Lucia Ratnasari
Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Semarang 50275
Abstract. Let R be a noncommutative ring and S be a multiplicative subset of R. The right (left) ring of quotients does not exist for everyS. A necessary condition of existence right (left) ring of quotients is S right (left) permutable and right (left) reversible. A multiplication subset S is called a right (left) denominator if it is right (left) permutable and right (left) reversible. The ring R has a right (left) ring of quotients with respect to S if and only if S is a right (left) denominator set. We can construct right (left) ring of quotients by using Ore localizations.
Keywords: ring of quotients, permutable, reversible, denominator, Ore localization.
1. PENDAHULUAN
Jika R ring komutatif dan S him-punan bagian multiplikatif dari R dengan
S
e∈ ,0∉S maka lokalisasi dari R ter-hadap S menghasilkan suatu ring komu-tatif R dan suatu homomorfisma ring S
S
R
R→
:
ϕ
, sehingga untuk setiap s∈S, )(s
ϕ unit di R . Ring komutatif S R dise-S
but ring hasil bagi dari R [2]. Jadi pro-sedur lokalisasi dari R terhadap S meng-hasilkan ring hasil bagi R dan S R memu-S
at R .
Dalam penulisan ini dipelajari hal yang sama untuk ring nonkomutatif. Ore menemukan syarat perlu dan cukup untuk eksistensi ring hasil bagi untuk ring non-komutatif. Pengkonstruksian ring hasil ba-gi untuk ring nonkomutatif dilakukan me-lalui proses lokalisasi Ore [3].
2. LOKALISASI ORE
Suatu homomorfisma α:R→R'
disebut S−inverting jika ( ) ( ')
R U S ⊆ α dengan ( ') R
U himpunan unit dalam '
R .
Definisi 2.1. [3]
R’ disebut ring hasil bagi kanan (terhadap R
S⊆ ) jika ada homomorfisma ring '
:R→R
ϕ sedemikian sehingga :
a) ϕ adalah S – inverting.
b)Setiap elemen dari R’ mempunyai ben-tuk ϕ(a)ϕ(s)−1dengan a∈R dan s∈S. c) Ker ϕ={r∈R:rs=0untuk suatu s∈S}
Disini '
R tidak selalu ada. Jika 'R ada
ma-ka dapat disimpulma-kan dua syarat perlu pada
S . Dua syarat perlu yang ditambahkan
pa-da S ditemukan oleh Ore adalah sebagai
berikut. Sifat 2.2. [3]
Jika R ada maka ' (∀a∈R) (∀s∈S) φ
≠ ∩sR
aS .
Bukti.
Jika R ada maka ' ϕ(s)−1,ϕ(a)∈R' se-hingga ϕ(s)−1ϕ(a)∈R'. Dari Definisi 2.1.b. maka ϕ(s)−1ϕ(a) dapat ditulis da-lam bentuk ϕ(r)ϕ(s')−1 dengan r∈R dan
S
s'∈ , dan diperoleh ϕ(as')=ϕ(sr), jadi 0
) (as'−sr =
ϕ . Dengan Definisi 2.1.c. maka (as'−sr)s" =0 untuk suatu s"∈S. Akibatnya akan diperoleh as's" =srs".
sR aS∩
∈
sebut permutable kanan atau himpunan Ore kanan .
Sifat 2.3. [3]
Jika R ada maka untuk ' a∈R berlaku jika 0
' =
a
s untuk suatu s'∈S maka as=0 untuk suatu s∈S. Bukti. Diketahui s'a=0 sehingga ) a ' s ( ϕ =ϕ(s' )ϕ(a)=0.
Karena R ada maka ' ϕ S−inverting se-hingga ϕ(a)=0 dan dari Definisi 2.1.c diperoleh as=0 untuk suatu s∈S. Himpunan S yang mempunyai sifat ini
disebut reversible kanan.
Jadi jika R ada, maka S permutable ka-' nan dan reversible kanan.
Definisi 2.4. [3]
Jika S adalah permutable kanan dan reversible kanan maka S disebut himpunan denominator kanan.
Selanjutnya diperoleh syarat perlu dan cu-kup untuk eksistensi ring hasil bagi kanan untuk ring nonkomutatif.
Teorema 2.5. [3]
Ring R mempunyai ring hasil bagi kanan terhadap S ⊆R jika dan hanya jika S him-punan denominator kanan.
Bukti.
(⇒) Karena R mempunyai ring hasil bagi kanan maka S adalah permutable kanan dan reversible kanan. Dari Definisi 2.4. diperoleh S adalah himpunan denominator kanan.
