TRIGONOMETRI
A Nilai Perbandingan Trigonometri
Perhatikan segitiga berikut !Y r y X O x Sin = r y Cos = r x Tan = x y Cosec = y r Sec = x r Cotan = y x
Selanjutnya nilai perbandingan trigonometri suatu sudut segitiga dapat ditentukan dengan menggunakan daftar / tabel dan kalkulator.
B Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Perhatikan gambar berikut !45 60 2 1 2 1 45 30 1 3 Sin 30 = 2 1 Sin 45 = 2 1 2 Sin 60 = 2 1 3 Cos 30 = 2 1 3 Cos 45 = 2 1 2 Cos 60 = 2 1 Tan 30 = 3 1 3 Tan 45 = 1 Tan 60 = 3
Tabel Nilai Fungsi Trigonometri Untuk Sudut Istimewa
0 30 45 60 90 Sin 0 2 1 2 1 2 2 1 3 1 Cos 1 2 1 3 2 1 2 2 1 0 Tan 0 3 1 3 1 3 PERBANDINGAN TRIGONOMETRI 1
C Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
a. Kuadran I (0 < < 90 ) Sin (90 - ) = Cos Cos (90 - ) = Sin Tan (90 - ) = Cotan Cosec (90 - ) = Sec Sec (90 - ) = Cosec Cotan (90 - ) = Tan b. Kuadran II (90 < < 180 ) Sin (90 + ) = Cos Cos (90 + ) = - Sin Tan (90 + ) = - Cotan Cosec (90 + ) = Sec Sec (90 + ) = - Cosec Cotan (90 + ) = - Tan c. Kuadran II (90 < < 180 ) Sin (180 - ) = Sin Cos (180 - ) = - Cos Tan (180 - ) = - Tan Cosec (180 - ) = Cosec Sec (180 - ) = - Sec Cotan (180 - ) = - Cotan d. Kuadran III (180 < < 270 ) Sin (180 + ) = - Sin Cos (180 + ) = - Cos Tan (180 + ) = Tan Cosec (180 + ) = - Cosec Sec (180 + ) = - Sec Cotan (180 + ) = Cotan e. Kuadran III (180 < < 270 ) Sin (270 - ) = - Cos Cos (270 - ) = - Sin Tan (270 - ) = Cotan Cosec (270 - ) = - Sec Sec (270 - ) = - Cosec Cotan (270 - ) = Tan f. Kuadran IV (270 < < 360 ) Sin (270 + ) = - Cos Cos (270 + ) = Sin Tan (270 + ) = - Cotan Cosec (270 + ) = - Sec Sec (270 + ) = Cosec Cotan (270 + ) = - Tan g. Kuadran IV (270 < < 360 ) Sin (360 - ) = -Sin Cos (360 - ) = Cos Tan (360 - ) = -Tan Cosec (360 - ) = - Cosec Sec (360 - ) = Sec Cotan (360 - ) = - Cotan h. Kuadran IV (270 < < 360 ) Sin (- ) = - Sin Cos (- ) = Cos Tan (- ) = - Tan Cosec (- ) = - Cosec Sec (- ) = Sec Cotan (- ) = - Cotan Pada sistem koordinat kartesius dapat digambarkan sebagai berikut :Y Sin : + Sin : + Cos : - Cos : + Tan : - Tan : + O X Sin : - Sin : - Cos : - Cos : + Tan : + Tan : - Contoh:
(i) Sin 65 = Cos (90 – 65) = Cos 25 (ii) Cos 120 = Cos (180 – 60) = - Cos 60 = -
2 1
(iii) Tan 210 = Tan (180 + 30) = Tan 30 = 3 1
3 (iv) Sin 315 = Sin (360 – 45) = - Sin 45 = -
2 1 2 (v) Cos (-60) = Cos 60 = 2 1
D Nilai Periodik
Sin ( + k.360 ) = Sin Cos ( + k.360 ) = Cos
Tan ( + k.180 ) = Tan ; k B Contoh:
(i) Sin 400 = Sin (40 + 1. 360 ) = Sin 40 (ii) Cos 780 = Cos (60 + 2. 360 ) = Cos 60 (iii) Tan 480 = Tan (120 + 2. 180 ) = Tan 120
