

b

mn

a

x

_T







... (3)

n

mx

y

_T



_T



n

m

a

b

n

m

a

y

T







₂ ₂ ₂ 2 2 ... (4) Melihat kembali ₂ ₂ ₂ 2

m

a

b

mn

a

x

T







maka :



a

2

mn



x

_T



b

2



a

2

m

2







mn

a

m

a

b

x

n

T ₂ 2 2 2







... (5)

(11)





T T T T T T

x

m

a

m

a

x

m

a

b

mx

y

m

a

m

a

b

x

m

a

b

mn

a

m

y

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

















T T T T

x

m

a

b

mx

x

m

a

b

mx

2 2 2 2









Secara umum, karena T berjalan :

x

m

a

b

y

₂ 2







Catatan :

1. Hubungan antara koefisien-koefisien arah kedua garis sekawan tadi dapat ditentukan sebagai berikut :

- Jika gradien garis 1 = m’ ; dan garien garis k

m



k







₁ 2 2 2 2

a

b

m

a

b









2. Garis singgung titik potong garis k dengan ellips ditentukanlah sejajr dengan garis 1 dan sebaliknya.

3. Keempat garis singgung pada tiap-tiap titik potong garis tengah sekawan dengan ellips membentuk suatu jajaran genjang sehingga disebut jajaran genjang padadua garis tengah sekawan .

Misalkan : kedua garis sekawan PR , QS dan P



x

₁

,

y

₁



, terletak pada ellips

maka :

b

2

x

₁2



a

2

y

₁2



a

2

b

2 ... (5) koefisien arah QS 1 1

x

y



sedangkan koefisien arah PR 1 1

x

y



sedangkan koefisien arah QS ₂ ₁ ₁ 2

y

x

a

b





(12)



persamaan garis PQ menjadi

x

y

a

x

b

y

1 2 1 2





Persamaan garis itu menghasilkan :



a

2

y

₁2



b

2

x

₁2



x

2



a

4

y

₁2

Dimana melalui titik P :

a

2

b

2

x

2



a

4

y

₁2 atau ₂

2 1 2 2

b

y

a

x



Dari persamaan diatas terakhir menghasilkan koordinat titik Q dan S berturut-turut dngan tanda