(⇐) Ring hasil bagi kanan dinotasikan de-ngan RS karena elemen dari −1 RS akan −1
merupakan pembagi kanan dengan bentuk 1
−
as (a∈R dan s∈S) maka konstruk-sinya dimulai dengan membentuk RxS . Didefinisikan suatu relasi ~ pada RxS se-bagai berikut. Jika (a,s),(a',s')∈RxS, maka ) , ( ~ ) , (a s a' s' ⇔ ada b,b'∈R sedemikian sehingga sb=s'b'∈S dan ab=a'b'∈R . (2.1) Akan dibuktikan bahwa ~ adalah relasi ekuivalensi
i.Refleksif.
Karena untuk setiap b=b'∈R berlaku
S sb
sb= '∈ dan ab=ab'∈R menurut (2.1) maka (a,s)~(a,s).
ii.Simetris
Jika (a,s)~(a',s') maka ada b,b' ∈R
sehinggasb=s'b'∈S dan ab=a'b'∈R
atau ada b b'∈R
, sehingga s'b'=sb∈S
dan a'b'=ab∈R. Jadi ada c=b',
R b c' = ∈ sehingga s'c=sc'∈S dan R ac c a' = '∈ , dari (2.1) diperoleh ) s , a ( ' ' ~(a,s). iii.Transitif.
Diketahui (a,s)~(a',s') maka ada
R b a ab sehingga R b b, '∈ = ' '∈ dan sb S ' b ' s ∈
= . Juga (a',s')~(a'',s'') maka ada
R c c, '∈ sehingga a'c=a''c'∈R dan s'c S ' c ' ' s ∈
= . Karena S permutable kanan, dari (s'c)S∩(s'b')R≠
φ
maka ada r∈Rdan t∈S sehingga s'b'r =s'ct∈S. Dengan menggunakan reversible kanan akan diperoleh b'rt' =ctt' untuk su-atu t'∈S. Sekarang sbr=s'b'r=s'ct=s''c't∈S sehingga s
( )
brt' =s''( )
c'tt' ∈S( )
brt' a'b'rt' a'ctt' a''( )
c'tt' a = = =( )
brt a( )
ctt R a ' = '' ' ' ∈ .Jadi ada d =brt',d'=c'tt'∈R sehingga
S d s sd = '' '∈ dan ad =a''d'∈R. Terbukti jika (a,s)~(a',s') dan (a',s')~(a'',s'') maka (a,s)~(a'',s'').
Dari (2.1), jika diambil b'=1 akan terlihat bahwa (a,s)~(ab,sb) asalkan sb∈S.
Notasi untuk kelas ekuivalensi dari )
,
(a s ditulis
s a
atau as . Himpunan dari −1
semua kelas-kelas ekuivalensi dinotasikan dengan RS . −1
Untuk mendefinisikan penjumlahan dalam −1
RS akan diselidiki bahwa setiap dua pecahan 2 2 1 1 , s a s a
dapat disamakan pe-nyebutnya. Karena S permutable kanan maka s1S∩s2R≠
φ
jadi ada r∈R danS s∈ sedemikian sehingga s2r =s1s∈S. Selanjutnya dari s s s a s a 1 1 1 1 = dan r s r a s a 2 2 2 2 = didefinisikan t r a s a s a s a 1 2 2 2 1 1 + = + dengan r s s s t= 1 = 2 . (2.2)
Operasi penjumlahan diatas adalah well
defined dan selanjutnya dapat dibuktikan
bahwa ( −1,+)
RS merupakan grup abelian.
Didefinisikan 1 :R→RS−
ϕ
de-ngan( )
e a a =ϕ . Akan ditunjukkan bahwa ϕ merupakan homomorfisma grup yaitu,
) ( ) ( ) ( a b e b e a e b a b a ϕ ϕ ϕ + = + = + = + = ∈ = a R (a) 0RS−1 Kerϕ ϕ
{
a∈Ras= s∈S}
= 0untuk suatuSelanjutnya akan didefinisikan perkalian pada RS . Untuk mengalikan −1
1 1 s a dengan 2 2 s a digunakan s1R∩a2S ≠
φ
maka terdapat r∈R dan s∈S sedemikian sehingga s1r=a2s atau 1 2 1 1 − − = rs a s . Diperoleh definisi s s r a s a s a 2 1 2 2 1 1 ⋅ = . (2.3) Perlu diingat (a1s1−1)(a2s2−1) akan menjadi1 2 1 1 1 2 2 1 1 1( ) ( ) − − − − = s rs a s a s a 1
( )
2 1 − =a r s s . Operasi perkalian diatas adalah well defined dan selanjutnya dapat dibuktikan bahwa (RS−1,+,•) adalah ring .Akan ditunjukkan
e e
adalah identitas per-kalian dalam RS−1. Ambil 1 1 1 ∈ − RS s a , maka e e s a 1 1 es r a1 = s r a1 = 1 1 . − =ars =a1s1−1 . 1 1 s a = Pemetaan ϕ:R→RS−1 didefinisi-kan e a a)= ( ϕ , sehingga e ab ) ab ( = ϕ e b e a⋅ = =ϕ(a)ϕ(b) Karena ϕ(a+b)=ϕ(a)+ϕ(b) dan ϕ(ab) ) b ( ) a ( ϕ ϕ
= maka ϕ merupakan homo-morfisma ring. Juga diperoleh (s S) s e ∈ adalah invers dari e s s)= ( ϕ . Jadi: a) ϕ adalah S – inverting. b) = (a) (s)−1 s a ϕ ϕ .