Latihan 1
1. Perhatikan gambar di samping!
Tentukan : C 12 B
a. Sin A, Cos A, Tan A, Cotan A, Sec A, Cosec A
b. Sin B, Cos B, Tan B, Cotan B, Sec B, Cosec B 5 13
A
2. Jika lancip, carilah nilai perbandingan trigonometri sudut , jika diketahui : a. Sin = 0,5 b. Cos = 25 7 c. Tan = 3 4
3. Sin 30 + Tan 60 . Cos 60 = … 4. 45 45 Cos Sin = … 5. Tan 30 + Tan 60 = …
6. Sin 30 . Cos 60 + Sin 45 . Cos 45 = …
7. Buktikan Cos 60 . Cos 30 - Sin 60 . Sin 30 = 0 !
8. QR = …cm R PQ = …cm 12 cm P Q 9. AB = …cm C 15 cm A B
10. Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri sudut berelasi,lengkapi tabel berikut !
120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 Sin … … … … Cos … … … … Tan … … … … 300 300
Sebuah titik P dapat digambarkan pada bidang XOY atau pada bidang kartesius, koordinat titiknya P(x, y). Titik P juga dapat dinyatakan dengan koordinat kutub (polar), koordinat titiknya P(r, ) dengan :
r = jarak titik O ke titik P
= sudut yang dibentuk garis OP dengan sumbu X
Y Y Y
P(x,y) P(r, ) P(r cos , r. sin )
y r r y
O x X O X O x X Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat kutub adalah sebagai berikut :
(i) Kartesius Kutub P(x, y) P(r, )
r = x2 y2
Tan = x y
(ii) Kutub Kartesius P(r, ) P(x, y)
x = r.cos y = r.sin
Contoh:
1. Nyatakan titik P(4, 3) dalam koordinat kutub ! Jawab: r = x2 y2 = 42 32 5 Tan = x y = 0,75 4 3
= Tan -1 0,75 = arc Tan 0,75 = 36,87 Jadi koordinat kutubnya P(5, 36,87 ).
2. Tentukan koordinat kartesius titik Q(4, 150 ) ! Jawab: x = r cos = 4.cos 150 = 4 (-2 1 3) = -2 3 y = r sin = 4.sin 150 = 4 ( 2 1 ) = 2 Jadi koordinat kartesiusnya P(-2 3, 2).
Latihan 2
1. Tentukan koordinat kartesius dari : a. (4, 60 ) c. (8, 300 ) b. (5, 120 ) d. (3 2, 225 ) 2. Tentukan koordinat kutub dari :
a. (1, 3) c. (-5 3, 5) b. (6, -2 3) d (-3 2, -3 6)
KOORDINAT KUTUB (POLAR) 2
A Aturan Sinus
A Pada setiap segitiga ABC berlaku : c b
B a C
Aturan sinus dipakai untuk menghitung unsur-unsur segitiga yang lain, jika diketahui : (i) sisi, sudut, sudut
(ii) sudut, sisi, sudut (iii) sisi, sisi, sudut Contoh:
Diketahui segitiga ABC, a = 15 cm, b = 20 cm, B = 30 .
Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan sinus ! Jawab: C c B b A a sin sin sin (i) B b A a sin sin sin A = 40 0,375 15 20 . 15 20 30 sin . 15 sin . 2 1 b B a A = sin-1 0,375 = 22 (ii) C = 180 – ( A + B) = 180 - (22 + 30 ) = 180 - 52 = 128 . (iii) C c B b sin sin c = 0,5 31,5 76 , 15 5 , 0 788 , 0 . 20 30 sin 128 sin . 20 sin sin . B C b cm
B Aturan Kosinus
Pada setiap segitiga ABC berlaku :
Aturan Kosinus dipakai untuk mewnghitung unsure-unsur segitiga jika diketahui : (i) sisi, sudut, sisi
(ii) sisi, sisi, sisi Contoh:
Diketahui segitiga ABC, a = 20 cm, b = 30 cm dan C = 64 .
Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan kosinus ! Jawab:
(i) c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
= 202 + 302 – 2(20)(30) cos 64
= 400 + 900 – 1200(0,44) = 1300 – 526 = 774 c = 27,8
(ii) b2 = a2 + c2 – 2ac cos B cos B = 0,25
1112 274 ) 8 , 27 )( 20 ( 2 30 ) 8 , 27 ( 20 2 2 2 2 2 2 2 ac b c a B = 75,7 (iii) A = 180 - ( C + B) = 180 - (64 + 75,7 ) = 40,2 C c B b A a sin sin sin a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
ATURAN SINUS DAN KOSINUS 3
Latihan 3
1. Diketahui ABC , A = 60 , B = 45 dan panjang sisi BC = 12 cm. Tentukan panjang sisi AC !
2. Pada segitiga DEF, D = 135 , EF = 6 cm, E = 20 . Tentukan DF, F dan DE !
3. Diketahui ABC dengan A = 60 ,sisi b = 10 cm dan sisi c = 16 cm. Tentukan unsur-unsur berikut!
a. panjang sisi a b. besar B c. besar C
4. Pada segitiga ABC, a = 6 cm, b = 10 cm, c = 7 cm, C = …?
Pada setiap segitiga ABC berlaku :
Rumus ini dipakai untuk menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sebuah sudut yang diapitnya.
Rumus luas ABC jika diketahui ketiga sisinya :
Contoh:
Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui a = 4 cm, c = 3 cm dan B = 30 ! Jawab: L ABC = 2 1 ac sin B = 2 1 . 4 . 3 . sin 30 = 2 1 . 4 . 3 . 2 1 = 3 cm2.
Latihan 4
1. Luas segitiga ABC adalah 32 cm2. AB = 8 cm dan AC = 16 cm. Tentukan besar sudut A ! 2. Pada ABC, jika diketahui panjang sisi AB = 8 cm, sisi AC = 6 cm, dan A = 120 maka
tentukan luas ABC !
3. Diketahui ABC dengan B = 135 , AB = 3 cm dan BC = 4 cm. tentukan luas ABC ! 4. Luas ABC adalah 12 2 cm2. Panjang AB = 6 cm dan AC = 8 cm. Tentukan besar sudut A !
L ABC = 2 1 .bc.sin A = 2 1 .ac.sin B = 2 1 .ab.sin C L ABC = s(s a)(s b)(s c) LUAS SEGITIGA 4 dengan s = 2 1 (a + b + c)
A Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus – rumus :1. Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin 2. Sin ( ) = Sin . Cos Cos . Sin 3. Cos ( ) = Cos . Cos Sin . Sin 4. Cos ( ) = Cos . Cos + Sin . Sin 5. Tan ( ) = Tan Tan 1 Tanβ Tanα 6. Tan ( ) = .Tan Tan 1 Tanβ Tanα Contoh: 1. Jika Sin = 10 6 dan Cos = 13 12
dengan dan sudut lancip, hitunglah : a. Sin ( ) b. Cos ( ) c. Tan ( ) Jawab: Sin = 10 6 ; Cos = 10 8 ; Tan = 8 6 Cos = 13 12 ; Sin = 13 5 ; Tan = 12 5
a. Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin = 10 6 . 13 12 + 10 8 . 13 5 = 65 56 130 112 130 40 130 72 b. Cos ( ) = Cos . Cos Sin . Sin
= 10 8 . 13 12 10 6 . 13 5 = 65 33 130 66 130 30 130 96 c. Tan ( ) = Tan Tan 1 Tanβ Tanα = 12 5 . 8 6 1 12 5 8 6 = 33 56 66 112 96 66 96 112
2. Tanpa menggunakan tabel, hitunglah nilai Cos 75 ! Jawab:
Cos 75 = Cos (45 + 30 )
= Cos 45 . Cos 30 Sin 45 . Sin 30 = 2 1 2. 2 1 3 2 1 2. 2 1 = 2 4 1 6 4 1 = ( 6 2) 4 1
3. Hitunglah nilai Cos 110 . Cos 25 Sin 110 . Sin 25 ! Jawab:
Cos 110 . Cos 25 Sin 110 . Sin 25 = Cos (110 + 25) = Cos 135 = 2 1
2 RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT
4. Jika Tan = 4 3 dan Tan = 15 8
, untuk dan sudut lancip, hitunglah nilai : a. Sin ( ) b. Cos ( ) c. Tan ( ) Jawab: Tan = 4 3 Sin = 5 3 ; Cos = 5 4 Tan = 15 8 Sin = 17 8 ; Cos = 17 15 a. Sin ( ) = Sin . Cos Cos . Sin
= 5 3 . 17 15 5 4 . 17 8 = 85 13 85 32 85 45 b. Cos ( ) = Cos . Cos + Sin . Sin
= 5 4 . 17 15 + 5 3 . 17 8 = 85 84 85 24 85 60 c. Tan ( ) = .Tan Tan 1 Tanβ Tanα = 84 13 60 84 60 13 60 24 1 60 32 45 15 8 . 4 3 1 15 8 4 3
5. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai dari Sin 15o ! Jawab:
Sin 15o = Sin (45o – 30o)
= Sin 45o . Cos 30o Cos 45o . Sin 30o = 2 1 2. 2 1 3 2 1 2. 2 1 = 2 4 1 6 4 1 = ( 6 2) 4 1
6. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai Cos 56o + Sin 56o.Tan 28o ! Jawab:
Cos 56o + Sin 56o.Tan 28o = Cos 56o + Sin 56o.
28 Cos 28 Sin = 28 28 .Sin 56 Sin + 28 . 56 Cos Cos Cos = 1 28 28 28 ) 28 56 ( Cos Cos Cos Cos
B Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Rumus – rumus :1. Sin 2 = 2.Sin . Cos 2. Cos 2 = Cos2 - Sin2
= 2 Cos2 - 1 = 1 – 2 Sin2 3. Tan 2 = α Tan 1 2.Tanα 2
Contoh:
1. Nyatakan Sin 3 ke dalam Sin ! Jawab:
Sin 3 = Sin (2 + )
= Sin 2 . Cos + Cos 2 . Sin
= 2.Sin . Cos . Cos + (Cos2 - Sin2 ) .Sin = 2.Sin . Cos2 + Sin . Cos2 - Sin3
= 3. Sin . Cos2 - Sin3 = 3. Sin (1 – Sin2 ) - Sin3 = 3. Sin - 3. Sin3 - Sin3 = 3. Sin - 4 Sin3
2. Dengan menggunakan Sin 60o = 2 1
3, buktikan bahwa Sin 180o = 0 ! Jawab:
Sin 180o = Sin (3 . 60o) Berdasarkan hasil contoh 1:
Sin 180o = 3. Sin 60o – 4 . Sin360o = 3 ( 2 1 3) – 4 ( 2 1 3)3 = 2 3 3 - 4 ( 8 3 3) = 2 3 3 - 2 3 3 = 0 3. Jika Sin = 5 4
dan terletak di kuadrat ke-1, tentukan nilai dari yang berikut ini !
