Pendugaan Parameter Model

(1)

1

Pendugaan Parameter Model

Apabila nilai p, d, dan q sudah dapat diidentifikasi, maka selanjutnya dilakukan pendugaan terhadap parameter model, yaitu 1, 2, ..., p untuk model AR(p) dan 1, 2, ..., q untuk

model MA(q) berdasarkan data terobservasi Y1, Y2, ..., Yn.

Metode pendugaan parameter :

 Metode momen,

 Metode kuadrat terkecil (least-square),

 Metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood).

1. Metode Momen

Metode ini didasarkan pada persamaan momen contoh dan momen teoritis, kemudian memecahkan persamaan-persamaan tersebut untuk mendapatkan penduga bagi parameter model.

Misalnya, menduga rataan populasi (teoritis)  dengan rataan

contoh Y .

Model AR

a. AR(1) : Yt = Yt-1 + et

 k = k ; k = 1, 2, …

 1 =   ˆ1ˆ  r1 = ˆ

 Jadi pada AR(1) penduga bagi parameter model, ,

(2)

2 b. AR(1) : Yt =  + Yt-1 + et  Bagaimana menduga  ?  Perhatikan model : (Yt - 𝑌 )= (Yt-1 - 𝑌 ) + et ↔ (Yt - 𝑌 )= (Yt-1 - 𝑌 ) + et ↔ Yt = (1 - )𝑌 + Yt-1 + et ↔ Yt =  + Yt-1 + et Sehingga : α = (1 -  )𝑌 c. AR(2) : Yt = 1Yt-1 + 2Yt-2 + et

Berdasarkan persamaan Yule-Walker : k = 1k-1 + 2k-2 + ... + pk-p

maka diperoleh

1 = 1 + 21 dan 2 = 11 + 2

dengan metode momen diperoleh:

r1 = ˆ1 + ˆ2r1 dan r2 = r1ˆ1 + ˆ2

penyelesaian terhadap dua persamaan ini diperoleh:

2 1 2 1 1 1 ) 1 ( ˆ r r r     dan ₂ 1 2 1 2 2 1 ˆ r r r     Model MA MA(1) : Yt = et - et-1 2 1 1        1 ˆ₂ 1 ˆ      r sehingga diperoleh : 1 2 1 2 4 1 1 ˆ r r     

 Sebagai catatan untuk persamaan ini, apabila | r1 | > 0.5

maka metode momen gagal untuk menduga parameter .

 Untuk MA(2), MA(3), dst, metode momen menjadi

sangat kompleks, sehingga harus menggunakan metode pendugaan lainnya.

(3)

3 Model ARMA ARMA(1, 1) : Yt = Yt-1 - et-1 + et 1 2 2 1 ) )( 1 (       k k           _ 1 2

sehingga penduga bagi  adalah :

1 2 ˆ r r  

Untuk menduga  dapat digunakan persamaan pertama

dengan cara mengganti 1 dengan r1 dan  dengan ˆ, yaitu

2 1 ˆˆ ˆ 2 1 ) ˆ ˆ )( ˆ ˆ 1 (             r

Contoh Kasus (Latihan):

Misalnya diketahui model AR(2) : Yt =  + 1Yt-1 + 2Yt-2 + et.

Berdasarkan data diketahui bahwa r1 = 0.75, r2 = 0.61, dan

Y = 4.5. Tentukan ˆ, ˆ1, dan ˆ2dengan metode momen.

Penduga bagi e2

 Lakukan pendugaan pada parameter model

 Lakukan pendugaan pada V(Yt) = 0, yaitu

1 ) ( ) ( Vˆ ˆ 1 2 2 0     



 n Y Y S Y n t t t 

 Lakukan pendugaan untuk e2.

 Misal untuk AR(p) :

) .... 1 ( ) ( V 2 2 1 1 2 0 p p e t Y              

(4)

4                        



 1 ) ( ) ˆ ... ˆ ˆ 1 ( ) ( Vˆ ). ˆ ... ˆ ˆ 1 ( ˆ 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 n Y Y r r r Y r r r n t t p p t p p e       

2. Metode Kuadrat Terkecil

Metode ini dilakukan dengan cara meminimumkan komponen

pada galat, yaitu



 n t t e 1 2 . AR(1) : Yt = Yt-1 + et  et = Yt - Yt-1 S() =



 n t t e 1 2 =



   n t t t Y Y 1 2 1) ( 

Penduga bagi parameter model, , dapat diperoleh

dengan cara meminimumkan S().