c) Kerϕ ={a∈R:as=0untuk suatu s∈S}.
1
−
RS adalah ring hasil bagi kanan dari R
terhadap S. Akibat (Ranicki).
Jika S adalah himpunan denominator ka-nan maka ϕ:R→RS−1 adalah homomor-fisma S – inverting universal.
Khususnya ada isomorfisma tunggal 1 − →RS Rs : g sehingga gε =ϕ de-ngan ε:R→Rs. Contoh 1. Misal: = Z Z Z R 0 dan S ={n.I : } Z n∈ ≠ 0
S permutable kanan jika (∀a∈R)
) S s
Ambil sebarang R z z z a ∈ = 3 2 1 0 , Z z z z1, 2, 3∈ S n n I n s ∈ = = 1 1 1 0 0 Z n ∈ ≠ 1 0 maka = 4 2 1 1 1 0 0 0 z z z n n sR = 3 1 2 1 1 1 0 n z z n z n dengan n1z1,n1z2,n1z3∈Z dan = n n z z z aS 0 0 0 3 2 1 = n z n z n z 3 2 1 0 dengan z1n,z2n,z3n∈Z. Terlihat bahwa ) (∀a∈R (∀s∈S) aS∩sR≠φ. Jadi S permutable kanan.
Untuk R z z z a ∈ = 3 2 1 0 dengan Z z , z , z1 2 3∈ jika = 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 1 1 z z z n n untuk su-atu S n n ∈ 1 1 0 0 maka = 0 0 0 0 0 0 0 2 2 3 2 1 n n z z z untuk su-atu S n n ∈ 2 2 0 0 . Jadi S reversible kanan.
Karena S permutable kanan dan re-versible kanan maka RS−1 ada.
Dengan menggunakan homomorfisma →
R
:
ϕ −1
RS yang didefinisikan de-ngan
ϕ
(r)=rI−1 diperoleh:1. Untuk n.I∈S maka (n.I)−1 adalah invers dari
ϕ
( In. ).2. Setiap elemen dalam RS ber-−1
bentuk
ϕ
(r)ϕ
(n.I)−1 dengan r∈R dan n.I∈S. Jadi = −1 RS −1 3 2 1 1 0 0 1 0 z n z z = n z n z n z 3 2 1 0 = Q Q Q 0 . Z n , z , z , z n≠0 dan 1 2 3 ∈ dengan 3. R: z z z r Ker ∈ = = ϕ 3 2 1 0 = ϕ 0 0 0 0 0 3 2 1 z z z 4. 0 3 2 1 ∈ = = ϕ R: z z z r Ker = 0 0 0 0 0 0 0 1 1 3 2 1 n n z z z S n n ∈ 1 1 0 0 suatu untuk Jadi RS =−1 Q Q Q 0 , dan R termuat dalam RS . −1Dengan cara yang sama dapat di-konstruksikan ring hasil bagi kiri jika S permutable dan reversible kiri.
3. KESIMPULAN
Dari uraian diatas dapat disimpul-kan bahwa
1. Syarat perlu dan cukup untuk eksis-tensi ring hasil bagi kanan (kiri) pada ring nonkomutatif R adalah S mem-punyai sifat permutable dan reversible kanan (kiri).
2. Jika S mempunyai sifat permutable kanan (kiri) dan reversible kanan (kiri) maka dapat dikonstruksikan ring hasil bagi kanan RS (ring hasil bagi kiri −1
R S−1 ).
4. DAFTAR PUSTAKA
[1] Adkins, A, W Weintraub, H,S. (1992) ,Algebra An Approach via Module
Theory, Springer–Verlag, New York.
[2] Hungerford, W, T. (1984), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Spri- nger–Verlag, New York.
[3] Lam, Y, T. (1998), Lectures on
Mo-dules and Rings, Graduate Texts in
Mathematics, Springer–Verlag, New York.
[4] Ranicki, A. (2005), Noncommutative
Localization in Algebra and Topology,