a. Sin 2 b. Cos 2 c. Tan 2
Jawab: Sin = 5 4 Cos = 5 3 dan Tan = 3 4
a. Sin 2 = 2.Sin . Cos = 2. 5 4 . 5 3 = 25 24 b. Cos 2 = Cos2 - Sin2 = (
5 3 )2 – ( 5 4 )2 = 25 7 25 16 25 9 c. Tan 2 = α Tan 1 2.Tanα 2 = 7 24 7 9 3 8 9 7 3 8 9 16 1 3 8 3 4 1 3 4 2 2
C Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
Rumus – rumus :1. 2 Sin Cos = Sin ( + ) + Sin( - ) 2. 2 Cos Sin = Sin ( + ) - Sin( - ) 3. 2 Cos Cos = Cos ( + ) + Cos( - ) 4. 2 Sin Sin = Cos( - ) - Cos ( + ) Contoh:
1. Ubahlah bentuk berikut menjadi bentuk selisih atau jumlah ! a. 2.Sin 3 .Cos 2 c. 2.Sin 60o.Cos 30o
b. Cos 8 .Cos 2 d. Cos 105o.Cos 15o Jawab:
a. 2 Sin 3 Cos 2 = Sin (3 + 2 ) + Sin (3 - 2 ) = Sin 5 + Sin
b. Cos 8 Cos 2 = 2 1 [Cos (8 + 2 ) + Cos (8 - 2 )] = 2 1 [Cos 10 + Cos 6 ]
c. 2 Sin 60o Cos 30o = Sin (60o + 30o) + Sin (60o - 30o) = Sin 90o + Sin 30o d. Cos 105o Cos 15o = 2 1 [Cos (105o + 15o) + Cos (105o - 15o)] = 2 1 [Cos 120o + Cos 90o]
2. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel, tentukan nilai dari yang berikut ini ! a. 2.Sin 75o.Cos 15o
b. 2.Cos 120o.Sin 30o c. Cos 135o.Cos 15o Jawab:
a. 2.Sin 75o.Cos 15o = Sin (75o +15o) + Sin (75o - 15o) = Sin 90o + Sin 60o = 1 +
2 1
2 b. 2.Cos 120o.Sin 30o = Sin (120o +30o) - Sin (120o - 30o)
= Sin 150o - Sin 90o = 2 1 1 = -2 1 c. Cos 135o.Cos 15o = 2 1 [Cos (135o +15o) + Cos(135o - 15o)] = 2 1 [ Cos 150o + Cos 120o] = 2 1 [-2 1 3 - 2 1 ] = ( 3 1) 4 1
D Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus
Rumus –rumus :1. Sin A + Sin B = 2 Sin 2 1 (A + B) Cos 2 1 (A - B) 2. Sin A - Sin B = 2 Cos
2 1 (A + B) Sin 2 1 (A - B) 3. Cos A + Cos B = 2 Cos
2 1 (A + B) Cos 2 1 (A - B) 4. Cos A - Cos B = -2 Sin
2 1 (A + B) Sin 2 1 (A - B) Contoh:
1. Nyatakan dalam bentuk perkalian ! a. Sin 7A – Sin 5A
b. Cos 10 + Cos 6 c. Cos x – Cos y Jawab:
a. Sin 7A – Sin 5A = 2 Cos 2 1
(7A + 5A) Sin 2 1
(7A – 5A) = 2 Cos 6A Sin A
b. (b) Cos 10 + Cos 6 = 2 Cos 2 1 (10 + 6 ) Cos 2 1 (10 - 6 ) = 2 Cos 8 Cos 2
c. Cos x – Cos y = -2 Sin 2 1 (x + y) Sin 2 1 (x - y)
2. Sederhanakan !
a. Sin 150o + Sin 30o c. Cos 200o - Cos 20o b. Cos 125o + Cos 55o d. Sin 75o - Sin 15o Jawab:
a. Sin 150o + Sin 30o = 2 Sin 2 1 (150o + 30o) Cos 2 1 (150o - 30o) = 2 Sin 90o Cos 60o = 2.1. 2 1 = 1 b. Cos 125o + Cos 55o = 2 Cos
2 1 (125o + 55o) Cos 2 1 (125o - 55o) = 2 Cos 90o Cos 35o = 2.0. Cos 35o = 0 c. Cos 200o - Cos 20o = -2 Sin
2 1 (200o + 20o) Sin 2 1 (200o - 20o)
= -2 Sin 110o Sin 90o = -2. Sin 110o .1 = -2 Sin 110o d. Sin 75o - Sin 15o = 2 Cos
2 1 (75o + 15o) Sin 2 1 (75o - 15o) = 2 Cos 45o Sin 30o = 2. 2 1 2. 2 1 = 2 1 2
Latihan 5
1. Dengan menyatakan 105o = (60o + 45o), tentukan nilai Sin 105o ! 2. Diketahui Sin A =
5 3
untuk A sudut lancip, dan Cos B = 13 12
untuk B sudut tumpul. Tentukan nilai dari jumlah dan selisih sudut berikut !