MA(1) : Yt = et - et-1  et = Yt + et-1 et = Yt + ( Yt-1 + et-2) et = Yt + Yt-1 + 2Yt-2 + 3Yt-3 + …. S() =



 n t t e 1 2

Meminimumkan S() tidak dapat dilakukan secara

analitik / kalkulus karena bersifat non-linear, sehingga harus diselesaikan secara numerik / iteratif, salah

(5)

5

3. Metode Kemungkinan Maksimum

Metode ini dilakukan dengan cara memaksimumkan fungsi

kemungkinan (likelihood), berdasarkan fungsi sebaran galat (et).

AR(1) : Yt = Yt-1 + et, misal et bsi ~ N(0, e2) f(e1, e2, …., en) = ) 2 1 exp( . ) 2 ( 1 2 2 2 / ) 1 ( 2



   _ n t t e n e  e  L(, e2) = ( ) ) 2 1 exp( . ) 2 ( 2 1 2 2 / ) 1 ( 2



   _ n _ t t t e n e _ Y Y 

Penduga  dan e2 dapat diperoleh dengan cara

memaksimumkan fungsi kemungkinan L(, e2).

MA(1) : Yt = et - et-1

Fungsi kemungkinannya, L(, e2), bersifat non-linear

sehingga pemaksimumannya harus dilakukan secara numerik / iteratif.

Catatan : SAS dan Minitab menggunakan metode iterasi Gauss-Newton untuk menduga parameter AR(p), MA(q), dan ARIMA(p, d, q).

(6)

6 -10 0 10 10 20 30 40 Z t Index 2 1 0 -1 -2 -3 40 30 20 10 Z t( la g 1 ) Index 3 2 1 0 -1 -2 40 30 20 10 Z t( la g 2 ) Index Studi Kasus :

Tentukan model terbaik untuk data penjualan suatu produk (Zt)

sebagai berikut:

Zt : Data Asal

Zt : Data Setelah Differencing Ordo-1

(7)

7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 A u to c o rr e la ti o n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -0.44 0.13 -0.18 -0.04 0.02 0.08 0.07 -0.12 0.06 -0.01 -0.02 -2.94 0.75 -1.02 -0.22 0.10 0.46 0.40 -0.65 0.33 -0.05 -0.10 9.23 10.07 11.72 11.80 11.82 12.20 12.50 13.30 13.52 13.53 13.55

Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ

Autocorrelation Function for Zt(lag2)

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 P a rt ia l A u to c o rr e la ti o n T PAC Lag T PAC Lag 0.16 0.70 0.06 -0.46 0.69 0.00 -0.99 -1.64 -1.27 -0.51 -2.94 0.02 0.10 0.01 -0.07 0.10 0.00 -0.15 -0.24 -0.19 -0.08 -0.44 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Partial Autocorrelation Function for Zt(lag2)

Kandidat Model : ARIMA(0,2,1)dan ARIMA(1,2,0)

MTB > ARIMA 0 2 1 'Yt';

SUBC> Constant; SUBC> Brief 2.

ARIMA model for Yt

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters 0 66.1073 0.100 0.031 1 57.5810 -0.050 -0.011 2 51.8387 -0.200 -0.048 3 48.8500 -0.350 -0.083 4 48.3704 -0.435 -0.099 5 48.3691 -0.439 -0.099 6 48.3691 -0.439 -0.099

(8)

8

Relative change in each estimate less than 0.0010 Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P MA 1 -0.4393 0.1371 -3.20 0.003 Constant -0.0995 0.1581 -0.63 0.533 Differencing: 2 regular differences

Number of observations: Original series 47, after differencing 45

Residuals: SS = 48.3592 (backforecasts excluded)

MS = 1.1246 DF = 43

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 Chi-Square 7.6 12.3 24.4 DF 10 22 34 P-Value 0.667 0.952 0.887 MTB > ARIMA 1 2 0 'Yt'; SUBC> Constant; SUBC> Brief 2.

