GEOMETRI-ANALITIK-RUANG1

(1)

GEOMETRI ANALITIK

RUANG

Matematika 2

(2)

Geometri analitik ruang

 Jarak dari pusat sumbu O ketitik P (x, y, z) ialah :

 OP2 = ( x2 + y2 + z2 )

 Jika OP = r maka :

(3)

SUDUT SUDUT ARAH DAN

COSINUS COSINUS ARAH

Jika a,b,g, masing-masing sudut antara OP dgn sumbu-sumbu positif maka :

 x = r cos a cos a = x/r

 y = r cos b atau cos b = y/r

 z = r cos g cos g = z/r

Dimana a,b,g disebut sudut sudut arah OP cos a cos b cos g disebut cosinus arah OP Dan cos 2a + _cos2b + _cos2g = 1

(4)

BILANGAN ARAH GARIS

 cos a : cos b : cos g = a : b : c, maka a,b,c disebut bilangan arah garis

 Jika diketahui a,b,c maka

cos a = a / + (a2_{+ b}2_{+ c}2₎1/2 cos b = b / + (a2_{+ b}2_{+ c}2₎1/2 cos g = c / + (a2 + b2 + c2 )1/2

(5)

JARAK DARI DUA TITIK

 Jarak dari dua titik P1(x1,y1,z1) dan P2 (x2,y2,z2) adalah :

d = [(x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2]1/2

 Bilangan arah dari garis P1P2 adalah (x2-x1), (y2-y1) dan (z2-z1)

 Cosinus arah dari garis P1P2 adalah cos a = (x2-x1)/d,

cos b = (y2-y1)/d, cos g = (z2-z1)/d

(6)

TITIK

 Jika P(x,y,z) membagi garis P1P2 dengan perbandingan P₁P/PP₂ = m/n = q maka : X = (x1 + qx2) / (1+q)

Y= (y1 + qy2) / (1+q) Z = (z1 + qz2) / (1+q)

 Koordinat titik tengah T dari grs P1P2

(7)

SUDUT ANTARA DUA GARIS

 Didefinisikan sebagai sudut antara dua garis

berpotongan, dan masing masing // dgn satu dari garis yang diketahui.

 Jika OP1 dan OP2 garis melalui O dan // dua garis yg diketahui, q sudut antara grs itu maka :

Cos q = (x1x2 + y1y2 + z1z2) /r1r2

 Dimana :

r1 2 = ( x12 + y12 + z12 ) r2 2 _{= ( x2}2_{+ y2}2_{+ z2}2₎

(8)

Karena

X1 = r cos

a1

X2 = r cos

a2

maka

cos q = cos a1 cos a2 + cos b1 cos b2+ cos

g

1 cos

g

2

Jika dua grs //, maka :

a1= a2

b1= b2

g1= g2

Jika dua garis tegak lurus maka

:

(9)



Jika q sudut antara dua garis dgn bilangan arah a1,

b1, c1, dan a2,b2,c2 maka :

cos q = a1a2 + b1b2 + c1c2

[(a12_{+ b1}2 _+c12 )1/2 _x (_a22_{+ b2}2 _+c22₎1/2 ]

Jika dua grs //, maka :

a1/a2 = b1/b2=c1/c2

Jika dua garis tegak lurus maka

:

(10)

BIDANG DATAR

 Bentuk Umum

Ax + By + Cz + D = 0

Dimana A, B, C tidak semuanya nol

 Persamaan Bidang datar melalui titik (xo, yo, zo) adalah :

(11)

GARIS TEGAK LURUS PADA BIDANG

DATAR

 Syarat supaya garis g dgn blgn arah a, b,c tegak lurus pada bdg Ax + By + Cz + D = 0 ialah

a/A = b/B = c/C

 Persamaan bidang datar melalui P1 (x1,y1,z1) tegak lurus pada garis dgn bilangan arah a,b,c adalah :

(12)