a. Sin (A + B) b. Cos (B – A) c. Tan (A – B)
3. Diketahui Sin A = 5 3
untuk A sudut lancip. Tentukan nilai identitas trigonometri berikut!
a. Sin 2A b. Cos 2A c. Tan 2A
4. Nyatakan 2 Sin 75o Cos 15o sebagai rumus jumlah sinus ! 5. Hitunglah penjumlahan trigonometri berikut !
a. Cos 75o + Cos 15o b. Sin 75o + Sin 15o 6. Diketahui Tan A = 5 4 dan Tan B = 24 7
, dengan A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan nilai dari bentuk trigonometri berikut !
a. Cos (A – B) b. Sin (A + B) c. Tan (A – B)
7. Sederhanakan bentuk trigonometri berikut ! a. 15 75 15 75 Sin Sin Cos Cos b. A Sin A Sin A Sin A Sin 3 9 3 7 8. Diketahui Sin A = 2 1 , Cos B = 2 3
, A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan nilai Cos (A – B) !
A Identitas Trigonometri
Idnetitas trigonometri yaitu rumus-rumus yang menghubungkan antara sin , cos , dan tan . 1. Cos2 + Sin2 = 1 2. Tan = Cos Sin 3. Cosec = Sin 1 4. Sec = Cos 1 5. Cotan = Sin Cos Tg 1 6. 1 + Tan2 = Sec2 7. 1 + Cotan2 = Cosec2 Contoh:
1. Tentukan nilai Cos A, Tan A, Cosec A, Sec A, dan Cotan A jika Sin A = 5 4
dan A sudut lancip !
Jawab:
Cos2A + Sin2A = 1 Cos2A = 1 - Sin2A Cos2A= 1 – ( 5 4 )2 = 1 - 25 9 25 16 Cos A = 5 3 25 9 A lancip Cos A = 5 3 Tan A = CosA SinA = 3 4 5 3 5 4 Cosec A = A Sin 1 = 5 4 1 = 4 5 Sec A = A Cos 1 = 3 5 5 3 1 Cotan = 4 3 3 4 1 1 A Tan 2. Jika Sin A = 13 5
dan 90o < A < 180o ( A tumpul), tentukan Cos A dan Tan A ! Jawab: Cos2A = 1 - Sin2A = 1 – ( 13 5 )2 = 1 - 169 144 169 25 Cos A = 13 12 169 144
Karena 90o < A < 180o maka Cos A = 13 12 Tan A = CosA SinA = 12 5 13 12 13 5
3. Buktikan identitas berikut ini ! a. Tan2A + 1 = Sec2A
b. Tan A . Sin A + Cos A = Sec A
c. (Sin A + Cos A)2 + (Sin A – Cos A)2 = 2 Jawab:
a. Ruas kiri = Tan2A + 1 = A Cos A Cos A Sin A Cos A Cos A Cos A Sin A Cos A Sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = Sec A A Cos 2 2 1
= ruas kanan (terbukti) PERSAMAAN TRIGONOMETRI
a. Sin x = Sin x1 = + k.360 atau
x2 = (180 - ) + k.360 ; k B
b. Cos x = Cos x1 = + k.360 atau x2 = - + k.360 ; k B
c. Tan x = Tan x = + k.180 ; k B b. Ruas kiri = Tan A . Sin A + Cos A
= CosA SinA . Sin A + Cos A = CosA CosA CosA CosA SinA SinA. . = SecA CosA CosA A Cos A Sin2 2 1
= ruas kanan (terbukti)
c. Ruas kiri = (Sin A + Cos A)2 + (Sin A – Cos A)2
= Sin2A + 2 Sin A Cos A + Cos2A + Sin2A - 2 Sin A Cos A + Cos2A = 2 (Sin2A + Cos2A)
