Permodelan Sistem. Melalui Identifikasi Parameter. Ir. Rusdhianto EAK, MT. Pelatihan PC-Based Control

(1)

Pelatihan PC-Based Control

Permodelan Sistem

Melalui Identifikasi Parameter

(2)

Pengertian

Adalah sekumpulan metode yang digunakan

untuk mendapatkan/menentukan parameter model pendekatan dari sistem melalui

evaluasi data pengukuran input output

Secara umum ada 2 cara untuk

mendapatkan model pendekatan sistem,

yaitu melalui Pendekatan Respon Waktu dan Pendekatan Respon Frekuensi

(3)

Pendekatan Respon Waktu

Respon waktu kontinyu :

- sinyal uji berupa step

- model pendekatan yang digunakan: - orde I - orde II - orde tinggi 1 ) ( ) ( + = s K s X s Y τ 1 2 1 ) ( ) ( 2 2 + + = s s K s X s Y n n ω ζ ω N s s e s X s Y ) 1 ( ) ( ) ( 2 1 + = − τ τ

(4)

Pendekatan Respon Waktu

Respon Waktu Diskrit

- sinyal uji berupa sinyal random untuk

proses offline atau sinyal kontrol (online) - model pendekatan struktur diskrit

(5)

Pendekatan Respon Frekuensi

Sinyal uji sinusoida dengan magnitude

konstan dan frekuensi variabel

(6)

Struktur Model Pendekatan

Suatu sistem dengan masukan tersampling

u(k), keluaran y(k)dan noise µ(k) dapat digambarkan dengan diagram blok :

Sistem u(k)

µ(k)

(7)

Struktur Model Pendekatan

Sistem tersebut dapat didekati dengan model

umum : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₁ 1 1 1 k q A q C k u q A q B q k y d η − − − − − + = dimana d : faktor delay ) ( ) ( ; ) ( ) ( ... ) ( ... 1 ) ( ... ) ( 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 i k u k u q i k y k y q q c q c c q C q a q a q A q b q b b q B i ne nc na na nb nb − = − = + + + = + + + = + + + = − − − − − − − − − − −

(8)

Berbagai Bentuk Struktur

Pendekatan

Struktur Deterministik (tanpa noise)

(semua c_i = 0; i = 0,1,…,n_c)

Struktur Stokastik (dengan noise)

(9)

Struktur Deterministik

Jika b₀ ≠ 0; b_i=0, i=1,..,n_b, a_j ≠ 0; j=1,..,na

disebut struktur AR (Auto Regressive)

Jika b_i ≠ 0, a

j = 0; j=1,..,na

disebut struktur MA (Moving Average)

Jika b_i ≠ 0 dan a

j ≠ 0, i=0,..,nb,; j=1,..,na

(10)

Struktur Stokastik

Jika b₀ ≠ 0, b_i=0; i=1,..,n_b; a

j ≠ 0; j=1,..,na

disebut sebagai ARX (Auto Regressive Exogeneous)

Jika b_i ≠ 0, a

j = 0; j=1,..,na

disebut sebagai MAX

Jika b_i ≠ 0, a

j ≠ 0; i=0,..,nb; j=1,..,na

(11)

Catatan

Jika hanya ada c₀ noise pada pengukuran

Jika terdapat c_i ≠ 0, i =1,..,n_c noise pada

(12)

Metode Identifikasi Parameter

Metode Penyelesaian Persamaan Linier

Simultan

Metode Gradient

(13)

Metode Penyelesaian Pers

Linier Simultan

Menemukan Parameter Rata-rata (P2SPR)

(14)

Metode Gradient

Gradient Constant Step (GCS)

Gradient Steppest Descent (GSD)

(15)

Metode Least Square

Metode Standard Least Square (SLS), (Unity

forgetting factor least square)

(16)

Metode Penyelesaian Pers

Linier

Suatu sistem dimodelkan dengan struktur ARMA dengan d=1 sbb: ) 1 ( ... ) 2 ( ) 1 ( ) ( ... ) 2 ( ) 1 ( ) ( 1 0 2 1 − − + + − + − + − − − − − − − = b nb na n k b k b k b na k y a k y a k y a k y µ µ µ

Jika terdapat sejumlah pengukuran k=0 s/d k=N, selalu dapat disusun sejumlah pers linier yang valid dengan parameter sebagai nilai yang akan dicari.

(17)

P2SR (Penyelesian Pers Linier

Simultan – Parameter Rata-rata

Mulai k=na s/d k=na+m-1 dapat disusun M buah

persamaan linier simultan yang memiliki satu penyelesaian linier. Y P m n y n y b b a a m u u n u m y m n y y n y m n k n k Y a a nb na P a a a a a 1 0 1 0 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 0 ( )... 1 ( ) 1 ( )... 2 ( )... 1 ( 1 − =             + + =                         − − − − + − − − + + = = θ θ3 1442443 2 1 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1

(18)

P2SR

Demikian pula untuk k=na+1s/d k=na+m-1 θ(2) =

P-1_Y

Sehingga dapat disusun Formulasi Parameter

Rata-rata

M : Jumlah semua solusi yang mungkin

m : Jumlah persamaan/parameter yang diperlukan untuk mendapatkan satu solusi.