DUA BIDANG SEJAJAR DAN

TEGAK LURUS

 Dua Bidang A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan adalah A2x + B2y + C2z + D2 = 0

- // jika A1/A2 = B1/B2 = C1/C2

- Tegak lurus jika A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 =0

 Jarak dari titik P1(x1,y1,z1) ke bidang Ax+By+Cx+D =0 adalah :

d = Ax1 + By1 + Cz1 + D (

A

2

+ B

2

+ C

2

)

1/2

(13)

Persamaan bidang datar melalui tiga titik (a,0,0),

(0,b,0), dan (0,0,c) adalah ;

x/a + y/b + z/c = 1

Sudut lancip antara dua bidang datar A1x+

B1y+C1z+D = 0 dan A2x + B2y+C2z+D = 0 adalah :

cos

q =

A1A2 + B1B2 + C1C2

(14)

TITIK POTONG TIGA BIDANG DATAR

 a1x+b1y+c1z = d1; a2x+b2y+c2z = d2 a3x+b3y+c3z = d3 adalah x = D1/D, y = D2/D, z = D3/D dimana : a1 b1 c1 d1 b1 c1 D = a2 b2 c2 = 0 D1= d2 b2 c2 a3 b3 c3 d3 b3 c3 a1 d1 c1 a1 b1 d1 D2 = a2 d2 c2 D3 = a2 b2 d2 a3 d3 c3 a3 b3 d3

(15)

•Berkas bdg dr dua bid.

A1x+ B1y+C1z+D1 = 0 dan A2x

+ B2y+C2z+D2 = 0 adalah :

(

A1x+ B1y+C1z+D1) + l(A2x+ B2y+C2z+D2)= 0

dimana

l parameter

Garis dalam ruang ditentukan sebagai garis potong dua bidang

(

A1x+ B1y+C1z+D1) = 0

(A2x+ B2y+C2z+D2) = 0 dengan bilangan arah

B1 C1 C1 A1 A1 B1

: : = a:b:c B2 C2 C2 A2 A2 B2

(16)

PERSAMAAN GRS LURUS DLM

RUANG

 Jk sudut arah garis g adalah a,b,g; dan jk P1(x1,y1,z1) titik pada garis g, maka grs g merupakan tempat kedudukan P(x,y,z) yg bergerak sdh :

x-x1 = t cosa ; y-y1 = t cosb ; z-z1 = t cos g

 Jika a,b,c adalah bilangan arah garis g maka persamaan garis ini dapat ditulis sbb :

x = x1 +at ; y = y1 + bt ; z = z1 + ct Dimana t = perubahan panjang P1P

(17)

BENTUK SIMETRIK PERSAMAAN

GARIS LURUS

 Persamaan garis lurus melalui P1(x1,y1,z1) dgn sudut – sudut arah a,b,g adalah ;

x – x1 = y – y1 = z –z1

cos a cos b cos g

 Jika bilangan arah garis adalah a,b,c maka persamaan simerik berbentuk :

x – x1 = y – y1 = z –z1

(18)

Jika garis g tegak lurus pada salah satu sumbu

koordinat, pers garis itu berbentuk satu diantara :

x = x1 , y – y1 = z – z1 (tgk lrs sb x)

b c

y = y1 , x – x1 = z – z1 (tgk lrs sb y)

a c

z = z1 , x - x1 = y – y1 (tgk lrs sb z)

a b

(19)

PERSAMAAN GARIS LURUS

MELALUI DUA TITIK

 Pers garis lurus melalui dua titik P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah :

x –x1 = y1 – y2 = z – z1

b b b

 Arah – arah relatif garis dan bidang datar

Garis g dgn bilangan arah a, b, c dan bidang datar V : Ax + By + Cz + D = 0 maka :

1. g // V jika : Aa + Ba + Cc = 0 2. g V jika : A/a = B/b = C/c

(20)

BOLA

 Persamaan x2_{+ y}2_{+ z}2_{= R}2_{adalah bola yg}

berpusat di O (0,0,0) dgn jari jari R.

