1
Pendugaan Parameter Model
Apabila nilai p, d, dan q sudah dapat diidentifikasi, maka selanjutnya dilakukan pendugaan terhadap parameter model, yaitu 1, 2, ..., p untuk model AR(p) dan 1, 2, ..., q untuk model MA(q) berdasarkan data terobservasi Y1, Y2, ..., Yn. Metode pendugaan parameter :
Metode momen,
Metode kuadrat terkecil (least-square),
Metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood).
1. Metode Momen
Metode ini didasarkan pada persamaan momen contoh dan momen teoritis, kemudian memecahkan persamaan-persamaan tersebut untuk mendapatkan penduga bagi parameter model.
Misalnya, menduga rataan populasi (teoritis) dengan rataan contoh Y .
Model AR
a. AR(1) : Yt = Yt-1 + et
k = k ; k = 1, 2, …
1 = ˆ1ˆ r1 = ˆ
Jadi pada AR(1) penduga bagi parameter model, , adalah r1 yang dapat dihitung dari data.
2 b. AR(1) : Yt = + Yt-1 + et
Bagaimana menduga ?
Perhatikan model : (Yt - 𝑌 )= (Yt-1 - 𝑌 ) + et
↔ (Yt - 𝑌 )= (Yt-1 - 𝑌 ) + et
↔ Yt = (1 - )𝑌 + Yt-1 + et
↔ Yt = + Yt-1 + et
Sehingga : α = (1 - )𝑌
c. AR(2) : Yt = 1Yt-1 + 2Yt-2 + et
Berdasarkan persamaan Yule-Walker :
k = 1k-1 + 2k-2 + ... + pk-p
maka diperoleh
1 = 1 + 21 dan 2 = 11 + 2
dengan metode momen diperoleh:
r1 = ˆ1 + ˆ2r1 dan r2 = r1ˆ1 + ˆ2
penyelesaian terhadap dua persamaan ini diperoleh:
2 1
2 1
1 1
) 1 ˆ (
r r r
dan 2
1 2 1 2
2 1
ˆ
r r r
Model MA
MA(1) : Yt = et - et-1
1 2
1
1 ˆ2
1 ˆ
r
sehingga diperoleh :
1 2 1
2 4 1 ˆ 1
r
r
Sebagai catatan untuk persamaan ini, apabila | r1 | > 0.5 maka metode momen gagal untuk menduga parameter .
Untuk MA(2), MA(3), dst, metode momen menjadi sangat kompleks, sehingga harus menggunakan metode pendugaan lainnya.
3 Model ARMA
ARMA(1, 1) : Yt = Yt-1 - et-1 + et
1
2 2
1
) )(
1
(
k
k
1
2 sehingga penduga bagi adalah :
1
ˆ 2
r
r
Untuk menduga dapat digunakan persamaan pertama dengan cara mengganti 1 dengan r1 dan dengan ˆ, yaitu
1 1 2ˆˆ ˆ2
ˆ) )(ˆ ˆ 1 ˆ (
r
Contoh Kasus (Latihan):
Misalnya diketahui model AR(2) : Yt = + 1Yt-1 + 2Yt-2 + et. Berdasarkan data diketahui bahwa r1 = 0.75, r2 = 0.61, dan Y = 4.5. Tentukan ˆ, ˆ1, dan ˆ2dengan metode momen.
Penduga bagi e2
Lakukan pendugaan pada parameter model
Lakukan pendugaan pada V(Yt) = 0, yaitu
1 ) ( )
( Vˆ
ˆ 1
2 2
0
n Y Y S
Y
n
t t
t
Lakukan pendugaan untuk e2
.
Misal untuk AR(p) :
) ....
1 ) ( ( V
2 2 1 1
2 0
p p e
Yt
sehingga penduga bagi e2 adalah :
4
1 ) ( ˆ )
ˆ ...
1 ˆ (
) ( Vˆ ˆ ).
ˆ ...
1 ˆ ˆ (
1
2
2 2 1 1
2 2 1 1 2
n Y Y r
r r
Y r r
r
n
t t p
p
t p p e
2. Metode Kuadrat Terkecil
Metode ini dilakukan dengan cara meminimumkan komponen pada galat, yaitu
n
t
et 1
2.
AR(1) : Yt = Yt-1 + et et = Yt - Yt-1 S() =
n
t
et 1
2=
n
t
t
t Y
Y
1
2 1)
(
Penduga bagi parameter model, , dapat diperoleh dengan cara meminimumkan S().