∑

= = M i i M ₁ ( ) 1 θ θ

(19)

P2ST (Penyelesaian Persamaan

Linier Simultan Parameter Total)

Sama dengan P2SR, dengan melibatkan

semua persamaan linier secara total.

Mulai k=na s/d k=N (N:jumlah pengukuran),

dapat disusun sejumlah persamaan linier

simultan yang dapat dituliskan dalam format matrix.

(20)

P2ST

Nilai θ dapat dirumuskan sbb:

1 1 0 1 0 1 1 ) ( ) ( ) ( )... 1 ( ) ( )... 1 ( ) ( )... 1 ( . . )... 1 ( mx mx kxm Y a nb na Q b b a a a a a Y Q N y n y b b a a n N u N u n n u n u n N y N y y n y N k n k mx mx kxm =             =                         − − − − − − − − − = = θ θ23 14243 1 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1

K = jumlah semua pers linier

Y

Q

T

)

1 T

(

−

=

θ

(21)

Metode Gradient

Suatu sistem dimodelkan dengan struktur

ARMA dengan d=1 sbb: ) 1 ( ... ) 2 ( ) 1 ( ) ( ... ) 2 ( ) 1 ( ) ( 1 0 2 1 − − + + − + − + − − − − − − − = b nb na n k b k b k b na k y a k y a k y a k y µ µ µ

Atau dalam format perkalian vektor :

θ ϕ ( 1) ) (k = k − y T dimana T nb na T b a b b a a n k u k u n k y k y k ] ... ... [ )] ( )... 1 ( ) ( )... 1 ( [ ) 1 ( 0 1 = − − − − − = − θ ϕ

(22)

Metode Gradient

Jika θ dinyatakan dalam hasil estimasi dari

data pengukuran ke k

)

(

ˆ

)

1 (

)

(

ˆ

k

y

=

ϕ

T

−

θ

Sehingga dapat dituliskan error estimasi

kuadrat adalah

2 2

1

_[

_y

₍

_k

₎

_y

_ˆ

₍

_k

_)]

(23)

Metode Gradient

Metode gradient adalah metode yang

diturunkan melalui kriteria error estimasi kuadrat minimum.

{

2

}

2 1 _[ ₍ ₎ ₍ ₁₎ ₍ _)] min min J = y k −ϕT k − θ k

Dengan menggunakan gradien perubahan

θ(k) pada sepanjang kurva J menuju error kuadrat paling minimum dapat disusun

(24)

Algoritma GCS (Gradient

Constant Step)

Initialisasi

1. Tentukan struktur model dan orde sistem

2. Tentukan kondisi awal dari

3. Tentukan gain estimasi (step)

] ... [ ] 0 ... 0 [ ) 1 ( ] 0 ... 0 [ ) 1 ( 1 nb T T b a k k = = − • = − • θ ϕ

untuk proses offline untuk proses ONline

(25)

Algoritma GCS

Proses Iterasi/Rekursive

1. Ukur input output plant u(k), y(k)

- untuk proses offline u(k): masukan random - untuk proses ONline u(k): sinyal kontrol

2. Rekonstruksi matrix ϕ(k-1) T b a u k u k n n k y k y k 1) [ ( 1)... ( ) ( 1)... ( )] ( − = − − − − − − ϕ

(26)

Algoritma GCS

3. Hitung estimasi parameter sistem

4. Jika selesai, tampilkan nilai θ. Jika belum, ulangi langkah 1 untuk pengukuran

selanjutnya.

{

[ ( ) ( 1) ( 1)] ( 1)

}

) 1 ( ˆ ) ( ˆ _k ₌ θ _k ₋ ₊ _∆θ _Sign _y _k ₋ϕT _k ₋ θ _k ₋ ϕ _k ₋ θ

(27)

Algoritma GSD (Gradient

Steppest Descent)

Initialisasi

1. Tentukan struktur model dan orde sistem

2. Tentukan kondisi awal dari

] ... [ ] 0 ... 0 [ ) 1 ( ] 0 ... 0 [ ) 1 ( 1 nb T T b a k k = = − • = − • θ ϕ

I

λ θ =

(28)

Algoritma GSD

(29)

Algoritma GSD

3. Hitung estimasi parameter sistem

4. Jika selesai, tampilkan nilai θ. Jika belum, ulangi langkah 1 untuk pengukuran

selanjutnya.

