PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN METODE
ROBUST
KUADRAT TERKECIL TERTIMBANG DAN
SIMPANGAN MUTLAK
Oleh :
LISA TANIKA
G54102049
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIA N BOGOR
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN METODE
ROBUST
KUADRAT TERKECIL TERTIMBANG DAN
SIMPANGAN MUTLAK
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut P ertanian Bogor
Oleh :
LISA TANIKA
G54102049
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
RINGKASAN
LISA TANIKA, Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Robust Kuadrat Terkecil
Tertimbang dan Simpangan Mutlak. Dibimbing oleh N. K. KUTHA ARDANA dan I G. PUTU PURNABA.
Misalkan diketahui segugus data yang mengandung pencilan dan representasi model dinamiknya maka secara umum hasil pendugaan parameter model tersebut dengan menggunakan metode kuadrat terkecil kurang memuaskan. Hal tersebut karena metode kuadrat terkecil sangat sensitif dengan keberadaan pencilan. Jadi perlu dicari metode lain yang lebih tahan dengan keberadaan pencilan. Metode tersebut adalah metode robust. Ada beberapa jenis metode robust
antara lain metode kuadrat terkecil tertimbang dan metode simpangan mutlak.
Setiap amatan pada metode kuadrat terkecil diberi penimbang yang sama. Sedangkan pada metode kuadrat terkecil tertimbang dan simpangan mutlak, setiap amatan diberi penimbang sesuai dengan besar sisaannya. Semakin besar sisaannya maka penimbang yang diberikan akan semakin kecil. Karena itulah metode kuadrat terkecil tertimbang dan simpangan mutlak lebih tahan terhadap pencilan.
Pendugaan parameter metode kuadrat terkecil, kuadrat terkecil tertimbang dan simpangan mutlak dari kedua model dalam tulisan ini diimplementasikan ke dalam pemprograman fungsional berbasis sistem aljabar komputer seperti Mathematica.
Model yang digunakan untuk mengkaji ket iga metode pendugaan parameter tersebut adalah model logistik dan model SEI. Hasil yang didapat adalah grafik dengan parameter dugaan metode
robust dari kedua model akan mengikuti tebaran data secara umum. Selain itu sisaan relatif yang
didapat menggunakan metode robust juga lebih terkonsentrasi dibandingkan metode kuadrat
terkecil. Hal tersebut memperlihatkan bahwa metode robust lebih tahan terhadap pencilan
Judul
: Pendugaan Parame ter Model Dinamik dengan Metode
Robust
Kuadrat Terkecil Tertimbang dan Simpangan Mutlak
Nama
: Lisa Tanika
NIM
: G54102049
Menyetujui,
Mengetahui,
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Tanggal Lulus : ………..
Pembimbing II
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
NIP. 131 878 945
Pembimbing I
Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc.
NIP. 131 842 412
PRAKATA
Segenap puji dan syukur penulis ucapkan atas rahmat Tuhan Yang Maha Esa sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Penulisan tugas akhir ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan alam, Institut Pertanian Bogor.
Pada kesempatan ini, penulis mengucapakan terima kasih kepada Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc selaku pembimbing I dan Bapak Dr. Ir. I G. Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing II atas segala bantuan dan arahannya selama penyusunan tugas akhir ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno selaku dosen penguji pada saat sidang tugas akhir yang telah memberikan saran–sarannya. Selain itu juga kepada Papa, Mama, dan Adik yang selalu mendukung dengan kasih sayang. Tidak lupa juga penulis mengucapkan terima kasih kepada teman–teman Matematika ’39, KMBA, dan KMBB ’02 serta kepada semua pihak yang telah memberikan keceriaan dan kerjasamanya.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan di dalam penulisan tugas akhir ini seperti kata pepatah ”Tak ada gading yang tak retak ”, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran serta kritik dari semua pihak. Semoga tugas akhir ini dapat menjadi informasi yang bermanfaat bagi semua pihak yang membacanya .
.
Bogor, 16 Mei 2006
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Semarang tanggal 24 Desember 1983 sebagai putri pertama dari tiga bersaudara pasangan Linggo Sapto dan Hesti Kusumawati.
Penulis memulai pendidikan di SD bernardus Semarang, kemudian pada tahun 1999 lulus dari SLTP Domenico Savio Semarang, dan melanjutkan ke SMU Sedes Sapientiae Semarang dan lulus pada tahun 2002.
DAFTAR ISI
Halaman
PRAKATA ... RIWAYAT HIDUP ... DAFTAR ISI ... DAFTAR LAMPIRAN ... DAFTAR GAMBAR ... DAFTAR TABEL ...