MA(1) : Yt = et - et-1 et = Yt + et-1 et = Yt + ( Yt-1 + et-2)
et = Yt + Yt-1 + 2Yt-2 + 3Yt-3 + ….
S() =
n
t
et 1
2
Meminimumkan S() tidak dapat dilakukan secara analitik / kalkulus karena bersifat non-linear, sehingga harus diselesaikan secara numerik / iteratif, salah satunya melalui algoritma Gauss-Newton.
5
3. Metode Kemungkinan Maksimum
Metode ini dilakukan dengan cara memaksimumkan fungsi kemungkinan (likelihood), berdasarkan fungsi sebaran galat (et).
AR(1) : Yt = Yt-1 + et, misal et
bsi~ N(0, e2
)
f(e1, e2, …., en) = ) 2
exp( 1 . ) 2 (
1 2 2 2
/ ) 1 (
2
n
t t e n
e e
L(, e2) = ( ) )
2 exp( 1 . ) 2
( 2
1 2 2
/ ) 1 (
2
n
t
t t e n
e Y Y
Penduga dan e2
dapat diperoleh dengan cara memaksimumkan fungsi kemungkinan L(, e2
).
MA(1) : Yt = et - et-1
Fungsi kemungkinannya, L(, e2), bersifat non-linear sehingga pemaksimumannya harus dilakukan secara numerik / iteratif.
Catatan : SAS dan Minitab menggunakan metode iterasi Gauss-Newton untuk menduga parameter AR(p), MA(q), dan ARIMA(p, d, q).
6
-10 0 10
10 20 30 40
Zt
Index
2
1
0
-1
-2
-3
40 30
20 10
Zt(lag1)
Index
3
2
1
0
-1
-2
40 30
20 10
Zt(lag2)
Index
Studi Kasus :
Tentukan model terbaik untuk data penjualan suatu produk (Zt) sebagai berikut:
Zt : Data Asal
Zt : Data Setelah Differencing Ordo-1
Zt : Data Setelah Differencing Ordo-2
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Autocorrelation
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 -0.44
0.13 -0.18 -0.04 0.02 0.08 0.07
-0.12 0.06 -0.01 -0.02 -2.94
0.75 -1.02 -0.22 0.10 0.46 0.40
-0.65 0.33 -0.05 -0.10 9.23
10.07 11.72 11.80 11.82 12.20 12.50
13.30 13.52 13.53 13.55
Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ
Autocorrelation Function for Zt(lag2)
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
Partial Autocorrelation
T PAC Lag T PAC Lag
0.16 0.70 0.06 -0.46
0.69 0.00 -0.99 -1.64 -1.27 -0.51 -2.94
0.02 0.10 0.01 -0.07
0.10 0.00 -0.15 -0.24 -0.19 -0.08 -0.44
11 10 9 8
7 6 5 4 3 2 1
Partial Autocorrelation Function for Zt(lag2)
Kandidat Model : ARIMA(0,2,1)dan ARIMA(1,2,0)
MTB > ARIMA 0 2 1 'Yt';
SUBC> Constant;
SUBC> Brief 2.
ARIMA model for Yt
Estimates at each iteration
Iteration SSE Parameters 0 66.1073 0.100 0.031 1 57.5810 -0.050 -0.011 2 51.8387 -0.200 -0.048 3 48.8500 -0.350 -0.083 4 48.3704 -0.435 -0.099 5 48.3691 -0.439 -0.099 6 48.3691 -0.439 -0.099
8
Relative change in each estimate less than 0.0010
Final Estimates of Parameters
Type Coef SE Coef T P MA 1 -0.4393 0.1371 -3.20 0.003 Constant -0.0995 0.1581 -0.63 0.533
Differencing: 2 regular differences
Number of observations: Original series 47, after differencing 45
Residuals: SS = 48.3592 (backforecasts excluded)
MS = 1.1246 DF = 43
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic
Lag 12 24 36 Chi-Square 7.6 12.3 24.4 DF 10 22 34 P-Value 0.667 0.952 0.887
MTB > ARIMA 1 2 0 'Yt';
SUBC> Constant;
SUBC> Brief 2.