= 2.1 = 2
= ruas kanan (terbukti)
B Persamaan Trigonometri Bentuk Sederhana
Contoh:
1. Tentukan penyelesaian dari Sin x = 2 1 ; 0 x 360 ! Jawab: Sin x = 2 1 Sin x = Sin 30 x1 = 30 + k.360 k = 0 x1 = 30 x2 = (180 - 30) + k.360 = 150 + k.360 k = 0 x2 = 150 HP = {30 , 150 }
2 Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos 3x = 2 1 ; 0 x 360 ! Jawab: Cos 3x = 2 1
Cos 3x = Cos 60 (i) 3x1 = 60 + k.360 x1 = 20 + k.120 k = 0 x1 = 20 k = 1 x1 = 140 k = 2 x1 = 260 (ii) 3x2 = -60 + k.360 x2 = -20 + k.120 k = 1 x2 = 100 k = 2 x2 = 220 k = 3 x2 = 340 HP = {20 , 100 , 140o, 220o, 260o, 340o}
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan 2x = 3 ; 0 x 180 ! Jawab: Tan 2x = 3 Tan 2x = Tan 60o 2x = 60o + k.180o x = 30o + k.90o k = 0 x = 30 k = 1 x = 120 HP = { 30 , 120 }
C Persamaan Trigonometri Bentuk Cos A Cos B dan Sin A Sin B
Rumus yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk di atas adalah :1. Sin A + Sin B = 2 Sin 2 1 (A + B) Cos 2 1 (A - B) 2. Sin A - Sin B = 2 Cos
2 1 (A + B) Sin 2 1 (A - B) 3. Cos A + Cos B = 2 Cos
2 1 (A + B) Cos 2 1 (A - B) 4. Cos A - Cos B = -2 Sin
2 1 (A + B) Sin 2 1 (A - B) Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 360 ! a. Cos 4x + Cos 2x = 0
b. Sin 3x – Sin x = 0 Jawab;
a. Cos 4x + Cos 2x = 2 Cos 2 1 (4x + 2x).Cos 2 1 (4x - 2x) = 2 Cos 3x.Cos x Cos 4x + Cos 2x = 0 2 Cos 3x.Cos x = 0 Cos 3x.Cos x = 0
Cos 3x = 0 atau Cos x = 0 Cos 3x = 0
Cos 3x = Cos 90 (i) 3x1 = 90 + k.360
x1 = 30 + k.120 k = 0 x1 = 30 k = 1 x1 = 150 k = 2 x1 = 270 (ii) 3x2 = -90 + k.360 x2 = -30 + k.120 k = 1 x2 = 90 k = 2 x2 = 210 k = 3 x2 = 330 Cos x = 0
Cos x = Cos 90 (i) x1 = 90 + k.360
k = 0 x1 = 90
(ii) x2 = -90 + k.360
k = 1 x2 = 270
b. Sin 3x – Sin x = 2 Cos 2 1 (3x + x) Sin 2 1 (3x - x) = 2 Cos 2x.Sin x Sin 3x – Sin x = 0 2 Cos 2x.Sin x = 0 Cos 2x Sin x = 0
Cos 2x = 0 atau Sin x = 0 Cos 2x = 0
Cos 2x = Cos 90 (i) 2 x 1 = 90 + k.360
x 1 = 45 + k.180 k = 0 x1 = 45 k = 1 x1 = 225 (ii) 2 x2 = -90 + k.360 x2 = -45 + k.180 k = 1 x2 = 135 k = 2 x2 = 315 Sin x = 0
Sin x = Sin 0 (i) x1 = 0 + k.360
k = 0 x1 = 0 k = 1 x1 = 360 (ii) x2 = (180 – 0) + k.360 = 180 + k.360 k = 0 x2 = 180 HP = {0o, 45o, 135o, 180o, 225o, 315o, 360o}
D Persamaan Trigonometri Bentuk : a Cos
x
+ b Sin = c
Bentuk a Cos x + b Sin x dapat dinyatakan dengan bentuk k Cos (x - ), dengan k suatu konstanta dan 0 x 360 .