 Persamaan (x-a)2_{+ (y-b)}2_{+ (z-c)}2_{= R}2 _adalah

bola yg berpusat di (a,b,c) dgn jari jari R.

 Persamaan x2_{+ y}2_{+ z}2_{+2Ax+2By+2Cz+D= R}2

adalah pers bola dgn titik pusat M (-A, -B, -C)

Jari – jari R = ( A2+ B2 +C2 – D )1/2

 Jika R = 0 bola menjadi “bola titik”

 Jika A2+ B2 +C2 – D > 0 adalah “ bola sejati ”  Jika A2+ B2 +C2 – D < 0 adalah “ bola khayal “  Sebuah bola tertentu oleh 4 ttk yg tdk sebidang

(21)

PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG

DAN BIDANG KUTUB



Jika Pers bola

x2_{+ y}2₊

z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 atau B_I= 0 , Maka :

1. Pers bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) yg terletak pada bola B_I= 0 adalah

x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0

2. Pers bidang kutub dari titik sebarang

P(x1,y1,z1) terhadap bola B_I= 0 adalah

x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0

(22)



Untuk persamaan bola x2+ y2 + z2 = R2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah :

x1x + y1y + z1z = R2

-

Untuk persamaan bola :

(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah :

(x1–a)(x-a) + (y1-b)(y-b) + (z1-c)(z-c) = R2

- _{Kuasa titik P(x1,y1,z1) terhadap bola :}

x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 adalah

k = x12+ y12+ z12+2Ax1+2By1+2Cz1+D

k >0 jika P diluar bola, k< 0 jika P didalam bola, k = 0 jika P pada bola

(23)

Bidang kuasa dr dua bola B

_I

= 0 dan B

_II

= 0

B

_I

:

x

2

+ y

2

+ z

2

+2A1x+2B1y+2C1z+D1= 0

B

_II

:

x

2

+ y

2

+ z

2

+2A2x+2B2y+2C2z+D2= 0

Persaman bidang kuasa dari dua bola B

_I

dan B

_II

adalah

B

_I

- B

_II

= 0

atau

2(A1-A2)x + 2(B1-B2)y + 2(C1-C2)z +D1-D2 = 0

Persamaan bidang kuasa ini adalah merupakan tempat

kedudukan titik – titik yang kuasanya sama terhadap bola

B

_I

(24)

Garis kuasa dan titik kuasa

1. Jk 3 bola : B_I = 0, B_II= 0, dan B_III= 0 tidak melalui

satu titik. Maka : B_I = B_II= B_III adalah persamaan garis kuasa tiga bola itu

2. Jika 4 bola : B_I = 0, B_II= 0, B_III= 0 dan B_IV= 0 tidak

melalui 2 titik yang sama maka

B_I = B_II= B_III=B_IVadalah persamaan titik kuasa dari 4 bola itu

(25)

TABUNG DAN KERUCUT

 Bidang Tabung adalah bidang yang dilukiskan oleh garis-garis lurus yang arahnya sama sejajar (yg disbt

garis lukis) dan selalu memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt garis lengkung arah

 Bidang kerucut adalah bidang yg dilukiskan oleh garis lurus yang melalui sebuah titik tetap (yg disbt puncak kerucut) dan memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt grs lengkung arah)

(26)

BIDANG PUTARAN

 Bdg putaran adalah bdg yg terjadi jk sebuah grs (lengkung/lrs) berputar sekeliling sebuah grs lrs sbg sumbu.

 Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar

sekeliling sb z, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; f( x2_{+ y}2_{, z) = 0}

 Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar

sekeliling sb x, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; f( x, y2_{+ z}2 _{) = 0}

(27)

1. Jk grs lurus : x/a + z/b = 1, y = 0 diputar

sekeliling sb z, maka terjadi :

(

x

2

+ y

2

)/a + z/b = 1

ATAU

(

x

2

+ y

2

)/

a

2

= (b-z)

2

/ b

2

: ialah

kerucut

2. Jk lingkaran

x

2

+ y

2

= a

2 ,

y = 0

diputar

sekeliling sb z, maka

x

2

+ y

2

+ z

2

= a

2

adalah

bola

3. Jk parabola

: x

2

= 2pz, y = 0

diputar sekeliling

sb z, mk terjadi

x

2

+ y

2

= 2pz

adalah

parabolaida

putaran

(28)

4.

Jk ellips :

x

2

/a

2

+ z

2

/b

2

= 1, y = 0

diputar

sekeliling sb z maka terjadi

(

x

2

+ y

2

)/

a

2

+

z

2

/b

2

= 1

atau

x

2

/a

2

+ y

2

/a

2

+ z

2

/b

2

= 1

adalah

sebuah

elipsoida putaran

5.Jk hiperbola : x2 /a2 - z2/b2 = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi

(x2+ y2)/ a2 - z2 /b2= 1 atau

x2_/a2_{+ y}2_/a2 _{- z}2_/b2_{= 1}_ialah_sebuah

(29)

6. Jk hiperbola :

x

2

/a

2

- z

2

/b

2

= -1, y = 0

diputar

sekeliling sb z maka terjadi

(

x

2

+ y

2

)/

a

2

-

z

2

/b

2

= -1

atau

- (x

2

/a

2

) - y

2

/a

2

+ z

2

/b

2

= 1

ialah

sebuah

hiperbola putaran daun dua.

7. Jk grs lurus x = a, y = 0 diputar sekeliling sb z, mk terjadi :

(x2+ y2)1/2 = a atau x2+ y2 = a2

(30)

BIDANG DERAJAT DUA

1. Elipsoida

x2_/a2_{+ y}2_/b2 _{+ z}2_/c2_{= 1}

Perpotonganya dgn bid koordinat berupa ellips. Pers bid singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah

x1x/a2 + y1y/b2 + z1z/c2 = 1 2. Parabola Eliptik

(31)

-Perpotongan dgn bid z = k > 0

x

2

/a

2

+ y

2

/b

2

= (2pk/a

2

)

z

2

berupa ellips

-

_{Perpotongan dgn bid y = 0 berupa parabola}

- Perpotongan dgn bid x= 0 berupa parabola

- Persamaan bidang singgung dititik T(x1,Y1,z1) adalah :

(32)

3. Hiperbola daun satu

x

2

/a

2

+ y

2

/b

2

-

z

2

/c

2

= 1

- Perpotongan dgn bid koordinat :

Dengan bid z = 0 berupa ellips

Dengan bid x = 0 berupa hiperbola

Dengan bid y = 0 berupa hiperbola

- Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah :

(33)

4. Hiperbola daun dua

x2/a2 - y2/b2 - z2/c2 = 1

- Perpotongan dgn bid koordinat : Dengan bid z = 0 berupa hiperbola Dengan bid x = 0 berupa elips khayal y2/b2 + z2/c2 = -1

Dengan bid y = 0 berupa hiperbola Dengan bid x = k dimana k>a adalah y2/b2 + z2/c2 = k2/a2 -1

berupa ellips real (k2/a2 -1) > 0

- Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah :

x1x/a2_{- y1y/b}2 – z1z/c2 _{= 1}

(34)

5. Parabolaida hiperbolik x2/a2 - y2/b2 = 2pz/a2

- Perpotongan dgn bid z = 0 , y2= b2x2 /a2, y = bx/a ,berupa dua grs lrs

- Dengan bid z = k : x2/a2 - y2/b2 = 2pk/a2 berupa hiperbola

- Dengan bid y = 0 : x2 = 2pz berupa parabola

- Dengan bid x = 0 : y2 = -b2 2pz /a2 berupa parabola

- Persamaan bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah :

(35)