ARIMA model for Yt
Estimates at each iteration
Iteration SSE Parameters 0 55.9021 0.100 0.035 1 50.7183 0.250 -0.022 2 47.5927 0.400 -0.056 3 46.1186 0.543 -0.069 4 45.9902 0.582 -0.067 5 45.9806 0.592 -0.067 6 45.9799 0.595 -0.067 7 45.9799 0.596 -0.067 8 45.9799 0.596 -0.067
Relative change in each estimate less than 0.0010
Final Estimates of Parameters
Type Coef SE Coef T P AR 1 0.5958 0.1225 4.86 0.000 Constant -0.06673 0.06299 -1.06 0.295
Differencing: 2 regular differences
Number of observations: Original series 47, after differencing 45
Residuals: SS = 45.9799 (backforecasts excluded)
MS = 1.0693 DF = 43
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic
Lag 12 24 36 Chi-Square 6.0 11.8 22.5 DF 10 22 34 P-Value 0.816 0.962 0.935
9 Pemilihan Model Terbaik Berdasarkan MSE Terkecil
Berdasarkan hasil di atas:
ARIMA(0, 2, 1) MSE : 1.1246 ARIMA(1, 2, 0) MSE : 1.0693
Sehingga model terbaik berdasarkan nilai MSE terkecil adalah ARIMA(1, 2, 0).
Model terbaik yang diperoleh dapat digunakan untuk melakukan peramalan.
10
Program SAS
data kita;
input t Xt;
cards;
1 2.65 2 3.14 .
;
proc arima data=kita ;
identify var=Xt(1) stationarity=(adf=(2,3,4)) nlag=15;
estimate p=1;
forecast out=ramalan lead=5 id=t;
run;
Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests
Type Lags Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau F Pr > F
Zero Mean 2 -17.1054 0.0031 -2.53 0.0119 3 -29.5254 <.0001 -3.02 0.0029 4 -22.9759 0.0004 -2.50 0.0127
Single Mean 2 -22.0298 0.0048 -2.88 0.0518 4.18 0.0812 3 -40.9071 0.0009 -3.45 0.0117 5.97 0.0165 4 -34.8465 0.0009 -2.97 0.0417 4.49 0.0632 Trend 2 -30.2184 0.0046 -3.54 0.0409 6.54 0.0487 3 -62.7006 0.0003 -4.27 0.0052 9.40 0.0010 4 -60.5260 0.0003 -3.75 0.0239 7.21 0.0311
Conditional Least Squares Estimation
Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag
MU 0.87404 0.37673 2.32 0.0224 0 AR1,1 0.77236 0.06812 11.34 <.0001 1
AIC 263.3572 SBC 268.5474 Number of Residuals 99
Model for variable Xt
Estimated Mean 0.874041 Period(s) of Differencing 1
Autoregressive Factors Factor 1: 1 - 0.77236 B**(1)
Forecasts for variable Xt
Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits
101 21.3388 0.9059 19.5633 23.1143 102 23.4883 1.8435 19.8751 27.1014 103 25.3474 2.8290 19.8026 30.8922 104 26.9823 3.8176 19.5000 34.4647 105 28.4440 4.7855 19.0646 37.8234
11
Tugas 2
Dikumpulkan pada RABU minggu depan di TU STK sebelum jam 13.00 WIB
1. Misalnya diketahui data ekspor karet (juta ton) dalam semester terakhir tahun 2014, yaitu 20.1, 25.5, 19.2, 20.7, 24.5, dan 22.7. Jika untuk data tersebut menggunakan model AR(2) :
Yt = + 1Yt-1 + 2Yt-1 + et
(a). Tentukan penduga parameternya yaitu ˆ, ˆ1, dan ˆ2 dengan metode momen.
(b). Lakukan pendugaan parameter melalui Minitab dan SAS. Bandingkan hasilnya dengan jawaban Anda pada poin (a) di atas.
Catatan : Untuk data 6 bulan tersebut ditransformasi dulu melalui data + 1.m, dimana m adalah 2 digit terakhir NIM.
2. Seperti pada soal nomor (1) di atas, hanya saja model yang digunakan adalah ARIMA(1, 1, 1).
3. Bangkitkan data untuk tiap model dibawah ini dengan galat et ~ N(0, 1.m), dimana m adalah 2 digit terakhir NIM, dan masing-masing-masing sebanyak (100 + m) data:
(a). ARIMA(1, 0, 1) dengan = 2.0, = 0.7, dan = 0.75.
(b). ARIMA(1, 1, 1) dengan = 1.5, = - 0.8, dan = 0.65.
Lakukan identifikasi model dan pendugaan parameter pada data hasil bangkitan tersebut masing-masing melalui Minitab dan SAS. Bandingkan nilai dugaan parameternya dengan nilai yang sebenarnya.