Untuk menentukan k dan perhatikan hal berikut : a Cos x + b Sin x = k Cos (x - )
= k (Cos x.Cos + Sin x.Sin ) = k Cos x.Cos + k Sin x.Sin Dari persamaan di atas , diperoleh :
k Cos = a k Sin = b a2 + b2 = k2 Cos2 + k2 Sin2 = k2 (Cos2 + Sin2 ) = k2 . 1 a2 + b2 = k2 , sehingga k = a2 b2 a b Cos k Sin k . . Tan = a b
. Jadi diperoleh dari Tan . Dengan demikian maka :
Besarnya sudut tergantung pada tanda a dan b, karena keadaan a dan b dapat menentukan keadaan kuadran di mana berada.
a Cos x + b Sin x = k Cos (x - ) dengan k = a2 b2
Tan =
a b
Contoh:
1. Tentukan k dan dari : -Cos x + Sin x ! Jawab:
-Cos x + Sin x = k Cos (x - ) a = -1 ; b = 1 k = a2 b2 = ( 1)2 (1)2 2 Tan = a b = 1 1 1 ( di kuadran II) = 135o
Jadi, -Cos x + Sin x = 2 Cos (x - 135o) 2. Tentukan k dan dari : 8 Cos x + 6 Sin x !
Jawab:
8 Cos x + 6 Sin x = k Cos (x - ) a = 8 ; b = 6 k = a2 b2 = 82 62 100 10 Tan = a b = 4 3 8 6 ( di kuadran I) = 36,89o
Jadi, 8 Cos x + 6 Sin x = 10 Cos (x – 36,89o)
3. 3) Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x + Sin x = 2 1 2 ; 0 x 360 ! Jawab: Cos x + Sin x = 2 1 2 a = 1 ; b = 1 k = a2 b2 = 12 12 2 Tan = a b = 1 1 1 ( di kuadran I) = 45o
Cos x + Sin x = k Cos (x - ) 2 Cos (x - 45o) = 2 1 2 Cos (x - 45o) = 2 1 2 2 2 1 Cos (x - 45o) = Cos 60o (i) x1 - 45o = 60o + k.360o x1 = 105o + k. 360o k = 0 x1 = 105o (ii) x2 - 45o = -60o + k.360o x2 = -15o + k. 360o k = 1 x2 = 345o HP = {105o, 345o}
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x - 3Sin x = 1 ; 0 x 360 ! Jawab: Cos x - 3Sin x = 1 a = 1 ; b = - 3 k = a2 b2 = 12 ( 3)2 1 3 2 Tan = a b = 3 1 3 ( di kuadran IV) = 300o
Cos x - 3Sin x = k Cos (x - ) 2 Cos (x – 300o) = 1 Cos (x – 300o) = 2 1 Cos (x – 300o) = Cos 60o (i) x1 - 300o = 60o + k.360o x1 = 360o + k. 360o k = 0 x = 360o (ii) x2 - 300o = -60o + k.360o x2 = 240o + k. 360o k = 0 x = 240o HP = { 240o, 360o}
Latihan 6
1. Buktikan : Sec A – Cos A = Tan A . Sin A ! 2. Buktikan : Sec2x(1 – Sin4x) – 2 Sin2x = Cos2x ! 3. Tentukan himpunan penyelesaian Sin x = 3
2 1 untuk 0 x 360 ! 4. Diketahui Cos x = 2 1
untuk 0 x 360 . Tentukan himpunan penyelesaiannya ! 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan x = 3
3 1
untuk 0 x 2 ! 6. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 360 !
a. 2 Sin 2x = 3 b. Cos 2x = 2 1
c. 3 Tan 3x = -1 7. Tentukan penyelesaian dari 3 Tan
2 1
x = 1 untuk 0 x 2 ! 8. Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk untuk 0 x 360 !
a. Sin (60o + x) – Sin (60o – x) = 1 b. Sin 5x – Sin x = 0
c. Cos 4x – Cos 2x = 0
9. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan Cos x - Sin x untuk 0 x 360 !