I PENDAHULUAN ... 1
1.1. Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan penulisan ... 1
II LANDASAN TEORI ... 1
2.1 Sistem Persamaan Diferensial ... 2.2 Solusi Sistem Persamaan Diferensial ... 2.3 Matriks Hessian ... 2.4 Peminimuman Fungsi ... 2.5 Pencilan ... 2.6 Metode Kuadrat Terkecil ... 2.7 Metode Robust ... 2.8 Ukuran Akurasi Model ... III MODEL DAN DATA ... 5
3.1 Model ... 5
3.2 Data ... 6
IV METODE ANALISIS ... 7
V PROSEDUR PENDUGAAN PARAMETER ... 7
5.1 Prosedur Pendugaan Parameter ... 7
5.2 Implementasi Dengan Mathematica ... 8
VI HASIL DAN PERBANDINGAN ANTAR METODE ... 9
6.1 Hasil ... 9
6.1.1 Hasil Model Logistik ... 9
6.1.2 Hasil Model SEI ... 10
6.2 Perbandingan Antar Metode ... 12
BAB VII SIMPULAN ... 14
DAFTAR PUSTAKA ... 15
DAFTAR LAMPIRAN
Hal aman
Lampiran 1 : Teknik Pencarian Garis ... 15
Lampiran 2 : Pengaruh Jumlah dan Letak Pencilan ... 16
Lampiran 3 : Diagram Kotak ... 17
Lampiran 4 : Implementasi Pendugaan Perameter Model Dinamik dengan Mathematica ... 18
Lampiran 4 : Pendugaan Parameter Model Logistik ... 19
Lampiran 5 : Pendugaan Parameter Model SEI ... 25
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 1 : Komponen – komponan data amatan yi ... 16Gambar 2 : Skema model SEI ... 17
Gambar 3 : Skema alur metode analisis ... 18
Gambar 4 : Tebaran data hipotetik model logistik ... 19 Gambar 5 : Grafik Y(t) dengan parameter dugaan menggunakan metode kuadrat terkecil .. Gambar 6 : Grafik Y(t) dengan parameter dugaan menggunakan metode kuadrat terkecil tertimbang ... Gambar 7 : Grafik Y(t) dengan parameter dugaan menggunakan metode simpangan M utlak ... Gambar 8 : Tebaran data proporsi populasi kelompok rentan ... Gambar 9 : Tebaran data proporsi populasi kelompok tak terlindungi ... Gambar 10 : Tebaran data proporsi populasi kelompok terinfeksi ... Gambar 11 : Grafik S(t) dengan metode kuadrat terkecil pada kelompok rentan ... Gambar 12 : Grafik E(t) dengan metode kuadrat terkecil pada kelompok tak terlindungi .... Gambar 13 : Grafik I(t) dengan metode kuadrat terkecil pada kelompok terinfeksi ... Gambar 14 : Grafik S(t) dengan metode kuadrat terkecil tertimbang pada kelompok rentan ... Gambar 15 : Grafik E(t) dengan metode kuadrat terkecil tertimbang pada kelompok tak terlindungi ... Gambar 16 : Grafik I(t) dengan metode kuadrat terkecil tertimbang pada kelompok terinfeksi ... Gambar 17 : Grafik S(t) dengan metode simpangan mutlak pada kelompok rentan ... Gambar 18 : Grafik E(t) dengan metode simpangan mutlak pada kelompok tak terlindungi Gambar 19 : Grafik I(t) dengan metode simpangan mutlak pada kelompok terinfeksi ... Gambar 20 : Grafik Y(t) menggunakan ketiga metode untuk model logistik ... Gambar 21 : Grafik S(t) menggunakan ketiga metode pada kelompok rentan ... Gambar 22 : Grafik E(t) menggunakan ketiga metode pada kelompok tak terlindungi ... Gambar 23 : Grafik I(t) menggunakan ketiga metode pada kelompok terinfeksi ... Gambar 24 : Diagram kotak ... Gambar 25 : Diagram kotak dari ketiga metode untuk model logistik ... Gambar 26 : Diagram kotak dari ketiga metode untuk model SEI untuk kelompok rentan . Gambar 27 : Diagram kotak dari ketiga metode untuk model SEI untuk kelompok tak terlindungi ... Gambar 28 : Diagram kotak dari ketiga metode untuk model SEI untuk kelompok
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1 : Parameter dugaan untuk masing – masing metode model logistik ... 16
Tabel 2 : Parameter dugaan untuk masing – masing metode model SEI ... 17
Tabel 3 : MRE, R12, RMSE untuk metode kuadrat terkecil model SEI ... 18
Tabel 4 : MRE dan R22 untuk metode kuadrat terkecil tertimbang model SEI ... 19