ARIMA model for Yt

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters 0 55.9021 0.100 0.035 1 50.7183 0.250 -0.022 2 47.5927 0.400 -0.056 3 46.1186 0.543 -0.069 4 45.9902 0.582 -0.067 5 45.9806 0.592 -0.067 6 45.9799 0.595 -0.067 7 45.9799 0.596 -0.067 8 45.9799 0.596 -0.067

Relative change in each estimate less than 0.0010 Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P AR 1 0.5958 0.1225 4.86 0.000 Constant -0.06673 0.06299 -1.06 0.295 Differencing: 2 regular differences

Number of observations: Original series 47, after differencing 45

Residuals: SS = 45.9799 (backforecasts excluded)

MS = 1.0693 DF = 43

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic

Lag 12 24 36 Chi-Square 6.0 11.8 22.5 DF 10 22 34 P-Value 0.816 0.962 0.935

(9)

9

Pemilihan Model Terbaik Berdasarkan MSE Terkecil

Berdasarkan hasil di atas:

ARIMA(0, 2, 1)  MSE : 1.1246 ARIMA(1, 2, 0)  MSE : 1.0693

Sehingga model terbaik berdasarkan nilai MSE terkecil adalah ARIMA(1, 2, 0).

Model terbaik yang diperoleh dapat digunakan untuk melakukan peramalan.

(10)

10 Program SAS data kita; input t Xt; cards; 1 2.65 2 3.14 . ;

proc arima data=kita ;

identify var=Xt(1) stationarity=(adf=(2,3,4)) nlag=15;

estimate p=1;

forecast out=ramalan lead=5 id=t; run;

Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests Type Lags Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau F Pr > F Zero Mean 2 -17.1054 0.0031 -2.53 0.0119 3 -29.5254 <.0001 -3.02 0.0029 4 -22.9759 0.0004 -2.50 0.0127 Single Mean 2 -22.0298 0.0048 -2.88 0.0518 4.18 0.0812 3 -40.9071 0.0009 -3.45 0.0117 5.97 0.0165 4 -34.8465 0.0009 -2.97 0.0417 4.49 0.0632 Trend 2 -30.2184 0.0046 -3.54 0.0409 6.54 0.0487 3 -62.7006 0.0003 -4.27 0.0052 9.40 0.0010 4 -60.5260 0.0003 -3.75 0.0239 7.21 0.0311

Conditional Least Squares Estimation

Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag

MU 0.87404 0.37673 2.32 0.0224 0 AR1,1 0.77236 0.06812 11.34 <.0001 1 AIC 263.3572

SBC 268.5474 Number of Residuals 99 Model for variable Xt

Estimated Mean 0.874041 Period(s) of Differencing 1

Autoregressive Factors Factor 1: 1 - 0.77236 B**(1)

Forecasts for variable Xt

Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits

101 21.3388 0.9059 19.5633 23.1143 102 23.4883 1.8435 19.8751 27.1014 103 25.3474 2.8290 19.8026 30.8922 104 26.9823 3.8176 19.5000 34.4647 105 28.4440 4.7855 19.0646 37.8234

(11)

11

Tugas 2

Dikumpulkan pada RABU minggu depan di TU STK sebelum jam 13.00 WIB

1. Misalnya diketahui data ekspor karet (juta ton) dalam semester terakhir tahun 2014, yaitu 20.1, 25.5, 19.2, 20.7, 24.5, dan 22.7. Jika untuk data tersebut menggunakan model AR(2) :

Yt =  + 1Yt-1 + 2Yt-1 + et

(a). Tentukan penduga parameternya yaitu ˆ, ˆ₁, dan ˆ₂ dengan metode momen.

(b). Lakukan pendugaan parameter melalui Minitab dan SAS. Bandingkan hasilnya dengan jawaban Anda pada poin (a) di atas.

Catatan : Untuk data 6 bulan tersebut ditransformasi dulu

melalui  data + 1.m, dimana m adalah 2 digit terakhir NIM.

2. Seperti pada soal nomor (1) di atas, hanya saja model yang digunakan adalah ARIMA(1, 1, 1).

3. Bangkitkan data untuk tiap model dibawah ini dengan galat

et ~ N(0, 1.m), dimana m adalah 2 digit terakhir NIM, dan

masing-masing-masing sebanyak (100 + m) data:

(a). ARIMA(1, 0, 1) dengan  = 2.0,  = 0.7, dan  = 0.75.

(b). ARIMA(1, 1, 1) dengan  = 1.5,  = - 0.8, dan  = 0.65.

Lakukan identifikasi model dan pendugaan parameter pada data hasil bangkitan tersebut masing-masing melalui Minitab dan SAS. Bandingkan nilai dugaan parameternya dengan nilai yang sebenarnya.