{

[ ( ) ( 1) ( )] ( 1)

}

) 1 ( ˆ ) ( ˆ _k ₌ θ _k ₋ ₊ _∆θ _y _k ₋ϕT _k ₋ θ _k ϕ _k ₋ θ

(30)

Algoritma GBS (Gradient

Binary Step)

Initialisasi (4 tahap)

1. Tentukan struktur model dan orde sistem 2. Tentukan kondisi awal dari

] ... [ ] 0 ... 0 [ ) 1 ( ] 0 ... 0 [ ) 1 ( 1 nb T T b a k k = = − • = − • ϕ ϕ

(31)

Algoritma GBS

Inisialisasi

4. Tetapkan Sign awal

xm T

(32)

Algoritma GBS

(33)

Algoritma GBS

Proses Iterasi 3. Hitung 4. Hitung 5. Hitung 6. Hitung

7. Jika selesai, stop. Jika belum buat s₁ = s₂ dan ulangi langkah 1.

[

]

{

( ) ( 1) ( 1) ( 1

}

2 = Sign y k − k − k − k − S ϕT θ ϕ ) ( ) ( ₁ ₂ ₁ ₂ 4 1 _s _s _s _s S = − T − ) 1 )( 1 ( ) (_k = ∆ _k − − ₂1 _s ∆θ θ 2 . ) 1 ( ˆ ) ( ˆ _k θ _k θ _s θ = − + ∆

(34)

Metode Least Square

Merupakan pengembangan dari metode

gradient dengan kriteria yang diminimumkan melibatkan semua pengukuran, yaitu:

Atau:       =

_∑

= k i i e J 0 2 2 1 ₍ ₎ min min

(

)

      − − =

_∑

= k i T i i i y J 0 2 2 1 ₍ ₎ ₍ ₁₎ ˆ₍ ₎ min min ϕ θ

(35)

Metode Least Square

Dengan metode yang sama seperti metode

gradient dapat disusun Algoritma untuk

mendapatkan nilai estimasi parameter yaitu : 1. Algoritma SLS/RLS 2. Algoritma ELS ) ( ˆ k θ

(36)

Algoritma SLS

Initialisasi

3. Tentukan gain estimasi awal

] ... [ ] 0 ... 0 [ ) 1 ( ] 0 ... 0 [ ) 1 ( 1 nb T T b a k k = = − • = − • θ ϕ

(37)

Algoritma SLS

Proses Iterasi

2. Rekonstruksi

3. Hitung estimasi parameter

) 1 (k − T ϕ )] ( )... 1 ( ) ( )... 1 ( [ ) 1 (k y k y k n_a u k u k nb T − = − − − − − − ϕ

{

( ) ( 1) ( 1)

}

( 1) ) ( ) 1 ( ˆ ) ( ˆ _k ₌θ _k ₋ ₊ _F _k _y _k ₋ϕT _k ₋ θ _k ₋ ϕ _k ₋ θ

(38)

Algoritma SLS

Proses Iterasi

4. Revisi nilai F(k+1) untuk proses iterasi selanjutnya

5. Jika selesai tampilkan θ, jika belum ulangi langkah 1. ) 1 ( ) ( ) 1 ( 1 ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( − − + − − − = + k k F k k F k k k F k F k F _T T ϕ ϕϕ ϕ

(39)

Algoritma ELS

Initialisasi

3. Tentukan gain estimasi awal

] ... [ ] 0 ... 0 [ ) 1 ( ] 0 ... 0 [ ) 1 ( 1 nb T T b a k k = = − • = − • ϕ ϕ

I k

(40)

Algoritma ELS

Proses Iterasi

1. Ukur input output plant u(k), y(k) 2. Rekonstruksi

3. Hitung estimasi parameter

) 1 (k − T ϕ )] ( )... 1 ( ) ( )... 1 ( [ ) 1 (k y k y k n_a u k u k nb T − = − − − − − − ϕ

{

( ) ( 1) ( 1)

}

( 1) ) ( ) 1 ( ˆ ) ( ˆ _k ₌θ _k ₋ ₊ _F _k _y _k ₋ϕT _k ₋ θ _k ₋ ϕ _k ₋ θ

(41)

Algoritma ELS

Proses Iterasi

4. Update:

λ₁ dan λ₂ dipilih dengan berbagai cara. - λ₁ bilangan konstan < 1, λ₂ = 1

- λ₁ =1 dan λ₂bilangan konstan > 1 - λ₁ = f(k), λ₂ = 1

- λ₁ = 1; λ₂ = f(k)

- λ₂ = 1; λ₁dipilih agar : - nilai Eigen F, tetap - nilai Trace F tetap - determinan F tetap

(

)

      − − + − − − = + ) 1 ( ) ( ) 1 ( 1 ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( 2 1 k F k k k F k k k F k F k F _T T ϕ ϕ λ ϕ ϕ λ

(42)

Algoritma ELS

Proses Iterasi

5. Jika selesai tampilkan θ, jika belum ulangi langkah 1.

(43)

Validasi Model

Adalah suatu proses untuk melihat seberapa

dekat model hasil identifikasi dengan plant asal

(44)

Beberapa Cara Validasi

1. Melalui kedekatan Respon Waktu uji

dengan input step

2. Melalui kedekatan respon frekuensi

3. Melalui perhitungan error estimasi dari data

(45)

Latihan

Suatu plant:

Lakukan identifikasi plant melalui berbagai

pendekatan.

Lakukan validasi model melalui:

- Respon step - Respon Frekuensi - Kriteria Error u(t) y(t) 16 8 8 12 2 3 + + + + s s s s